Maximum $k$-sum $\mathbf{n}$-free sets of the 2-dimensional integer lattice
对于正整数$n$，令$[n]$表示$\{1, \ldots, n\}$。对于2维整数格点$\mathbf{b}$和正整数$k\geq 2$和$n$，$[n]\times [n]$的\textit{$k$-sum $\mathbf{b}$-free set}是$[n]\times [n]$的子集$S$，使得在$S$中没有满足${\mathbf{a}}_1+\cdots+{\mathbf{a}}_k =\mathbf{b}$的元素${\mathbf{a}}_1, \ldots, {\mathbf{a}}_k$。对于二维整数格点$\mathbf{b}$和正整数$k\geq 2$和$n$，我们确定了$[n]\times [n]$的{ $k$ -sumPDMATHABMP-free set}的最大密度.这是第一次调查的非齐次和自由集问题在更高的层面。
2019-03-12 math.CO
On tiling the integers with $4$-sets of the same gap sequence
将一个集合分割成相似的（如果不是相同的话）部分是组合学中的一个基本研究课题。在历史上，人们一直在考虑用各种方法划分整数的问题。给定一个整数集合$\{x_1, \ldots, x_n\}$，其中$x_1<\cdots<x_n$，设这个集合的{ \it间隔序列}是非减序列$d_1, \ldots, d_{n-1}$，其中$\{d_1, \ldots, d_{n-1}\}$等于作为多重集合的$\{x_{i+1}-x_i:i\in\{1,\ldots, n-1\}\}$。本文解决了以下问题，这是明确地问Nakamigawa：一组整数可以划分成具有相同的间隙序列集？这个问题对于任何空位序列的长度最多为2的集合都是成立的。本文提供的证据表明，这个问题是真实的间隙序列的长度为3。也就是说，我们证明了给定正整数$p$和$q$，存在正整数$r_0$使得对所有$r\geq r_0$，整数集都能被划分成具有间隙序列$p, q$，$r$的$4$ -集.
2016-05-11 math.CO
Point Sets with Small Integer Coordinates and with Small Convex Polygons
1935年，Erdés和Szekeres证明了平面上一般位置上的每一组$n$点都包含一个由$\frac{1}{2}\log_2(n)$顶点组成的凸多边形的顶点。1961年，他们对每个正整数$t$构造了一个在平面上一般位置的$n:=2^{t-2}$点集，使得顶点在这个点集中的凸多边形至多有$\log_2(n)+1$顶点。在本文中，我们将展示如何实现他们的建设在一个整数网格大小$O(n^2 \log_2(n)^3)$。
2017-07-12 math.CO
Sets of integers avoiding congruent subsets
考虑整数集合$A$，它避免了$g$全等$h$子集的任何排列。我们的研究结果完善和改进了Erdés和Harzheim关于这些集合的一些结果。
2013-06-27 math.CO math.NT
On Lattices of Regular Sets of Natural Integers Closed under Decrementation
我们考虑格的正规集的非负整数，即集定义在Presbuger算术。我们证明，如果这样的格是关闭下减量，那么它也是关闭下许多其他功能：由一个整数，根，等等。
2013-10-04 cs.DM math.CO
Sets of iterated Partitions and the Bell iterated Exponential Integers
众所周知，贝尔数表示一个n-集合的划分总数。类似地，第二类斯特林数表示n-集合的k-划分的数量。在本文中，我们介绍了一定的分区过程，产生了一系列的“嵌套”分区集。我们证明了在阶段m，结果集的基数将等于m阶贝尔数。这种集合论的解释使我们能够自然地定义高阶Stirling数，并研究这些实体的组合学。探讨了所构造的“超划分”集的元素的基数。
2019-03-20 math.CO
Integer Sets of Large Harmonic Sum Which Avoid Long Arithmetic Progressions
本研究给出数字受限整数集不含k项算术级数的条件，通过大规模搜索找到不含4项与10项算术级数且调和和优于传统贪心构造的整数集，可高效计算相关集合与调和和。
2025-09-04 math.CO math.NT
Separation of integer points by a hyperplane under some weak notions of discrete convexity
给出了两个整点集被超平面分离的若干充分条件。我们的条件与凸的整数点集的概念，比现有的概念弱。
2010-02-15 math.CO
On the structure of large sum-free sets of integers
一个整数集合称为无和的，如果它不包含不一定与$x+y=z$不同的元素的三元组$(x,y,z)$。本文给出了密度至少为$2/5-c$的$\{1,2,\ldots,n\}$的无和子集的结构特征，其中$c$为绝对正常数.作为应用，我们导出了关于$\{1,2,\ldots,n\}$中两个无和集之并的最大尺寸的胡氏定理[Proc.Amer.Math.Soc.80（1980），711-712]的稳定性版本。然后，我们使用这个结果表明，可以划分为两个无和集的$\{1,2,\ldots,n\}$子集的数量是$Θ(2^{4n/5})$，证实了Hancock，Staden和Treglown的猜想[arXiv：1701.04754]。
2018-08-10 math.CO
Integer packing sets form a well-quasi-ordering
整数包装集是具有以下性质的非负整数向量的集合：如果向量$x$在该集合中，则具有$y \leq x$的每个非负整数向量$y$也在该集合中.随机包装集自然出现在随机优化中。事实上，任何填充多面体中的整数点集都是整数填充集。本文的主要结果是，整数包装集，包括有序，形成良好的拟序。这一结果使我们能够回答最近提出的问题Bodur等人。事实上，我们证明了k-聚集封闭的任何包装多面体再次包装多面体。我们的主要结果的一般性，使我们能够提供一个推广到非多面体集：的k-聚集闭包的任何下集的$\mathbb{R}^n_+$是一个包装多面体。
2020-05-30 math.CO math.OC
A characterization of finite sets that tile the integers
我们考虑的问题的特点有限集瓷砖的整数的平移。Coven和Meyerowitz（J. Algebra 1999）在假设|A|最多有2个不同的素因子的情况下，找到了有限集A可以拼接整数的充要条件。这篇文章的目的是解决，第一次，某些三素数的情况。
2001-09-19 math.CO math.NT
Linearly repetitive Delone sets Delone sets with finite local complexity: Linear repetitivity versus positivity of weights
我们考虑具有有限局部复杂度的Delone集。利用权的一致正性刻画了次可加遍历定理的有效性。后者可以被认为是线性重复性的平均版本。在这种情况下，我们表明，线性重复性是等同于积极的权重结合一定的平衡的形状的回报模式。
2012-02-27 math.CO
Long regularly-spaced and convex sequences in dense sets of integers
设A是在有限区间内稠密的整数集.我们建立了A和A-A的最长正则凸子集的上界和下界。
2020-09-01 math.CO math.NT
A Study on Semi-arithmetic Integer Additive Set-Indexers of Graphs
整数加性集合索引器被定义为内射函数$f:V(G)\rightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$，使得由$g_f (uv) = f(u)+ f(v)$定义的诱导函数$g_f:E(G) \rightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$也是内射的。一个整数加性集合索引器$f$被称为算术整数加性集合索引器，如果$G$的每个元素都被非负整数的非空集合标记，这些集合在等差数列中。一个整数加性集合索引器$f$被称为半算术整数加性集合索引器，如果$G$的顶点由非负整数的非空集合标记，这些非空集合在等差数列中，但是边不由非负整数的非空集合标记，这些非空集合在等差数列中。本文讨论了半算术整数加性集指标，建立了这类整数加性集指标的一些结果。
2014-03-25 math.CO
Integral point sets over $\mathbb{Z}_n^m$
有许多论文研究了欧几里得空间$\mathbb{E}^m$或整数网格$\mathbb{Z}^m$上的点集的性质，具有两两积分或有理距离。在这篇文章中，我们考虑的距离或坐标的点集，而不是整数是$\mathbb{Z} / \mathbb{Z}n$的元素，并研究由此产生的组合结构的性质。
2008-04-08 math.CO
On sets related to integer partitions with quasi-required elements and disallowed elements
本文研究与整数分拆相关的极小集合计算问题，并将其转化为数值半群框架求解。
2022-10-19 math.CO math.NT
On the complexity of finding and counting solution-free sets of integers
给定一个线性方程$\mathcal{L}$，一个整数集合$A$是$\mathcal{L}$-free的，如果$A$不包含任何$\mathcal{L}$的"非平凡"解。这个概念包含了组合数论中的许多中心主题，如无和集和无级数集。在本文中，我们开始研究（参数化）的复杂性问题，涉及$\mathcal{L}$-免费的整数集。我们考虑的主要问题涉及到决定一个有限的整数集$A$是否有一个给定大小的$\mathcal{L}$自由子集，并计算所有这样的$\mathcal{L}$自由子集。我们还提出了一些悬而未决的问题。
2017-04-12 cs.CC math.CO
On sets of integers not containing long arithmetic progressions
我们构造{1，...，N}的基数至少为Nexp（-C（log N）^{1/（k+1）}），不包含长度为2^k+1的等差数列。这推广了Behrend（1946）关于不包含长度为3的伪数列的集合的一个结果。
2001-08-22 math.CO math.NT
On the size of $k$-fold sum and product sets of integers
证明了如下定理：对所有正整数$b$，存在正整数$k$，使得对每个基数为$|A| > 1$的整数的有限集合$A$，存在$$ |A + ... + A| \geq |A|^b$$或$$ |A \cdot ... \cdot A| \geq |A|^b$$，其中$A + ... + A$和$A \cdot ... \cdot A$分别是$A$的元素的$k$ -倍和与乘积的集合.这是一个进展的猜想埃尔德什和Szemerédi的总和和产品集。
2003-09-03 math.CO math.NT
Sets of recurrence as bases for the positive integers
我们研究各种实值多项式$p$和衰减率$\varepsilon$的形式$A = \big\{ n \in \mathbb N \big| \lVert p(n) \rVert_{\mathbb R / \mathbb Z} \leq \varepsilon(n) \big\}$的集合。特别是，我们问，当这样的集合是基地的有限阶的正整数。我们表明，一般来说，$A$是一个基础的顺序$2$时，$\operatorname{deg} p \geq 3$，但不是当$\operatorname{deg} p = 2$，虽然然后$A + A$仍然有渐近密度$1$。
2018-07-19 math.CO math.NT
Sets of integers that do not contain Hilbert cubes of dimension 3
我们在{1，.}中构造一组正整数A，n}，其中|A| n^{2/3}不包含3维希尔伯特立方体。
2013-11-04 math.CO math.NT
Binary linear forms over finite sets of integers
设A是整数的有限集。对于多项式f（x_1，.，x_n），设f（A）= {f（a_1，.，a_n）：a_1，.，a_n \in A}。本文证明了对每对整系数的正规二元线性型f（x，y）=u_1x+v_1y和g（x，y）=u_2x+v_2y，存在任意大的整数A和B的有限集合，使得|f（A）| > |g（A）|和|f（B）| < |g（B）|.
2007-01-02 math.CO math.NT
Sums of Finite Sets of Integers, II
设$\mathcal{A}$是有限整数集，$h\mathcal{A}$表示$\mathcal{A}$的$h$ -折叠和集.令$(h\mathcal{A})^{(t)}$是$h\mathcal{A}$的子集，其由至少具有作为$\mathcal{A}$的$h$元素之和的$t$表示的所有整数组成。集合$(h\mathcal{A})^{(t)}$的结构对于所有的$h \geq h_t$是完全确定的。
2020-07-20 math.CO math.NT
Approximate arithmetic structure in large sets of integers
我们证明了，如果一个集合是“大”的意义上的Erdans，那么它近似任意长的等差数列在一个强定量意义。更具体地说，表达的差距长度$Δ$的进展方面的近似误差，我们改善了以前的结果$o(Δ)$ $O(Δ^α)$的任何$α\in (0,1)$。
2019-05-13 math.CO math.MG
On strong infinite Sidon and $B_h$ sets and random sets of integers
一个整数集$S \subset \mathbb{N}$是$α$ -强西顿集，如果它的元素的两两和相距很远，这取决于$α$，更具体地说，如果对于每个满足$\max \{x,w\} \neq \max \{y,z\}$的$x,y,z,w \in S$，$| (x+w) - (y+z) | \geq \max \{ x^α,y^α,z^α,w^α\}$.当$α$.我们还进一步扩展了这一概念，在一个自然的方式获得的第一个非平凡的$α$强无限$B_h$集的界限。在这两种情况下，我们研究的影响，这些界限的密度，分别是最大的西顿或$B_h$集包含在一个随机的无限子集的$\mathbb{N}$。我们的定理改进了Kohayakawa，Lee，Moreira和Rödl以前的结果。
2019-12-06 math.CO math.NT
Value sets of non-permutation polynomials over the residue class rings of integers
本文研究整数剩余类环上非置换多项式的值集大小，给出素数幂情形下的上界并证明其可达性，进而推广到任意正整数模数。
2023-10-31 math.CO math.NT
On $B_{h}[1]$-sets which are asymptotic bases of order $2h$
令$h,k \ge 2$为整数。一个正整数集合$A$称为$k$阶渐近基，如果每一个足够大的正整数都可以表示为来自$A$的$k$项之和.一个正整数集合$A$称为$B_{h}[g]$ -集合，如果每个正整数都可以写成来自$A$至多$g$不同方式的$h$项之和。本文用概率方法证明了$2h$阶渐近基$B_{h}[1]$集的存在性。
2022-02-28 math.CO math.NT
Sets Arising as Minimal Additive Complements in the Integers
阿贝尔群$G$的子集$C$是$W \subseteq G$的最小加法补，如果对任意真子集$C' \subset C$，$C + W = G$和$C' + W \neq G$都是。在本文中，我们研究了哪些整数集合作为最小加法补出现。我们证实了Kwon的一个猜想，证明了具有任意大间隙的有界下集是作为最小的加法补充而出现的。此外，我们的建设表明，任何这样的集合属于一个共同的最小对，加强了一个结果的Biswas和Saha的空缺序列。我们绑定的上，下Banach密度的syndetic集，作为最小的添加剂补充有限集。本文给出了最终周期集成为极小可加补集的若干必要条件，并证明了这些必要条件对于某些类最终周期集也是充分的.最后，我们给出了关于极小可加补数结构的几个定理和问题。
2020-07-09 math.CO math.NT
Inverse problems for linear forms over finite sets of integers
设f（x_1，x_2，.，x_m）= u_1x_1+ u_2x_2 +. + u_mx_m是系数为正整数的线性型，设N_f（k）= min{|f（A）|：A \subseteq Z和|A| =k}。f的最小化k-集是集合A，使得|A| =k，并且|f（A）|= N_f（k）.一个有限序列（u_1，u_2，.，u_m）称为完全正整数如果{ \sum_{j\in J} u_j：J \subseteq {1，2，..，m}} = {0，1，2，.，U}，其中$U = \sum_{j=1}^m u_j.$证明了：如果f是m元线性型，其系数序列（u_1，.，u_m）是完备的，则N_f（k）= UK-U+1，且极小化的k-集恰好是长度为k的等差数列.得到了有限整数集上线性型的其它极值结果。
2007-08-21 math.CO math.NT
An inverse theorem for sumsets of sets of positive density in the integers
本文研究了正密度集合A,B满足d(A+B)=d(A)+d(B)的条件，给出了Kneser和集不等式的新反推定理，并回答了Erdős和Graham的长期问题。
2026-04-14 math.CO math.DS math.NT
Linear forms and complementing sets of integers
令$φ(x_1,\ldots,x_h,y) = u_1x_1 + \cdots + u_hx_h+vy$是具有非零整数系数的线性形式$u_1,\ldots, u_h, v.$令$\mathcal{A} = (A_1,\ldots, A_h)$是有限整数集的$h$ -元组，令$B$是无限整数集。如下定义与形式$φ$和集合\mca \和$B$相关联的表示函数：$$ R^{(φ)}_{\mathcal{A},B}(n) = \text{card}\left( \left\{ (a_1,\ldots, a_h,b) \in A_1 \times \cdots \times A_h \times B: φ(a_1, \ldots , a_h,b ) = n \right\} \right).$$如果该表示函数是常数，则集合$B$是周期性的，并且$B$的周期将根据有限集合$\{ φ(a_1,\ldots,a_h,0): (a_1,\ldots, a_h) \in A_1 \times \cdots \times A_h\}.$的直径而有界
2008-01-02 math.CO math.NT
The Graver Complexity of Integer Programming
在这篇文章中，我们建立了整数规划的Graver复杂性的指数下界。这为整数规划的假定难解性提供了新的证据。具体地说，我们证明了完全二部图$K_{3,m}$的关联矩阵的Graver复杂度满足$g(m)=Ω(2^m)$，对于每个$m>3$都有$g(m)\geq 17\cdot 2^{m-3}-7$。
2007-11-22 cs.CC cs.DM math.AC
Tiling the integers with translates of one finite set
一个集合被称为平铺整数，当且仅当整数可以被写为该集合的平移的不相交并集。我们考虑的问题，找到充要条件的有限集，以瓷砖的整数。对于素数幂的集合，D. Newman [J.数论9（1977），107- 111].我们解决它的大小有最多两个素因子的集合。这些条件总是充分的，但不知道它们是否对所有有限集都是必要的。
1998-02-27 math.CO math.GR
Sets of integers with no large sum-free subset
Centre for Mathematical Sciences（数学科学中心）
该研究解答了Erdos1965年的问题，证明对任意小正数eps，存在n元整数集，其足够大的子集必含满足x+y=z的三元组，丰富了整数集结构相关研究。
2026-07-30 math.CO math.NT
On the ubiquity of Sidon sets
一个西顿集是一个整数集合A，使得没有一个整数有两个本质上不同的表示作为A的两个元素之和。更一般地，对于每个正整数g，B_2[g]-集是整数的集合A，使得没有整数具有多于g个本质上不同的表示作为A的两个元素之和。证明了{1，2，…，n}是B_2[g]-集，在这个意义上，如果B_2 [g]（k，n）表示包含在区间{1，2，.，n}，则如果k = 0（n^{g/（2g+2）}），则lim_{n\to\infty} B_2[g]（k，n）/ \binom{n}{k} = 1。
2003-04-30 math.CO math.NT
On integer distance sets
提出新方法解决整数距离集经典问题，得出平面整数距离集的稀疏性或近共线/圆结构结论，进而推导出非共线集直径的近最优下界与特定限制下整数距离集大小的强上界。
2025-08-25 math.CO math.MG math.NT
On constant-multiple-free sets contained in a random set of integers
对于有理数$r>1$，如果$A$不包含方程$rx = y$的任何解，则正整数的集合$A$称为$r$ -无多重集。为了在组合数论和编码理论中的应用，研究了估计$[n]:={1,2,...,n}$中$r$ -多重自由集的最大可能大小的极值问题.令$a$、$b$为正整数，使得$a<b$以及$a$和$b$的最大公约数为1。Wakeham和Wood证明了包含在$[n]$中的$(b/a)$ -多重自由集的最大尺寸是$\frac{b}{b+1}n+O(\log n)$。在本文中，我们推广这个结果如下。对于实数$p\in (0,1)$，令$[n]_p$是通过以概率$p$随机且独立地选择每个元素$i\in [n]$而获得的整数集合。我们表明，$(b/a)$ -多个自由集包含在$[n]_p$的最大可能的大小是$\frac{b}{b+p}pn+O(\sqrt{pn}\log n \log \log n)$的概率，去1作为$n\to \infty$。
2012-12-26 math.CO math.NT
On the construction of a family of sets of positive integers closed under taking subsets
本文构造了字母表{0,1}上的单侧无穷序列与一类在取子集运算下封闭的正整数集合族之间的显式双射及其逆映射，并利用该双射通过离散动力系统刻画了特定集合族的极值性质。
2024-12-30 math.CO math.NT
A Combinatorial Method for Counting Smooth Numbers in Sets of Integers
在本文中，我们提出了一种方法，生产的渐近估计的整数在一个给定的S只有“小”素因子的数量。需要验证的条件比其他方法所需的条件简单，我们应用我们的结果给出了一个结果的简单证明，即{1，2，. x}总是渐近地产生x^r -光滑和a+b的期望个数，其中a在A中，b在B中。回想一下，如果一个数n的所有素除子都至多是y，则称它是y-光滑的。
2003-11-26 math.CO math.NT
Dense sets of integers with prescribed representation functions
设A是一个整数集合，令h \geq 2。对于每一个整数n，令r_{A, h}（n）表示n的形式为n=a_1+.+ a_h，其中a_1，.，a_h属于集合A，并且a_1 \leq. \leq a_h.从整数Z到非负整数N_0 U的函数r_{A,h} { \infty }称为集合A的h阶表示函数。本文证明了从Z到N_0 U { \infty }的每个满足liminf_{|n|->\infty} f（n）\geq g的函数f是某个整数序列A的h阶表示函数，并且可以构造A使它的增长“几乎”与任何给定的B_h[g]序列一样慢.特别地，对于每个n>0和g \geq g（h，n），我们可以构造满足r_{A,h} =f和A（x）\gg x^{（1/h）-n}的序列A。
2007-08-21 math.CO math.NT
An Application of Markov Chain Analysis to Integer Complexity
整数的复杂度$f(n)$是由Mahler和Popken在1953年提出的：它被定义为与任意多个+、* 和括号一起写出整数$n$所需的最小数目的$1$（例如，$f(6) \leq 5$，因为$6 = (1+1)(1+1+1)$）。最著名的界限是$$ 3 \log_{3}{n} \leq f(n) \leq 3.635 \log_{3}{n}.$$下限是由于塞尔弗里奇（与平等的权力3）;上限最近证明了阿里亚斯德雷纳和范德卢恩，并举行了一套自然密度之一。我们使用马尔可夫链的方法来分析一个大类的算法，包括大卫贝文发现的一个，提高了上界的$$ f(n) \leq 3.52 \log_{3}{n}$$的对数密度之一。
2017-01-11 math.CO math.NT
On sets of integers which contain no three terms in geometric progression
寻找不含三项等差数列的自然数子集的问题有着悠久的历史。罗斯定理著名地表明，任何这样的子集都不可能有正的上密度。与此相反，兰金在1960年建议研究没有三项等比数列的子集，并构建了这样一个密度约为0.719的子集。最近，一些作者已经找到了这样的集合的上密度的上界。我们显着改善这些界限，并展示了一种方法，构建一个更大的上密度比Rankin的集。这种结构是最佳的意义上说，我们的方法给出了一种有效地计算最大可能的上密度的几何级数自由集。我们还表明，等比数列在Z/nZ的行为更像罗斯定理中，不能采取任何固定的正比例的整数模足够大的值n，同时避免等比数列。
2013-10-08 math.CO math.NT
Integer cells in convex sets
R^n中的每个凸体K都有一个坐标投影PK，它至少包含整数格点PZ^n的vol（0.1 K）个胞元，只要这个体积至少为1。我们对闵可夫斯基定理的这个对应的证明是基于绍尔、谢拉和瓦普尼克-切尔沃年基斯的组合密度定理对Z^n的推广。这为研究凸体的截面提供了一种新的途径。特别是，基本结果的渐近凸几何，如体积比定理和米尔曼的对偶的直径承认自然版本的坐标部分。
2004-11-04 math.CO math.FA
Sum-free Sets of Integers with a Forbidden Sum
一组整数是无和的，如果它不包含方程$x+y=z$的解。我们研究了整数集合$[n]=\{1,\ldots,n\}$的无和子集，其中整数$2n+1$不能表示为它们的元素之和。我们证明了这些集合的数量，它匹配，直到一个乘法常数，下限通过考虑所有子集的$B_n = \{ \lceil \frac{2}{3}(n+1) \rceil, \ldots, n \}$的$O(2^{n/3})$的一个界限。证明中的一个主要成分是一个稳定性定理，即如果$[n]$的一个子集的大小接近于$|B_n|$，只包含少数几个与无和或禁止和相矛盾的子集，那么它几乎包含在$B_n$中。我们的结果是由素数阶循环群的对称完全无和子集的计数问题得到的。证明涉及Freiman的$3k-4$定理，格林的算术删除引理，超图的独立集的结构结果。
2018-12-22 math.CO math.GR math.NT
Complexity of linear relaxations in integer programming
对于多面体中的整数点集$X$，其整数点集与$X$重合的任何多面体的最小面数称为松弛复杂度$\mathrm{rc}(X)$。该参数由Kaibel & Weltge（2015）引入，并在不使用辅助变量的情况下捕获$X$的线性描述的复杂性。使用组合数学，数的几何数字，量词消除的工具，我们取得了进展的几个悬而未决的问题，$\mathrm{rc}(X)$及其变体$\mathrm{rc}_{\mathbb{Q}}(X)$，限制$X$的描述有理多面体。作为我们的主要结果，我们证明了当（a）$X$至多为4维，（b）$X$表示$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^d$中的每一个剩余类，（c）$X$的凸包包含一个内部整数点，或（d）$X$的格宽大于某个阈值时，$\mathrm{rc}(X) = \mathrm{rc}_{\mathbb{Q}}(X)$是可解的.另外，当$X$至多是三维的或者$X$满足上述条件（b）、（c）或（d）之一时，可以通过算法计算$\mathrm{rc}(X)$。此外，我们还根据$X$的维数得到了一个改进的$\mathrm{rc}(X)$的下界.
2020-03-17 math.CO math.OC
The computational complexity of the local postage stamp problem
局部邮票问题（LPSP）是一个被广泛研究的问题：给定一个正整数k，一组正整数1 = a1 < a2 <. < ak and an integer h >= 1，不能表示为线性组合x1 a1 +.的最小正整数是多少？+ xk ak其中x1 +. + xk <= h且每个xi是非负整数？本文证明了LPSP在图灵归约下是NP-难的，但当k固定时可以在多项式时间内求解。
2001-12-22 cs.CC math.CO math.NT
The computational complexity of integer programming with alternations
证明了具有三个量词交替的整数规划是$NP$ -完全的，即使变量个数固定。这补充了Lenstra和Kannan的早期结果，他们一起说，对于固定数量的变量，最多有两个量词交替的整数规划可以在多项式时间内完成。作为证明的副产品，我们表明，对于两个多面体$P,Q \subset \mathbb{R}^4$，计数的整数点在$Q \backslash P$的投影是$\#P$ -完全的。这与Barvinok和Woods在2003年的结果形成对比，后者允许在多项式时间内分别计算$P$和$Q$中整数点的投影。
2017-05-03 cs.CC cs.CG cs.DM
Large sum-free subsets of sets of integers via $L^1$-estimates for trigonometric series
针对Erdős提出的加法组合学长期问题，通过三角级数的$L^1$估计证明：任意$n$元整数集含大小至少为$n/3+c\boldsymbol{\text{log log}}n$的无和子集，解决了该领域经典难题。
2025-02-12 math.CA math.CO math.NT
Characteristic Polynomial Patterns in Difference Sets of Matrices
证明了对于迹为零的整数方阵集合中的正密度子集$E$，存在一个整数$k \geq 1$，使得$E-E$中矩阵的特征多项式集合包含迹为零且元素可被$k$整除的整数方阵的特征多项式集合\emph{all}.我们的定理是从Benoist-Quint关于作用在齐性空间上的测度刚性的结果导出的。
2015-07-13 math.CO math.DS math.NT
Output-sensitive Complexity of Multi-Objective Integer Network Flow Problems
本文研究了MOIMCF问题的输出敏感复杂性，证明了有序枚举支持非支配向量的输出多项式时间算法存在的条件，并为BOIMCF问题提出了识别支持非支配向量的新方法及更紧凑的ILP公式。
2025-05-30 cs.CC cs.DM cs.DS
