Counting symmetry classes of dissections of a convex regular polygon
本文证明了凸正多边形模循环群和二面体群作用的剖分数的显式公式。利用Cauchy-Frobenius引理以及旋转对称剖分与较简单的剖分之间的双射关系得到了这些公式。这些公式的一些特殊情况进行了研究。因此，一些已知的枚举被恢复，并提供了几个新的。
2012-09-27 math.CO
Extremal convex polygons inscribed in a given convex polygon
一个凸多边形$Q$内接于一个凸多边形$P$，如果$P$的每条边至少包含$Q$的一个顶点。本文提出了分别在$O(n)$和$O(n^3)$时间内求内接于任意凸$n$ -边形的最小面积和最小周长凸多边形的算法。我们还研究了这个问题的其他变体。
2021-09-23 math.CO math.MG
The Regular Polygon Minimizes The Ratio of Plucker Coordinates on The Positive Grassmannian
对于$\mathbb{R}^n$中二维子空间的正格拉斯曼上的点$x$，定义损失函数$E(x)$为其最大和最小Plucker坐标之比。我们解决了Grassmannian上损失函数$E(x)$的极值问题。这个极大极小问题是由Berman等人在他们关于实数上的纠错码的论文中提出的。
2020-05-12 math.CO
Exact generating function for 2-convex polygons
如果多边形的周长与其最小外接矩形的周长相差其“凸指数”$m$的两倍，则多边形被描述为几乎凸的。这种多边形被称为\emph{$m$-convex}多边形，其特征在于在其周边具有多达$m$的凹痕。首先，我们描述了如何使用基于级数展开的数值方法来计算$m=2$情形的（各向同性）生成函数。然后，我们继续证明这一结果的更一般的情况下，充分各向异性的生成函数，其中步骤在$x$和$y$方向的区别。在这样做，我们开发的工具，将允许的情况下$m > 2$进行研究。%在我们的证明中，我们使用了一个'分而治之'的方法，因式分解2凸%多边形延长线沿基地的缩进。然后，我们使用%的容斥原理，Hadamard产品和扩展%已知的方法来获得每种情况下的生成函数。
2008-05-09 math.CO
Convexity of Sub-polygons of Convex Polygons
将凸多边形定义为序列（V_0，.，V_{n-1}），使得边[V_0，V_1]，.，[ V_{n-2}，V_{n-1} ]，[ V_{n-1}，V_0]与顶点集合{V_0，...，V_{n-1} }。证明了任意具有不同顶点的凸多边形的所有子多边形都是凸的。本文还证明了，如果n个\ge为5的n边形的所有子（n-1）边都是凸的，则该n边形是凸的.给出了其它相关结果。
2006-09-25 math.CO math.GM
An algorithm to find maximum area polygons circumscribed about a convex polygon
本文提出一种O(n^3)时间算法，用于寻找外切于任意给定凸n边形的最大面积凸多边形，并以此推翻了Farris猜想，同时给出了正n边形情形的显式解。
2024-03-22 math.CO math.MG
Ehrhart quasi-period collapse in rational polygons
1976年，P.R. Scott刻画了凸整多边形的Ehrhart多项式。我们研究了 * 非 *-整凸多边形的Ehrhart多项式和拟多项式的同样问题。在Ehrhart拟多项式具有非平凡拟周期的情况下，确定了有理多边形的Ehrhart拟多项式的系数函数的可能最小周期.
2015-09-11 math.CO
Flip graphs of coloured triangulations of convex polygons
本文研究凸多边形彩色三角剖分的翻转图，探讨其连通分量，并基于Gravier和Payan的结果，将四色定理与2-彩色三角剖分翻转图的连通性联系起来。
2024-02-09 math.CO
Probability that $n$ points are in convex position in a general convex polygon: Asymptotic results
Univ. Bordeaux, CNRS, Bordeaux INP, LaBRI, UMR 5800（波尔多大学、法国国家科学研究中心、波尔多理工学院、LaBRI实验室）
本文研究了n个点在一般凸多边形中处于凸位置的概率，并给出了当n趋于无穷时的渐进行为，改进了Bárány的结果以及在K为正则凸多边形时的先前结果。
2026-05-18 math.CO math.PR
Signed Minkowski decompositions of convex polygons into minimum simplices and factorization of max-plus functions
本文研究了多胞体的带符号Minkowski分解与max-plus函数分解的对应关系，证明了2维整点多边形可分解为整点、长度1的整线段和面积1/2的整三角形，并据此得出二元整数系数max-plus函数可表示为更简单函数的集合。
2025-06-26 math.CO
An order-refined and generalized version of the Erdos-Szekeres theorem on convex polygons
Erdos-Szekeres定理指出，对于任何自然数k，存在一个自然数g（k），使得在一般位置的平面上的任何至少g（k）个点的集合包含一个k个点的集合，这些点是凸多胞体的极值点。我们推广和改进了这个定理，去掉了一般位置条件，把一个凸多边形定义为一个有序的点序列，使得多边形的边的并集与它的凸包的边界重合.
2006-11-27 math.CO math.MG
On k-Convex Polygons
我们引入了一个概念，$k$ -凸性和探索多边形在平面上有这个属性。\mbox{$k$-convex}的多边形可以用快速而简单的算法进行三角测量。然而，识别它们通常是一个3SUM困难的问题。我们给出了\mbox{$2$-convex}多边形，一个特别有趣的类的表征，并展示了如何识别它们在\mbox{$O(n \log n)$}的时间。它们的形状的描述，以及，这导致Erdens-Szekeres类型的结果，其顶点集的子配置。最后，我们引入了广义几何置换的概念，并证明了它们的数目可以是所考虑的\mbox{$2$-convex}对象数目的指数。
2010-07-21 cs.CG math.CO
'Congruent Partitions' of Polygons - a Short Introduction
我们介绍的问题，分区2D区域（通常是凸区域）成相互一致的片（“瓷砖”）。
2010-07-31 math.CO
Coefficient functions of the Ehrhart quasi-polynomials of rational polygons
1976年，P.R. Scott刻画了凸整多边形的Ehrhart多项式。我们研究了\emph{non} -整凸多边形的Ehrhart多项式和拟多项式的同样问题。定义一个\emph{pseudo-integral polygon}或\emph{PIP}为凸有理多边形，其Ehrhart拟多项式为多项式。PIP的内部和边界上的格点的数量决定了它的Ehrhart多项式。我们表明，与积分的情况下，存在PIP与$b=1$或$b=2$边界点和任意数量的$I \ge 1$的内点。然而，当$I \ge 1$时PIP是否必须满足Scott不等式$b \le 2I + 7$的问题仍然是开放的。在Ehrhart拟多项式具有非平凡拟周期的情况下，确定了有理多边形的Ehrhart拟多项式的系数函数可能具有的最小周期.
2009-06-03 math.CO
Convexly independent subsets of Minkowski sums of convex polygons
我们证明了存在凸$n$ -凸$P$和凸$Q$使得Minkowski和$P+Q$中的最大凸多边形的大小为$Θ(n\log n)$ .这与Tiwary的上界匹配。
2021-06-02 cs.CG cs.DM math.CO
Sublinear extensions of polygons
每个具有$n$顶点的凸多边形是具有至多$147\,n^{2/3}$刻面的高维多面体的线性投影。
2020-02-29 math.CO
Convex lattice polygons with all lattice points visible
如果连接两个晶格点的线段上不存在其他晶格点，则这两个晶格点彼此可见。本文研究了凸格多边形，它包含一个格点，使得多边形中的所有其它格点都是可见的，我们对这类多边形进行了完全的分类，证明了有许多格宽大于$2$的凸格多边形，并计算了它们的个数.作为这一分类的应用，我们证明了新的障碍，图所产生的热带平面曲线。
2020-08-17 math.AG math.CO
Once punctured disks, non-convex polygons, and pointihedra
我们探讨了几个家庭的翻转图，所有相关的多边形或打孔多边形。特别是，我们考虑一次穿孔多边形的拓扑翻转图，反过来，包含所有可能的几何翻转图的多边形与一个标记点作为嵌入的子图。我们的主要重点是这些图的几何性质，以及它们如何相互关联。特别是，我们证明了它们之间的嵌入是强凸的（或者说，完全测地线）。我们还发现这些图的直径上的界限，有时使用强凸嵌入。最后，我们将展示这些图如何涉及到不同的多面体，即D型associahedra和一个家庭的二级多面体，我们称之为pointihedra。
2016-02-15 math.CO math.GT
On the logical complexity of convex polygon dissections
图$G$的逻辑深度是定义$G$直到在邻接和相等关系的语言中同构的一阶句子的最小量词深度。我们考虑$G$是一个剖分的凸多边形，或等价地，一个双连通外平面图的情况。我们从上面通过$G$的对偶树的组合参数的函数来约束这样的$G$的逻辑深度。
2006-07-21 math.CO math.LO
Tight bounds on the maximal perimeter of convex equilateral small polygons
小多边形是直径为1的多边形。当满足$s \ge 4$条件时，不知道具有$n=2^s$边的凸等边小多边形的最大周长。本文构造了一族凸等边小$n$ -簇，$n=2^s$和$s \ge 4$，并证明了它们的周长在最大周长的$O(1/n^4)$之内，并且超过了文献中已知的最佳值.特别是，对于第一个开放的情况$n=16$，我们的结果证明，Mossinghoff的等边六边形是次优的。
2022-05-25 math.CO math.MG math.OC
Convex polygons in geometric triangulations
我们证明了平面上$n$点的三角剖分中凸多边形的最大数目是$O(1.5029^n)$。这改进了van Kreveld，Löffler，and Pach（2012）建立的早期$O(1.6181^n)$的界，并且几乎与由相同作者建立的$Ω(1.5028^n)$的当前最佳下界相匹配。给出了一个平面直线图$G$，它的顶点是$n$，我们给出了如何有效地计算$G$中凸多边形的个数.
2017-02-16 cs.DM math.CO math.MG
Convex Polygons are Self-Coverable
我们引入了一个新的概念，称为自覆盖的几何家庭和凸多边形的同素映射是自覆盖的。作为推论，我们得到了几个关于着色点集的结果，使得族中的任何成员有许多点包含所有的颜色。这是对偶（在某些情况下等价）的覆盖分解问题的研究。
2014-03-14 cs.CG cs.DM math.CO
On the Erdos-Szekeres convex polygon problem
设$ES(n)$是最小整数，使得平面中处于一般位置的任何一组$ES(n)$点都包含处于凸位置的$n$点。在他们1935年的开创性论文中，Erdos和Szekeres证明了$ES(n) \leq {2n - 4\choose n-2} + 1 = 4^{n -o(n)}$。1960年，他们证明了$ES(n) \geq 2^{n-2} + 1$，并证明这是最佳的。本文通过证明$ES(n) =2^{n +o(n)}$ .
2016-08-27 cs.CG math.CO
Old problem revisited: Which equilateral convex polygons tile the plane?
本文重探等边凸多边形平面密铺问题，基于M. Rao的五边形密铺结果，简化证明了Hirschhorn和Hunt的密铺定理，并概述了与准晶体的可能联系。
2025-11-10 math.CO math.MG
Classification and enumeration of lattice polygons in a disc
1980年，V.I. Arnold研究了给定面积的凸格多边形的分类问题。从那时起，这个问题及其类似问题已经被许多作者研究，包括$\mathrm{B\acute{a}r\acute{a}ny}$，Lagarias，Pach，Santos，Ziegler和Zong。最近，Zong提出了两个计算机程序来证明Hadwiger的覆盖猜想和Borsuk的划分问题，分别基于包含在某些球中的凸格多面体的计数。为此，类似于$\mathrm{B\acute{a}r\acute{a}ny}$和Pach关于体积的工作以及Liu和Zong关于基数的工作，我们得到了一个圆盘中非等价凸格多边形个数的界.此外，我们提出了一个算法来枚举这些凸格多边形。
2023-03-27 math.CO math.MG
Counting triangulations of some classes of subdivided convex polygons
我们计算三角形的凸$k$ -gon的每一个侧面细分的$r-1$点的数量。我们发现明确的公式和生成函数，我们确定这些数字的渐近行为的$k$和/或$r$趋于无穷大。我们将这些结果与找到平面点集的一般位置，具有最小可能数量的三角剖分的问题-一个著名的开放问题，从计算几何。
2016-04-11 cs.CG math.CO
Tight bounds on the maximal perimeter and the maximal width of convex small polygons
小多边形是单位直径的多边形。当满足$s \ge 4$条件时，顶点为$n=2^s$的凸小多边形的最大周长和最大宽度是未知的。本文构造了一类凸小$n$ -簇，$n=2^s$和$s\ge 3$，并证明了对于某些正的常数$a$和$b$，对于大的$n$，所得到的周长和宽度的改进不能分别超过$a/n^6$和$b/n^4$.此外，假设一个猜想的Mossinghoff是真的，我们制定的最大周长问题作为一个非线性优化问题，涉及三角函数，并为$n=2^s$与$3 \le s\le 7$，我们提供了全球最优解。
2022-06-02 math.CO math.MG math.OC
Upper bounds for the piercing number of families of pairwise intersecting convex polygons
凸多边形$A$与凸$m$ -gon $K= \bigcap_{i=1}^m k_i^+$相关，其中，如果$A$是半平面$a_1^+,...,a_l$的交集，则$k_1^+,..., k_m^+$是其交集等于$K$的$m$半平面，每个半平面都是一个$k_i^+$ -s的平移。如果每个$A \in {\cal A}$与$K$相关，则平面族${\cal A}$与$K$相关。证明了与给定$n$ -边形相关的任意两两相交凸集族都有一个依赖于$n$的有限穿刺数。在一般情况下，我们显示$O(3^{n^3})$，而对于某一类家庭，我们减少的界限$4(n-2)$，和$n=3,4$的界限分别为3和6。
2012-01-04 math.CO math.MG
Affine dimers from characteristic polygons
Forsgård最近的工作表明，不是每一个凸格点多边形都是仿射二聚体的特征多边形，或者等价地，是环面上一般位置上的容许定向线排列。我们开始分类的凸晶格多边形作为仿射二聚体的特征多边形。给出了几种新的仿射二聚体的一般构造方法，并给出了一个求具有指定多边形的仿射二聚体的算法。有了这些工具，我们证明，所有的格三角形，广义平行四边形，多边形的属最多两个承认仿射二聚体。
2022-02-14 math.CO math.GT
On weighted partial triangulations of convex polygons
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文研究了如何对凸多边形进行加权部分三角剖分的采样问题，提出了一种高效的精确采样方法，解决了传统马尔可夫链方法存在的混合时间不优问题。
2026-11-05 cs.DM math.CO
Irrational Guards are Sometimes Needed
画廊问题是计算几何中的一个基本问题。我们的目标是在一个简单的多边形内放置最少数量的警卫，使警卫一起可以看到整个多边形。如果线段$xy$完全包含在多边形中，则我们说在位置$x$处的守卫看到点$y$。尽管对美术馆问题进行了广泛的研究，但它仍然是一个悬而未决的问题，即是否有整数坐标给出的多边形需要在任何最优解中具有无理坐标的守卫位置。我们给出了一个肯定的回答这个问题，通过构造一个单调的多边形与整数坐标，可以由三个警卫，只有当我们允许将警卫点无理坐标。否则，需要四名警卫。通过对这个例子的推广，我们证明了对于每个$n$，都存在一个多边形，该多边形可以由具有无理坐标的$3n$守卫，但如果坐标必须是有理数，则需要$4n$守卫.随后，我们表明，有直线多边形的整数坐标，需要警卫与无理坐标在任何最佳解决方案。
2017-01-19 cs.CG cs.DM math.CO
Decompositions of a polygon into centrally symmetric pieces
本文研究中心对称凸$(2k)$ -边形到中心对称凸块的边到边的不可约分解。我们证明了这些分解的数量上界的任何值的$k$，并表征他们的八边形。
2016-02-06 math.CO math.MG
Points and lines configurations for perpendicular bisectors of convex cyclic polygons
我们刻画了在圆上放置n个点并画出相应凸循环n边形的n条边的n条中垂线时可能出现的点和线的拓扑构形。我们还提供了精确和渐近公式描述一个随机的可实现的配置，通过采样点均匀随机的圆或采样均匀随机的可实现的配置。
2022-03-23 math.CO math.MG math.PR
A bound on a convexity measure for point sets
当平面点集有凸的顶点集，即顶点集的最大内角测度不超过π时，它才处于凸位置。因此，我们可以根据最大内角的最小值来讨论一组点的凸性。这里提出的主要结果是一个非平凡的组合上限的最小值，最大值的数量在集合中。出于一个特定的建设，我们也提出了一个自然的猜想的最佳上限。
2014-09-15 cs.CG math.CO
Counting large distances in convex polygons
在凸n边形中，设d[1] > d[2] >.表示顶点对之间的所有距离的集合，并且令m[i]是彼此距离为d[i]的顶点对的数量。Erdos，Lovasz，and Vesztergombi证明了m[1] +. + m[k] <= k*n。利用一种新的计算方法，我们证明了当k <= 4且n较大时他们的猜想;对于任意k，我们也取得了一些进展，证明了m[1] +... + m[k] <=（2k-1）n。我们的主要方法围绕着一些已知的事实距离，连同一个计算机程序，搜索所有的距离配置的两个不相交的凸包间隔到一些有限的大小。由此我们得到了其它新的界，例如对于大的n，m[3] <= 3 n/2。
2011-07-29 cs.CG math.CO
Flip-graph non-convexity for once-punctured polygons
Université Paris 13（巴黎第十三大学）；Sun Yat-sen University（中山大学）
本文证明了顶点足够多的凸多边形或含一个凹顶点的简单多边形，可放置单个穿孔使对应翻转图子图非强凸，完善了翻转图强凸性的研究。
2026-09-02 math.CO math.MG
The Complex of Non-Crossing Diagonals of a Polygon
已知欧氏平面上的凸n边形P，顶点集由P中的对角线给出，刻面由P的三角剖分给出的单纯复形θ（P）是n-3维多胞形的边界复形。证明了对任意n个顶点的非凸多边形区域P，对于h+1个边界分支，θ（P）是n+3 h-4维球.当P是凸的时，给出了θ（P）是球面的一个新的证明.
2008-02-10 math.AT math.CO
Vertex Classification of Planar C-polygons
论文研究了平面C多边形的顶点特性，证明了严格凸域C的C多边形的奇点边界点数量范围，并针对译移C多边形给出了更精确的范围。
2022-11-29 math.CO math.GT
On the threshold for triangulations inside convex polygons
本文研究凸多边形内部随机加边出现三角剖分的临界阈值，通过耳切算法和赌徒破产问题证明 $p_c<1/2$，表明大凸多边形内大多数边配置包含三角剖分。
2025-09-12 math.CO math.PR
Maximal perimeter and maximal width of a convex small polygon
研究凸小多边形的最大周长和宽度问题，提出构造大周长和宽度多边形的方法，通过优化对称轴组合使特定解最小化循环约束违反，构造出优于文献最佳结果的多边形，并发现Mossinghoff猜想不成立。
2023-06-28 math.CO math.MG math.OC
On Isosceles Triangles and Related Problems in a Convex Polygon
给定任何凸$n$ -边形，在本文中，我们：（i）证明了它的顶点最多能构成两边为单位长度的$n^2/2 + Θ(n\log n)$等腰三角形，并证明了这个界是一阶最优的;（ii）猜想它的顶点最多能构成$3n^2/4 + o(n^2)$等腰三角形，并对一个特殊的凸$n$ -凸群证明了这个猜想，（iii）证明了对于任意整数$k\ge 4$，它的顶点至多能形成$\lfloor n/k \rfloor$正则$k$ -边形，并且这个界是最优的;（iv）给出了一个简短的证明：只要凸$n$ -边形具有单位周长，它的顶点之间的所有距离之和至少为$(n-1)/2$至多为$\lfloor n/2 \rfloor \lceil n/2 \rceil(1/2)$.
2010-09-15 cs.CG cs.DM math.CO
How Many Potatoes are in a Mesh?
我们考虑的组合问题，有多少凸多边形可以通过使用从一个固定的三角剖分n个顶点的边缘。对于一般的三角剖分，可以有指数级的多个：我们展示了一个具有Omega（1.5028^n）凸多边形的构造，并证明了最坏情况下的O（1.62^n）上界。如果三角剖分是胖的（每个三角形都有一个常数delta>0的角度下限），那么只能有多项式多个。我们还考虑了凸外平面多边形的计数问题（即，它们在其内部不包含三角测量的顶点）。在这种情况下，我们得到相同的指数界一般三角剖分，和较低的多项式界胖三角剖分。如果三角剖分是更紧的（任何两个顶点之间的最长距离和最短距离之比是有界的），则对于一般凸外平面多边形，边界进一步下降到Theta（n^2），对于胖凸外平面多边形，边界进一步下降到Theta（n）。
2012-09-18 cs.CG cs.DM math.CO
Flip Distance Between Triangulations of Convex Polygons is NP-Complete
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
研究证明凸多边形三角剖分的翻转距离和二叉树的旋转距离问题均为NP难问题。
2026-07-28 cs.CC cs.CG cs.DM
