Familles d'equations de Thue-Mahler n'ayant que des solutions triviales
设$K$是数域，$S$是$K$中包含阿基米德空间的有限空间集，$μ$，$α_1,α_2,α_3$是$K$中的非零元素.用$\OS$表示$S$的环-$K$中的整数，用$\OS^\times$表示$S$ -单位的群。则满足$\Card\{α_1\varepsilon_1,α_2\varepsilon_2,α_3\varepsilon_3\}= 3$的丢番图方程$$ (X-α_1 E_1 Y) (X-α_2E_2 Y) (X-α_3E_3 Y)Z=μE, $$的解$(x,y,z,\varepsilon_1, \varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon)\in\OS^3\times(\OS^\times)^4$的等价类集（即，直到乘以$S$-单位）是有限的。借助这一结果，我们展示了新的家庭的Thue-Mahler方程只有平凡的解决方案。此外，我们产生了一个有效的上限，这些解决方案的数量。本文的证明主要依赖于施密特子空间定理。
2013-12-27 math.NT
Some remarks on diophantine equations and diophantine approximation
我们首先回忆一下这种联系，回到A。因此，代数数的有理逼近与某些丢番图方程的整数解之间存在着联系。其次，我们回顾几个有限性结果之间的等价性各种丢番图方程。我们也给出了许多等价的声明马勒的推广的基本定理的图厄。特别是，我们表明，度$3$的Thue-马勒定理意味着定理的Thue-马勒任意度$\ge3$，我们与西格尔定理的合理的积分点的投影线$¶^1(K)$减去$3$点。最后，我们将我们的研究扩展到高维空间与施密特的子空间定理。
2013-12-27 math.NT
Efficient resolution of Thue-Mahler equations
本文提出一种仅需在添加单根的数域中计算的新算法，并引入格筛技术，高效求解高次Thue-Mahler方程，应用确定49对满足$P(X^4-2Y^4)\le100$的互素非负整数对。
2024-06-15 math.NT
Power-saving bounds for Thue--Mahler and Mordell equations
Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
该研究针对三次Thue--Mahler方程证明了对regulator具节能依赖的有效界，将Mordell方程整数解的Stark界指数降至1/2+ε，改进了相关分离下界并在Frey高度猜想的导体方面取得节能进展。
2026-09-09 math.NT
Mahler's work on Diophantine equations and subsequent developments
本文讨论Mahler在丢番图逼近及其在丢番图方程中应用的工作，并深入探讨Thue-Mahler方程解的个数与有效有限性等后续发展。
2018-05-31 math.HO math.NT
Effective Irrationality Measures and Approximation by Algebraic Conjugates
本文给出了利用代数共轭构成代数数的逼近序列的一个结果，并由此得到了相关代数数的有效无理性测度.从这个结果，我们能够推广图厄的基本定理。
2010-09-30 math.NT
Algebraic independence of certain Mahler numbers
本文证明了一类特殊的Mahler函数值的代数独立性结果。特别地，Thue-Morse序列、正规折纸序列和Cantor序列的生成函数都属于这一类，并且我们得到了这些函数的值在开单位圆盘上的每一个非零代数点上的代数独立性.证明使用马勒方法的结果。
2015-07-09 math.NT
Thue's Fundamentaltheorem, I: The General Case
本文分析了图厄基本定理。我们表明，它包括，并经常加强，已知的有效的非理性措施，通过所谓的超几何方法，以及表明，它可以应用到以前未考虑的家庭的代数数。此外，我们还将该方法推广到虚二次数域上的代数数逼近。
2010-01-07 math.NT
Continued fractions of certain Mahler functions
研究了无穷乘积$g(x) = x^{-1}\prod_{t=0}^\infty P(x^{-d^t})$的连分式展开式，其中多项式$P(x)$满足$P(0)=1$和$°(P)<d$ .我们构造了$g(x)$的偏导数之间的关系，利用这些关系可以得到偏导数的递推公式。我们提供的情况下$d=2$和$d=3$的公式。作为应用，我们证明了对于$P(x) = 1+ux$，其中$u$是除0和1之外的任意有理数，以及对于任意整数$b$，其中$|b|>1$使得$g(b)\neq0$，$g(b)$的无理性指数等于2.在$d=3$的情况下，我们提供了一个部分模拟的最后结果与几个集合的多项式$P(x)$给$g(b)$严格大于2的无理性指数。
2018-03-07 math.NT
On generalized Thue-Morse functions and their values
本文自然地扩展和推广了我们以前的工作“Thue-Morse常数不是很好的近似”，arXiv：1407.3182 [math.NT]。本文考虑推广Thue-Morse数的母函数$f_2(x)$的洛朗级数$f_d(x) = \prod_{n=0}^\infty (1 - x^{-d^n})$，$d\in\mathbb{N}$，$d\geq 2$，并研究它们的连分数展开式.特别地，我们证明了$x^{-d+1}f_d(x)$的转换具有相当规则的结构。我们还讨论了相应的马勒数$f_d(a)\in\mathbb{R}$、$a,d\in\mathbb{N}$、$a,d\geq 2$是否是很难逼近的问题。
2015-09-01 math.NT
On the rational approximation to $p$-adic Thue--Morse numbers
设$p$是素数，$ξ$是无理$p$-adic数.它的乘性无理性指数${μ^{\times}} (ξ)$是实数${μ^{\times}}$的上确界，对于该上确界，不等式$$ |b ξ- a|_{p} \leq | a b |^{- {μ^{\times}} / 2} $$在非零整数$a, b$中有无穷多个解。我们表明，${μ^{\times}} (ξ)$可以表示在一个新的指数的逼近附加到一个序列的有理数定义的$ξ$。我们建立了${μ^{\times}} ({{ξ_{{\bf t}, p}}}) = 3$，其中${{ξ_{{\bf t}, p}}}$是$p$-adic数$1 - p - p^2 + p^3 - p^4 + \ldots$，其数字序列由$\{-1, 1\}$上的Thue-Morse序列给出.
2021-10-05 math.NT
Hankel determinants, Padé approximations, and irrationality exponents
无理数$ξ$的无理数指数是衡量$ξ$被有理数逼近的速度的指标，一般来说，它很难显式计算，除非我们知道$ξ$的连分数展开式。迄今为止取得的成果相当零碎，而且往往是个案处理。在这项工作中，我们将统一所有已知的结果，在这个问题上，通过显示的无理性指数的大类自动数和马勒数（这是超越）是完全等于$2$。我们的类包括Thue-Morse-Mahler数、费马数的倒数之和、正规的折纸数，这些数以前分别由Bugeaud、Coons、Guo、Wu和Wen考虑过，但也包括Stern数等新的类。
2015-09-01 math.CO math.NT
Arithmetic holonomy bounds and effective Diophantine approximation
本研究通过量化算术和乐界提出射影直线与乘法群上有效丢番图逼近新方法，推导出代数数高阶根的有效无理性度量，可导出经典有效丢番图定理并给出多个数论应用。
2025-10-05 math.NT
Transcendence and continued fraction expansion of values of Hecke-Mahler series
设$θ$和$ρ$是实数，其中$0 \le θ, ρ< 1$和$θ$是无理数。证明了Hecke-Mahler级数$$ F_{θ, ρ} (z_1, z_2) = \sum_{k_1 \ge 1} \, \sum_{k_2 = 1}^{\lfloor k_1 θ+ ρ\rfloor} \, z_1^{k_1} z_2^{k_2}, $$（其中$\lfloor \cdot \rfloor$表示整数部分函数）在任意代数点$(β, α)$处取超越值，其中$0 < |β|, |βα^θ| < 1$ .这推广了马勒（1929）以及Loxton和van der Poorten（1977）的早期结果，Loxton和van der Poorten解决了$ρ=0$的问题。进一步，对于正整数$b$和$a$，当$b \ge 2$和$a$与$1$模$b-1$全等时，我们给出了数$$ {(b-1)^2\over b} F_{θ, ρ} \left({1\over b}, {1\over a}\right)+{\lfloor θ+ρ\rfloor(b-1)\over b^2a}, $$的连分数展开式，并由此导出了$F_{θ, ρ} (1/b, 1/a)$的无理性指数公式.
2022-03-24 math.NT
Diophantine approximation and continued fraction expansion for quartic power series over $\mathbb{F}_{3}$
虽然Roth定理指出所有无理代数数的无理测度为2，并且在特征为零的函数域上也是如此，但在正特征的函数域上发现了一些反例。这是首先提出的马勒在1949年，在他的基本文件丢番图逼近\cite{M}。看来，除了特定的元素，作为幂级数与有界的部分导数，罗斯定理成立。到目前为止，只有Mills和Robbins \cite{MR}在1986年发现的一个具有无界偏导数的元素被认为具有这种性质。它涉及$\mathbb{F}_{3}$上的一个四次幂级数，具有一个特殊的连分数展开式.这种连分数展开由Buck和Robbins \cite{BR}明确描述，后来由Lasjaunias \cite{LA2}使用另一种更简单的方法。此外，Lasjaunias \cite{LA2}改进了其与Roth定理有关的无理性测度的值.我们将看到，这个幂级数包含在一个大的四次幂级数族中，可以明确地给出它的连分数展开式和无理性测度。此外，我们还将研究$\mathbb{F}_{3}$上四次幂级数的其他例子的有理逼近，并将推广Mahler提出的反例集。
2020-10-22 math.NT
Mahler's Problem on Liouville Numbers I. Analytic Rigidity
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）
该研究否定解决了 Mahler 关于存在将 Liouville 数映射到 Liouville 数的超越整函数的问题，证明实解析函数若具此性质必为有理函数，并通过双高度计数估计给出定量局部结果。
2026-11-03 math.NT
Effective Approximation and Diophantine Applications
利用Thue-Siegel方法，我们对由$(t-a)Q(t)+P(t)=0$型方程定义的某些单参数代数数族的Liouville无理性测度进行了有效的改进.我们应用这些到一些相应的丢番图方程。我们得到的解决方案的大小，这取决于多项式$a$，和这些解决方案的数量，这是独立的$a$，在某些情况下，甚至独立的程度的方程的界限。
2016-01-10 math.NT
On the rational approximation of the sum of the reciprocals of the Fermat numbers
令$\C{G}(z):=\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}(1-z^{2^n})^{-1}$表示标尺函数的生成函数，而$\C{F}(z):=\sum_{n=0}^\infty z^{2^n}(1+z^{2^n})^{-1}$ ;注意，特殊值$\C{F}(1/2)$是费马数的倒数之和$F_n:=2^{2^n}+1$。函数$\C{F}(z)$和$\C{G}(z)$以及它们的特殊值已经由马勒、Golomb、Schwarz和Duverney研究过;已知数$\C{F}(\ga)$和$\C{G}(\ga)$对于所有满足$0<\ga<1$的代数数$\ga$都是超越的。对于序列$\mathbf{u}$，表示汉克尔矩阵$H_n^p(\mathbf{u}):=(u({p+i+j-2}))_{1\leqslant i,j\leqslant n}$。设$\ga$为实数。{ \em无理性指数} $μ(\ga)$被定义为实数集$μ$的上确界，使得不等式$|\ga-p/q|<q^{-μ}$有无穷多个解$(p,q)\in\B{Z}\times\B{N}.$本文首先证明了对每个$n\geqslant 1$，$H_n^1(\mathbf{g})$和$H_n^1(\mathbf{f})$的行列式都是非零的.然后，我们使用这个结果来证明，对于$b\geqslant 2$的无理性指数$μ(\C{F}(1/b…
2011-12-21 math.NT
Odd values of the Ramanujan tau function
我们证明了一些关于奇值的Ramanujan $τ$ -函数的结果。例如，我们证明了一个有效的可计算的正常数$κ$的存在，使得如果$τ(n)$是奇数和$n \ge 25$，那么要么\[ P(τ(n)) \; > \; κ\cdot \frac{\log\log\log{n}}{\log\log\log\log{n}} \]，要么存在一个素数$p \mid n$与$τ(p)=0$。这里，$P(m)$表示$m$的最大素因子。我们还求解了方程$τ(n)=\pm 3^{b_1} 5^{b_2} 7^{b_3} 11^{b_4}$和方程$τ(n)=\pm q^b$，其中$3\le q < 100$是素数，指数是任意非负整数。我们利用各种方法，包括原始因子定理的Bilu，Hanrot和Biltier，边界的解决方案，以Thue-马勒方程由于Bugeaud和Gyjourry，和模块化的方法通过伽罗瓦表示的Frey-Hellegouarch椭圆曲线。
2021-01-08 math.NT
