A Safe Computational Framework for Integer Programming applied to Chvátal's Conjecture
我们描述了一个通用的和安全的计算框架，提供整数规划结果的确定性程度所需的机器辅助证明的数学定理。在其核心，该框架依赖于一个合理的分支和绑定证书产生的确切的整数规划求解器，SCIP，以规避浮点舍入错误，目前在大多数国家的最先进的混合整数规划求解器。所得到的证书是自包含的，并且存在检查器软件，其可以独立于用于产生证书的整数规划求解器来验证其正确性。这可以防止复杂求解器软件中可能出现的编程错误。这种方法的可行性进行了测试，将其应用到有限的情况下Chvátal的猜想，一个长期存在的极值组合学的开放问题。我们特别注意使用Coq形式证明助手来验证这个特定问题的输入的正确性。因此，我们能够提供第一个机器辅助证明，Chvátal的猜想持有的所有downset，其工会集包含7个元素或更少。
2020-09-21 math.CO math.OC
Finiteness theorems in stochastic integer programming
研究了具有不同场景数的线性多阶段随机整数规划族的Graver测试集。我们表明，这些测试集可以被分解成许多“积木”，独立的场景的数量，我们给出了一个有效的程序来计算这些积木。本文介绍了Nash-Williams的优拟序理论，并利用该理论证明了算法的可终止性。我们也将这一理论应用于Hilbert函数的有限性结果。
2005-02-03 math.CO math.OC
Robust Integer Programming
我们提供了一个复杂性分类的四个变种的强大的整数规划时，底层的Graver基础。我们讨论的应用程序，强大的多商品流和多维运输，并描述了一个有效的参数化的强大的整数规划。
2014-02-13 cs.DM cs.DS math.CO
Computing the Integer Programming Gap
在矩阵和费用函数固定但右端不确定的情况下，确定了整数规划的最优值与其线性规划松弛的最优值之间的最大差距.我们的公式涉及单项理想的不可约分解。当维数固定时，可以在多项式时间内计算间隙。
2003-01-23 math.AC math.CO math.OC
Theory and Applications of N-Fold Integer Programming
本文综述了我们最近提出的n重整数规划理论，它能在多项式时间内求解变维数的基本线性和非线性整数规划问题。我们证明了它的力量，获得第一个多项式时间算法在几个应用领域，包括多商品流和隐私统计数据库。
2009-12-03 cs.DM cs.DS math.CO
An Integer Programming Formulation of the Minimum Common String Partition problem
我们考虑的问题，找到一个最小的公共分区的两个字符串（MCSP）。这个问题在基因组比较中有其应用。证明了MCSP问题是NP难的。在本文中，我们开发了一个可编程（IP）制定的问题，并实现它。实验结果与以前的国家的最先进的算法进行了比较，发现是有前途的。
2014-05-23 cs.DM math.CO math.OC
The role of rationality in integer-programming relaxations
对于可表示为$X = Q \cap \mathbb{Z}^d$的有限集$X \subset \mathbb{Z}^d$，我们称$Q$为$X$的松弛，并定义$X$的松弛复杂度$rc(X)$为$X$的所有可能松弛$Q$中的最少面数.有理松弛复杂性$rc_\mathbb{Q}(X)$将$rc(X)$的定义限制为有理多面体$Q$。本文重点研究了标准单形的顶点集$X = Δ_d$，它由$\mathbb{R}^d$中的零向量和标准单位向量组成。我们表明，$rc(Δ_d) \leq d$为每个$d \geq 5$。也就是说，由于$rc_{\mathbb{Q}}(Δ_d)=d+1$，非理性可以减少松弛的最小尺寸。这回答了Kaibel和Weltge提出的一个开放性问题（Lower bounds on the size of integer programs without additional variables，Mathematical Programming，154（1）：407 - 425，2015）。此外，我们证明了渐近陈述$rc(Δ_d) \in O(\frac{d}{\sqrt{\log(d)}})$，这表明比率$rc(Δ_d)/rc_{\mathbb{Q}}(Δ_d)$去$0$，作为$d\to \infty$。
2022-06-24 cs.DM math.CO math.OC
Lower bounds on the size of semidefinite programming relaxations
我们介绍了一种方法证明下界的效力半定规划（SDP）松弛组合问题。特别地，我们证明了$n$ -顶点图上的割、TSP和稳定集多面体不是任何SDP的可行域的线性图像（即，任何光谱面体）的尺寸小于$2^{n^c}$，对于某个常数$c > 0$。这一结果产生的第一个超多项式下界的半定扩张复杂性的任何显式家庭的多面体。我们的研究结果如下从一个一般的技术证明下界的半正定矩阵的秩。为此，我们建立了一个密切的连接任意SDP和那些所产生的平方和SDP层次。对于近似最大约束满足问题，我们证明了多项式大小的SDPs是等效的权力所产生的程度- $O(1)$平方和松弛。这个结果意味着，例如，没有一个多项式大小的SDP弛豫族可以实现比MAX-3-SAT的7/8近似更好的结果。
2014-11-24 cs.CC math.CO math.OC
On the number of vertices in integer linear programming problems
本文综述了关于由线性不等式组定义的整数点的凸包的顶点数的研究工作。此外，我们提出了我们对其中一些的改进。
2006-11-12 math.CO
Mixed-integer Quadratic Programming is in NP
混合整数二次规划（英语：Mixed-integer quadratic programming）是一个在多面体集合中的点上优化二次函数的问题，其中一些分量被限制为整数。本文证明了混合整数二次规划的决策版本是NP的，从而说明它是NP-完全的。这是通过证明如果混合整数二次规划的决策版本是可行的，则存在多项式大小的解决方案来建立的。这一结果推广和统一了二次规划和整数线性规划的经典结果。
2014-07-17 cs.DM math.CO
Persistency of Linear Programming Relaxations for the Stable Set Problem
Nemhauser-Trotter定理指出，稳定集问题的标准线性规划（LP）公式具有一个显着的性质，也称为（弱）持久性：对于每个将整数值分配给某些变量的最优LP解，存在一个最优整数解，其中这些变量保持相同的值。虽然标准LP仅由非负性和边缘约束定义，但已经研究了各种其他LP公式，并且人们可能想知道它们中的任何一个是否也具有此属性。我们证明，任何其他配方，满足温和的条件不能有持久性的所有图，除非它总是等于稳定集多面体。
2020-11-24 cs.DM math.CO math.OC
Integer Programming Formulations and Probabilistic Bounds for Some Domination Parameters
本文研究跳控制与2步控制及其受限变体，提出整数规划公式并给出概率上界。
2023-11-11 math.CO
N-fold integer programming in cubic time
多重整数规划是一个基本问题，在运筹学和统计学中有着广泛的应用。此外，它还具有通用性，为所有整数规划提供了一种新的变维数参数化方法。$n$ -倍整数规划的最快算法在时间上运行$O(n^{g(A)}L)$，其中$L$是输入的数值部分的二进制长度，而$g(A)$是定义系统的双矩阵$A$的所谓Graver复杂度。在这篇文章中，我们提供了一个巨大的改进，并建立了一个算法，运行在时间$O(n^3 L)$有立方依赖于$n$的双矩阵$A$。我们的算法可以推广到可分凸分段仿射目标，以及双矩阵定义的可变元素的系统。此外，它可以用来定义任何整数规划问题的近似层次。
2011-01-17 cs.DM cs.DS math.CO
N-Fold Integer Programming
本文研究了一类变维数的整数规划问题。我们证明了这些所谓的{ \em n重整数规划问题}是多项式时间可解的。我们的证明涉及到最近发现的两个重要因素：线性最优化和所谓的定向增广的等价性，以及某些Graver基的稳定性。我们讨论了几个应用程序，我们的算法多路运输问题和包装问题。我们的结果的一个重要后果是一个多项式时间算法的$d$维整数运输问题长多路表。另一个有趣的应用是经典的下料问题的新算法。
2006-05-09 cs.CC cs.DM math.CO
Real-rooted integer polynomial enumeration algorithms and interlacing polynomials via linear programming
该研究扩展现有算法以枚举指定首项系数的固定次数实根整数多项式，引入线性规划算法枚举可行交错多项式并针对实等角线研究优化，显著提升了方法效率。
2025-04-12 math.CO math.MG math.OC
Clustering with Semidefinite Programming and Fixed Point Iteration
Brown University（布朗大学）
我们介绍了一种新的方法，使用半定规划（SDP）松弛的最大k-切问题的聚类。该方法是基于一种新的方法，四舍五入的SDP松弛使用迭代线性最优化的解决方案。我们显示的顶点的最大k-切松弛对应的分区的数据到最多k集。我们还证明了这些顶点是迭代线性最优化的吸性不动点。这个迭代过程的每一步都解决了最近顶点问题的松弛，并导致一个新的聚类问题，其中底层聚类的定义更清楚。我们的实验表明，与随机舍入相比，使用不动点迭代舍入最大k-Cut SDP松弛会导致显著更好的结果。
2022-07-05 cs.DS cs.LG math.CO
Circuit and Graver Walks and Linear and Integer Programming
本文证明线性规划的电路游走可仅用线性代数运算在多项式时间内计算，而整数规划的Graver游走在有预言机时多项式可计算，无预言机时即使已知最优解也难以计算，并推广到有界树深和子行列式矩阵。
2024-10-01 cs.DM cs.DS math.CO
A hybrid constraint programming and semidefinite programming approach for the stable set problem
本文提出了一种利用约束和半定规划求解最大独立集问题的混合方法。该方法包括两个步骤：子问题的产生和子问题的解决。首先，我们根据半定松弛的解对可变域值进行排序。使用这个排名，我们首先生成最有前途的子问题，通过探索使用有限的差异策略的搜索树。然后使用约束规划求解器来解决子问题。为了加强半定松弛，我们建议推断额外的限制，从差异结构。计算结果表明，半定松弛是非常有益的，因为质量好的解决方案中发现的第一个子问题，或最优性立即被证明。
2003-02-25 math.CO math.LO
Rational Generating Functions and Integer Programming Games
我们探讨了一类新的策略博弈的纯纳什均衡的计算的计算复杂性称为整数规划游戏的分段线性凸支付的差异。编程游戏是玩家的动作集是多面体内的整数点的游戏。使用最近的研究结果，短合理的生成函数编码集的整数点亚历山大Barvinok开创性的，我们提出了有效的算法枚举所有纯纳什均衡，和其他计算的兴趣，如纯无政府代价，纯威胁点，当的尺寸和数量的“凸”线性件的支付函数是固定的。序列游戏的领导者是由竞争的追随者（斯塔克伯格-纳什设置）也被认为是。
2008-09-03 cs.GT math.CO
The computational complexity of integer programming with alternations
证明了具有三个量词交替的整数规划是$NP$ -完全的，即使变量个数固定。这补充了Lenstra和Kannan的早期结果，他们一起说，对于固定数量的变量，最多有两个量词交替的整数规划可以在多项式时间内完成。作为证明的副产品，我们表明，对于两个多面体$P,Q \subset \mathbb{R}^4$，计数的整数点在$Q \backslash P$的投影是$\#P$ -完全的。这与Barvinok和Woods在2003年的结果形成对比，后者允许在多项式时间内分别计算$P$和$Q$中整数点的投影。
2017-05-03 cs.CC cs.CG cs.DM
The Graver Complexity of Integer Programming
在这篇文章中，我们建立了整数规划的Graver复杂性的指数下界。这为整数规划的假定难解性提供了新的证据。具体地说，我们证明了完全二部图$K_{3,m}$的关联矩阵的Graver复杂度满足$g(m)=Ω(2^m)$，对于每个$m>3$都有$g(m)\geq 17\cdot 2^{m-3}-7$。
2007-11-22 cs.CC cs.DM math.AC
An Integer Linear Programming Model for Tilings
本文提出了一个非线性模型，它的解是具有给定节奏A的非周期节奏。我们展示了如何使用这个模型来有效地检查Coven-Meyerowitz的$(T2)$条件的必要性，并定义一个迭代算法，找到节奏A的所有可能的平铺。最后，我们运行了几个实验来验证这个模型的时间效率。
2021-07-13 cs.DM math.CO
From approximate to exact integer programming
本文提出两种基于近似整数规划求解精确整数规划的方法，分别在给定模余数时达到 $2^{O(n)}$ 复杂度，并改进多项式范围背包和子集和问题至 $(\log n)^{O(n)}$。
2024-04-08 cs.CC cs.DM cs.DS
Improved integer programming models for simple assembly line balancing and related problems
我们提出了一个更强的制定的优先约束和简单的装配线平衡问题的车站限制。改进的整数规划的线性松弛理论上占主导地位的所有以前的配方使用脉冲变量，并在实践中产生更好的质量显着的解决方案。改进后的公式可用于加强类似限制条件下的相关问题。我们证明了他们的有效性U形装配线平衡问题和装箱问题的优先约束。
2015-08-10 cs.DM cs.DS math.CO
