A Partition Function Connected with the Göllnitz--Gordon Identities
我们使用著名的圆的方法的哈代和Ramanujan开发收敛公式计算限制类的分区所产生的Göllnitz-戈登身份。
2020-05-19 math.NT
A Rademacher Type Formula For Partitions and Overpartitions
给出了一个Rademacher型收敛级数公式，它推广了$n$的分块数的Hardy-Ramanujan-Rademacher公式和$\vartheta_4(0\vert τ)^{-1}$的傅里叶系数的Zuckerman公式.
2013-12-03 math.NT
Exact Formulae for the Fractional Partition Functions
分拆函数$p(n)$一直是解析数论在组合学中应用的试验场。特别是，哈代和拉马努金发明了“圆的方法”来估计的大小$p(n)$，这是后来完善的拉德马赫谁获得了一个确切的公式。最近，Chan和Wang考虑了由$\sum_{n = 0}^\infty p_α(n)x^n := \prod_{k=1}^\infty (1-x^k)^{-α}$定义的分数分拆函数。本文利用Rademacher圆方法找到了$p_α(n)$的一个精确公式，并研究了它的意义，包括对数周期和高阶推广（即，图兰不等式），$p_α(n)$满足。
2020-02-15 math.CO math.NT
Simple error bounds for an asymptotic expansion of the partition function
本文为整数划分函数 $p(n)$ 的 Poincaré 型简化渐近展开建立了可计算的误差界，该界比近期文献更尖锐且推导更简单。
2024-09-25 math.NT
Hybrid subconvexity and the partition function
给出了分拆函数的Hardy-Ramanujan-Rademacher公式中误差项的上界.主要输入是一个新的混合次凸界的中心值$L(\tfrac 12,f\times (\tfrac{q}{\cdot}))$在$q$和谱参数方面，其中$f$是一个Hecke-Maass尖点形式的$Γ_0(N)$和$q$是一个基本的判别式。
2022-04-29 math.NT
On the Mellin transforms of powers of Hardy's function
研究了Mellin变换函数$$ {\cal M}_k(s) := \int_1^\infty Z^k(x)x^{-s}dx $$的各种性质，其中$$ Z(t) := ζ(1/2+it){\bigl(χ(1/2+it)\bigr)}^{-1/2}, \quad ζ(s) = χ(s)ζ(1-s) $$是Hardy函数，$ζ(s)$是Riemann zeta函数.建立了$|ζ(1/2+it)|$与幂矩的关系，讨论了${\cal M}_k(s)$的自然边界.
2010-11-11 math.NT
Asymptotics for partitions over the Fibonacci numbers and related sequences
本文结合经典分拆理论与 Fibonacci Dirichlet 级数的新结果，首次给出整数表示为非互异斐波那契数之和的方式数 $p_F(n)$ 的渐近公式，并将类似结果推广到一般线性递推序列。
2025-03-11 math.CO math.NT
Asymptotics for $k$-crank of $k$-colored partitions
本文利用Hardy-Ramanujan圆法研究k-着色分拆的k-crank，推广了Fu和Tang关于M_k(a,c;n)的不等式结果，并进一步建立了对数凹性与对数次可加性等新不等式关系。
2023-04-13 math.CO math.NT
The asymptotic behavior of the rectangle partition function $p(m,n)$
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Cracow University of Technology（克拉科夫理工大学）
本文研究矩形分拆函数$p(m,n)$的渐近行为，通过初等方法推导其对数渐近公式，证实相关猜想并推广整数分拆的Hardy-Ramanujan公式。
2026-08-25 math.CO math.NT
Strict Log-concavity of $k$-coloured Partitions
University of Cologne（科隆大学）；The University of Hong Kong（香港大学）；IIT Madras（印度理工学院马德拉斯分校）；Vanderbilt University（范德堡大学）
本文研究了$k$-色划分函数的严格对数凹性，通过引入递推序列和分数划分函数的严格不等式，证明了当$k≥2$时，$k$-色划分函数严格对数凹。
2026-05-01 math.CO math.NT
Additive bases arising from functions in a Hardy field
经典的加性基问题是华林问题。它已被推广到整数多项式和非整数幂序列。在本文中，我们将考虑一个更广泛的功能，即功能从一个Hardy域，并表明他们是渐近的基础。
2009-03-02 math.NT
Partitions into prime powers
对于子集$\mathcal A\subset \mathbb N$，令$p_{\mathcal A}(n)$表示对所有部分位于$\mathcal A$中的$n$的分区进行计数的受限分拆函数。本文利用Hardy-Littlewood圆方法的一种变形，给出了$p_{\mathcal A}(n)$的一个渐近公式，其中$\mathcal A$是素数的$k$次幂的集合（对于固定的$k$）.这结合了沃恩的工作分区成素数与作者以前的结果分区成$k$次权力。这个新的渐近公式是过去几年关于限制分拆函数的几个结果所表明的模式的推广。比较这些结果并排，我们讨论了一个通用的策略，其中一个可以分析$p_{\mathcal A}(n )$为一个给定的集合$\mathcal A$。
2021-02-20 math.NT
A Cesàro Average of generalised Hardy-Littlewood numbers
我们继续我们最近的工作添加剂的问题与总理和：我们已经研究了\emph{average}数的表示整数作为一个总和的两个素数，也认为个别整数。此外，我们处理的整数表示为素数的幂和。本文研究了广义Hardy-Littlewood数（可以写成素数幂和平方之和的整数）的Cesàro加权部分\emph{explicit}公式，从而推广和改进了我们以前的结果.
2019-01-04 math.NT
On some relations for Mellin transforms of Hardy's function
得到了经典Hardy函数$$ Z(t) := ζ(1/2+it)\bigl(χ(1/2+it)\bigr)^{-1/2}, \quad ζ(s) = χ(s)ζ(1-s) $$的Mellin变换和拉普拉斯变换的幂的一些关系。特别是，我们讨论了一些均方身份及其后果。
2010-12-17 math.NT
Hardy-Littlewood tuple conjecture over large finite field
我们证明了大有限域上Hardy-Littlewood猜想（它推广了孪生素数猜想）的如下函数域模拟.设n，r为正整数，q为奇素数方幂.对于不同的多项式a_1，.，设π（q，n;a）是F_q上n次首一多项式f的个数，使得f+a_1，.，f+a_r是同时不可约的。我们证明了π（q，n;a）渐近等于q^n/n^r，因为q在奇素数幂上趋于无穷大，并且n，r是固定的（元组a1，.，a_r不需要固定）。
2012-10-04 math.NT
Asymptotic Formulas Related to the $M_2$-rank of Partitions without Repeated Odd Parts
给出了$M_2$秩生成函数和$M_2$秩生成函数在单位根处的矩的渐近展开式。为此，我们应用Hardy-Ramanujan圆方法扩展到模拟模形式。我们的公式为$M_2$ -秩在根的单位导致渐近的某些组合的$N2(r,m,n)$（分区的数量没有重复奇数部分的$n$与$M_2$秩全等的$r$模$m$）。这使我们能够推导出不等式之间的某些组合的$N2(r,m,n)$。特别地，解决了毛泽东的几个不等式.
2019-02-22 math.NT
Towards an automation of the circle method
回顾了$n$的划分数的Hardy-Ramanujan-Rademacher公式的推导过程。接下来，检查为某些受限类别的分区或过度分区寻找类似公式的步骤，记住如何在CAS中自动化这些计算。最后，给出了一些用\emph{Mathematica}计算的这类新公式及其数值精度的检验结果。
2020-01-27 math.CO math.NT
Asymptotic formulas for general colored partition functions
1917年，Hardy和Ramanujan得到了经典配分函数$p(n)$的渐近公式。经典配分函数$p(n)$已被广泛研究。最近，Luca和Ralaivaosaona得到了平方根函数的渐近公式。一些特殊的有色分拆函数上的同余关系一直受到数学家的关注。本文研究了一般有色分拆函数。给定正整数$1=s_1<s_2<\dots <s_k$和$\ell_1, \ell_2,\dots , \ell_k$。令$g(\mathbf{s}, \mathbf{l}, n)$为$n$的$\ell$着色分区的数量，其中颜色的$\ell_i$仅出现在$s_i\ (1\le i\le k)$的乘法中，其中$\ell = \ell_1+\cdots +\ell_k$。通过使用初等方法，我们获得了带有显式误差项的配分函数$g(\mathbf{s}, \mathbf{l}, n)$的渐进公式。
2016-10-19 math.NT
Polynomial partition asymptotics
令$f \in \mathbb{Z}[y]$是使得$f(\mathbb{N}) \subseteq \mathbb{N}$的多项式，并且令$p_{\mathcal{A}_{f}}(n)$表示其部分位于集合$\mathcal{A}_f:=\{f(n):n \in \mathbb{N}\}$中的$n$的分区的数目。在对$f-f(0)$根的假设下，我们利用Hardy-Littlewood圆方法、多重对数恒等式和Matsumoto-Weng zeta函数导出了当$n$趋于无穷大时$p_{\mathcal{A}_f}(n)$的渐近公式.这推广了Vaughan在2015年和2016年分别为$d=2$和Gafni为$d \geq 2$情况建立的完全$d$次幂划分数量的渐近公式。
2018-04-19 math.NT
From partitions to Hodge numbers of Hilbert Schemes of Surfaces
我们庆祝Srinivasa Ramanujan当选为皇家学会会员100周年，这在很大程度上是基于他与G。H. Hardy关于分拆函数的渐近性质。在回顾这一革命性的工作，标志着诞生的“圆的方法”，我们提出了一个当代的例子，其遗产的拓扑结构。我们推导出适当的光滑射影曲面的Hilbert格式的Hodge数的等分布。
2019-06-14 math.AG math.NT
Error bounds for the asymptotic expansion of the partition function
对分拆函数$p(n)$的渐近研究始于Hardy和Ramanujan的工作。后来Rademacher得到了一个收敛级数$p(n)$和误差界给出了Lehmer。尽管有这个，一个完整的渐近展开的$p(n)$与明确的误差界是未知的。最近奥沙利文研究了渐近展开的$p^{k}(n)$ -分区到$k$次幂，由赖特发起，并因此获得了渐近展开的$p(n)$随着一个简洁的描述系数涉及的扩展，但没有任何估计的误差项。在这里，我们考虑了一个详细的和全面的分析，通过截断$n$的渐近展开为$p(n)$在任何正整数的误差项的估计。由此得到了$p(n)$的无穷多个不等式，从而回答了Chen提出的一个问题.我们的误差项估计主要依赖于从符号求和的算法方法的应用。
2022-09-16 cs.SC math.CO math.NT
Congruences modulo powers of 5 for three-colored Frobenius partitions
出于Lovejoy的问题\cite{lovejoy}，我们表明，三色Frobenius分拆函数$\c3$和相关的算术功能$\cc3$消失模5的某些权力，在某些等差数列。
2010-04-27 math.CO math.NT
Hooks and powers of parts in partitions
本文证明了在n的所有划分中包含的长度为k的钩子的数目等于k乘以在n的所有划分中长度为k的部分的数目。它还包含公式的时刻（均匀分布下）的第k部分的分区n。
2001-08-29 math.CO math.NT
A Local Limit Theorem for Integer Partitions into Small Powers
本文针对整数分拆为小幂次（$0<α<1$）的随机分拆长度，提出了局部极限定理，扩展了先前的研究。
2023-11-15 math.CO math.NT
Sampling Goldbach Numbers at Random
令$Σ_{2n}$是从区间$(4,2n], n>2,$到两个奇素数部分的所有偶数划分的集合。我们从集合$Σ_{2n}$中随机均匀地选择一个分区。令$2G_n$为被该选择划分的数。$2G_n$有时也被称为哥德巴赫数。在[6]中我们证明了$G_n/n$弱收敛于两个随机变量的最大值$T$，这两个随机变量是在区间$(0,1)$中均匀分布的随机变量的独立拷贝。本文证明了$G_n/n$的均值和方差分别趋向于$T$的均值$μ_T=2/3$和方差$σ_T^2=1/18$。我们的证明方法是基于生成函数和Tauberian定理由于哈迪-Littlewood-Karamata。
2015-08-05 math.CO math.NT math.PR
1-Shell totally symmetric plane partitions (TSPPs) modulo powers of 5
令$s(n)$为$n$的1-壳层全对称平面划分（TSPP）的数目。本文用初等方法导出了$s(n)$的$5$模幂同余的无穷族.即，$$s\left(2\cdot 5^{2α-1}n+5^{2α-1}\right)\equiv 0 \pmod{5^α}.$$
2020-03-26 math.CO math.NT
Partition asymptotics from one-dimensional quantum entropy and energy currents
我们给出了一种替代方法，Hardy-Ramanujan-Rademacher推导出领先的指数项的渐近逼近的配分函数p（n，a），定义为一个正整数“n”到整数被加数的分解的数量，每个被加数出现在最多“a”倍，在一个给定的分解。推导涉及映射到一个等效的物理问题，该问题涉及在连接热储层的一维通道中流动的粒子的量子熵和能流，并且服从Gentile的中间统计，统计参数为“a”。该方法也适用于分区与Halfman的分数排除统计。
2001-12-11 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech math.NT
Arithmetic properties for cubic partition pairs modulo powers of 3
令$b(n)$表示$n$的立方划分对的数目。在本文中，我们的目的是提供一个策略，以获得算术性质的$b(n)$。这对林语堂的两个论断作了肯定的回答。
2016-09-27 math.CO math.NT
Congruences modulo powers of 5 for the rank parity function
众所周知，Ramanujan证明了分拆函数的模5、7和11的幂同余.这一点后来被Watson（1938）和Atkin（1967）证明。在2009年，Choi，Kang和Lovejoy证明了曲柄奇偶函数的模5幂的同余。秩奇偶函数的生成函数是f（q），这是Ramanujan在给Hardy的最后一封信中提到的模拟θ函数的第一个例子。我们证明了同余模幂5的秩奇偶函数。
2021-01-04 math.CO math.NT
Detailed asymptotic expansions for partitions into powers
在这里，我们研究了当$n$很大时，将整数$n$划分为$k$次幂的方法的数量。利用鞍点法给出了Wright的一些渐近结果的简化证明，包括展开系数的精确公式。对于大的$n$，证明了这些划分的凸性和对数凸性，并证明了Ulas的更强结构。Wright广义Bessel函数的渐近性也被处理。
2023-02-12 math.CO math.NT
Exponential sums over Möbius convolutions with applications to partitions
University of Illinois（伊利诺伊大学）；RAND Corporation（兰德公司）；Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院数学研究所）
本文研究了莫比乌斯卷积权重下的划分问题，推导了划分数量的上界及渐近公式，并给出了与黎曼zeta函数零点相关的显式公式。
2024-02-08 math.NT
Strange and pseudo-differentiable functions with applications to prime partitions
本文利用 Hardy-Littlewood 圆法求得了将 $n$ 分拆为 $r$-满素数的分拆数渐近式，推广了素数分拆的已有结果，并引入奇异函数与伪可微性定义以处理非主大弧。
2025-04-30 math.NT
Rademacher-type exact formula and higher order Turán inequalities for $r$-colored $\ell$-regular partitions
本文利用圆法建立了 $r$-色 $\ell$-正则分拆的 Rademacher 型精确公式，并据此推导出相应分拆函数的高阶 Turán 不等式，同时推广到不同部分分拆和最小排除数之和等情形。
2025-11-08 math.NT
Fractal in the statistics of Goldbach partition
在素数差中发现了一些有趣的混沌现象。这里我们讨论一个关于两个素数之和的问题，哥德巴赫猜想。这个猜想指出，任何偶数都可以表示为两个素数之和。哥德巴赫划分r（n）是偶数n作为两个素数之和的表示的数量。本文分析了序列r（n）（n= 4，6，8，…）的统计量.连续素数差直方图中常见的3周期振荡现象出现在r（n）序列中，并且发现r（n）序列可以划分为不同层次的周期振荡序列。同一层次或不同层次的序列都非常相似，呈现出明显的分形现象。此外，还讨论了两个素数和差统计图的对称性。我们发现Hardy-Littlewood的估计可以精确地描述这些现象。最后用符号动力学理论对r（n）的周期行为进行了粗略的分析。
2006-03-02 math.NT nlin.CD
Families of Congruences for Fractional Partition Functions Modulo Powers of Primes
最近，Chan和Wang（Fractional powers of the generating function for the分拆函数.阿里斯学报。187（1），59- 80（2019））研究了分拆函数的生成函数的分数幂，并发现了相应系数满足的几个同余式。在本文中，我们发现了一些新的模素数幂同余族。我们也发现类似的结果的系数的分数权力的生成函数的2-色分拆函数。
2020-06-14 math.NT
Partitions into semiprimes
本文利用 Hardy-Littlewood 圆法的变体，推导了半素数集合上受限分拆函数的渐近公式，并推广了 Vinogradov 的结果，同时提出了处理一般加权集的方法。
2023-11-17 math.NT
The number of cubic partitions modulo powers of 5
三次分划的概念是由Hei-Chi Chan引入的，并由Byungchan Kim与Ramanujan的三次连分数有关而命名。Chan证明了三次分拆函数具有模$3$幂的Ramanujan型同余.在最近的一篇论文中，William Y.C. Chen和Bernard L.S. Lin研究了三次分拆函数模$5$的同余性质。本文给出了$5$的模幂三次分拆函数的Ramanujan型同余.
2010-06-18 math.NT
The powers of two as sums over partitions
本文研究了将$2$的自然幂表示为整数分拆上的和的两种方法。首先我们考虑一个由N表示的公式。J. Fine，它允许我们用多项式系数来表示二项式系数，作为分区上的和。第二种方法调用中心二项式系数及其生成函数的对数微分。一些实验结果表明，存在其他的方法分解的权力$2$的总和分区。
2020-09-14 math.NT
On the Quantum Density of States and Partitioning an Integer
本文利用量子多粒子态密度和数论中整数分割之间的联系。对于一维谐振子势中的$N$玻色子，众所周知，渐近（N ->无穷大）态密度与将数n划分为整数之和的Hardy-Ramanujan公式相同。我们证明，同样的统计力学技术在幂律谱玻色子的态密度产生的分区公式p^s（n），后者是分区的数量n到一组整数的s次幂和。通过对统计技术进行适当的修改，我们也能够获得不同分区的d^s（n）。我们发现，不同的正方形划分d^2（n）作为n的函数，关于我们导出的光滑曲线表现出明显的振荡。从量子的角度来看，这些振荡的起源进行了讨论。在用我们的方法推导出$s=1$情形的限制分拆的Erdos-Lehner公式后，我们将其推广得到了不同限制分拆的一个新公式.
2003-09-08 math-ph math.MP math.NT
An alternative proof of the asymptotic formula for the Fourier coefficients of the elliptic modular $j$-function
本文基于概率方法，利用具有简单无穷乘积的模函数表示，证明了椭圆模 $j$-函数系数的渐近公式。
2025-10-12 math.NT
A simple proof of the Atkin-O'Brien partition congruence conjecture for powers of 13
本文针对1967年Atkin和O'Brien提出的涉及Hecke算子模13的幂次的分拆函数同余猜想，给出了一个简单证明。
2025-04-15 math.NT
Asymptotic Formulae for Mixed Congruence Stacks
很像重要的工作，哈代和拉马努金证明渐近公式的分拆函数，Auluck和赖特了类似的公式单峰序列。根据Wright的圆方法，我们给出了单峰序列在两参数混合同余关系族上的渐近展开，其中部分在一边直到峰值满足r（mod m），部分在另一边-r（mod m）.在证明中使用的技术包括赖特的循环方法，模块化的转换，并界定复杂的积分。
2017-10-30 math.NT
Une étude asymptotique probabiliste des coefficients d'une série entière
继Rosenbloom [7]和Hayman [5]的思想之后，Luis Báez-Duarte在[1]中给出了整数分拆的Hardy-Ramanujan渐近公式的概率证明。该方法的主要原理依赖于一族随机变量收敛于高斯变量的规律。在我们的工作中，我们证明了Liapounov型定理（Chung [2]），证明了这种收敛性。为了获得简单的渐近公式，需要Luis Báez-Duarte定义的所谓强高斯型的条件;我们证明了这一点，使得有可能获得具有不同部分的整数分区的经典渐近公式（Erdös-Lehner [4]，Ingham [6]）。
2013-07-24 math.NT math.PR
Partitions into powers of an algebraic number
本文研究复数表示为固定代数数非负幂之和的分拆，刻画了实二次情形下分拆数有限的充要条件，并证明在特定条件下分拆函数的值域覆盖所有非负整数。
2024-01-30 math.NT
Power Partitions and Hayman Functions
Universidad Autónoma de Madrid（马德里自治大学）；Fundación Akusmatika（Akusmatika基金会）；Universidad de La Laguna（拉古纳大学）
在Khinchin族的概率框架下，证明分拆成k次幂的生成函数是强高斯的（Hayman函数），从而直接由Hayman渐近公式得到Hardy-Ramanujan渐近公式。
2026-06-18 math.CV math.NT math.PR
