发表机构
Department of Mathematics, Yang-En University（阳恩大学数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文在秩为零的同余数曲线上分类了最简三次域中给定横坐标的点，通过群迹排除和四次方程得到有限参数对，并构造了无穷多个域上的点。
AI 中文摘要
设 $K_t=\mathbb{Q}(\theta_t)$，其中 $\theta_t$ 是 $X^3-tX^2-(t+3)X-1$ 的最大根，且 $t\geq-1$ 为整数。当 $n$ 为正整数且 $E_n(\mathbb{Q})$ 的秩为零时，我们分类了 $E_n(K_t)$ 中横坐标为 $\theta_t-1$ 的点，其中 $E_n:y^2=x^3-n^2x$。主要步骤排除了群迹的每个非零二阶挠值。该分类归结为 $v^2=2n^2-9$，且每个所得点的共轭生成一个秩二的子群。一个经典四次方程随后给出恰好四对 $(d,t)$（其中 $d>0$ 为有理数），使得 $(\theta_t-1)/d^2$ 是 $E_3$ 上的横坐标。在不假设秩的条件下，我们排除了 $E_5(K_t)$ 和 $E_6(K_t)$ 上的横坐标 $\theta_t-1$，并证明对于每个固定的正整数 $n$，只有有限多个参数 $t$ 允许此横坐标。对于积分平移 $\theta_t-r$，我们获得了迹为零的同时平方判据。我们利用它构造了 $E_3$ 上无穷多个两两不同构的最简三次域上的点。
英文摘要
For integers $t\geq -1$, let $θ_t$ be the largest real root of the Shanks polynomial $g_t(X)=X^3-tX^2-(t+3)X-1$ and put $K_t=\mathbb{Q}(θ_t)$. We classify the points on $E_n:y^2=x^3-n^2x$ over $K_t$ with abscissa $θ_t-1$ when $n$ is a positive integer and $E_n(\mathbb{Q})$ has rank zero. We determine the four pairs $(d,t)$ with $d>0$ rational for which $(θ_t-1)/d^2$ is an abscissa on $E_3(K_t)$. We also exclude the abscissa $θ_t-1$ on $E_5(K_t)$ and $E_6(K_t)$ and prove that only finitely many parameters $t$ admit this abscissa for each fixed positive integer $n$.
