Counting principal ideals of small norm in the simplest cubic fields
该研究针对最简单三次域族，估计范数不超过x的主理想数量，所得结果对任意x≥1均能给出正确数量级，揭示了小范数主理想数量远超预期的现象。
2025-01-12 math.NT
On the Pythagoras number of the simplest cubic fields
本文研究由特定三次多项式生成的最简三次域，证明当参数 a≥3 时，其整数序环的毕达哥拉斯数恰好为 6。
2021-01-27 math.NT
Simplest quartic and simplest sextic Thue equations over imaginary quadratic fields
最简三次、最简四次和最简六次域的族以及相关的图厄方程是众所周知的。在虚二次域上，最简单的三次图厄方程族已经在相对情形下得到了研究。本文给出了虚二次域上最简四次和最简六次Thue方程的类似推广。我们明确地给出了任意虚二次域上这些无穷参数Thue方程族的解。
2018-10-19 math.NT
Additive structure of non-monogenic simplest cubic fields
本文研究指数为3的非单基因 Shanks 最简三次域，完整刻画其加性不可分解元，并由此给出泛二次型秩的良好上界，证明其整数环的 Pythagoras 数为6。
2025-03-12 math.NT
Large Pólya groups in simplest cubic fields and consecutive bi-qaudratic fields
本文将数域的连续性概念推广到循环三次域和双二次域的参数族，证明存在无穷多个具有大Pólya群的连续域，推广了全实双二次域的已有结果。
2023-12-05 math.NT
A family of Thue equations involving powers of units of the simplest cubic fields
E.托马斯是第一个解决一个无限家庭的图埃方程，当他认为形式$F_n(X, Y )= X^3 -(n-1)X^2Y -(n+2)XY^2 -Y^3$和家庭的方程$F_n(X, Y )=\pm 1$，$n\in {\mathbf N}$。这个族与D的最简单三次域族${\mathbf Q}(λ)$相关联。柄，$λ$是$F_n(X,1)$的根。我们在这个家庭中引入第二个参数，通过用根的$a$次幂替换$λ$的极小多项式$F_n(X, 1) $的根，并且我们有效地解决了我们获得的Thue方程族，该方程族现在取决于两个参数$n$和$a$。
2015-05-25 math.NT
Galois module structure of algebraic integers of the simplest cubic field
本文研究最简三次域整数环在其相伴阶上的 Galois 模结构，利用 Shanks 三次多项式的根显式构造模生成元，并说明驯分歧情形退化为群环上的正规整基。
2024-10-24 math.NT
Some bi-quadratic Pólya fields and large Pólya groups of compositum of simplest cubic and quintic fields
本文提供了三个双二次Pólya域族，并证明了Shank三次域与Lehmer五次域复合域存在无限多个大Pólya群指数为1的域。
2025-08-11 math.NT
Trace and norm of indecomposable integers in cubic orders
本文研究了全实三次域族中的余差和加法不可分解整数的结构。我们证明了在这些领域的三次订单，不可分解的整数乘上的共差的完全正的元素的最小迹可以是任意大的。这是非常令人惊讶的，因为在迄今为止研究的二次和最简单的三次域的例子中，这个最小值是1和2。进一步给出了不可分解整数族的范数的精确上界。
2021-05-10 math.NT
Prescribed Abscissae on Congruent-Number Curves over Simplest Cubic Fields
Department of Mathematics, Yang-En University（阳恩大学数学系）
本文在秩为零的同余数曲线上分类了最简三次域中给定横坐标的点，通过群迹排除和四次方程得到有限参数对，并构造了无穷多个域上的点。
2026-09-29 math.NT
Simplest cubic fields with small class number
Niigata University（新潟大学）
本文通过PARI/GP验证了最简三次域的类数与模的关系，发现当模满足特定条件时，存在大量整数使得类数不超过1000，并进一步确定了在特定范围内类数较小的整数数量。
2026-08-28 math.NT
The characterization of cyclic cubic fields with power integral bases
本文给出了任意循环三次域的整数环是单真的一个等价条件。证明了如果一个循环三次域是单演的，则它是一个最简单的三次域$K_t$，它是一个Shanks三次多项式$f_t(x):=x^3-tx^2-(t + 3)x-1$的分裂域，其中有$t \in \mathbb Z$ .此外，我们给出了当$K_t$是单演时的一个等价条件，该条件被明确地表示为$t$。
2020-03-30 math.NT
Arithmetic of cubic number fields: Jacobi-Perron, Pythagoras, and indecomposables
本文建立 Jacobi–Perron 等多维连分数与全实三次数域加法不可分解整数的联系，刻画 Ennola 族不可分解元与 Pythagoras 数，并计算比较 Shanks 族中的周期 JPA 展开。
2024-12-07 math.NT
Simple cubic function fields and class number computations
本文在函数域的背景下研究了单三次域，并将例外单位集的概念推广到三次函数域，即$k$ -例外单位的概念.本文给出了伽罗瓦单三次函数域是Shanks最简三次数域的直接类比的一个简单证明。除了计算的不变量，包括一个公式的调节器，我们计算类数的伽罗瓦简单的三次函数字段在$\mathbb{F}_{5}$和$\mathbb{F}_{7}$使用截断欧拉产品。最后，作为一个额外的应用，我们确定所有的伽罗瓦单三次函数域的类数1，受到一个温和的限制。
2012-02-09 math.NT
HT90 and "simplest" number fields
标准公式（1）导致HT 90的证明，但是需要证明$θ$的存在，使得$α\ne 0$，使得$β=α/σ(α)$。相反，我们强加条件（M），即取$θ=1$得到$α=0$。利用$n=3$，我们恢复了Shanks最简单的三次场。“最简单”的3至6度数域、华盛顿的循环四次域和$\Q(\cos(π/4m))$的某类全实循环扩张都有定义多项式，其零点满足\eqref{e:M}。进一步研究$n=4$的（M），得到了具有“一般”伽罗瓦群$_{8}T_{11}$的二参数八次多项式族的初等代数构造.强加一个额外的代数条件，这些octics产生一个新的家庭循环四次扩张。这个族包括“最简单的”四次域和华盛顿的循环四次域作为特例。当参数为数域中的代数整数时，我们得到了更详细的结果。特别是，我们确定了一些特殊的单位，包括例外序列的3个单位，并给出了他们的一些性质。
2012-07-25 math.NT
Torsion of elliptic curves over cyclic cubic fields
本研究明确了循环三次域、非循环全实三次域与复三次域上椭圆曲线的全部可能挠群，填补了相关数论研究的空白。
2018-04-18 math.AG math.NT
Linear determinantal representations of smooth plane cubics over finite fields
本文研究了有限域上光滑平面三次函数的线性行列式表示。给出了对应于有理点的线性行列式表示的一个显式公式。利用Schoof公式，计算了有限域上光滑平面三次体的射影等价类的个数，其中线性行列式表示的等价类的个数为给定个数.作为应用，我们确定了有限域上光滑平面三次体的线性行列式表示等价类为0、1或2的同构类。
2016-04-20 math.AG math.NT
On Manin's conjecture for a certain singular cubic surface over imaginary quadratic fields
证明了具有E_6型奇点的三次曲面上虚二次数域上的Manin猜想。
2014-01-27 math.AG math.NT
The Tate Conjecture for Powers of Ordinary Cubic Fourfolds Over Finite Fields
最近N。Levin（Comp.Math.127（2001），1- 21）证明了有限域上普通三次四重的Tate猜想。本文证明了普通三次四重体的自积的Tate猜想。我们的证明是基于作者（Duke Math.J.72（1993），65- 83）介绍的所谓K3型多项式的性质。
2003-04-01 math.AG math.NT
Torsion of rational elliptic curves over cubic fields
设E是定义在Q上的椭圆曲线。研究了扭群E（Q）_tors与扭群E（K）_tors之间的关系，其中K是立方数域.特别地，我们研究了使得E（Q）_tors \neq E（K）_tors的立方数域K的个数.
2015-04-07 math.AG math.NT
On the number of cubic orders of bounded discriminant having automorphism group $C_3$, and related problems
对于二元二次型$Q$，我们考虑了$\mathrm{SO}_Q$在二维向量空间上的作用。这种表示可能产生了一个非不可约的预齐次向量空间和一个其基础群不是半单的共正则空间的最简单的非平凡例子。我们表明，这种表示的非退化整数轨道是在自然双射的订单立方领域具有固定的“格子形状”。此外，这种对应关系是保持判别式的：在这种表示中，元素的不变多项式的值与相应的三次阶的判别式一致。我们使用这种解释的积分轨道来解决三个经典风格的计数问题有关的三次订单和领域。首先，我们给出了具有有界判别式和非平凡自同构群的三次阶个数的一个渐近公式。更一般地说，我们给出了具有有界判别式和任何给定晶格形状的三次阶数的渐近公式（即，简化迹形式，直到缩放）。通过一个筛子，我们也计数立方领域的有界判别式的整数环具有给定的晶格形状。我们发现，特别是，在立方订单（分别。场），该形状在判别式$D$的二元二次型的类群$\mathrm{Cl}_D$中是等分布的。作为副产品，我们还获得了一个渐近公式的三次域的有界判别式的数量有任何给定的二次预解域。
2013-08-07 math.NT
Cubic points on cubic curves and the Brauer-Manin obstruction on K3 surfaces
我们表明，如果在一些数域存在一定的对角平面三次曲线，是局部可解的无处不在，但没有点的任何三次伽罗瓦扩张的数域，然后Brauer-Manin障碍的代数部分是不是唯一的障碍哈塞原则的K3表面。
2007-08-21 math.AG math.NT
Rational curves on smooth cubic hypersurfaces over finite fields
设k是特征超过3的有限域。本文证明了k上任意维数至少为11的光滑三次超曲面上的固定次数的有理曲线空间是不可约的，且具有期望维数。
2016-11-03 math.AG math.NT
Minimal cubic surfaces over finite fields
设$X$是有限域$\mathbb{F}_q$上的极小三次曲面.伽罗瓦群$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{F}}_q / \mathbb{F}_q)$在群$\operatorname{Aut}(\operatorname{Pic}(\overline{X}))$中的像$Γ$是Weyl群$W(E_6)$的循环子群。$W(E_6)$中存在循环子群的$25$共轭类，其中的$5$对应于极小三次曲面.人们很自然地会问哪些共轭类来自给定有限域上的最小三次曲面。在本文中，我们给出了这个问题的部分答案，并提出了许多明确的例子。
2017-09-06 math.AG math.NT
A positive proportion of cubic curves over Q admit linear determinantal representations
一个光滑的平面三次体能否由三元线性型元素的方阵的行列式定义？如果可以，我们说它容许线性行列式表示。本文研究了各种域上光滑平面三次函数的线性行列式表示，证明了大域（或充域）上的光滑平面三次函数都有线性行列式表示.由于局部域很大，任何局部域上的光滑平面三次函数都有线性行列式表示。作为应用，我们证明了Q上按高度排序的正比例光滑平面三次函数允许线性行列式表示。我们还证明了，如果Bhargava-Kane-Lenstra-Poonen-Rains关于Selmer群分布的猜想成立，Q上光滑平面三次函数的正比例不符合线性行列式表示存在的局部-全局原理。
2017-02-26 math.AG math.NT
Computation of the cover of Shimura curves $X_0(2) \to X(1)$ for the cyclic cubic field of discriminant 13^2
在Elkies的论文“Shimura curves for level 3 subgroups of the（2，3，7）triangle group”的末尾描述了判别式13^2的三次域，我们计算Shimura曲线覆盖的正则模型$X_0(2) \to X(1)$。最后，我们给出了X（1）上某些有理CM点的坐标。
2007-07-11 math.AG math.NT
A generalization of simplest number fields and their integral basis
$\mathbb{Q}$上3、4、6阶最简单数域的一个整基是众所周知的，并得到了广泛的研究.我们推广到任何程度的最简单的数域，并表明这些字段的整基是周期性重复。
2021-11-16 math.NT
Monogenity in totally real extensions of imaginary quadratic fields with an application to simplest quartic fields
本文给出了计算全实域与虚二次域复合体中幂整基生成元的一个有效算法。我们表明，计算可以减少到原来的全实领域的指数形式方程的求解。我们说明了我们的方法通过调查monogenity在无限参数家庭的虚二次扩展的最简单的四次字段。
2021-02-28 math.NT
Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants
考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。
2018-01-12 math.NT
Shapes of unit lattices and escape of mass
研究了全实立方数域上单位群对数嵌入模曲面上的点集。我们猜想这个集合是稠密的，证明了它的闭包包含可数个显式曲线，并给出了一个证明它有非空内部的策略。这些结果是通过构造显式的阶族（推广所谓的最简立方域）和计算它们的单位群得到的。我们还解决了与这些订单相关的对角群的紧凑轨道的质量逃逸的问题。
2016-07-14 math.DS math.NT
Weak Néron models for cubic polynomial maps over a non-Archimedean field
本文的目的是给出一个有效的判别准则来检验非阿基米德域上的三次多项式是否具有弱Néron模型。
2011-06-24 math.AG math.DS math.NT
On cubic Thue equations and the common index divisors of cyclic cubic fields
本文研究了循环三次域的公共指数因子。假设$a,b,c,d$和$k$是整数，则我们求解以下Thue三次方程：当$a,bc+d$是奇数并且$3$不整除$v_2(k)$时，解\[ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3= k\ \]。
2018-01-12 math.NT
Cubic Fields: A Primer
我们通过一个包含三种基本类型的三次型的明确构造，对任意特征的任何域的所有三次扩张进行分类，直到同构。我们推导出域的任何伽罗瓦三次扩张的分类。完全确定了整体函数域的可分三次扩张中的位的分裂与分歧，并给出了精确的Riemann-Hurwitz公式。在这样做时，我们确定了任何三次多项式在有限域上的分解。
2017-06-17 math.NT
Class numbers of orders in cubic fields
本文给出了立方数域中各阶类数的一个渐近公式。
2001-09-20 math.NT
Torsion of rational elliptic curves over different types of cubic fields
设$E$是定义在$\Q$上的椭圆曲线，$G$是某个不出现在$\Q$上的三次域$K$的扭群$E(K)_{tors}$.本文确定了在哪些类型的立方数域（循环立方、非Galois全实立方、复立方和纯立方）上$G$可能出现，如果可能，它是否可能无限频繁地出现.此外，如果它发生，我们提供椭圆曲线$E/\Q$与三次域$K$，使$G= E(K)_{tors}$。
2019-12-16 math.NT
Calculating all elements of minimal index in the infinite parametric family of simplest quartic fields
判定一个数域是否是单齐的，即它是否允许幂整基，是代数数论中的一个经典问题。在无限参数数域中考虑这个问题特别有趣。本文考虑由多项式$P_t(x)=x^4-tx^3-6x^2+tx+1$的根$ξ$生成的最简四次域$K$的无限参变量族，假定$t>0$，$t\neq 3$和$t^2+16$没有奇平方因子.除了幂整基的生成元外，我们还计算了这个族中所有域的最小指数和最小指数的所有元素。
2018-09-27 math.NT
Statistics of genus numbers of cubic fields
证明了判别式排序的三次域的近似$96.23\%$具有亏格数1，并计算了具有给定亏格数的三次域的精确比例。我们还计算了平均亏格数。最后，我们证明了亏格数为1的全实三次域的正比例不能是范数欧几里德域。
2016-12-29 math.NT
Torsion groups of Mordell curves over cubic and sextic fields
本文对三次域和六次域上有理Mordell曲线的挠群进行了明确的分类。此外，我们还对三次域上的Mordell曲线的挠群进行了分类，对六次域上的Mordell曲线，我们给出了所有可能的挠群。
2019-08-21 math.NT
On the simplest quartic fields and related Thue equations
令$K$为字符$K\neq 2$的字段。对于$a\in K$，作为多预解式多项式的域交问题的特殊情况，我们给出了$K$上最简四次多项式$X^4-aX^3-6X^2+aX+1$的域同构问题的一个显式解答.从这个结果，在一个无限域$K$上，我们看到，对于$K$的无穷多个值$a$，多项式给出了$K$上的相同分裂域。我们还看到西格尔定理亏格为零的曲线，只有许多代数整数$a\in\mathcal{O}_K$在数域$K$可能会给相同的分裂域。通过应用有理数域$\mathbb{Q}$上的结果，我们建立了四次Thue方程\[ X^4-mX^3Y-6X^2Y^2+mXY^3+Y^4=c, \]的参数族的原始解与最简单四次域的同构类之间的对应关系，其中$m\in\mathbb{Z}$是有理数，$c$是$4(m^2+16)$的除数.
2010-04-18 math.NT
Integral bases and monogenity of the simplest sextic fields
令$m$为整数$m\neq -8,-3,0,5$，使得$m^2+3m+9$无平方。设$α$是\[ f=x^6-2mx^5-(5m+15)x^4-20x^3+5mx^2+(2m+6)x+1. \]的根。全实循环域$K=Q(α)$被称为最简单的六次域，在文献中是众所周知的。使用一种全新的方法，我们明确给出了$K$的整基形式，我们表明，这种整基的结构是周期性的$m$与周期长度为36。我们证明了$K$不是单演的，除了$m$的几个值，在这种情况下，我们给出了所有的发电机功率整基。
2018-09-26 math.NT
Families of Cyclic Cubic Fields
我们描述了一个程序生成家庭的循环立方领域的明确的基本单位。该方法生成所有已知的族，并给出新的族。
2015-11-15 math.NT
Central values of zeta functions of non-Galois cubic fields
该研究证明了无穷多个非伽罗瓦三次域的戴德金zeta函数中心值为负，揭示了这类数域zeta函数在中心点的符号性质。
2023-09-03 math.NT
On the simplest sextic fields and related Thue equations
本文考虑六次Thue方程的参数族\[ x^6-2mx^5y-5(m+3)x^4y^2-20x^3y^3+5mx^2y^4+2(m+3)xy^5+y^6=λ\]，其中$m\in\mathbb{Z}$是整数，$λ$是$27(m^2+3m+9)$的除数.我们发现，唯一的解决方案，方程是平凡的$xy(x+y)(x-y)(x+2y)(2x+y)=0$。
2010-09-25 math.NT
The Euclidean Algorithm in Cubic Number Fields
在本文中，我们提出了计算立方数域的欧氏极小值的算法;特别地，我们能够找到所有判别式为-999 < d < 10000的范数欧氏立方数域。
2012-02-27 math.NT
Tabulation of cubic function fields via polynomial binary cubic forms
提出了一种对$\mathbb{F}_q(t)$上所有三次函数场进行制表的方法，其判别式$D$具有奇数次或偶数次，并且$-3D$的首项系数在$\mathbb{F}_{q}^*$中是非平方的，直到$D$的次数上的给定界$B$。我们的方法是基于Belabas的方法制表立方数域的推广。主要的理论成分是一个推广的达文波特和海尔布隆定理的三次函数领域，随着减少理论的二元三次型，提供了一个有效的方法来计算等价类的二元三次型。该算法要求$O(B^4 q^B)$现场操作为$B \rightarrow \infty$。文中给出了$q=5,7,11,13$的算法、算例和数值结果。
2011-07-19 math.NT
On abelian cubic fields with large class number
本文研究阿贝尔三次域类数的大值，证明存在任意长的接近域序列使其类数尽可能大，并初步给出类数极值的显式下界。
2023-03-10 math.NT
A note on Euclidean cyclic cubic fields
设$K$是循环三次域，$\mathcal{O}_K$是它的整数环.本文证明了导体在区间$ [73, 11971]$内且类数为1的循环立方数域都是欧氏的.
2017-06-15 math.NT
The shape of cubic fields
我们使用的方法Shintani，由谷口和索恩开发，证明了定量均匀分布的形状的立方字段时，该字段排序的判别式。
2019-02-05 math.NT
Density of cubic field discriminants
本文给出了关于三次域判别式密度的Davenport-Heilbronn定理的一个几何改进。我们解释了这种改进在理论上是合理的，并且与计算数据非常吻合。
1999-04-26 math.NT
On the cyclic torsion of elliptic curves over cubic number fields (III)
本文是讨论立方数域上椭圆曲线的循环扭子群的系列论文的第三部分。对于$N=39$，我们证明了对于立方数域$K$上的任何椭圆曲线$E$，$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$不是$E(K)_{tor}$的子群。
2020-05-17 math.NT
Cubic forms over imaginary quadratic number fields and pairs of rational cubic forms
该研究拓展Heath-Brown的有理三次型成果，证明14变量以上虚二次数域三次型非平凡表示零，推导得s≥627时有理三次型对有非平凡解，还证明33变量以上有理三次超曲面含有理直线、对应三次型有殆素数解。
2023-07-18 math.NT
The existence of infinitely many cubic fields with class group of exact 2-rank 1
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Toronto（多伦多大学）；Tsinghua University（清华大学）；Harvard University（哈佛大学）
本文证明了存在无限多个三次域，其类群的2-秩恰好为1。
2026-02-06 math.NT
On the asymptotics of cubic fields ordered by general invariants
该研究引入三次域的广义判别式不变量，推导按其排序的三次域族的渐近性质，并确定满足Malle–Bhargava启发式的族类，丰富了数论中三次域的相关研究。
2024-01-29 math.NT
Explicit genus formula for any separable cubic global function field
在本文中，我们明确地确定了给定扩张的极小多项式的任何整体函数域的可分三次扩张的亏格。给出了计算任意整体有理函数域的任意可分三次扩张的分支数和亏格的算法。
2018-11-23 math.NT
