Solving S-unit, Mordell, Thue, Thue-Mahler and generalized Ramanujan-Nagell equations via Shimura-Taniyama conjecture
在第一部分中，我们构造算法，我们应用于解决S-单位，Mordell，三次Thue，三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程。作为一个副产品，我们获得替代的各种经典丢番图问题的实际方法，包括找到所有椭圆曲线在Q的基本问题，好约化以外的一个给定的有限集的合理素数。为了说明我们的算法的效用，我们确定了大类方程的解决方案，包含许多感兴趣的例子，这是已知的方法无法达到的。此外，我们还利用所得的数据激发了各种猜想和问题，包括Baker的显式abc-猜想和关于Q上任何双曲亏格为1的曲线的S-整点的一个新猜想。在第二部分中，我们对与Mordell方程相关的某些老丢番图问题（例如平方和立方的差）建立了新的结果，并证明了三次Thue、三次Thue-Mahler和广义Ramanujan-Nagell方程的显式高度界。作为一个副产品，我们在这里获得了另一种证明经典定理的贝克，科茨和Vinogradov-Sprindzuk。事实上，我们得到了他们的定理的改进版本，这在许多基本情况下改进了实际的最佳结果。我们的结果和算法最终都依赖于Faltings（Arakelov，Parshin，Szpiro）方法和Shimura-Taniyama猜想，并且它们都不使用（椭圆）方程中线性型的下界.在第三部分中，我们解决了在给定E（Q）的Mordell-Weil基的条件下，Q上任意椭圆曲线E上有界…
2016-05-19 math.NT
A family of quintic Thue equations via Skolem's $p$-adic method
在这篇半临时文章中，我们解决了丢番图方程$m^5+(4 \cdot 5^4 b^4)mn^4 - n^5=1$的所有整数$b \neq 0$。这给出了一个五次图厄方程族的例子，该方程可以完全通过使用Skolem的$p$ -adic方法来求解。我们还从现代的角度对Skolem的方法进行了一般性的介绍。
2022-08-07 math.NT
The Diophantine equation $aX^{4} - bY^{2} = 1$
作为Thue-Siegel方法的一个应用，我们解决了Walsh的一个猜想：对于固定的正整数$a$和$b$，丢番图方程$aX^{4} - bY^2=1$至多有两个正整数解$X$和$Y$ .由于存在无穷多对$(a,b)$，其中存在两个这样的解，因此该结果是尖锐的。
2009-03-10 math.NT
Calculating "small" solutions of relative Thue equations
丢番图方程通常可以简化为各种类型的经典图厄方程。这些方程通常只有非常小的解，另一方面，计算所有解（即证明不存在大解）是一个耗时的过程。因此，具有快速算法来计算“小”解是非常实用的，特别是如果“小”意味着小于例如$10^{100}$。这种算法是由A.Peth \H o在1987年基于连分数构造的。在本文中，我们构造了一个类似的快速算法来计算{ \it relative} Thue方程的“小”解。我们的方法是基于LLL减少算法。我们用明确的例子说明了该方法。该算法有几个应用。
2018-09-27 math.NT
Arithmetic holonomy bounds and effective Diophantine approximation
本研究通过量化算术和乐界提出射影直线与乘法群上有效丢番图逼近新方法，推导出代数数高阶根的有效无理性度量，可导出经典有效丢番图定理并给出多个数论应用。
2025-10-05 math.NT
Integer conversions and estimation of the number of integer solutions of algebraic Diophantine equations
讨论了次数为$n \geq 2$且变量个数为$k > 2$的代数丢番图-图对角方程和显式变量方程在系数为反号时的整数解的个数.在将代数丢番图方程转化为对角形式的情况下，发现了保持代数丢番图方程整数解个数渐近性态的整数转化.本文研究了几类非对角型代数丢番图方程的整数解的个数估计。
2017-01-31 math.NT
Solving simultaneously Thue equations in the almost totally imaginary case
令$α$是至多具有一个实共轭的次数$d\ge 3$的代数数，并且令$K$是代数数域${\mathbf Q}(α)$。对于$K$的任何单位$ε$使得${\mathbf Q}(αε)=K$，我们考虑不可约多项式$f_ε(X)\in{\mathbf Z}[X]$使得$f_ε(αε)=0$ .设$F_ε(X,Y)\ = Y^df_ε(X/Y)\in{\mathbf Z}[X,Y]$为相关的二进制形式。对于每一个正整数$m$，我们展示了一个有效的计算界的解$(x,y,ε)$的丢番图方程$|F_ε(x,y)|\leq m$。
2015-05-25 math.NT
Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations. I. Fibonacci and Lucas perfect powers
这是第一次在一系列的文件，使我们结合了经典的方法，指数丢番图方程（线性型的矩阵，图厄方程等）。基于费马大定理的一些证明思想的模块化方法。本文给出了三种图中线性型的新的改进的界。我们还将经典技术与模块化方法相结合，证明了Fibonacci序列中唯一的完美幂是0，1，8，144，Lucas序列中唯一的完美幂是1，4。
2004-03-02 math.NT
Estimating of the number of integer (natural) solutions of inhomogeneous algebraic Diophantine diagonal equations with integer coefficients
利用Hardy和Littlewood的圆方法，研究了无自由元的非齐次代数丢番图对角型方程的整数（自然）解个数的上界.本文给出了显式变元非齐次代数丢番图对角方程自然解个数的上界。他在论文中开发了一种方法，该方法允许您对具有整数系数的代数丢番图方程的自然（整数）解的数量进行低估计。作者用这种方法得到了几类任意变量的非齐次代数丢番图对角方程（包括图厄方程）的整数（自然）解个数的下估计.
2016-08-12 math.NT
Converting of algebraic Diophantine equations to a diagonal form with the help of an integer non-orthogonal transformation, maintaining the asymptotic behavior of the number of its integer solutions
本文证明了任何二阶齐次代数丢番图方程都可以通过一个整数非正交变换转化为对角形式，并保持其整数解个数的渐近性态。本文研究了一类更广泛的二阶代数丢番图方程的对角化问题，并讨论了高阶代数丢番图方程的对角化条件.给出了变量数大于2的奇数次对角Thue方程整数解个数的渐近估计，并给出了其它类型对角代数丢番图方程整数解个数的渐近估计.
2017-08-04 math.NT
Complete solution of the Diophantine Equation $x^{2}+5^{a}\cdot 11^{b}=y^{n}$
标题方程完全以整数$(n,x,y,a,b)$求解，其中$n\geq 3$、$\gcd(x,y)=1$和$a,b\geq 0$。最困难的阶段的决议是显式决议的五次Thue-Mahler方程。由于这是第一次-据我们所知-这样的方程是在文献中解决的，我们做了详细介绍的决议，这使我们的文件也是一个暂时的字符。
2017-03-15 math.NT
Familles d'equations de Thue-Mahler n'ayant que des solutions triviales
设$K$是数域，$S$是$K$中包含阿基米德空间的有限空间集，$μ$，$α_1,α_2,α_3$是$K$中的非零元素.用$\OS$表示$S$的环-$K$中的整数，用$\OS^\times$表示$S$ -单位的群。则满足$\Card\{α_1\varepsilon_1,α_2\varepsilon_2,α_3\varepsilon_3\}= 3$的丢番图方程$$ (X-α_1 E_1 Y) (X-α_2E_2 Y) (X-α_3E_3 Y)Z=μE, $$的解$(x,y,z,\varepsilon_1, \varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon)\in\OS^3\times(\OS^\times)^4$的等价类集（即，直到乘以$S$-单位）是有限的。借助这一结果，我们展示了新的家庭的Thue-Mahler方程只有平凡的解决方案。此外，我们产生了一个有效的上限，这些解决方案的数量。本文的证明主要依赖于施密特子空间定理。
2013-12-27 math.NT
Effective results for Diophantine equations over finitely generated domains
本文研究了有限生成域上的 Thue 方程及超椭圆和超超椭圆方程，利用数域、函数域的有效结果与交换代数给出了未知数大小的显式上界，证明了这些方程的解在原则上可有效确定，并推广了 Schinzel 和 Tijdeman 定理。
2013-01-30 math.NT
On the equation X^n-1=B.Z^n
考虑丢番图方程X^n - 1 = B.Z^n，其中Z中的B被理解为参数。我们证明了如果方程有解，则要么根式的欧拉导数phi（rad（B））有一个指数为n的公因数，要么指数为素数，并且解源于Nagell-Ljunggren方程的对角情形的解：（X^n-1）/（X-1）= n^e.Y^n; e = 0或1。这使我们能够将该方程的最新结果应用于所讨论的二元图埃方程。特别是，我们可以显示图厄方程没有解的参数化族。第一个这样的家庭证明了班尼特在他的开创性论文二元图厄方程。
2015-06-30 math.NT
On the rational approximation to Thue--Morse rational numbers
令$b \ge 2$和$\ell \ge 1$为整数。我们建立了一个绝对实数$K$，使得分母$b^{2^{\ell+1} - 1}$的有理数$$ \prod_{h = 0}^\ell \, (1 - b^{-2^h}), $$的所有部分幂次都不超过$\exp(K (\log b)^2 \sqrt{\ell} 2^{\ell/2})$。
2021-08-30 math.NT
On the rational approximation to $p$-adic Thue--Morse numbers
设$p$是素数，$ξ$是无理$p$-adic数.它的乘性无理性指数${μ^{\times}} (ξ)$是实数${μ^{\times}}$的上确界，对于该上确界，不等式$$ |b ξ- a|_{p} \leq | a b |^{- {μ^{\times}} / 2} $$在非零整数$a, b$中有无穷多个解。我们表明，${μ^{\times}} (ξ)$可以表示在一个新的指数的逼近附加到一个序列的有理数定义的$ξ$。我们建立了${μ^{\times}} ({{ξ_{{\bf t}, p}}}) = 3$，其中${{ξ_{{\bf t}, p}}}$是$p$-adic数$1 - p - p^2 + p^3 - p^4 + \ldots$，其数字序列由$\{-1, 1\}$上的Thue-Morse序列给出.
2021-10-05 math.NT
Greedy approximations by signed harmonic sums and the Thue--Morse sequence
给定一个实数$τ$，我们研究了用带符号调和和$σ_N(τ) := \sum_{n \leq N}{s_n(τ)}/n$逼近$τ$，其中符号序列$(s_N(τ))_{N \in\mathbb{N}}$被定义为“greatest”，如果$σ_N(τ) \leq τ$，则设置$s_{N+1}(τ) := +1$，否则设置$s_{N+1}(τ) := -1$。精确地计算了序列$(σ_N(τ)-τ)_{N \in \mathbb{N}}$的极限点和衰变率。此外，我们给出了一个准确的描述序列的符号$(s_N(τ))_{N\in\mathbb{N}}$的行为，突出了一个令人惊讶的连接与图厄-莫尔斯序列。
2020-02-22 math.NT
Quartic Index Form Equations and Monogenizations of Quartic Orders
通过考虑某些经典的丢番图方程，即四次数域上的指数型方程，以及三次和四次Thue方程，建立了四次单齐化数的上界.
2022-07-29 math.NT
Mordell's equation : a classical approach
我们用$|k| \leq 10^7$对所有非零整数$k$求解丢番图方程$Y^2=X^3+k$。我们的方法使用这些方程和立方图厄方程之间的经典连接。后者可以通过与格基约简相结合的矩阵中的线性型的下界在算法上进行处理。
2013-11-27 math.NT
Hermite-Thue equation: Padé approximations and Siegel's lemma
Padé近似和Siegel引理是丢番图逼近理论中广泛使用的工具。这项工作已经从试图改善贝克型线性独立性措施，无论是使用Bjerieri-Vaaler版本的西格尔引理，以提高估计的Padé型近似，或通过寻找完全明确的表达式，但未知的“双类型”厄米-Padé近似。表示两种方法的适当齐次矩阵方程具有$M \times (L+1)$系数矩阵，其中$M \le L$。这个矩阵方程的齐次解向量给出了Padé多项式的候选项。由于Siegel引理的Besili-Vaaler版本，矩阵方程的最小非零解的上界可以通过找到系数矩阵的所有$M \times M$子式的gcd来改进。本文考虑指数函数，证明了$M \times M$子式确实存在一个大的公共因子，从而给出了Siegel引理的Bjerieri-Vaaler形式的应用.此外，在$M=L$的情况下，这个公共因子的存在是一个步骤，了解的性质的“双类型”厄米-帕德逼近的指数函数。
2018-05-02 math.NT
The Method Of Thue-Siegel For Binary Quartic Forms
我们将使用Thue-Siegel方法，基于Padé逼近通过超几何函数，给出方程$|F(x, y)| = 1$的整数解的个数的上界以及不等式$|F(x, y)| \leq h$，对于一类不可约的四次二元形式.
2009-06-29 math.NT
Thue's Fundamentaltheorem, I: The General Case
本文分析了图厄基本定理。我们表明，它包括，并经常加强，已知的有效的非理性措施，通过所谓的超几何方法，以及表明，它可以应用到以前未考虑的家庭的代数数。此外，我们还将该方法推广到虚二次数域上的代数数逼近。
2010-01-07 math.NT
Efficient resolution of Thue-Mahler equations
本文提出一种仅需在添加单根的数域中计算的新算法，并引入格筛技术，高效求解高次Thue-Mahler方程，应用确定49对满足$P(X^4-2Y^4)\le100$的互素非负整数对。
2024-06-15 math.NT
Families of Thue equations associated with a rank one subgroup of the unit group of a number field
将次数$d\ge 3$的二进制形式$F_0(X,Y)\in{\mathbb{Z}}[X,Y]$扭曲代数单位$\upsilon$的幂$\upsilon^a$（$a\in{\mathbb{Z}}$），得到二进制形式$F_a(X,Y)\in{\mathbb{Z}}[X,Y]$。更准确地说，当$K$是一个数域的程度$d$，$σ_1,σ_2,\dots,σ_d$嵌入$\mathbb{C}$，$α$的非零元素$K$，$a_0\in{\mathbb{Z}}$，$a_0>0$和$$ F_0(X,Y)=a_0\displaystyle\prod_{i=1}^d (X-σ_i(α) Y), $$然后为$a\in{\mathbb{Z}}$，我们设置$$ F_a(X,Y)=\displaystyle a_0\prod_{i=1}^d (X-σ_i(α\upsilon^a) Y). $$给定$m\ge 0$，我们的主要结果是一个有效的上限的解决方案$(x,y,a)\in{\mathbb{Z}}^3$丢番图不等式$$ 0<|F_a(x,y)|\le m $$为$xy\not=0$和${\mathbb{Q}}(α\upsilon^a)=K$。我们的估计涉及到一个有效的可计算常数只取决于$d$ ;它是明确的$m$方面，在高度的$F_0$和$\upsilon$方面，并在监管机构的数字字段$K$。
2017-01-05 math.NT
Exponents of Diophantine approximation
本文主要综述了丢番图逼近的最新结果，着重讨论了各种丢番图逼近概念的指数度量的性质。
2006-11-12 math.NT
On a Problem in Diophantine Approximation
证明了丢番图逼近中Littlewood和Mixed Littlewood拓扑的新结果。
2013-05-06 math.NT
Remarks on Diophantine approximation in function fields
研究了正特征局部域上度量丢番图逼近中的若干问题。
2018-12-18 math.NT
Diophantine approximation on lines with prime constraints
研究了R^2中具有素分子和素分母的直线上的丢番图逼近问题。
2013-09-20 math.NT
On Harrap's conjecture in Diophantine approximation
证明了Stephen Harrap关于与${\rm BAD}(α,β)$集有关的非齐次线性丢番图逼近的一个猜想.
2012-04-11 math.NT
Exponents of Diophantine approximation
我们综述了关于丢番图逼近指数的经典和最近的结果。我们只给出了一些证明，并强调了几个开放的问题。
2015-02-10 math.NT
The best Diophantine approximations: the phenomenon of degenerate dimension
本文主要讨论多维线性型的丢番图逼近和同时的丢番图逼近。讨论了由最佳丢番图逼近生成的线性子空间的退化维数现象。这些结果大多数是作者在几年前建立的。在这里，我们收集所有这些在一起，并给出一些新的配方。
2004-11-12 math.NT
Diophantine approximations with positive integers: some remarks
本文对W. M.关于正整数的丢番图逼近的Schmidt定理和我们最近的一些结果。
2012-02-22 math.NT
Restricted simultaneous Diophantine approximation
研究了在一定素性限制下$\mathbb{R}^d$中直线上的丢番图逼近问题。
2016-06-07 math.NT
Diophantine approximation on lines in $\mathbb{C}^2$ with Gaussian prime constraints
本文研究了$\mathbb{C}^2$中分子和子均为高斯素数的直线上的丢番图逼近问题。
2016-12-08 math.NT
Simultaneous two-dimensional best Diophantine approximations in the Euclidean norm
证明了二维最佳丢番图逼近关于欧氏范数的增长指数的一个新的下界。
2010-02-13 math.NT
A note on weighted simultaneous Diophantine approximation on manifolds
在本文中，我们对Beresnevich，Levesley和Ward（2021）关于流形上的加权同时丢番图逼近的最近结果进行了改进。
2021-03-11 math.NT
Diophantine Exponents of Affine Subspaces: The Simultaneous Approximation Case
我们应用齐性空间上流的非发散估计来计算$\R^n$的仿射子空间及其非退化子流形的丢番图指数。
2008-09-01 math.NT
Distribution modulo one and diophantine approximation by Yann Bugeaud
书评：Distribution modulo one and丢番图逼近，Yann Bugeaud著，剑桥大学出版社，2012年。ISBN 978-0521111690，316页。
2013-12-04 math.NT
Intersective polynomials and Diophantine approximation, II
应用Schmidt格方法，证明了在满足一定局部条件下，单素变量多项式系统模1的同时丢番图逼近的结果.
2013-09-09 math.NT
Best Simultaneous Diophantine Approximations under a Constraint on the Denominator
我们研究了Jurkat提出的在分母上有约束条件下的最佳同时丢番图逼近问题。新的较低的估计最优逼近常数的临界行列式的适当的恒星机构。工具是由具有较小分母的有理数对有理数的同时丢番图逼近的结果。最后，将近似结果应用于整数向量的分解。
2005-10-19 math.NT
Best simultaneous Diophantine approximations for some pairs of algebraic numbers
本文计算了不满足性质（F）的三次Pisot数对的最佳丢番图逼近序列。
2021-09-19 math.NT
Counting intrinsic Diophantine approximations in simple algebraic groups
在任意小尺度下，我们建立了单连通单代数群上的内在丢番图不等式的有理解的个数的显式渐近公式。
2021-01-04 math.NT
Transference theorems for Diophantine approximation with weights
本文证明了加权集上正则和一致丢番图指数的迁移不等式。我们的结果推广了相应的不等式中存在的“非加权”的情况下。
2019-10-31 math.NT
Diophantine approximation and automorphic spectrum
本文建立了半单代数群的齐次簇的丢番图逼近速度的定量估计。所建立的估计推广和改进了以前的估计，并且在许多情况下是尖锐的。我们表明，丢番图逼近的速度是由频谱的自守表示，因此受到广义拉马努金几何。
2010-07-04 math.NT
Exponents of inhomogeneous Diophantine Approximation
在丢番图逼近中，非齐次问题通过所谓的迁移定理与齐次问题联系起来。我们通过引入新的丢番图逼近指数来重新审视这个经典话题。证明了n个线性型系统对R^n中一个泛点的逼近指数等于对偶型系统的一致齐次指数的倒数。
2004-06-03 math.NT
Diophantine Approximation Groups, Kronecker Foliations and Independence
我们引入丢番图逼近群及其相关的克罗内克叶，用它们来提供新的代数和几何表征的$K$ -线性和代数依赖。因此，我们发现reformations-代数和几何（图）刚性-定理的贝克和林德曼-维尔斯特拉斯，对数猜想和Schanuel猜想。有一个附录描述丢番图逼近群作为模型理论类型。
2019-02-27 math.NT
On some open problems in Diophantine approximation
讨论了丢番图逼近中的几个公开问题。其中既有著名的Littlewood和Zaremba定理，也有一些新的不太著名的问题。
2012-12-22 math.NT
Theorem on best Diophantine approximations for linear forms
证明了关于线性型的最佳丢番图逼近所张成的子空间维数退化的一个新的定量结果。
2008-12-12 math.NT
Metric Diophantine Approximation: aspects of recent work
在这些笔记中，我们首先回顾度量丢番图逼近的经典理论的各个方面;如Khintchine，Jarn 'ık，Duffin-Schaeffer和Gallagher定理。然后，我们描述了最近加强各种经典的声明，以及最近的事态发展，在该地区的丢番图逼近的流形。后者包括好逼近、差逼近和非齐次逼近。
2016-01-08 math.NT
Metric theory of inhomogeneous Diophantine approximations with a fixed matrix
Brandeis University（布兰代斯大学）
本文针对固定矩阵情形，利用转移原理建立矩阵向量配对与转置矩阵丢番图性质的双向关联，证明齐次丢番图逼近经典结论的对应版本，解答相关公开问题，构建了对应的非齐次丢番图逼近度量理论。
2025-11-15 math.NT
Diophantine approximation with arithmetic functions, I
本文证明了一个强的同时丢番图逼近定理，它适用于加法函数和乘性函数的值，只要这两类函数在素数上具有一定的正则性。
2008-05-19 math.NT
Metrical Diophantine approximation for quaternions
应用一般的“lim sup”集的测度的结果，建立了四元数的丢番图逼近度量理论中Khintchine，Jarnik和Jarnik-Besicovitch的经典定理的类似定理.
2014-10-17 math.NT
Zero-one laws in simultaneous and multiplicative Diophantine approximation
讨论Beresnevich和Velani提出的两个问题，得到了同时和乘性丢番图逼近的0 - 1定律。我们的证明依赖于一个Cassels-Gallagher型定理，以及一个更高的维度模拟的交叉重叠原则的Beresnevich，Haynes和Velani。
2012-04-10 math.NT
On Diophantine approximations with positive integers: a remark to W.M.Schmidt's theorem
我们证明了W.M.施密特定理与$x_1,x_2$为{ \it正}整数的$α_1x_1+α_2x_2 +y$型线性型的丢番图逼近有关。
2011-12-21 math.NT
