On the largest sum-free subset problem in the integers
设$A \subset \mathbb{Z}_{>0}$的大小为$n$。证明了对于任何足够大的$C >0$和$n$，$A$包含大小至少为$n/3 +C$的无和子集。我们研究这个问题，并找到一个替代的证明Bourgain的结果，使采取$C=2/3$。
2022-07-28 math.CO math.NT
Tight lower bound on $|A+λA|$ for algebraic integer $λ$
本文证明代数整数 λ 下集合和 |A+λA| 的渐近紧下界，结合 Freiman 定理、格点结构定理及连续结果的推广。
2023-11-15 math.CO
Forbidden arithmetic progressions in permutations of subsets of the integers
避免长度为$5$的等差数列的正整数排列在（Davis et al，1977）中被构造，这意味着避免长度为$7$的等差数列的整数排列的存在。我们构造了一个整数的置换，避免了长度为$6$的等差数列。我们还证明了$\frac{1}{2}$在正整数子集的较低密度上的下界，可以进行置换以避免长度$4$的等差数列，锐化来自（LeSaulnier和Vijay，2011）的$\frac{1}{3}$的下界。此外，我们还推广了关于禁用等差数列的几个结果，构造了避免广义等差数列的置换。
2018-03-15 cs.DM math.CO
Domination ratio of a family of integer distance digraphs with arbitrary degree
整数距离有向图是所有整数关于有限子集$S\subseteq\mathbb{Z}$的加群$\mathbb{Z}$的Cayley图$Γ(\mathbb{Z},S)$。$Γ(\mathbb{Z},S)$的控制比定义为控制集的最小密度，它与一些数论问题有关，如平铺整数和寻找缺失差的整数集的最大密度。对于满足$d\ge2$和$s\notin[0,d-2]$的任意整数$d$和$s$，我们精确地确定了整数距离图$Γ(\mathbb{Z},\{1,2,\ldots,d-2,s\})$的控制比.我们的结果推广了以前关于图$Γ(\mathbb{Z},\{1,s\})$与$s\in\mathbb{Z}\setminus\{0,1\}$的控制比的结果，并且也暗示了某些循环图$Γ(\mathbb{Z}_n,S)$的控制数，其中$\mathbb{Z}_n$是模$n$的有限整数循环群，$S$是$\mathbb{Z}_n$的子集.
2022-04-06 math.CO
On the maximum number of integer colourings with forbidden monochromatic sums
令$f(n,r)$表示具有$r$颜色的$A \subseteq \lbrace 1,\ldots,n\rbrace$的着色的最大数目，使得每个颜色类是无和的。这里，和是子集$\lbrace x,y,z\rbrace$，使得$x+y=z$。我们证明了$f(n,2) = 2^{\lceil n/2\rceil}$，并描述了极值子集。此外，使用线性优化，我们渐近地确定了$r \leq 5$的$f(n,r)$的对数。Hàn和Jiménez在有限阿贝尔群的情况下也得到了类似的结果。
2017-10-16 math.CO
Integer colorings with no rainbow $k$-term arithmetic progression
本文研究了$k$项等差数列的彩虹Erdens-Rothschild问题。对于一个正整数集合$S \subseteq [n]$，$S$的一个$r$ -着色是\emph{rainbow $k$-AP-free}，如果它不包含彩虹$k$ -项等差数列.令$g_{r,k}(S)$表示$S$的彩虹$k$ -无AP $r$ -着色的数目。对于足够大的$n$和固定整数$r\ge k\ge 3$，我们证明了$g_{r,k}(S)<g_{r,k}([n])$对于任何真子集$S\subset [n]$。进一步证明了$\lim_{n\to \infty}g_{r,k}([n])/(k-1)^n= \binom{r}{k-1}$ .我们的结果是渐近最佳可能的，并意味着，几乎所有的彩虹$k$ -AP-免费$r$ -着色的$[n]$只使用$k-1$颜色。
2022-03-23 math.CO
A Marstrand theorem for subsets of integers
本文提出了Z的子集的计数维数，并证明了在一定的条件下，对几乎每个实λ，在两个这样的子集E和F上，E+[λF]的计数维数至少是1与E和F的计数维数之和之间的最小值.此外，若E和F的计数维数之和大于1，则E+[λF]几乎对每个λ都有正的上Banach密度.当E、F是算术集合时，例如具有整数系数的多项式的整数值，结果具有直接后果。
2013-09-23 math.CO math.DS
On sum-intersecting families of positive integers
本文研究 {1,…,n} 上任意两子集交集均含 x+y=z 的和相交族规模，猜想上界为 2^n/4，并证明了 0.32·2^n 的上界。
2023-04-27 math.CO
The complexity of solution-free sets of integers
给定一个线性方程L，一个整数集合A是L-自由的，如果A不包含L的任何非平凡解。Meeks和Treglown证明了对于某些类型的线性方程，判定给定的整数集合是否包含给定大小的无解子集是NP完全的。此外，对于包含三个变量的方程，他们证明了确定最大无解子集的大小的问题是APX困难的，并且对于两个这样的方程（表示无和无级数集），确定是否存在至少具有指定比例元素的无解子集的问题也是NP完全的。我们回答了一些问题所提出的米克斯和Treglown，通过扩展上述结果的所有线性方程，并表明，这些问题仍然很难的整数集的元素是多项式有界的大小设置。对于这些结果中的大多数，只要系数不都具有相同的符号，整数就可以都是正的。我们还考虑了一个给定集合的无解子集的计数问题，并证明了这个问题是P-完全的任何线性方程在至少三个变量。
2018-12-20 math.CO
Sets of integers with no large sum-free subset
Centre for Mathematical Sciences（数学科学中心）
该研究解答了Erdos1965年的问题，证明对任意小正数eps，存在n元整数集，其足够大的子集必含满足x+y=z的三元组，丰富了整数集结构相关研究。
2026-07-30 math.CO math.NT
Infinite co-minimal pairs in the integers and integral lattices
给定一个群$G$的两个非空子集$A, B$，如果$A \cdot B = G$和$A' \cdot B \subsetneq G$对任何$\emptyset \neq A' \subsetneq A$和$A\cdot B' \subsetneq G$对任何$\emptyset \neq B' \subsetneq B$，则称它们形成一个余最小对。在这篇文章中，我们给出了整数格和整格中余极小对的几个新结果。证明了对任何$d\geq 1$，群$\mathbb{Z}^{2d}$允许无穷多个自同构，使得对于每个自同构$σ$，存在$\mathbb{Z}^{2d}$的子集$A$，使得$A$和$σ(A)$形成余极小对.具有无限基数的子集$A$和$B$（$A\neq B$）的整数中的余极小对的存在性和构造是未知的。我们表明，这样的对存在，并明确构建这些对满足一些代数性质。
2020-05-22 math.CO math.NT
Shape of the asymptotic maximum sum-free sets in integer lattice grids
我们确定的形状的所有无和集$\{1,2,\ldots,n\}^2$的大小接近最大值$\frac{3}{5}n^2$，解决了一个问题的Elsholtz和拉克姆。我们证明了所有这样的渐近最大和自由集完全位于条纹$\frac{4}{5}n-o(n)\le x+y\le\frac{8}{5}n+ o(n)$中。我们还确定了任何正整数$p$的子集$A\subseteq \{1,2,\ldots,n\}^2$的最大大小，禁止满足$px+py=z$的三元组$(x,y,z)$。
2022-08-18 math.CO
Imperfect friezes of integers
证明了对于任意正向密度子集N \subset Z，存在一个整数m>0，使得对于所有n>m，N包含任意先前选择的整数的有限集的几乎完美的n-标度复制.
2009-09-30 math.CO math.NT
The maximum product of sizes of cross-$t$-intersecting uniform families
如果$A$和$B$至少有$t$公共元素，则我们说集合$A$ \emph{$t$-intersects}是集合$B$。如果$\mathcal{A}$中的每个集合$t$ -与$\mathcal{B}$中的每个集合相交，则两个家族$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$被称为\emph{cross-$t$-intersecting}。对于任何正整数$n$和$r$，令${[n] \choose r}$表示$\{1,2,\dots, n\}$的所有$r$元素子集的族。证明了对任意整数$r$，$s$和$t$，若$1 \leq t \leq r \leq s$为$1 \leq t \leq r \leq s$，则存在一个整数$n_0(r,s,t)$使得对任意整数$n \geq n_0(r,s,t)$，若$\mathcal{A} \subset {[n] \choose r}$和$\mathcal{B} \subset {[n] \choose s}$使得$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$为$t$ -交叉，则为$|\mathcal{A}||\mathcal{B}| \leq {n-t \choose r-t}{n-t \choose s-t}$，且等式成立当且仅当对某个$T \in {[n] \choose t}$，$\mathcal{A} = \{A \in {…
2013-12-11 math.CO
On the minimum size of subset and subsequence sums in integers
令$\mathcal{A}$是由$k$不同整数组成的$rk$项序列，每个整数在$\mathcal{A}$中精确地出现$r$次。$\mathcal{A}$的子序列的所有项之和称为$\mathcal{A}$的子序列和。对于非负整数$α\leq rk$，令$Σ_α (\mathcal{A})$为对应于长度为$α$或更长的序列的$\mathcal{A}$的所有子序列和的集合。当$r=1$时，我们将子序列和称为子集和，并将$Σ_α (\mathcal{A})$写成$Σ_α (A)$。在这篇文章中，使用一些简单的组合参数，我们建立$Σ_α (A)$和$Σ_α (\mathcal{A})$的大小的最佳下界。作为特例，我们也得到了一些已知的结果。
2022-11-23 math.CO math.NT
Every finite set of integers is an asymptotic approximate group
一个集合$A$是加法阿贝尔群$G$中的一个$(r,\ell)$ -近似群，如果$A$是$G$的一个非空子集，并且存在$G$的一个子集$X$使得$|X| \leq \ell$和$rA \subseteq X+A$ .集合$A$是渐近$(r,\ell)$ -近似群，如果和集合$hA$对于所有充分大的整数$h$是$(r,\ell)$-近似群。证明了整数的每一个有限集对于每一个整数$r \geq 2$都是渐近$(r,r+1)$ -近似群.
2016-01-14 math.CO math.NT
Bipartite divisor graphs for integer subsets
灵感来自马克·L. Lewis，在公因数图$\Ga(X)$和素顶点图$Δ(X)$之间，对于正整数的集合$X$，我们定义了二分因子图$B(X)$，并表明这些连接中的许多连接自然地从$B(X)$的性质流出。特别是，我们建立这三个图的参数之间的联系，如组件的数量和直径，我们将出现的二部图，作为$B(X)$的一些$X$。此外，我们得到的充要条件，在$B(X)$的子配置方面，一个$Γ(X)$或$Δ(X)$，以包含一个完全的子图的大小为3或4。
2009-10-28 math.CO math.GR
The Maximum Number of Subset Divisors of a Given Size
如果$s$是一个正整数，$A$是一组正整数，我们说$B$是$s$ -除数的$A$，如果$\sum_{b\in B} b\mid s\sum_{a\in A} a$。本文研究了$n$ -元素集的能成为$s$ -因子的$k$ -子集的最大个数.我们提供了一个反例Huynh的猜想，$s=1$，答案是$\binom{n-1}{k}$，只有100多个例外，但证明，增加一个必要条件，使这为真。此外，我们表明，在一个类似的条件下，答案是$\binom{n-1}{k}$只有100多个例外，每个$s$。
2015-05-20 math.CO
Integer Subsets with High Volume and Low Perimeter
我们考虑一个特定的变化的“等周问题”采用的子集的非负整数。更具体地说，我们探索了OEIS A186053中描述的序列P（n）。我们提供了P（n）的第一个精确公式，包括涉及辅助函数的多重递归关系，以及简洁而令人满意的表示，甚至是准显式公式。我们还讨论了一些复杂的分形对称的序列，以及计算P（n）的算法的发展。最后，我们提出了一些有待进一步研究的开放性问题。注意，这是一个更先进的，但更简洁的版本，以前的arXiv论文arXiv：1107.2954的名称为“集与高容量和低周长”。
2012-02-07 math.CO math.NT
The number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords提出了$\{1, \dots , n\}$中有多少个极大和自由集的问题，给出了$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的下界。本文证明了在$\{1, \dots , n\}$中实际上至多存在$2^{(1/4+o(1))n}$极大和自由集。我们的证明利用了Green的容器引理和移除引理，以及Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin关于无和集结构的结果。
2014-09-19 math.CO math.NT
Dense subsets of products of finite trees
我们证明了有限密度Halpern-Läuchli定理的“统一”版本。具体地说，我们说树$T$是齐次的，如果它是唯一根的，并且有一个整数$b\geq 2$，称为$T$的分支数，使得每个$t\in T$都有$b$直接后继。我们展示以下内容。对于每个整数$d\geq 1$，每个具有$b_i\geq 2$的$b_1,...,b_d\in\mathbb{N}$，对于所有$i\in\{1,...,d\}$，每个整数$k\meg 1$和每个实数$0<ε\leq 1$，存在具有以下性质的整数$N$。如果$(T_1,...,T_d)$是齐次树，使得对于所有$i\in\{1,...,d\}$，$T_i$的分支数是$b_i$，$L$是基数至少为$N$的$\mathbb{N}$的有限子集，并且$D$是对于每个$n\in L$满足\[|D\cap \big(T_1(n)\times ...\times T_d(n)\big)| \geq ε|T_1(n)\times ...\times T_d(n)|\]的$(T_1,...,T_d)$的水平积的子集，则存在高度为$k$的$(T_1,...,T_d)$的强子树$(S_1,...,S_d)$并且具有公共水平集使得$(S_1,...,S_d)$的水平积为包含在$D$中。具有此性质的最小整数$N$将由$UDHL(b_1,...,b_d|k,ε)$表示。主要的一点是…
2012-09-22 math.CO
Integer diagonal forms for subset intersection relations
本文推广了 Wilson 和 Bier 的工作，描述了子集相交关系下关联矩阵及其在 Bose-Mesner 代数中线性张成矩阵的 Smith 群，给出了计算相关图临界群的有效算法，并首次给出了大小为 3 的 Kneser 和 Johnson 图相关矩阵的对角形式。
2024-11-18 math.CO
Sharp bound on the number of maximal sum-free subsets of integers
Cameron和Erdwords问，在$\{1, \dots , n\}$中，\emph{maximal}无和集的数量是否比无和集的数量小小于。在同一篇论文中，他们给出了极大自由和集个数的$2^{\lfloor n/4 \rfloor }$的一个下界。在这里，我们证明了以下几点：对于每个$1\leq i \leq 4$，有一个常数$C_i$，使任何$n\equiv i \mod 4$，$\{1, \dots , n\}$包含$(C_i+o(1)) 2^{n/4}$最大和自由集。我们的证明利用了Green的容器和移除引理，Deshouillers，Freiman，Sós和Temkin的结构结果，以及Green和Morris最近关于小和集整数子集的数量的限制。讨论了阿贝尔群的极大无和子集个数的相关结果和公开问题。
2018-05-11 math.CO math.NT
Simplex--center configurations in dense subsets of Euclidean spaces and the integer lattice
该研究针对欧几里得空间及整数格的稠密子集，证明了含单形及其重心的构型的密度拉姆齐定理，在特定条件下推广了相关度量下的等距副本存在性结果。
2026-08-21 math.CO math.MG math.NT
A new approach to the results of Kövari, Sós, and Turán concerning rectangle-free subsets of the grid
对于正整数$m$和$n$，将$f(m,n)$定义为最小整数，使得具有$|A| \geq f(m,n)$的$m \times n$整数网格的任何子集$A$都包含矩形;也就是说，存在$x\in [m]$、$y \in [n]$和$d_{1},d_{2} \in \mathbb{Z}^{+}$，使得所有四个点$(x,y)$、$(x+d_{1},y)$、$(x,y+d_{2})$和$(x+d_{1},y+d_{2})$都包含在$A$中。在\cite{kovarisosturan}中，Kövari、Sós和Turán证明了$\dlim_{k \to \infty}\dfrac{f(k,k)}{k^{3/2}} = 1$。他们还表明，只要$p$是素数，$f(p^{2},p^{2}+p) = p^{2}(p+1)+1$。我们恢复他们的渐近结果和加强第二，提供清洁的证据，利用连接到投影平面，首先注意到门德尔松在\cite{mendelsohn87}。我们还提供了一个明确的下界$f(k,k)$，它适用于所有$k$。
2012-10-21 math.CO
A Salem-Spencer-Type Construction for Large Subsets of Integer Grids with No Isosceles Right Triangles
HUN–REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与教育网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Eötvös University（厄特沃什大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Óbuda University（奥比达乌斯大学）
研究整数格子集规模\(F(n)\)，通过改进的塞勒姆 - 斯宾塞型构造证明\(F(n)=\Omega(n^{1.3})\)，虽最佳上界为\(F(n)\ll n^2/(\log n)^{1 + c}\)，但两者差距仍大。
2026-07-28 math.CO math.NT
Canonical theorems for colored integers with respect to some linear combinations
Hindman证明，在1979年，无论如何自然数着色r颜色，为一个固定的正整数r，有一个无限子集X的号码和颜色t这样的任何有限的非空子集X'的X，颜色的总和的元素从X'是t。后来，泰勒将这个结果推广到有限和上的颜色数不受限制且有五种不可避免的颜色模式的着色。这个结果被称为Hindman定理的经典化，并与Erdos和Rado的经典Ramsey定理平行。我们将Taylor的结果从系数为1的线性组合的和推广到系数为1和-1的多个线性组合。这些结果反过来又可以解释为无穷系统解的正则型定理。
2021-09-21 math.CO
Large sum-free subsets of sets of integers via $L^1$-estimates for trigonometric series
针对Erdős提出的加法组合学长期问题，通过三角级数的$L^1$估计证明：任意$n$元整数集含大小至少为$n/3+c\boldsymbol{\text{log log}}n$的无和子集，解决了该领域经典难题。
2025-02-12 math.CA math.CO math.NT
Integer decomposition property of free sums of convex polytopes
设$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^{d}$和$\mathcal{Q} \subset \mathbb{R}^e$分别是包含$\mathbb{R}^e$和$\mathbb{R}^{d}$原点的$d$和$e$的整凸多胞体.本文在一定的假设下，给出了$\mathcal{P}$与$\mathcal{Q}$的自由和具有整数分解性质的充要条件.
2014-10-20 math.AC math.CO
Subsets of Products of Finite Sets of Positive Upper Density
本文证明了对每个正整数序列$(m_q)_{q}$和对每个实$0<δ\leqslant1$都有一个正整数序列$(n_q)_{q}$，使得对每个有限集序列$(H_q)_{q}$，使得对每个$q\in\mathbb{N}$和对每个$D\subseteq \bigcup_k\prod_{q=0}^{k-1}H_q$都有$|H_q|=n_q$，且性质为$$\limsup_k \frac{|D\cap \prod_{q=0}^{k-1} H_q|}{|\prod_{q=0}^{k-1}H_q|}\geqslantδ$$，存在一个序列$(J_q)_{q}$，其中对所有$q$都有$J_q\subseteq H_q$和$|J_q|=m_q$，使得对于无穷多个$k.$的$\prod_{q=0}^{k-1}J_q\subseteq D$这给了我们一个著名的拉姆齐理论结果的密度版本。利用序列$(m_q)_{q}$给出了序列$(n_q)_{q}$的一些估计.
2012-11-16 math.CO
Extremal Problems for Subset Divisors
令$A$是$n$正整数的集合。我们说$A$的子集$B$是$A$的除数，如果$B$中元素的和除以$A$中元素的和。我们感兴趣的是下面的极值问题。对于每个$n$，一组$n$正整数的最大约数是多少？我们对$n$的所有值都精确地确定了这个函数。此外，对于每个$n$，我们的特点是所有集，达到最大值。我们还证明了我们的问题的$k$子集模拟的结果。对于这种变体，我们确定的功能正是在特殊情况下，$n=2k$。我们还描述了所有集，达到这个界限时，$n=2k$。
2014-09-19 math.CO
The Postage Stamp Problem and Essential Subsets in Integer Bases
Plagne最近确定了函数E（h）的渐近行为，该函数计算了h阶N的加法基中基本元素的最大可能数量。在这里，我们通过研究函数E（h，k）的渐近行为来扩展他的调查，该函数在h阶的基础上计算大小为k的本质子集的最大可能数量。对于固定的k，当h趋于无穷大时，证明了E（h，k）= Θ_{k}（[h^{k}/ \log h]^{1/（k+1）}）.一个更精确的渐近公式的确定取决于有限循环群中著名的“邮票问题”的解决方案。另一方面，当h固定且k趋于无穷大时，证明了E（h，k）\sim（h-1）{ \log k \over \log \log k}.
2008-07-02 math.CO math.NT
On the construction of a family of sets of positive integers closed under taking subsets
本文构造了字母表{0,1}上的单侧无穷序列与一类在取子集运算下封闭的正整数集合族之间的显式双射及其逆映射，并利用该双射通过离散动力系统刻画了特定集合族的极值性质。
2024-12-30 math.CO math.NT
k-fold Sidon sets
令$k \geq 1$为整数。一个集合$A \subset \mathbb{Z}$是$k$ -fold Sidon集合，如果$A$对于形式为$c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 + c_4 x_4 = 0$的每个方程只有平凡解，其中$0 \leq |c_i | \leq k$，和$c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = 0$ .证明了对任意整数$k \geq 1$，$k$ -fold Sidon集$A \subset [N]$至多有$(N/k)^{1/2} + O((Nk)^{1/4})$元素.事实上，我们证明，任何$k$正整数$c_1<\cdots <c_k$，任何一组$A\subset [N]$，只包含平凡的解决方案，$c_i(x_1-x_2)=c_j(x_3-x_4)$为每个$1 \le i \le j \le k$，有最多$(N/k)^{1/2}+O((c_k^2N/k)^{1/4})$元素。另一方面，对于任何$k \geq 2$，我们可以展示$k$正整数$c_1,\dots, c_k$和一个集合$A\subset [N]$与$|A|\ge (\frac 1k+o(1))N^{1/2}$，使得$A$只有平凡的解决方案，$c_i(x_1 - x_2) = c_j (x_3 - x_4)$为每个$1 \le i \le j\le k$。
2013-12-17 math.CO
Sum-free Sets of Integers with a Forbidden Sum
一组整数是无和的，如果它不包含方程$x+y=z$的解。我们研究了整数集合$[n]=\{1,\ldots,n\}$的无和子集，其中整数$2n+1$不能表示为它们的元素之和。我们证明了这些集合的数量，它匹配，直到一个乘法常数，下限通过考虑所有子集的$B_n = \{ \lceil \frac{2}{3}(n+1) \rceil, \ldots, n \}$的$O(2^{n/3})$的一个界限。证明中的一个主要成分是一个稳定性定理，即如果$[n]$的一个子集的大小接近于$|B_n|$，只包含少数几个与无和或禁止和相矛盾的子集，那么它几乎包含在$B_n$中。我们的结果是由素数阶循环群的对称完全无和子集的计数问题得到的。证明涉及Freiman的$3k-4$定理，格林的算术删除引理，超图的独立集的结构结果。
2018-12-22 math.CO math.GR math.NT
Asymptotic complements in the integers
令$W\subseteq \mathbb{Z}$为整数的非空子集。一个非空集$C\subseteq \mathbb{Z}$称为$W$的渐近补，如果$W+C$包含除有限大小的集合之外的几乎所有整数。如果$C$是渐近补，则称$C$是最小渐近补，但$C\setminus \lbrace c\rbrace$不是渐近补$\forall c\in C$。渐近补已经研究的背景下表示的整数，因为时间的Erdens，Hanani，洛伦兹和其他人，而概念的最小渐近补是由于内桑森。本文研究了$\mathbb{Z}$中的极小渐近补，并讨论了Nathanson关于极小渐近补的存在性和不存在性问题.
2019-12-10 math.CO math.NT
On the structure of subsets of the discrete cube with small edge boundary
离散立方体中的边等周不等式为每对整数$m$和$n$指定了$\{0,1\}^{n}$的$m$ -元素子集的边边界的最小尺寸$g_n(m)$;极值族（直到离散立方体的自同构）是$\{0,1\}^n$上字典序的初始段。我们证明了对于任何$m$ -元素子集$\mathcal{F} \subset \{0,1\}^n$和任何整数$l$，如果$\mathcal{F}$的边边界的大小至多为$g_n(m)+l$，则存在极值族$\mathcal{G} \subset \{0,1\}^n$使得$|\mathcal{F} Δ\mathcal{G}| \leq Cl$，其中$C$是一个绝对常数.这是最好的可能性，高达$C$的价值。我们的结果可以被看作是一个“稳定”的版本的边缘等周不等式的离散立方体，并作为一个离散的模拟的种子稳定的结果Fusco，Maggi和Pratelli关于等周不等式在欧几里得空间。
2018-05-25 math.CO
On product Schur triples in the integers
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；London School of Economics（伦敦政治经济学院）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文研究了整数中乘积Schur三元组的性质，探讨了在不同环境下避免单色解a+b=c的着色问题。
2025-02-19 math.CO
On the structure of large sum-free sets of integers
一个整数集合称为无和的，如果它不包含不一定与$x+y=z$不同的元素的三元组$(x,y,z)$。本文给出了密度至少为$2/5-c$的$\{1,2,\ldots,n\}$的无和子集的结构特征，其中$c$为绝对正常数.作为应用，我们导出了关于$\{1,2,\ldots,n\}$中两个无和集之并的最大尺寸的胡氏定理[Proc.Amer.Math.Soc.80（1980），711-712]的稳定性版本。然后，我们使用这个结果表明，可以划分为两个无和集的$\{1,2,\ldots,n\}$子集的数量是$Θ(2^{4n/5})$，证实了Hancock，Staden和Treglown的猜想[arXiv：1701.04754]。
2018-08-10 math.CO
The upper logarithmic density of monochromatic subset sums
我们表明，在任何两个着色的正整数有一种颜色，可以表示为不同的元素与这种颜色的总和的正整数的集合具有上对数密度至少$(2+\sqrt{3})/4$，这是最好的可能。这回答了一个40年前的Erdos问题。
2022-09-22 math.CO math.NT
Subset sums, completeness and colorings
我们开发了新的技术，使我们能够证明各种各样的结果有关的子集和完整的序列的正整数，包括解决方案，一些长期存在的开放问题。其中包括：Burr和Erdés关于Ramsey完全序列的三个问题的解决方案，Erdés后来提供了350美元的合并总额;密度完全序列的新概念的类似结果; Alon和Erdés关于着色小于$n$的正整数所需的最小颜色数的猜想的解决方案，因此$n$不能被写为单色和;确切确定的极值功能介绍了Erdés和格雷厄姆的整数集，避免了一个给定的子集和，并回答了一个问题，重申了几个作者，一个均匀的加强一个开创性的结果Szemerédi和武对长期等差数列的子集和。
2021-04-30 math.CO math.NT
Sets Arising as Minimal Additive Complements in the Integers
阿贝尔群$G$的子集$C$是$W \subseteq G$的最小加法补，如果对任意真子集$C' \subset C$，$C + W = G$和$C' + W \neq G$都是。在本文中，我们研究了哪些整数集合作为最小加法补出现。我们证实了Kwon的一个猜想，证明了具有任意大间隙的有界下集是作为最小的加法补充而出现的。此外，我们的建设表明，任何这样的集合属于一个共同的最小对，加强了一个结果的Biswas和Saha的空缺序列。我们绑定的上，下Banach密度的syndetic集，作为最小的添加剂补充有限集。本文给出了最终周期集成为极小可加补集的若干必要条件，并证明了这些必要条件对于某些类最终周期集也是充分的.最后，我们给出了关于极小可加补数结构的几个定理和问题。
2020-07-09 math.CO math.NT
On sets of integers which contain no three terms in geometric progression
寻找不含三项等差数列的自然数子集的问题有着悠久的历史。罗斯定理著名地表明，任何这样的子集都不可能有正的上密度。与此相反，兰金在1960年建议研究没有三项等比数列的子集，并构建了这样一个密度约为0.719的子集。最近，一些作者已经找到了这样的集合的上密度的上界。我们显着改善这些界限，并展示了一种方法，构建一个更大的上密度比Rankin的集。这种结构是最佳的意义上说，我们的方法给出了一种有效地计算最大可能的上密度的几何级数自由集。我们还表明，等比数列在Z/nZ的行为更像罗斯定理中，不能采取任何固定的正比例的整数模足够大的值n，同时避免等比数列。
2013-10-08 math.CO math.NT
On the complexity of finding and counting solution-free sets of integers
给定一个线性方程$\mathcal{L}$，一个整数集合$A$是$\mathcal{L}$-free的，如果$A$不包含任何$\mathcal{L}$的"非平凡"解。这个概念包含了组合数论中的许多中心主题，如无和集和无级数集。在本文中，我们开始研究（参数化）的复杂性问题，涉及$\mathcal{L}$-免费的整数集。我们考虑的主要问题涉及到决定一个有限的整数集$A$是否有一个给定大小的$\mathcal{L}$自由子集，并计算所有这样的$\mathcal{L}$自由子集。我们还提出了一些悬而未决的问题。
2017-04-12 cs.CC math.CO
The number of subsets of integers with no $k$-term arithmetic progression
解决问题的卡梅隆和Erd \Ho s，我们表明，对于无限多的值的$n$，$\{1,2,\ldots, n\}$的子集，不包含一个$k$ -长期等差数列的数量是最多$2^{O(r_k(n))}$，其中$r_k(n)$是最大的基数的一个子集的$\{1,2,\ldots, n\}$没有$k$ -长期等差数列。这个界限是最优的，直到指数中的常数因子。对于$n$的所有值，我们证明了一个较弱的边界，这仍然是足以转移到稀疏随机设置的当前最佳上限$r_k(n)$。为了达到这些界限，我们建立了一个新的过饱和结果，它大致说明，集的大小$Θ(r_k(n))$包含超线性许多$k$ -长期算术级数。对于整数$r$和$k$，Erd \Ho询问是否存在一组没有$(k+1)$ -项等差数列的整数$S$，但是使得$S$的任何$r$ -着色产生单色的$k$ -项等差数列。奈舍特基尔和罗德尔，以及独立的斯宾塞，肯定地回答了这个问题。我们证明了以下密度版本：对于每一个$k\ge 3$和$δ>0$，存在一个合理密集的素数子集$S$没有$(k+1)$ -项等差数列，但每一个$U\subseteq S$的大小$|U|\geδ|S|$包含一个$k$ -项等差数列。我们的证明使用超图容器方法，这已被证明是一个非常强大的工具，在极值组合。容器方法背后的想法是用一个小证书集来描述一个大的独立集。我们在附录中给出了使用这个思想的两个进一…
2016-05-10 math.CO math.NT
On solution-free sets of integers
给定一个线性方程$\mathcal{L}$，一个集合$A \subseteq [n]$是无$\mathcal{L}$的，如果$A$不包含任何$\mathcal{L}$的“非平凡”解。在本文中，我们考虑以下三个一般性问题：（一）什么是最大的$\mathcal{L}$ -自由子集的$[n]$的大小？(ii)$[n]$有多少个不含$\mathcal{L}$的子集？(iii)$[n]$有多少个最大无$\mathcal{L}$子集？我们完全解决了（i）当$\mathcal{L}$是固定$p,q\in \mathbb N$的方程$px+qy=z$时的情况，其中$p\geq 2$。此外，直到一个乘法常数，我们回答（ii）为广泛的一类这样的方程$\mathcal{L}$，从而细化一个特殊情况下的结果绿色。对于三元齐次线性方程组$\mathcal{L}$，我们给出了$[n]$的极大无$\mathcal{L}$子集个数的各种界.为此，我们使用Green的容器和移除引理。
2016-10-19 math.CO math.NT
Twisted patterns in large subsets of $\mathbb{Z}^N$
设$E \subset \mathbb{Z}^N$是一个正的上Banach密度集，$Γ< \operatorname{GL}_N(\mathbb{Z})$是一个强不可约子群，其在$\operatorname{GL}_N(\mathbb{R})$中的Zeromki闭包是一个Zeromki连通半单群，不含紧因子.设$Y$为任意集合，并假定$Ψ: \mathbb{Z}^N \rightarrow Y$是$Γ$不变函数.证明了对任意正整数$m$，存在正整数$k$，并证明了对任意具有$|F| = m$的有限集$F \subset \mathbb{Z}^N$，存在\[ Ψ(kF) \subset Ψ(E-b) \quad \textrm{for some $b \in E$}. \].作为这个结果的一个应用，我们证明了如果$E_o \subset \mathbb{Z}$具有正的上Banach密度，那么对于任何整数$m$，存在一个具有\emph{every}有限集$F \subset \mathbb{Z}$性质的整数$k$，我们可以找到$x,y,z \in E_o$使得\[ k^2 F \subset \big\{ (u-x)^2 + (v-y)^2 - (w-z)^2 \, : \, u,v,w \in E_o \big\}. \]特别地，如果$E_o \subset \mathbb{Z}$是…
2015-12-06 math.CO math.DS math.NT
On a generalisation of Roth's theorem for arithmetic progressions and applications to sum-free subsets
我们证明了Roth定理对于等差数列到d-构形的推广，d-构形是形式为{n_i+n_j+a}_{1 \leq i \leq j \leq d}的集合，其中a，n_1，.，n_d是非负整数，使用Roth的原始密度增量策略和Gowers一致范数。然后我们利用这个推广改进了Sudakov，Szemerédi和Vu关于无和子集的一个结果，并证明了任何n个整数的集合包含一个大小至少为log n（log log log n）^{1/32772 - o（1）}的无和子集。
2012-11-14 math.CO math.NT
An output-sensitive Algorithm to partition a Sequence of Integers into Subsets with equal Sums
提出一种多项式时间算法，解决将整数集合划分为指定数量和相等和的子集的非标准划分问题，并给出输出敏感的复杂度界。
2019-02-18 cs.DS math.CO
Maximally additively reducible subsets of the integers
本文研究整数集合的加法因子，证明了包含0或不包含0的特定区间在对应子集中具有最多因子，并利用 lunar 乘法解决了相关猜想。
2019-08-14 math.CO math.NT
A Marstrand type slicing theorem for subsets of $\mathbb{Z}^2 \subset \mathbb{R}^2$ with the mass dimension
本文针对平面中 $1$ 分离子集及整数格点特例，证明了带质量维数的 Marstrand 型切片定理，补足了相应投影定理的对偶问题。
2024-05-22 math.CO math.DS
Long regularly-spaced and convex sequences in dense sets of integers
设A是在有限区间内稠密的整数集.我们建立了A和A-A的最长正则凸子集的上界和下界。
2020-09-01 math.CO math.NT
On solution-free sets of integers II
给定一个线性方程$\mathcal{L}$，一个集合$A \subseteq [n]$是无$\mathcal{L}$的，如果$A$不包含任何$\mathcal{L}$的“非平凡”解。我们确定的精确大小的最大$\mathcal{L}$ -自由子集的$[n]$为几个一般类的线性方程$\mathcal{L}$的形式$px+qy=rz$为固定$p,q,r \in \mathbb N$其中$p \geq q \geq r$。进一步，对于所有这样的线性方程组$\mathcal{L}$，我们给出了$[n]$的最大无$\mathcal{L}$子集个数的上界.在$p=q\geq 2$和$r=1$的情况下，该界限精确到指数中的误差项。我们利用Green的容器引理和移除引理证明了这个结果。我们的结果也扩展到各种线性方程组的三个以上的变量。
2017-07-25 math.CO math.NT
Combinatorial formulas for arithmetic density
令$d_S$表示子集$S \subseteq \mathbb N$的算术密度。我们在$q\in \mathbb C$中得到一个幂级数$|q|<1$，它的系数与整数分拆和整数合成有关，在径向上得到极限为$q\to 1$的$1/d_S$.
2022-08-25 math.CO math.NT
