Rational curves on smooth hypersurfaces of low degree
利用解析数论的工具研究了任意低次光滑超曲面上的有理曲线族。
2017-06-03 math.AG math.NT
Rational points on cubic hypersurfaces over $\mathbb{F}_q(t)$
对特征大于3的任意有限域k，建立了函数域k（t）上非奇异三次超曲面X的Hasse原理和弱逼近，条件是X的维数至少为6.
2015-04-03 math.NT
Rational approximation on cubic hypersurfaces
针对数域上存在k-有理直线的光滑三次超曲面，研究其有理点的逼近常数计算问题，完成了对应常数的推导并验证了Coba猜想，为相关代数几何与数论研究提供了支撑。
2023-10-02 math.AG math.NT
Rational curves on cubic hypersurfaces over finite fields
给定特征大于3的有限域上的光滑三次超曲面$X$和$X$上的两个泛点，利用Hardy-Littlewood圆方法的函数域模拟，得到了$X$上通过这两个点的次数$d$有理曲线个数的渐近公式.我们用它来推导的尺寸和不可约的模空间参数化的曲线，足够大的$d$。
2018-04-16 math.NT
Rational points on quartic hypersurfaces
设X是定义在有理数上的4次非奇异射影超曲面。假设X的维数为39或更大，并且X包含一个实点和对每个素数p的p-adic点，则X包含无穷多个有理点。
2008-01-08 math.AG math.NT
Rational lines on cubic hypersurfaces
证明了有理数上维数至少为$29$的光滑射影三次超曲面包含一条有理线。我们的方法的一个变化提供了一个类似的结果在p-adic领域。在这两种情况下，由于第二作者和Wooley，我们改进了以前的结果。我们包括一个附录中，我们强调了一些轻微的修改，最近的结果Papanikolopoulos和Siksek。由此可见，维数至少为29的光滑射影三次超曲面上的有理点集是由单点通过割线和切线构造生成的。
2020-04-05 math.NT
Rational lines on cubic hypersurfaces II
Chalmers Institute of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）；Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）；University of Kentucky（肯塔基大学）
本文研究了三次超曲面上的有理直线问题，通过引入二次型线性空间和虚二次数域上的三次型结果，将三次超曲面的有理直线存在下界从33降低至29。
2025-11-21 math.NT
Rational curves on smooth cubic hypersurfaces over finite fields
设k是特征超过3的有限域。本文证明了k上任意维数至少为11的光滑三次超曲面上的固定次数的有理曲线空间是不可约的，且具有期望维数。
2016-11-03 math.AG math.NT
Counting rational points on cubic hypersurfaces
设X是定义在有理数上的几何整的射影三次超曲面，维数为D，奇异轨迹维数至多为D-4。对任意ε>0，我们证明了X包含O（B^{D+ε}）个高度至多为B的有理点.这个估计中隐含的常数取决于ε的选择和定义X的三次型的系数。
2008-04-16 math.AG math.NT
Rational surfaces on low degree hypersurfaces
该研究借助函数域解析数论，明确了从射影平面到足够低次光滑超曲面的固定次态射模空间的不可约性与维数。
2025-08-26 math.AG math.NT
The density of rational points on non-singular hypersurfaces, II
本文建立了一个猜想：对于任意的$ε>0$，一个不等于线性空间的维数为$r$的非奇异射影超曲面包含高度至多为$B$的$O(B^{r+ε})$有理点.这个估计中的隐含常数最多取决于$ε, r$和超曲面的次数。
2005-11-21 math.AG math.NT
Rational points on certain quintic hypersurfaces
设$f(x)=x^5+ax^3+bx^2+cx \in \Z[x]$，考虑由方程\cal{V}_{f}：f（p）+f（q）=f（r）+f（s）给出的五次超曲面。在$b\neq 0$假设下，证明了存在包含在$\cal{V}_{f}$中的$\Q$ -单有理椭圆曲面.如果$b=0, a<0$和$-a\not\equiv 2,18,34 \pmod {48}$，则存在包含在$\cal{V}_{f}$中的$\Q$ -有理曲面.证明了对于每个五次$f$，存在包含在$\cal{V}_{f}$中的$\Q(i)$ -有理曲面.
2008-10-01 math.NT
On the density of rational lines on diagonal cubic hypersurfaces, II
West Chester University（韦斯特切斯特大学）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）
本文通过改进小弧均值估计并利用两个维度上的变量平移技巧，建立了18个或更多变量对角三次超曲面上有理线数量的预期渐近公式。
2026-09-17 math.NT
Looking for rational curves on cubic hypersurfaces
这些都是大大扩大笔记讲座的JK在暑期学校“高维几何有限域“在哥廷根，2007年6月。第一部分概述了这些方法。主要的新结果是有限域上光滑三次超曲面上通过给定点集的有理曲线的构造。
2007-10-29 math.AG math.NT
Distribution of rational points on random Fano hypersurfaces
本文证明了随机 Fano 超曲面上有理点平均数量的渐近公式，以及容许 adelic 点的超曲面数量的渐近公式。
2023-10-20 math.AG math.NT
Rational points on cubic hypersurfaces that split off two forms
我们证明了，如果$X\subseteq \mathbb{P}^{n-1}$，定义在$\mathbb{Q}$的三次型，分裂出两个形式，与$n\geq 11$，那么$X(\mathbb{Q})$是非空的。这同样适用于具有$m_1\geq 4$和$m_2\geq 5$的$(m_1,m_2)$ -形式。
2013-01-09 math.NT
Rational points on cubic hypersurfaces that split off a form
设X是定义在有理数上的11维或更高维的射影三次超曲面。本文证明了X包含有理点，条件是定义X的三次型可以写成两个无公共变量的三次型之和。--本文的特点是附录“Groupe de Brauer non ramifié des hypersurfaces cubiques singulières（d 'après P. Salberger）"，由J. L.科里奥-泰涅
2008-08-01 math.AG math.NT
Density of rational points on manifolds and Diophantine approximation on hypersurfaces
在这篇文章中，我们建立了一个类似的维数增长猜想，这是关于$\mathbb{R}^n$的紧致子流形的射影簇上的有理点的密度，具有非零曲率。我们还建立了一般超曲面上同时$ψ$ -可逼近点集的收敛理论，从而解决了一般超曲面同时设置下的广义Baker-Schmidt问题.这些结果得到的最佳上界的密度的有理点附近的形式$\{ (\mathbf{x}, f(\mathbf{x})) \in \mathbb{R}^{d+1}: \mathbf{x} \in B_ν(\mathbf{x}_0) \}$的流形的$f$在$\mathbf{x}_0$和$ν> 0$足够小的非零黑塞矩阵的最佳上限的后果。
2022-04-18 math.NT
The density of rational lines on hypersurfaces: A bihomogeneous perspective
令$F$是$n$变量的$d$次非奇异齐次多项式。本文给出了$(\mathbf x, \mathbf y)$与$|\mathbf x| \le X$和$|\mathbf y| \le Y$构成的整数点对的渐近公式，这些点对生成一条位于由$F$定义的超曲面中的直线，条件是$n > 2^{d-1}d^4(d+1)(d+2)$ .特别地，通过限制到Zakowski开子集，我们能够避免对$X$和$Y$的相对大小施加任何条件。
2020-08-20 math.NT
Counting rational points on smooth hypersurfaces with high degree
本文研究有理数域上光滑高次超曲面的有界高度有理点计数，给出新上界，并在维数与次数条件下改进维数增长猜想界，同时推广到射影闭包光滑的仿射情形。
2025-07-24 math.NT
On the computation of rational points of a hypersurface over a finite field
设计并分析了一种基于“垂直条”搜索的有限域上超曲面的有理点的算法，即在给定方向上的平行线上搜索。我们的研究结果表明，平均而言，小于两个搜索就足以获得一个有理点。我们还分析了输出的概率分布，使用香农熵的概念，并证明该算法是有点接近任何“理想”的均匀分布的算法。
2016-11-18 math.NT math.PR
The density of rational points near hypersurfaces
我们建立了一个清晰的渐近公式的有理点的数量，直到一个给定的高度和一个给定的距离内的超曲面。我们的主要创新是一个自助方法，依赖于泊松求和，投影对偶和固定相位的稳定相位法的合成。这有令人惊讶的应用计数有理点躺在流形上，事实上，我们能够证明一个类似的塞尔的尺寸增长猜想（最初规定的投影品种）在这个一般的设置。作为我们主要计数结果的另一个结果，我们得到了超曲面上同时逼近的最优Jarník型定理。
2020-07-11 math.CA math.NT
Free rational curves on low degree hypersurfaces and the circle method
本文利用 Hardy–Littlewood 圆法的函数域版本分析低次数光滑射影超曲面上的自由有理曲线，从而界定有理曲线模空间奇异轨迹维数，并解释 Peyre 对 Batyrev–Manin 猜想的斜率化表述。
2022-04-23 math.AG math.NT
Lattice points in thickened parabolas and rational points near hypersurfaces
研究厚化抛物线中有理点的分布，利用动力学方法和Ratner定理，改进了超曲面附近有理点逼近的下界结果。
2025-11-28 math.DS math.NT
How often does a cubic hypersurface have a rational point?
本文借助三次超曲面平均满足 Hasse 原理的新结果，按三次型高度计算 $n\geq4$ 时含有理点的超曲面比例，并给出 $n=3$ 三次曲面的精确猜想。
2024-05-10 math.NT
Quartic and Quintic hypersurfaces with dense rational points
设$X_4\subset\mathbb{P}^{n+1}$是无限域$k$上维数为$n\geq 4$的四次超曲面.我们证明了如果$X_4$包含一个线性子空间$Λ$的尺寸$h\geq \max\{2,\dim(Λ\cap \text{Sing}(X_4))-2\}$或有双点沿线性子空间的尺寸$h\geq 3$，一个光滑的$k$有理点，否则一般，那么$X_4$是unirational在$k$。这改进了A. Predonzan和J. Harris，B.马祖尔河四次曲线的Pandharipande。给出了数域上具有二重平面的四次$3$ -折叠的$k$ -有理点的密度结果，以及$C_r$域上五次超曲面的单有理性结果.
2022-12-30 math.AG math.NT
The density of rational points on non-singular hypersurfaces, I
设$X \subset \mathbb{P}^n$是$d>1$次的非奇异超曲面，设$ε>0$.本文讨论了$X$上存在高度至多为$B$的$O(B^{n-1+ε})$有理点的猜想，其中隐含常数只允许依赖于$d, ε$和$n$.特别是这一猜想被证明持有尽快$d>4$。利用证明中的主要思想得到了一类丢番图方程的新的贫量估计。
2006-01-03 math.AG math.NT
Counting rational points on affine hypersurfaces
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
该研究通过量化Hilbert不可约定理，给出了不可约仿射超曲面上有理点有界高度数目的上界，为数论中的点计数问题提供了新的理论工具。
2026-09-09 math.NT
On the density of rational lines on diagonal cubic hypersurfaces
Department of Mathematics, University of California, Davis（加州大学戴维斯分校数学系）
本文通过多维变量移位和剪枝论证，结合Parsell-Vinogradov系统的最新进展，证明了当s≥19时，对角三次超曲面∑_{i=1}^s c_i x_i^3=0上有理线的渐近估计，改进了此前s≥21的界限。
2026-05-28 math.NT
Slope-determinant method, complex cellular structures and hypersurface coverings of regular rational points
本文结合 Bombieri-Pila/Heath-Brown 行列式方法、Chen 的 Arakelov 斜率重构与 Binyamini-Novikov 复细胞结构，将正则有理点超曲面覆盖计数中的次多项式因子改进为多对数因子。
2024-12-06 math.AG math.NT
On the number of rational points of Artin-Schreier curves and hypersurfaces
本文利用二次型与置换矩阵方法，精确计算了有限域上两类Artin-Schreier曲线和超曲面的有理点个数，并证明Weil界仅在参数λ的迹为零时达到。
2023-07-06 math.NT
Rational lines on diagonal hypersurfaces and subconvexity via the circle method
本文通过圆法，在$s\ge k(k+1)$条件下证明了对角超曲面上整数坐标直线的Hasse原理，突破了平方根抵消的凸性障碍。
2023-05-08 math.NT
Low degree hypersurfaces of projective toric varieties defined over a $C_1$ field have a rational point
拟代数闭域，或称$C_1$域，是根据一个低次条件定义的。也就是说，域$K$是$C_1$，如果射影空间$\mathbb{P}_K^n$的每一次$d$超曲面只要$d\leq n$就包含一个$K$ -点。在这篇文章中，我们定义了低复曲面度的概念，将这个条件推广到单射影分裂复曲面簇的超曲面。这使我们能够证明Kollár，Lang和Manin的$C_1$猜想的一个特殊情况：任何可以嵌入为$C_1$域上的超曲面的光滑可分离有理连通簇都有一个有理点。我们的结果是基于这样一个事实，即周围的环面品种是森梦空间：他们自然被赋予齐次坐标和他们的最小模型程序的作品在所有情况下。
2014-08-20 math.AG math.NT
Rational approximation to real points on quadratic hypersurfaces
设$Z$是定义在$\mathbb{Q}$上的$\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$的二次超曲面，它包含在$\mathbb{Q}$上坐标线性无关的点.我们表明，在这些点中，最大的指数均匀有理逼近是一个明确的Pisot数$ρ<2$的逆$1/ρ$只取决于$n$，如果维特指数（超过$\mathbb{Q}$）的二次型$q$定义$Z$是最多$1$，否则它等于$1$。此外，存在实现该最大值的$Z$的点。它们在第一种情况下构成可数无限集，在第二种情况下构成不可数集。上界$1/ρ$的证明使用了Marnat和Moshchevitin最近的迁移不等式。在$n=3$的情况下，我们恢复的结果，而$n>3$的第二作者，这完成了Kleinbock和Moshchevitin最近的工作。
2019-09-03 math.NT
Counting rational points on hypersurfaces and higher order expansions
本文研究了整数n=F（x_1，...，x_s）的齐次形式。这是数论中的一个经典问题，圆方法已成功地应用于此问题，给出了这种表示数的渐近解，其中整数向量（x_1，.，x_s）被限制在边长为P的盒子中，其中P足够大。在Waring问题的特殊情况下，Vaughan和Wooley最近首次建立了相应渐近公式的高阶展开式。通过一种不同的和更一般的方法，我们得到了这个问题的一般形式F（x_1，...，x_s），并对出现的低阶项给出了解释。作为应用，我们得到了射影超曲面F（x_1，.，上有界反正则高的有理点个数的高阶展开式. x_s）=0的形式F在足够多的变量。
2014-11-20 math.NT
Manin's conjecture for a class of singular cubic hypersurfaces
令$n$是$4$的正倍数。本文建立了由$$ x^3=(y_1^2 + \cdots + y_n^2)z . $$定义的奇异三次超曲面$S_n$上有界高有理点个数的渐近公式。这个结果有两个方面的新内容：首先，它可以看作是Davenport或Heath-Brown经典定理中未涉及的奇异三次超曲面上有理点稠密性研究的一个小小的开端;其次，证明了关于上述奇异三次超曲面$S_n$的Manin猜想.
2017-03-17 math.NT
Intrinsic Diophantine approximation on quadric hypersurfaces
本文研究了二次超曲面$M\subset\mathbb R^d$中的点如何能被$\mathbb Q^d\cap M$的有理点逼近的问题。这与$\mathbb Q^d$中所有有理点逼近流形中的点的更常见的设置形成对比。我们提供完整的答案，主要问题的丢番图逼近在这方面。特别感兴趣的是真正的和合理的定义二次型，数量的作用，在丢番图逼近的排名的影响从来没有以前阐明。我们的方法包括有理二次超曲面上的内在丢番图逼近理论与保持该超曲面的射影变换组的动力学之间的对应关系，类似于Dani（'86）和Kleinbock-Margulis（' 99）在非内在设置中的早期结果。
2021-01-12 math.DS math.NT
Deformations of highly symmetric Calabi-Yau Grassmannian hypersurfaces
本文运用算术与Hodge理论技术研究Grassmannians及其商空间中高度对称超曲面实现的Calabi-Yau簇的铅笔，证明其几何性质不同于经典镜像。
2024-03-23 math.AG math.NT
Density of rational points on diagonal bidegree $(1,2)$ hypersurface in $\mathbb{P}^{s-1} \times \mathbb{P}^{s-1}$
本文针对 $\mathbb{P}^{s-1} \times \mathbb{P}^{s-1}$ 中对角双次数 $(1,2)$ 超曲面，在 $s \geq 7$ 时建立了有界反典范高度有理点数的渐近公式，从而证实了 Manin 猜想。
2023-12-04 math.AG math.NT
A Mordell-Weil theorem for cubic hypersurfaces of high dimension
设$X$是有理数上维数为$n \ge 1$的光滑三次超曲面.众所周知，新的有理点可以通过割线和切线构造从旧的有理点获得。鉴于$n=1$的Mordell-Weil定理，Manin（1968）问是否存在一个有限集$S$，从这个有限集可以得到所有其他的有理点。我们对$n \ge 48$给出了肯定的回答，事实上我们可以把生成集$S$取为仅由一个点组成.我们的证明利用了Skinner的一个弱逼近定理，Browning，Dietmann和Heath-Brown关于高维二次曲面和三次曲面的交线上有理点的存在性定理，以及微分几何，代数几何和数值分析中的一些基本思想.
2016-05-09 math.AG math.NT
Towards linear growth for biprojective hypersurfaces of small dimension
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
该研究针对$\text{P}^3\times\text{P}^3$和$\text{P}^3\times\text{P}^2$中的小双次数超曲面，移除薄子集后计数有界高度有理点，提出对角二次曲面有界高度有理点数量的新估计并改进系数增长时的相关结果。
2026-10-12 math.NT
Weak Approximation for Cubic Hypersurfaces and Degree 4 del Pezzo Surfaces
本文证明了以下关于整体域上光滑三次超曲面和四次del Pezzo曲面的弱逼近定理。(1)对于定义在整体函数域上的三次超曲面，如果存在一个有理点，则弱逼近在剩余域至少有11个元素的好约化的地方成立。(2)对于定义在整体函数域上的4次del Pezzo曲面，如果存在一个有理点，则弱逼近在剩余域至少有13个元素的好约化点处成立. (3)弱逼近对于定义在特征不等于2，3，5的整体函数域或纯虚数域上的维数至少为10的三次超曲面成立。
2015-11-25 math.AG math.NT
