On some open problems in Diophantine approximation
Nikolay G. Moshchevitin
讨论了丢番图逼近中的几个公开问题。其中既有著名的Littlewood和Zaremba定理，也有一些新的不太著名的问题。
We discuss several open problems in Diophantine approximation. Among them there are famous Littlewood's and Zaremba's conjectures as well as some new and not so famous problems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Exponents of Diophantine approximation
本文主要综述了丢番图逼近的最新结果，着重讨论了各种丢番图逼近概念的指数度量的性质。
On a Problem in Diophantine Approximation
证明了丢番图逼近中Littlewood和Mixed Littlewood拓扑的新结果。
Remarks on Diophantine approximation in function fields
研究了正特征局部域上度量丢番图逼近中的若干问题。
Diophantine approximation on lines with prime constraints
研究了R^2中具有素分子和素分母的直线上的丢番图逼近问题。
On Harrap's conjecture in Diophantine approximation
证明了Stephen Harrap关于与${\rm BAD}(α,β)$集有关的非齐次线性丢番图逼近的一个猜想.
Exponents of Diophantine approximation
我们综述了关于丢番图逼近指数的经典和最近的结果。我们只给出了一些证明，并强调了几个开放的问题。
The best Diophantine approximations: the phenomenon of degenerate dimension
本文主要讨论多维线性型的丢番图逼近和同时的丢番图逼近。讨论了由最佳丢番图逼近生成的线性子空间的退化维数现象。这些结果大多数是作者在几年前建立的。在这里，我们收集所有这些在一起，并给出一些新的配方。
Diophantine approximations with positive integers: some remarks
本文对W. M.关于正整数的丢番图逼近的Schmidt定理和我们最近的一些结果。
Restricted simultaneous Diophantine approximation
研究了在一定素性限制下$\mathbb{R}^d$中直线上的丢番图逼近问题。
Diophantine approximation on lines in $\mathbb{C}^2$ with Gaussian prime constraints
本文研究了$\mathbb{C}^2$中分子和子均为高斯素数的直线上的丢番图逼近问题。
Simultaneous two-dimensional best Diophantine approximations in the Euclidean norm
证明了二维最佳丢番图逼近关于欧氏范数的增长指数的一个新的下界。
A note on weighted simultaneous Diophantine approximation on manifolds
在本文中，我们对Beresnevich，Levesley和Ward（2021）关于流形上的加权同时丢番图逼近的最近结果进行了改进。
Diophantine Exponents of Affine Subspaces: The Simultaneous Approximation Case
我们应用齐性空间上流的非发散估计来计算$\R^n$的仿射子空间及其非退化子流形的丢番图指数。
Distribution modulo one and diophantine approximation by Yann Bugeaud
书评：Distribution modulo one and丢番图逼近，Yann Bugeaud著，剑桥大学出版社，2012年。ISBN 978-0521111690，316页。
Intersective polynomials and Diophantine approximation, II
应用Schmidt格方法，证明了在满足一定局部条件下，单素变量多项式系统模1的同时丢番图逼近的结果.
Best Simultaneous Diophantine Approximations under a Constraint on the Denominator
我们研究了Jurkat提出的在分母上有约束条件下的最佳同时丢番图逼近问题。新的较低的估计最优逼近常数的临界行列式的适当的恒星机构。工具是由具有较小分母的有理数对有理数的同时丢番图逼近的结果。最后，将近似结果应用于整数向量的分解。
Best simultaneous Diophantine approximations for some pairs of algebraic numbers
本文计算了不满足性质（F）的三次Pisot数对的最佳丢番图逼近序列。
Counting intrinsic Diophantine approximations in simple algebraic groups
在任意小尺度下，我们建立了单连通单代数群上的内在丢番图不等式的有理解的个数的显式渐近公式。
Transference theorems for Diophantine approximation with weights
本文证明了加权集上正则和一致丢番图指数的迁移不等式。我们的结果推广了相应的不等式中存在的“非加权”的情况下。
Diophantine approximation and automorphic spectrum
本文建立了半单代数群的齐次簇的丢番图逼近速度的定量估计。所建立的估计推广和改进了以前的估计，并且在许多情况下是尖锐的。我们表明，丢番图逼近的速度是由频谱的自守表示，因此受到广义拉马努金几何。
Exponents of inhomogeneous Diophantine Approximation
在丢番图逼近中，非齐次问题通过所谓的迁移定理与齐次问题联系起来。我们通过引入新的丢番图逼近指数来重新审视这个经典话题。证明了n个线性型系统对R^n中一个泛点的逼近指数等于对偶型系统的一致齐次指数的倒数。
Diophantine Approximation Groups, Kronecker Foliations and Independence
我们引入丢番图逼近群及其相关的克罗内克叶，用它们来提供新的代数和几何表征的$K$ -线性和代数依赖。因此，我们发现reformations-代数和几何（图）刚性-定理的贝克和林德曼-维尔斯特拉斯，对数猜想和Schanuel猜想。有一个附录描述丢番图逼近群作为模型理论类型。
Theorem on best Diophantine approximations for linear forms
证明了关于线性型的最佳丢番图逼近所张成的子空间维数退化的一个新的定量结果。
Metric Diophantine Approximation: aspects of recent work
在这些笔记中，我们首先回顾度量丢番图逼近的经典理论的各个方面;如Khintchine，Jarn 'ık，Duffin-Schaeffer和Gallagher定理。然后，我们描述了最近加强各种经典的声明，以及最近的事态发展，在该地区的丢番图逼近的流形。后者包括好逼近、差逼近和非齐次逼近。
Metric theory of inhomogeneous Diophantine approximations with a fixed matrix
本文针对固定矩阵情形，利用转移原理建立矩阵向量配对与转置矩阵丢番图性质的双向关联，证明齐次丢番图逼近经典结论的对应版本，解答相关公开问题，构建了对应的非齐次丢番图逼近度量理论。
Diophantine approximation with arithmetic functions, I
本文证明了一个强的同时丢番图逼近定理，它适用于加法函数和乘性函数的值，只要这两类函数在素数上具有一定的正则性。
Metrical Diophantine approximation for quaternions
应用一般的“lim sup”集的测度的结果，建立了四元数的丢番图逼近度量理论中Khintchine，Jarnik和Jarnik-Besicovitch的经典定理的类似定理.
Zero-one laws in simultaneous and multiplicative Diophantine approximation
讨论Beresnevich和Velani提出的两个问题，得到了同时和乘性丢番图逼近的0 - 1定律。我们的证明依赖于一个Cassels-Gallagher型定理，以及一个更高的维度模拟的交叉重叠原则的Beresnevich，Haynes和Velani。
On Diophantine approximations with positive integers: a remark to W.M.Schmidt's theorem
我们证明了W.M.施密特定理与$x_1,x_2$为{ \it正}整数的$α_1x_1+α_2x_2 +y$型线性型的丢番图逼近有关。
An optimal bound for the ratio between ordinary and uniform exponents of Diophantine approximation
本文给出了任意维上同时丢番图逼近和线性型的丢番图逼近的平凡指数和一致指数之比的一个下界.这个下界由Schmidt和Summerer证明，并且已经在维度$2$和$3$中示出。这个下界是在参数数的几何的背景下提出的规则系统中达到的，因此是最优的。
Metric Diophantine approximation: The Khintchine--Groshev theorem for non-degenerate manifolds
本文的主要目的是证明非退化流形上线性丢番图逼近的一个Khintchine型发散定理，完善了以前关于收敛性的结果.
Some remarks on diophantine equations and diophantine approximation
我们首先回忆一下这种联系，回到A。因此，代数数的有理逼近与某些丢番图方程的整数解之间存在着联系。其次，我们回顾几个有限性结果之间的等价性各种丢番图方程。我们也给出了许多等价的声明马勒的推广的基本定理的图厄。特别是，我们表明，度$3$的Thue-马勒定理意味着定理的Thue-马勒任意度$\ge3$，我们与西格尔定理的合理的积分点的投影线$¶^1(K)$减去$3$点。最后，我们将我们的研究扩展到高维空间与施密特的子空间定理。
A proof of the matrix version of Baker's conjecture in Diophantine approximation
我们证明了Veronese曲线的矩阵模拟在丢番图逼近意义下是强极值的，从而肯定地解决了Beresnevich，Kleinbock和Margulis（'15）提出的一个问题.
Best Diophantine Approximations and Multidimensional Three Distance Theorem
本文基于Chevallier 1996年的引理，建立最佳丢番图逼近与多维三距离定理的联系，从前者已知结果推导后者已知结果，获该问题下确界版本新结果，并探讨逆问题的应用。
Note on the spectrum of classical and uniform exponents of Diophantine approximation
利用W. M. Schmidt和L. Summerer和D. Roy，我们建立了在$n\geq3$维上的丢番图逼近的$2n$指数的谱是$\mathbb{R}^{2n}$的一个具有非空内部的子集.
An inequality for Diophantine exponents in the case of simultaneous approximation
本文在同时逼近的情形下证明了一个关于个别丢番图指数和一致丢番图指数的不等式。这个不等式比Jarnik的更好的一致指数的小值。
A metric theorem for restricted Diophantine approximation in positive characteristic
本文计算了形式幂级数域上矩阵集的测度和豪斯多夫维数，并对一个限制的矩阵集给出了逼近性质.
A note on Diophantine approximation with Gaussian primes
研究了$pθ$模1的分布，其中$θ$是不包含在$\mathbb{Q}(i)$中的复数，且$p$在高斯素数上运行.
Littlewood and Duffin--Schaeffer-type problems in diophantine approximation
该研究在丢番图逼近领域，建立了Gallagher定理的完全非齐次版本、丢番图纤维细化结果及Liouville纤维的尖锐阈值，还证明了一类非单调逼近函数下Duffin–Schaeffer猜想的非齐次版本。
An Extension of a Theorem of Duffin and Schaeffer in Diophantine Approximation
Duffin和Schaeffer在有理逼近不可约的假设下，将度量丢番图逼近中的Khintchine经典定理推广到了任意误差函数的情形。这一结果被推广到有理逼近的分子和子之间存在强于互质的同余约束的情况。
The Arithmetic of Diophantine Approximation Groups II: Mahler Arithmetic
这是第二篇论文在一系列的两个全球代数数论的实数制定的目的是提供一个统一的设置代数和超越数理论。本文对任意实数$θ$，给出其多项式丢番图逼近环：环$\mathbb{Z}[X]$的非标准模型的三滤子环.根据$θ$的Mahler类和Mahler型刻画了多项式丢番图逼近环的滤子结构.利用多项式的张量积，给出了多项式丢番图逼近群的算法。特别地，证明了多项式丢番图逼近群具有近似理想的结构：其中两个多项式丢番图逼近群的部分张量积可以通过限制三重滤子结构来实现.这一部分乘积律的明确刻画是本文的主要定理。
Mahler's question for intrinsic Diophantine approximation on triadic Cantor set: the divergence theory
本文考虑了三进康托尔集$\mathcal{K}$上的内在丢番图逼近，即用$\mathcal{K}$内的有理数逼近$\mathcal{K}$中的点，这是K.马勒利用$\mathcal{K}$中有理数的另一个高度函数，即由其周期3-adic展开式得到的分母，给出了这种变本征丢番图逼近的完备度量理论，从而得到了Mahler原问题的发散理论.
The Arithmetic of Diophantine Approximation Groups I: Linear Theory
一个范例的全球代数数论的实数制定的目的是提供一个统一的设置代数和超越数理论。这是通过研究戴德金整环的非标准模型的子群（称为丢番图逼近群）来实现的。丢番图逼近群的算术是以一种扩展代数数论的理想理论算术的方式定义的，它使用了一个近似理想的结构：一个由子群构成的双过滤，沿着子群可以进行部分乘积。
Metric Diophantine approximation with respect to planar distance functions
我们概述了一个类似于R^2中欣钦定理的证明，其中普通高度被一个满足非理性条件以及某些衰减和对称性条件的距离函数所取代。
Diophantine approximation in Banach spaces
本文将同时丢番图逼近理论推广到无限维。此外，我们讨论狄利克雷型定理在一个非常一般的框架，并定义它意味着这样一个定理是最优的。我们表明，最优性是隐含的，但并不意味着存在严重的逼近点。
Diophantine approximation in small degree
我们讨论的问题，找到最佳指数的丢番图估计涉及一个实数，并在某些情况下，这样的指数是已知的，提出了一些相应的极值数的性质。
On certain Littlewood-like and Schmidt-like problems in inhomogeneous Diophantine approximations
本文给出了两个实数的非齐次逼近和差逼近的几个结果。我们的结果与A. Khintchine（1926）和Y. Peres和W. Schlag（2001年）。
Geometry of Diophantine exponents
本综述探讨了丢番图指数及其满足的关系，介绍了经典丢番图指数、带权与乘性类似物及格的指数，并重点关注转换原理。
Inhomogeneous Diophantine approximation on curves and Hausdorff dimension
本文的目标是发展一个连贯的理论，非齐次丢番图逼近曲线在$R^n$类似的完善齐次理论。更具体地说，所得到的测度论结果推广了R. C. Baker（1978），Dodson，Dickinson（2000）and Beresnevich，Bernik，Kleinbock，Margulis（2002）.在平面曲线的情况下，发展了完备的豪斯多夫维数理论
A problem in non-linear Diophantine approximation
本文得到了满足无穷多个完全非线性丢番图不等式的向量集的Lebesgue测度和Hausdorff测度的结果。该集合与一类线性非齐次偏微分方程有关，其解依赖于一定的丢番图条件。丢番图条件的失败保证了光滑解的存在。
On estimating the constant of simultaneous Diophantine approximation
本文研究最佳丢番图逼近的常数估计问题。改进了$ n = 5 $和$ n = 6 $的下界$ C_n $估计。第一章概述了最佳丢番图逼近的常数估计的历史。在第二章中给出了导致$ C_n $估计的数值实验的方法和结果。第三章主要讨论了一些函数的估计，并在第四章中利用这些函数证明了$ C_n $对$ 3 \leq n \leq 6 $的估计。
Exceptional sets in dynamical systems and Diophantine approximation
解释了与圆映射的旋转数有关的例外集的性质和起源、不变环面存在性的Kolmogorov-Arnol 'd-Moser理论和复同态的线性化。这些例外集的度量性质与丢番图逼近的度量理论中的基本结果密切相关。对应的丢番图逼近在双曲空间和动力学的解释，导致了非常普遍的概念“收缩目标”的概述和最近使用的流在齐性空间的格在证明的贝克-Sprindzuk猜想简要介绍。
Diophantine approximations, Markov and Lagrange spectra and dynamical Cantor sets
本文是一个稍微扩大版本的调查文章的某些方面的低维动力学和数论书面后，一种邀请编辑的通知美国数学学会。
On transfer inequalities in Diophantine approximation, II
我们改进了Khintchine转移原理，该原理将$n$实数的同时有理逼近的度量与这些$n$数的线性独立性的度量联系起来。辛钦不等式被认为是最优的。然而，它们可以通过考虑另外两个均匀指数来锐化。
Rational points near planar curves and Diophantine approximation
本文建立了逼近平面曲线的有理点个数的具有最优误差的渐近公式，统一和推广了Beresnevich-Dickinson-Velani和Vaughan-Velani的结果.此外，我们完成了最初由Beresnevich-Zorin在发散情况下发展的弱非退化平面曲线上的丢番图逼近的勒贝格理论。
Finding simultaneous Diophantine approximations with prescribed quality
我们给出了一个算法，找到一个序列的近似Dirichlet系数的范围内的常数只取决于尺寸。该算法使用LLL算法进行格基约简。我们提出了一个版本的算法，运行在多项式时间的输入。
A note on the quality of simultaneous Diophantine approximations obtained by the LLL algorithm
本文针对LLL算法所得联立丢番图逼近的质量问题，对Bosma和Smeets的相关结果作出了显著改进。
A note on zero-one laws in metrical Diophantine approximation
本文讨论与线性型组有关的度量丢番图逼近的一般性问题。主要结果是一个零一律，它推广了Cassels和Gallagher的一维结果.该文件包含一个讨论可能的概括，包括选择各种开放的问题。
Diophantine approximation and the equation (a^2 c x^k - 1)(b^2 c y^k - 1) = (abc z^k - 1)^2
证明了丢番图方程（a^2 cx ^k - 1）（b^2 cy ^k-1）=（abcz ^k -1）^2在正整数中无解，其中x，y，z > 1，k \geq 7，a^2 x ^k \neq b^2 y ^k.
Inhomogeneous theory of dual Diophantine approximation on manifolds
建立了流形上对偶丢番图逼近的非齐次Groshev型理论。特别是，尼斯流形的概念被引入，并建立了所有这样的流形的理论的发散部分。我们的结果自然地纳入和推广的齐次测度和非退化流形的维数定理建立日期。本文所考虑的非齐性方面的普遍性使我们能够对R^n中的经典理论作出新的贡献。此外，多变量方面考虑内有自然的应用超出了标准的非齐次理论，如丢番图问题有关的近似代数整数。
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