On Diophantine approximations with positive integers: a remark to W.M.Schmidt's theorem
Nikolay G. Moshchevitin
我们证明了W.M.施密特定理与$x_1,x_2$为{ \it正}整数的$α_1x_1+α_2x_2 +y$型线性型的丢番图逼近有关。
We prove a generalization of W.M. Schmidt's theorem related to the Diophantine approximations for a linear form of the type $α_1x_1+α_2x_2 +y$ with {\it positive} integers $x_1,x_2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On certain Littlewood-like and Schmidt-like problems in inhomogeneous Diophantine approximations
本文给出了两个实数的非齐次逼近和差逼近的几个结果。我们的结果与A. Khintchine（1926）和Y. Peres和W. Schlag（2001年）。
On a problem in simultaneous Diophantine approximation: Schmidt's conjecture
对于任何具有$i+j =1$的$i,j \ge 0$，令$\bad(i,j)$表示点$(x,y) \in \R^2$的集合，其中对于所有$ q \in \N $，$ \max \{\|qx\|^{1/i}, \|qy\|^{1/j} \} > c/q $。这里，$c = c(x,y)$是正常数。我们的主要结果意味着，任何有限的交集，这样的集有全维数。这解决了Wolfgang M. Schmidt在同时丢番图逼近理论中的应用。
The mixed Schmidt conjecture in the theory of Diophantine approximation
设$\mathcal{D}=(d_n)_{n=1}^\infty$是一个有界整数序列，其值为$d_n\ge 2$，$(i, j)$是一对严格正数，其值为$i+j=1$ .我们证明了$x \in \RR$的集合存在一些常数$c(x) > 0$，使得\[ \max\{|q|_\DDD^{1/i}, \|qx\|^{1/j}\} > c(x)/ q \qquad \forall q \in \NN \]获胜四分之一（在施密特游戏的意义上）。因此，任何可数个这样的集合的交集都是满维数的。反过来，这建立了施密特猜想的自然类比的框架内的德马桑-Teulié猜想-也被称为'混合Littlewood猜想'。
Schmidt's subspace theorem for moving hypersurface targets
发现Nevanlinna理论与丢番图逼近之间存在形式上的相似性。通过Vojta的字典，Nevanlinna理论中的第二主要定理对应于丢番图逼近中的Schmidt子空间定理。最近，Cherry，Dethloff，and Tan（arXiv：1503.08801v2 [math.CV]）得到了一个关于与射影变量相交的移动超曲面的第二主要定理。本文将给出他们的第二主要定理在丢番图逼近中的对应。
The Banach-Mazur-Schmidt game and the Banach-Mazur-McMullen game
我们介绍了两个新的数学游戏，巴拿赫-马祖尔-施密特游戏和巴拿赫-马祖尔-麦克马伦游戏，合并著名的游戏。我们调查的游戏，以及提供一个应用程序的丢番图逼近理论，分析某些丢番图集的几何结构。
A Hausdorff measure version of the Jarník--Schmidt theorem in Diophantine approximation
我们解决了给出某些可差逼近矩阵集合的豪斯多夫维数的尖锐渐近界的问题，从而改进了Broderick和Kleinbock（预印本2013）以及Weil（预印本2013）的结果，并将Kurzweil（'51）和Hensley（' 92）的结果推广到更高维。此外，我们使用我们的技术来计算的Hausdorff $f$ -措施的一组矩阵，这是不$ψ$ -近似的，给定一个维度函数$f$和一个功能$ψ:(0,\infty)\to (0,\infty)$。这补充了Dickinson和Velani（'97）的早期工作，他们发现了Hausdorff $f$ -可逼近的矩阵集的度量，这些矩阵集是$ψ$ -可逼近的。
Splitting transference inequalities with the help of Wolfgang Schmidt's parametric geometry of numbers
本文是我们上一篇论文arXiv：1105.1554的续篇，在这篇论文中，我们定义了两种类型的中间丢番图指数，将它们连接到Schmidt指数，并将Dyson的转移不等式分解为一系列中间指数的不等式。在这里，我们提出了一些其他的迁移不等式的分裂，涉及正则和一致丢番图指数。
Modified Schmidt games and Diophantine approximation with weights
我们证明了$(α,β)$中的加权差逼近向量集是某些博弈的获胜集，这些博弈是W.施密特在1966年。后一个获胜属性对于可计数的交集是稳定的，并且被证明意味着完整的豪斯多夫维数。
Diophantine approximations with positive integers: some remarks
本文对W. M.关于正整数的丢番图逼近的Schmidt定理和我们最近的一些结果。
Diophantine exponents of lattices
本文定义了格的丢番图指数，并研究了它的一些性质。利用Schmidt子空间定理证明了迁移不等式，并构造了一些例子.
A simple proof of Schmidt-Summerer's inequality
本文给出了W. M. Schmidt和L.夏默勒
Intersective polynomials and Diophantine approximation, II
应用Schmidt格方法，证明了在满足一定局部条件下，单素变量多项式系统模1的同时丢番图逼近的结果.
A note on weighted badly approximable linear forms
本文证明了与Schmidt对策理论有关的扭丢番图逼近的一个结果。特别是，在一定的限制下，我们给一个肯定的答案类似于在此设置的一个著名的猜想施密特从丢番图逼近。
Note on the spectrum of classical and uniform exponents of Diophantine approximation
利用W. M. Schmidt和L. Summerer和D. Roy，我们建立了在$n\geq3$维上的丢番图逼近的$2n$指数的谱是$\mathbb{R}^{2n}$的一个具有非空内部的子集.
Quantitative Diophantine approximation with congruence conditions
在这篇简短的论文中，我们证明了一个定量版本的欣钦-Groshev定理的同余条件。我们的论点依赖于一个经典的论点施密特计数通用格点，这反过来又依赖于一定的方差约束的空间格。
An optimal bound for the ratio between ordinary and uniform exponents of Diophantine approximation
本文给出了任意维上同时丢番图逼近和线性型的丢番图逼近的平凡指数和一致指数之比的一个下界.这个下界由Schmidt和Summerer证明，并且已经在维度$2$和$3$中示出。这个下界是在参数数的几何的背景下提出的规则系统中达到的，因此是最优的。
Diophantine approximation in angular domains
令$α$和$β$为实数，使得$1$、$α$和$β$在$\mathbb{Q}$上线性无关。Dirichlet的一个经典结果断言有无穷多个整数$(x_0,x_1,x_2)$的三元组使得$|x_0+αx_1+βx_2| < \max\{|x_1|,|x_2|\}^{-2}$。1976年，W. M. Schmidt问在$x_1$和PDMATHAMT为正的限制下可以说什么。在表示由$γ\cong 1.618$的黄金比例，他证明，有三重$(x_0,x_1,x_2) \in \mathbb{Z}^3$与$x_1,x_2>0$的产品$|x_0 + αx_1 + βx_2| \max\{|x_1|,|x_2|\}^γ$是任意小。虽然施密特后来承认$γ$可以用任何小于$2$的数来代替，但N。Moshchevitin最近证明了它不能被一个大于$1.947$的数所取代。在本文中，我们提出了一个结构，表明施密特的结果实际上是最优的。
Remarks on Diophantine approximation in function fields
研究了正特征局部域上度量丢番图逼近中的若干问题。
Construction of subspaces with known Diophantine exponents for the last angle
本文利用数的几何方法，构造了 $\R^n$ 中能够计算最后一个角度关联丢番图指数的线性子空间，推广了实数的无理性测度。
Badziahin-Pollington-Velani's theorem and Schmidt's game
我们证明了，对于任何$s,t\ge0$与$s+t=1$和任何$θ\in\mathbb{R}$与$\inf_{q\in\mathbb{N}}q^{\frac{1}{s}}\|qθ\|>0$，$(θ,y)$是$(s,t)$的一组$y\in\mathbb{R}$-严重逼近是1/2-赢得施密特的游戏。因此，我们删除了Badziahin-Pollington-Velani关于同时丢番图逼近的最近定理中的一个技术假设。
Some remarks on diophantine equations and diophantine approximation
我们首先回忆一下这种联系，回到A。因此，代数数的有理逼近与某些丢番图方程的整数解之间存在着联系。其次，我们回顾几个有限性结果之间的等价性各种丢番图方程。我们也给出了许多等价的声明马勒的推广的基本定理的图厄。特别是，我们表明，度$3$的Thue-马勒定理意味着定理的Thue-马勒任意度$\ge3$，我们与西格尔定理的合理的积分点的投影线$¶^1(K)$减去$3$点。最后，我们将我们的研究扩展到高维空间与施密特的子空间定理。
Ergodic Theory and Diophantine approximation for translation surfaces and linear forms
我们仅利用Birkhoff遍历定理，应用于平移曲面的模空间上的测地流，得到了平移曲面上鞍形连接的方向分布的结果.我们的技巧，连同一个逼近论证，也给出了W.施密特\cite{SchmidtMetrical, SchmidtMetrical2}。近似论证允许我们从几乎所有格在整个空间中的Birkhoff一般性推导出几乎所有格在幺模格空间的某个子流形中的Birkhoff一般性，同样对于仿射幺模格空间也是如此。
Independence of the Diophantine exponents associated with linear subspaces
本文研究Schmidt提出的丢番图逼近推广问题，证明线性子空间丢番图指数相关函数间无光滑关系，并构造可计算指数的子空间。
On Schmidt and Summerer parametric geometry of numbers
最近，W. M. Schmidt和L. Summerer介绍了一种新的理论，使他们能够恢复主要的已知不等式有关的通常指数丢番图逼近的一个点在$\mathbb{R}^n$，并发现新的。他们首先指出，这些指数可以计算的连续最小值的参数家庭的凸体连接到给定的点。然后，他们证明，这些连续的最小值的$n$元组可以反过来近似有界差的功能，从一定的类。在本文中，我们表明，同样是真实的一个更小，更简单的一类功能，我们称之为刚性系统。我们还表明，相反，给定一个刚性系统，存在一个点在$\mathbb{R}^n$，其相关的家庭的凸体有连续的最小值，近似刚性系统的有界差。因此，描述一族丢番图逼近指数的联合谱的问题被简化为组合分析。
Uniform Diophantine approximation and best approximation polynomials
设$ζ$为实超越数。本文介绍了一种新的方法来寻找关于一致多项式逼近的经典指数$\widehat{w}_{n}(ζ)$的上界。我们的方法是基于Schmidt和Summerer提出的数的几何，并转移原来的逼近问题的尺寸$n$适当的高维。对于大的$n$，我们可以提供一个$\widehat{w}_{n}(ζ)\leq 2n-2+o(1)$阶的无条件界。虽然这提高了界的顺序$2n-\frac{3}{2}+o(1)$由于Bugeaud和作者，不幸的是，它是稍微弱于什么可以得到时，将最近证明的猜想施密特和Summerer。然而，该方法也使我们能够建立显着更强的条件约束上的最佳逼近多项式的结构上的某个可能是弱的假设。因此，我们提供了严重的证据，指数应合理地小于已知的上限。
Diophantine triples with values in $k$-generalized Fibonacci sequences
证明了若$k\ge 2$是整数，$(F_n^{(k)})_{n\ge 0}$是$k$ -广义斐波那契数，则只有1000个正整数三元组$1<a<b<c$使得$ab+1,~ac+1,~bc+1$都是$\{F_n^{(k)}: n\ge 1\}$的成员.这推广了以前的一个结果（参见。arXiv：1508.07760），其中证明了$k=3$的声明。这个结果是无效的，因为它是基于Schmidt的子空间定理。
Yet another $S$-unit variant of Diophantine tuples
证明满足任意两数之积为给定多项式在正整数$S$-单位处取值的整数三元组仅有有限个，基于Corvaja和Zannier的结果及Schmidt子空间定理。
Report on some recent advances in Diophantine approximation
丢番图逼近的一个基本问题是对单个实数的有理逼近的研究，这是本文讨论的第一个问题。其次，我们考虑代数或多项式逼近到一个单一的复数，以及同时逼近的权力，一个实数的有理数与相同的分母。最后，我们研究概括这些问题，以更高的维度。B. Adamczewski，Y. Bugeaud，S. Fischler，M. Laurent，T. Rivoal，D.罗伊和W.M.施密特，还有其他人。我们回顾其中的一些作品。
Going-up theorems for simultaneous Diophantine approximation
本文建立了几个新的不等式，它们把丢番图逼近的经典指数与实向量$\underlineξ=(ξ,ξ^{2},\ldots,ξ^{N})$联系起来，在不同的维数$N$中.因此，我们得到的变种，部分改进，最近的结果Badziahin和Bugeaud。我们进一步隐式恢复Bugeaud和Laurent的特殊情况下，新的证明不等式。类似的估计一般的实向量（不是在Veronese曲线）与$\mathbb{Q}$ -线性无关坐标也解决了。我们的方法是基于闵可夫斯基的第二凸体定理，应用在施密特和Summerer介绍的参数数的几何的框架。我们也经常使用Mahler关于极凸体的对偶结果。
Some notes on the regular graph defined by Schmidt and Summerer and uniform approximation
在研究参数数的几何W。Schmidt和L. Summerer介绍了所谓的正则图。粗略地说，如果向量$\underlineζ$诱导一个正则图，则经典的同时丢番图逼近问题的连续极小函数具有一个非常特殊的模式。正则图是特别感兴趣的，由于一个猜想施密特和夏季关于经典的近似常数。本文对正则图的连续极小函数的性质给出了一些新的结果。此外，我们提高了最好的已知的上界的经典近似常数$\hat{w}_{n}(ζ)$，有效的所有超越$ζ$，提供了施密特-Summerer猜想是真的。
A quantitative Khintchine-Groshev theorem for S-arithmetic Diophantine approximation
在他1960年的论文中，施密特研究了一般（更高）维度的定量类型的欣钦-格罗谢夫定理。最近，该定理的一个新的证明被发现，这使得放松维数约束和更一般地，由M增加的合同条件成为可能。Alam，A. Ghosh和S. Yu.在本文中，我们将这种新的方法推广到S-算术空间，并获得了一个定量的版本的S-算术Khintchine-Groshev定理。事实上，我们考虑了一个新的S-算术模拟的丢番图逼近，这是不同于以前建立的（见2007年的论文D。Kleinbock和G. Tomanov）。因此，为了完整性，我们也处理的收敛情况下的欣钦-Groshev定理，基于这个新的推广。
Diophantine approximation in prescribed degree
本文研究了用代数数和指定次数的代数整数逼近给定实数的问题。我们处理最好的和一致逼近，并突出的相似性和差异相比，深入研究的问题，逼近的代数数（和整数）的有界程度。我们建立了一个问题的答案Bugeaud关于近似超越实数的二次无理数，从而我们完善了达文波特和施密特从1967年的结果。我们还得到了Liouville数的几个新的刻画，以及对非齐次丢番图逼近的一些新的认识.作为一个辅助的边的结果，我们提供了一个上界的数量的某些线性组合的两个给定的互素整数多项式的线性因子。最后，我们提出几个悬而未决的问题。
Diophantine approximation and the subspace theorem
本文阐述丢番图逼近中罗斯定理及施密特子空间定理的改进，重点在证明，为有代数数论背景读者提供精简参考，将罗斯定理成果扩展到高维，对丢番图方程和超越理论意义重大。
Multiparametric geometry of numbers and its application to splitting transference theorems
在本文中，我们考虑一个多参数版本的沃尔夫冈施密特和伦纳德Summerer的参数数的几何。我们应用这种方法在两个设置：第一个涉及加权丢番图逼近，第二个涉及丢番图指数的格。在这两种情况下，我们使用多参数的方法来定义中间指数。然后，我们分裂的加权版本的戴森的迁移定理和类似的欣钦的迁移定理丢番图指数的格成链的中间指数之间的不等式，我们定义的基础上提供的直观参数的方法。
Mumford's Degree of Contact and Diophantine Approximations
施密特子空间定理证明了在射影空间中某些特殊的丢番图逼近系统的解在有限个真线性子空间上聚集。给定射影空间$P^n$的一个子簇$X$，是否存在一个$P^n$上的丢番图逼近系统，其解在$P^n$中是Zebriki稠密的，但位于$X$的许多真子簇中？人们可以利用G. Faltings和G.维斯托茨它们的构造需要假设某些期望值的和必须很大。该和结果与在品种$X$上的加权的部分标志的接触程度成比例。该不变测度了在适当的约化代数群的作用下$X$的Chow（或Hilbert）点的半稳定性。因此，Faltings-Wüstholz定理中的下界可以翻译成GIT语言。这意味着为了证明$X$上的丢番图逼近系统不受Schmidt子空间定理的控制，我们必须对某些大的$s>0$检查$X^s$的Chow不稳定性。
Diophantine approximation with constraints
继施密特，Thurnheer和Bugeaud-Kristensen，我们研究如何Dirichlet定理的线性型需要修改时，一个要求的线性型的系数的向量，使一个有界的锐角相对于一个固定的适当的非零子空间$V$的$\mathbb{R}^n$。假设我们所逼近的$\mathbb{R}^n$的点在$\mathbb{Q}$上具有线性无关的坐标，我们得到了最好的逼近指数，它令人惊讶地只依赖于$V$的维数。我们的估计是由减少Thurnheer的结果，而他们的最优性如下从一个新的一般建设参数数的几何涉及角度的限制。
Simultaneous Diophantine approximation on affine subspaces and Dirichlet improvability
证明了欧几里得空间中至少2维的仿射坐标子空间是Khintchine型发散子空间。对于一维仿射坐标子空间，我们证明了一个依赖于子空间的基点的对偶丢番图型的结果。这些结果为猜想欧几里得空间的仿射子空间都是Khintchine型发散子空间提供了证据。我们还证明了部分类似的Hausdorff测度论。此外，我们还得到了有关加权丢番图逼近和Dirichlet可改进性的各种结果。特别是，我们证明了加权严重逼近向量加权狄利克雷改进，从而推广了达文波特和施密特的结果。我们还提供了非奇异性和扭曲非齐次近似之间的关系。这将Shapira的一个结果推广到加权情形。
Density of rational points on manifolds and Diophantine approximation on hypersurfaces
在这篇文章中，我们建立了一个类似的维数增长猜想，这是关于$\mathbb{R}^n$的紧致子流形的射影簇上的有理点的密度，具有非零曲率。我们还建立了一般超曲面上同时$ψ$ -可逼近点集的收敛理论，从而解决了一般超曲面同时设置下的广义Baker-Schmidt问题.这些结果得到的最佳上界的密度的有理点附近的形式$\{ (\mathbf{x}, f(\mathbf{x})) \in \mathbb{R}^{d+1}: \mathbf{x} \in B_ν(\mathbf{x}_0) \}$的流形的$f$在$\mathbf{x}_0$和$ν> 0$足够小的非零黑塞矩阵的最佳上限的后果。
Exponents of diophantine approximation in dimension $2$ for numbers of Sturmian type
我们推广罗伊的Fibonacci型数的建设的情况下，Sturmian复发，我们确定的经典指数的近似$ω_2(ξ)$，$\widehatω_2(ξ)$，$λ_2(ξ)$，$\widehatλ_2(ξ)$与这些实数。这也推广了Bugeaud和Laurent在Sturmian连分数情形下建立的类似结果。更一般地说，我们提供了一个几乎完整的描述的组合图的参数连续极小函数定义的施密特和Summerer在二维等Sturmian型号码。作为一个侧面的结果，我们获得新的信息，联合频谱的上述指数，以及一个新的家庭的号码，它是可能的，以构建序列的最佳有理逼近。
Schmidt's theorem, Hausdorff measures and Slicing
W. M.建立了度量数论中的Schmidt非齐次线性型定理。关键的成分是一个“切片”技术的标准结果在几何测度论的动机。简而言之，“切片”与质量转移原理[3]一起允许我们将与线性型相关的limsup集的勒贝格测度理论陈述转移到Hausdorff测度理论陈述。这扩展了文献[3]中提出的同时近似方法。此外，我们建立了一个新的质量传递原理，它结合了两种形式的近似。作为应用，我们得到了一个完整的度量理论的“完全”非线性丢番图问题内的线性型设置。[3]V. Beresnevich和S. Velani：质量转移原理和Hausdorff测度的Duffin-Schaeffer猜想，预印本（22页）：arkiv：数学。NT/0401118。出现：数学年鉴。
About Jarník's-type relation in higher dimension
利用W. M. Schmidt和L. Summerer和D. Roy，我们证明了German的一致丢番图逼近的两个最经典指数之间的转移不等式是最优的.进一步证明了在$n$维上丢番图逼近的$n$一致指数的谱是$\mathbb{R}^n$的一个具有非空内部的子集.因此，他们之间没有贾尼克式的关系。
Remark on fundamental groups and effective Diophantine methods for hyperbolic curves
我们讨论了如何非交换的基本群最终可能有助于算法找到双曲曲线上的有理点。
Sums of reciprocals of fractional parts and multiplicative Diophantine approximation
本文有两个相互关联的主要目标。首先我们研究和\[ S_N(α,γ):=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n\|nα-γ\|}~~~\text{and}~~~ R_N(α,γ):=\sum_{n=1}^N\frac{1}{\|nα-γ\|}\,, \]其中$α$和$γ$是实参数，$\|\cdot\|$是到最近整数的距离。我们的定理改进了W. M. Schmidt和其他人，并且是（直到常数）最好的可能。与上述总和有关，我们还得到了\[ \{1\le n\le N:\|nα-γ\|<\varepsilon\} \, , \]的基数的上界和下界，对所有足够大的$N$和所有足够小的$\varepsilon$都有效。这第一股的工作是出于应用乘法丢番图逼近，这也被认为是。特别地，我们在$\mathbb{R}^2$中得到了纤维上乘法同时丢番图逼近的完全Khintchine型结果。分歧的结果是第一次，它代表了一种尝试，发展的概念，普遍性的乘法设置。
On the topology of Diophantine approximation Spectra
固定一个整数$n\ge 2$。对于$\mathbb{R}^n$中的每个非零点$\mathbf{u}$，人们附加了几个称为丢番图逼近指数的数字。然而，正如欣钦首先观察到的那样，这些数字并不是相互独立的。这就产生了一个问题，即通过改变点$\mathbf{u}$来描述一个给定指数族所能取的所有可能值的集合。为了避免琐碎，限制为点$\mathbf{u}$，其坐标在$\mathbb{Q}$上线性无关。所得的值集称为这些指数的谱。我们证明，在适当的设置，任何这样的谱是一个紧凑的连通集。在$n=3$的情形下，我们进一步证明了它是一个半代数集，在分量最小下是闭的.对于$n=3$，我们也得到了一个家庭的六个指数最近推出的施密特和Summerer的频谱的描述。
Some remarks on Mahler's classification in higher dimension
本文证明了关于超越数分类的余多维变体的丢番图逼近的度量和非度量理论的若干结果。我们的结果出现的应用程序的知名结果丢番图逼近的设置余的分类。
Topology of Diophantine Sets: Remarks on Mazur's Conjectures
我们证明了Mazur关于簇上有理点的实拓扑的猜想意味着在有理数中不存在有理数的丢番图模型。证明了有限域上多项式环的丢番图模型存在于该有限域上的有理函数环中。这两个证明都依赖于Matijasevich定理。
Diophantine approximation by conjugate algebraic integers
在Davenport和Schmidt工作的基础上，我们主要证明了两个结果。第一个是一个版本的Gel'fond的超越准则，它提供了一个充分条件，复杂的或$p$ -进数$ξ$是代数方面的存在的多项式的有界程度采取小的值在$ξ$连同他们的大多数衍生物。第二个，这是从这个标准的一个参数的对偶性，是一个结果的同时逼近共轭代数整数为一个固定的数字$ξ$是超越或代数足够大的程度。我们还提出了几个结构，这些结果基本上是最优的。
Remark on a Paper by Izadi and Baghalaghdam about Cubes and Fifth Powers Sums
本文改进了Izadi和Baghalaghdam提出的求解丢番图方程$X_1^5+X_2^5+X_3^5=Y_1^3+Y_2^3+Y_3^3$整数解的方法。证明了丢番图方程有无穷多个正解。
Two estimates concerning classical Diophantine approximation constants
在本文中，我们的目的是证明两个不等式涉及经典的逼近常数$w_{n}^{\prime}(ζ),\hat{w}_{n}^{\prime}(ζ)$，源于同时逼近问题$|ζ^{j}x-y_{j}|$，$1\leq j\leq n$，在一边和常数$w_{n}^{\ast}(ζ),\hat{w}_{n}^{\ast}(ζ)$连接到近似代数次数$\leq n$在另一边。具体证明了$w_{n}^{\ast}(ζ)\hat{w}_{n}^{\prime}(ζ)\geq 1$和$\hat{w}_{n}^{\ast}(ζ)w_{n}^{\prime}(ζ)\geq 1$ .第一个结果是由于W.施密特，然而，我们的方法证明它允许导出其他不等式作为一个双重结果。最后，我们将讨论的估计$w_{n}^{\ast}(ζ), \hat{w}_{n}^{\ast}(ζ)$一致在$ζ$只依赖于$n$作为一个应用。
On uniform approximation to real numbers
设$n \ge 2$为整数，$ξ$为超越实数。本文建立了丢番图逼近$w_n, w_{n}^{\ast}, \hat{w}_{n}$和$\hat{w}_{n}^{\ast}$的指数在$ξ$处的值之间的几个新的关系。将我们的结果与Schmidt和Summerer最近的估计相结合，使我们能够改进Davenport和Schmidt在1969年证明的不等式$\hat{w}_{n}(ξ) \le 2n-1$。
A note on three problems in metric Diophantine approximation
Hausdorff测度和维数在丢番图逼近理论中的应用可以追溯到20世纪20年代的Jarnik和Besicovitch关于好逼近点和坏逼近点的定理。在本文中，我们考虑三个非齐次问题，进一步发展这些经典的结果。首先，我们得到了平面上乘法可逼近点集的一个Jarnik型定理。这豪斯多夫措施声明并没有减少加拉格尔的勒贝格测度声明，因为人们可能会期望，是新的，即使在同质设置。其次，我们建立了一个Jarnik型定理的乘法逼近点集的非退化平面曲线。这就完成了平面曲线的豪斯多夫理论。最后证明了平面上同时非齐次（i，j）-差逼近点集是满维的。这个证明背后的基本哲学还有其他的应用，例如建立施密特猜想的非齐次版本。平面结果的高维类似物也进行了讨论。
The complex case of Schmidt's going-down Theorem
在1967年，施密特写了一篇开创性的论文[10]关于定义在数域K上的R n或C n的子空间的高度，以及丢番图逼近问题。下降定理-一个主要定理，他证明了他的论文-仍然有效的两种情况下，这取决于是否嵌入K在复杂的领域C是一个真正的或复杂的非真正的嵌入。对于后者，更一般地说，一旦K不是全实的，在证明的某个点上，[10]中的论证并不完全像所宣布的那样起作用。在这篇笔记中，施密特的想法制定的细节和他的证明复杂的情况下，解决了上述问题。根据Laurent [5]、Bugeaud和Laurent [1]以及Roy [7]、[8]的方法，用多重线性代数和楔积重新表述了Schmidt的一些定义.在[5]中，Laurent在K = Q的情况下引入了一族指数，并给出了一系列与之相关的不等式。在第5节中，这些指数被定义为任意数域K。利用上升定理和下降定理，将Laurent不等式推广到这种情形。
Equidistribution on homogeneous spaces and the distribution of approximates in Diophantine approximation
本文研究齐性空间上某些流的等分布结果及丢番图逼近中的有关问题。首先，我们回答肯定的，一个问题提出的Kleinbock，施和Weiss关于均匀分布的轨道的任意格下对角流和无界函数。然后，我们考虑的问题，丢番图逼近关于有理数在一个固定的数域。我们证明了W. M.Schmidt，计算了某类逼近函数的丢番图不等式的逼近数。进一步证明了数域中丢番图不等式近似分布的螺旋形结果。这概括了Athreya，Ghosh和Tseng以及Kleinbock，Shi和Weiss的工作。
A subspace theorem for manifolds
我们证明了一个定理，推广施密特的子空间定理的上下文中的度量丢番图逼近。要做到这一点，我们重新制定的齐次动力学的框架下的子空间定理，通过引入和研究的斜率形式主义和相应的概念，对角流的半稳定性。
A zero-one law for uniform Diophantine approximation in Euclidean norm
本文研究了Davenport和Schmidt关于Dirichlet定理改进的一个范数敏感的丢番图逼近问题。它的上确界范数的情况下，最近被认为是由第一命名的作者和Wadleigh，在这里，我们扩展了设置替换上确界范数与任意的规范。这就产生了一类收缩目标问题的单参数对角流的空间上的格，与目标的临界轨迹的适当缩放的规范球的邻域。我们使用的方法从数的几何和动力学推广的结果由于Andersen和Duke的措施零和不可数的数字集的Minkowski逼近定理可以改进。在$\mathbb{R}^2$上欧氏范数的选择对应于在双曲曲面上研究访问一个递减球族的测地线。应用Maucourant的一个动力学Borel-Cantelli引理，给出了狄利克雷定理在欧氏范数下的一个改进的零一律.
Approximation rationnelle de sous-espaces vectoriels
这篇博士论文的目标是研究施密特在1967年提出的一个丢番图逼近问题。该问题的目的是研究由有理子空间逼近$\mathbb{R}^n$的子空间，不一定是相同的维数，通过确定与子空间之间的各种角度的近似指数。
Intrinsic Diophantine approximation in Carnot groups and in the Siegel model of the Heisenberg group
本文首先研究了有理Carnot群$G$上的丢番图逼近的一个内在概念。如果$G$有豪斯多夫维数$Q$，我们证明了它的丢番图指数等于$(Q+1)/Q$，推广了$G=\mathbb R^n$的情况。我们还得到了关于有理逼近计数的一个精确渐近式。然后，我们专注于海森堡群$\mathbb H^n$的情况下，区分两个概念的丢番图逼近的合理点在$\mathbb H^n$：卡诺丢番图逼近和西格尔丢番图逼近。在计算Siegel丢番图指数（令人惊讶的是，对于所有$\mathbb H^n$都等于1）之后，我们考虑Siegel-差逼近点，以表明Siegel逼近与海森堡连分数和复双曲空间中的测地线都有联系.我们的结论表明，卡诺和西格尔近似是定性不同：西格尔的严重逼近点是施密特赢得任何完整的Ahlfors正则子集的$\mathbb H^n$，而集卡诺严重逼近点不具有这种性质。
Extrinsic Diophantine approximation on manifolds and fractals
固定$d\in\mathbb N$，让$S\subseteq\mathbb R^d$是一个实解析流形或迭代函数系统的极限集（例如，$S$可以是康托集或冯科赫雪花）。点$\mathbf x\in S$的$extrinsic$丢番图逼近是靠近$\mathbf x$的有理点$\mathbf p/q$，它是$S$的$outside$。这些近似值对应于K提出的一个问题。马勒（'84）关于康托集。我们的主要结果是狄利克雷定理的一个外在模拟。具体地说，我们证明了，如果$S$不包含一个线段，那么对于每个$\mathbf x\in S\setminus\mathbb Q^d$，存在$C > 0$，使得无限多个向量$\mathbf p/q\in \mathbb Q^d\setminus S$满足$\|\mathbf x - \mathbf p/q\| < C/q^{(d + 1)/d}$。由于这个公式同意狄利克雷定理在$\mathbb R^d$的乘法常数，一个结论是有理逼近点的集合在$S$之外的$S$是大的。此外，我们推导出外在的类似物的Jarník-Schmidt和Khinchin定理从已知的结果。
Effective Results in The Metric Theory of Quantitative Diophantine Approximation
本文将丢番图逼近度量理论中依赖隐式常数的渐近定量化为有效结果，在测度至多 δ 的例外集外显式控制常数，并推出 Schmidt 定理、Koukoulopoulos–Maynard 定理及正规数等结果。
A variational principle in the parametric geometry of numbers, with applications to metric Diophantine approximation
通过证明一个变分原理，建立了度量丢番图逼近和数的几何之间的新联系，该变分原理便于计算丢番图逼近中许多感兴趣的集合的Hausdorff维数和packing维数.特别地，我们证明了奇异$m\times n$矩阵集合的Hausdorff维数和packing维数都等于$mn \big(1-\frac1{m+n}\big)$，从而证明了Kadyrov，Kleinbock，Lindenstrauss和Margulis的猜想（预印本2014），并回答了Bugeaud，Cheung和Chevallier的问题（预印本2016）。我们引入了$template$的概念，它将$rigid$ $system$（Roy，2015）的概念推广到矩阵近似的设置。我们的主要定理采用以下形式：对于任何一类在有限扰动下闭的模板$\mathcal F$，其连续极小函数是$\mathcal F$（直到有限扰动）成员的矩阵集的Hausdorff维数和packing维数可以写为模板空间上某些自然函数在$\mathcal F$上的上确界.除了暗示KKLM猜想，这个定理还有许多其他的应用，包括计算见证Starkov（2000）猜想的点集的Hausdorff维数和packing维数，以及见证Schmidt（1983）猜想的点集的Hausdorff维数和packing维数。
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