发表机构
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
该研究否定解决了 Mahler 关于存在将 Liouville 数映射到 Liouville 数的超越整函数的问题，证明实解析函数若具此性质必为有理函数，并通过双高度计数估计给出定量局部结果。
AI 中文摘要
Maillet 的一个经典定理指出，每个具有有理系数的非常数有理函数都将 Liouville 数映射为 Liouville 数。1984 年，Mahler 提出是否存在具有相同性质的超越整函数的问题。我们以否定方式解决了这个问题。更一般地，我们证明，在区间上具有此性质的每个实解析函数都是 $\mathbb{R}(x)$ 中有理函数的限制。底层局部结果是定量且一致的：存在一个绝对常数，使得对于每个非有理实解析函数 $f$，其定义域的每个非空开子区间都包含一个 Liouville 数，该数在 $f$ 下的像的不可理性指数受该常数限制。主要成分是对非有理解析图的有理逼近的双高度计数估计，其中源和目标分母被独立处理。其证明结合了自适应行列式论证与一致的 Wronskian 子水平估计和 Farey 分离；随后一个嵌套区间构造产生局部定量结果。
英文摘要
Let $\mathscr L$ denote the set of Liouville numbers. We prove a local arithmetic rigidity theorem for real-analytic functions. If $U\subset\mathbb R$ is an open interval and $f:U\to\mathbb R$ is real-analytic with $f(\mathscr L\cap U)\subseteq\mathscr L$, then $f$ is the restriction to $U$ of a rational function in $\mathbb R(x)$. Quantitatively, there exists an absolute constant $τ>2$ such that, for every nonrational real-analytic function $f$ and every nonempty open subinterval $V\subset U$, the set of $ξ\in V\cap\mathscr L$ satisfying $μ(f(ξ))\leqτ$ contains a Cantor set. As a consequence, every entire function $F:\mathbb C\to\mathbb C$ satisfying $F(\mathscr L)\subseteq \mathscr L$ is a polynomial with real coefficients. This gives a negative answer to a problem posed by Mahler in 1984. The proof develops a two-height counting estimate for rational approximation to analytic graphs, treating source and target denominators separately, and combines it with a nested construction producing Liouville inputs whose images have uniformly bounded irrationality exponent.
Comments41 pages. Includes a Lean 4 formalization
