Counting triangulations of some classes of subdivided convex polygons
我们计算三角形的凸$k$ -gon的每一个侧面细分的$r-1$点的数量。我们发现明确的公式和生成函数，我们确定这些数字的渐近行为的$k$和/或$r$趋于无穷大。我们将这些结果与找到平面点集的一般位置，具有最小可能数量的三角剖分的问题-一个著名的开放问题，从计算几何。
2016-04-11 cs.CG math.CO
On weighted partial triangulations of convex polygons
Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
本文研究了如何对凸多边形进行加权部分三角剖分的采样问题，提出了一种高效的精确采样方法，解决了传统马尔可夫链方法存在的混合时间不优问题。
2026-11-05 cs.DM math.CO
Scaling limit of triangulations of polygons
我们证明了随机三角形的类型I，II，III下的临界玻尔兹曼重量下的一个简单的边界收敛于布朗磁盘的标度极限。证明使用双射由于Poulalhon和Schaeffer之间的第三类三角形的$p$ -贡和所谓的开花森林。Addario-Berry和第一作者也使用这种双射的一个变体来证明III型三角剖分收敛于布朗映射，但需要新的想法来处理简单的边界。我们的结果是一个成分的程序的第二和第三作者的一致三角形的Cardy嵌入下的收敛。
2020-10-28 math.CO math.PR
Enumerating triangulations by parallel diagonals
根据平行于固定边的对角线个数，对正凸多边形的三角剖分进行了枚举。枚举使用Shapiro卷积恒等式，以及三角剖分对此恒等式的解释。
2012-08-20 math.CO
Minimal Length Maximal Green Sequences and Triangulations of Polygons
本文利用箭图及其曲面的组合学研究了$\mathbb{A}$型箭图的最小长度的极大格林序列。我们证明了这类序列的长度为$n+t$，其中$n$是顶点数，$t$是3-圈数.此外，我们开发了一个程序，产生这些最小长度的最大绿色序列。
2015-08-12 math.CO math.RT
On signed diagonal flip sequences
Eliahou \cite{2}和Kryuchkov \cite{9}提出了一个命题，Gravier和Payan \cite{4}证明了这个命题等价于四色定理。它指出，一个多边形的任何三角剖分都可以通过一系列有符号的对角翻转转换为同一多边形的另一个三角剖分。众所周知，任何一对多边形三角剖分都是由一系列（无符号）对角翻转连接的。本文给出了对角翻转序列是符号对角翻转序列的一个充分和必要条件。
2011-02-04 math.CO
Eccentricities in the flip-graphs of convex polygons
凸多边形$π$的翻转图是这样的图，其顶点是$π$的三角剖分，并且其边对应于它们之间的翻转。$π$的三角测量$T$的偏心率是该图中从$T$到$π$的任何三角测量的最大可能距离。众所周知，当$T$的所有$n-3$内边都关联到同一个顶点时，$T$在$π$的翻转图中的偏心率正好是$n-3$，其中$n$表示$π$的顶点数。在这里，这一说法被推广到任意三角剖分。用$n-3-k$表示$T$的最大内边数，证明了在$k\leq{n/2-2}$的条件下，$T$在$π$的翻转图中的偏心率恰为$n-3+k$.因此，三角测量的偏心率，当足够小时，允许恢复$k$的值。更确切地说，如果$k\leq{n/8-5/2}$，它也表明，$T$有偏心率$n-3+k$当且仅当恰好$n-3-k$的内部边缘是入射到一个给定的顶点。当$k>n/2-2$时，给出并讨论了$T$的偏心率的界.
2018-11-12 math.CO
Convex polygons in geometric triangulations
我们证明了平面上$n$点的三角剖分中凸多边形的最大数目是$O(1.5029^n)$。这改进了van Kreveld，Löffler，and Pach（2012）建立的早期$O(1.6181^n)$的界，并且几乎与由相同作者建立的$Ω(1.5028^n)$的当前最佳下界相匹配。给出了一个平面直线图$G$，它的顶点是$n$，我们给出了如何有效地计算$G$中凸多边形的个数.
2017-02-16 cs.DM math.CO math.MG
Quantum continuants, quantum rotundus and triangulations of annuli
本文为$q$-变形有理数的分子分母多项式提供计数解释，证明量子连分数和量子rotundi分别对应三角剖分多边形路径和环面闭合环路的(co)area-生成函数。
2023-09-11 math.CO
How Many Potatoes are in a Mesh?
我们考虑的组合问题，有多少凸多边形可以通过使用从一个固定的三角剖分n个顶点的边缘。对于一般的三角剖分，可以有指数级的多个：我们展示了一个具有Omega（1.5028^n）凸多边形的构造，并证明了最坏情况下的O（1.62^n）上界。如果三角剖分是胖的（每个三角形都有一个常数delta>0的角度下限），那么只能有多项式多个。我们还考虑了凸外平面多边形的计数问题（即，它们在其内部不包含三角测量的顶点）。在这种情况下，我们得到相同的指数界一般三角剖分，和较低的多项式界胖三角剖分。如果三角剖分是更紧的（任何两个顶点之间的最长距离和最短距离之比是有界的），则对于一般凸外平面多边形，边界进一步下降到Theta（n^2），对于胖凸外平面多边形，边界进一步下降到Theta（n）。
2012-09-18 cs.CG cs.DM math.CO
On the threshold for triangulations inside convex polygons
本文研究凸多边形内部随机加边出现三角剖分的临界阈值，通过耳切算法和赌徒破产问题证明 $p_c<1/2$，表明大凸多边形内大多数边配置包含三角剖分。
2025-09-12 math.CO math.PR
Generalized frieze pattern determinants and higher angulations of polygons
Frieze模式（在Conway和Coxeter的意义上）与多边形的三角剖分密切相关。Broline、Crowe和Isaacs为每个多边形三角剖分指定了一个对称矩阵，并计算了行列式。本文考虑多边形的角剖分，推广了计算相关对称矩阵元素的组合算法，计算了它们的行列式和Smith标准形。结果表明，两者都与特定的d角无关，行列式是d-1的幂，而初等因子只取d-1和1。我们还表明，在我们的设置中得到的广义frieze模式中，每个相邻的2x2-行列式是0或1，我们给出了一个组合的标准，当它们是1，在d=3的情况下，返回的Conway-Coxeter条件frieze模式。
2014-06-16 math.CO
Flip Distance Between Triangulations of Convex Polygons is NP-Complete
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
研究证明凸多边形三角剖分的翻转距离和二叉树的旋转距离问题均为NP难问题。
2026-07-28 cs.CC cs.CG cs.DM
On triangulations with fixed areas
本文证明固定面积的三角剖分数量有限，且代数顶点下等分剖分具有代数性质。
2024-02-09 math.AG math.CO math.MG
Lattice of Triangulations: the proof and an algorithm
本文证明了多边形的三角剖分集可以赋予一个序成为格。首先，我们来定义这个顺序。在[HN 99]中，作者定义了翻转算子，并证明了三角剖分图的一些性质。我们使用他们的定理，并将其扩展到构建三角剖分格。我们证明了这个格的性质，并介绍了一个优雅的算法，其正确性是从证明。将考虑该算法的复杂性。该算法是求三角剖分对下确界的有效算法。
2018-06-07 math.CO
Counting Triangulations of Configurations
在定义了凸近多边形的概念后，利用边多项式导出了凸近多边形三角剖分个数的计算公式。本文还介绍了一个转移矩阵的方法来计算量有关的三角剖分。
2003-12-12 math.CO math.GT
A bijection between 2-triangulations and pairs of non-crossing Dyck paths
一个凸多边形的k-三角剖分是一个最大的对角线集，使得它们中没有k+1个在它们的内部相互交叉。给出了凸n边形的2-三角剖分与长度为2（n-4）的不相交Dyck路对之间的一个双射。这解决了找到一个双射证明的结果琼森的情况下k=2的问题。我们通过构造2-三角剖分集和不相交Dyck路对的同构生成树得到了双射。
2006-10-06 math.CO
Spaces of polygonal triangulations and Monsky polynomials
本文研究多边形三角剖分的绘制空间与三角形面积的代数簇，定义广义三角剖分并引入 Monsky 多项式刻画其代数、几何与组合信息，同时给出计算该多项式次数下界的算法及实例。
2025-06-30 math.AG math.CO math.MG
Transformed flips in triangulations and matchings
凸位置上的$2n$点的平面完美匹配与大小为$n+2$的凸多边形的三角剖分是双射的。边缘翻转是一种经典的操作，用于执行两种结构共有的局部更改。在这项工作中，我们使用Aichholzer et al.（2018）的显式双射来确定双射一侧的边翻转对另一侧的影响，也就是说，我们展示了两种不同类型的边翻转是如何相关的。此外，我们给出了相应的Temperley-Lieb代数的元素的翻转图的三角剖分的代数解释。
2019-07-20 math.CO
Flip-graph non-convexity for once-punctured polygons
Université Paris 13（巴黎第十三大学）；Sun Yat-sen University（中山大学）
本文证明了顶点足够多的凸多边形或含一个凹顶点的简单多边形，可放置单个穿孔使对应翻转图子图非强凸，完善了翻转图强凸性的研究。
2026-09-02 math.CO math.MG
Flip Distance and Triangulations of a Ball
已知凸多边形的两个三角剖分之间的翻转距离与某个多面体的三角剖分中的最小四面体数目有关。很想知道这两个数字是否相同。在这项工作中，我们发现的例子表明，这两个数字是不同的性质，它们的比例可以任意接近$\frac{3}{2}$。
2022-05-23 math.CO math.GT
Improved mixing for the convex polygon triangulation flip walk
本研究提出纯组合的马尔可夫链快速混合充分条件框架，改进了凸点集三角剖分翻转游走的混合时间界，给出结合多面体图扩张度的渐近紧界，并证明固定k≥4时凸点集k-角剖分翻转游走的拟多项式混合性。
2023-05-03 cs.CG cs.DM math.CO
On typical triangulations of a convex $n$-gon
令$f_n$是将权重分配给每个可能的三角形的函数，该三角形的顶点选自具有$n$边的凸多边形$P_n$的顶点。假设${\mathcal T}_n$是随机三角剖分，从$P_n$的所有可能三角剖分中均匀采样。本文研究了${\mathcal T}_n$中三角形的权和，并给出了这种随机变量的均值和方差的一般公式。此外，我们期待在几个有趣的特殊情况下，$f_n$，我们获得明确的形式的生成函数的总和的权重。例如，除其他事项外，我们给出了新的证明已经知道的结果，如固定顶点的程度和耳朵的数量在${\mathcal T}_n,$以及，提供新的结果的“蓝色”的角度和细化的角度分布在一个固定的顶点。我们注意到，我们的方法是系统的，可以应用到许多其他新的例子，同时推广现有的结果。
2019-12-31 math.CO
Maximizing the number of edges in three-dimensional colored triangulations whose building blocks are balls
彩色三角剖分提供了一个推广的组合地图，以更高的维度。就像地图是多边形的粘合一样，彩色三角剖分是由特殊的高维构建块（例如八面体）粘合而成的，我们称之为彩色构建块，在对偶中称为气泡。一个彩色的积木块是由它的边界三角剖分确定的，在多边形的情况下，简单地用它的长度来表征。在三维空间中，有色积木块被标记为一些二维三角剖分，而那些同胚的3球被标记为平面的子集。类似于欧拉公式在2D中，它提供了一个上界的顶点数在固定数量的多边形与给定的长度，我们期待在三维的上界的边缘数在固定数量的给定的彩色积木。在这篇文章中，我们解决这个问题时，所有的有色积木，除了可能的一个，同胚的3球。要做到这一点，我们找到一个表征的方式同胚的球的彩色积木必须粘到其他块的任意拓扑结构的彩色三角，最大限度地提高边缘的数量。这种局部特征可以扩展到整个三角剖分，只要有最多一个有色的建筑块，这是不是一个3球。用这种方法得到的三角剖分是与树的双射。边的数目被给出为这样的三角剖分的构建块上的独立和。在所有有色积木同胚的3-球的情况下，我们证明了这些三角剖分同胚的3-球。这些结果以前只为八面体和melonic构建块所知。这篇文章是独立的，可以从纯组合的角度介绍着色三角剖分及其气泡。
2018-02-18 gr-qc math-ph math.CO
Computing the Newton polygon of the implicit equation
我们考虑多项式和合理的参数化曲线，在参数化的多项式有固定的支持和通用的系数。我们应用稀疏（或复曲面）消除理论，以确定其隐式多边形，即隐式方程的牛顿多边形的顶点表示。特别是，我们认为混合细分的输入牛顿多边形和定期三角剖分的点集定义的凯莱技巧。我们区分多项式和合理的参数化，后者可能有相同或不同的参数化;隐式多边形分别有4，5或6个顶点。
2008-11-03 math.AG math.CO
On saturated triangulation-free convex geometric graphs
本文首次研究无三角剖分凸几何图的饱和问题，证明存在仅O(n log n)条边的饱和图，并刻画了边数比最大值少1的所有饱和图。
2025-08-18 cs.CG math.CO
Associahedra via spines
本文通过引入三角剖分的脊柱（对偶树加标记和定向），扩展了结合多面体的经典理解，为Hohlweg-Lange构造提供新视角，并简化了相关证明。
2017-12-05 math.CO
Pseudo-Triangulations - a Survey
伪三角形是具有三个凸顶点的简单多边形，而伪三角剖分是将平面区域面对面平铺成伪三角形。伪三角剖分在计算几何中作为数据结构出现，在刚性理论中作为平面杆-关节框架出现，在局部凸曲面上作为投影出现。这一调查目前的文献包括组合性质和计数的特殊类，刚性理论的结果，表示为多面体，直线图纸从抽象版本称为组合伪三角，算法和应用程序的伪三角。
2007-10-17 math.CO math.MG
The Complex of Non-Crossing Diagonals of a Polygon
已知欧氏平面上的凸n边形P，顶点集由P中的对角线给出，刻面由P的三角剖分给出的单纯复形θ（P）是n-3维多胞形的边界复形。证明了对任意n个顶点的非凸多边形区域P，对于h+1个边界分支，θ（P）是n+3 h-4维球.当P是凸的时，给出了θ（P）是球面的一个新的证明.
2008-02-10 math.AT math.CO
Counting Carambolas
我们给出了最大和最小数量的几何配置的各种目前（作为子图）在三角剖分的$n$点在平面上的上限和下界。感兴趣的药物包括\emph{convex polygons}、\emph{star-shaped polygons}和\emph{monotone paths}。我们还考虑了\emph{directed}平面直线图的相关问题。
2015-09-20 cs.DM math.CO
Cyclically Colored Triangulations: Enumeration and Connectedness of Reconfiguration Graphs
Rio de Janeiro State University (UERJ)（里约热内卢州立大学）
该研究针对循环着色凸多边形有效三角剖分的重构图，通过根边分解方法分别解决了3色情形的连通性猜想与计数递推，证明了4色及以上翻转图的连通性，建立了统一的结构分析框架。
2026-08-27 math.CO
A Lyapunov function for Glauber dynamics on lattice triangulations
研究了整数点$[0,n]^2 \cap\mathbb{Z}^2$的随机三角剖分问题，其中每个三角剖分$σ$都有概率测度$λ^{|σ|}$，其中$|σ|$表示$σ$中边的长度之和.这种三角测量称为\emph{lattice triangulations}。我们构造了一个高度函数的格三角形，并证明，在整个亚临界制度$λ<1$，功能的行为作为一个\emph{Lyapunov function}关于Glauber动力学，也就是说，功能是一个上鞅。我们通过建立网格三角剖分的几个特征，如局部措施的紧密性，边长的指数尾，小三角形的交叉点，以及薄矩形中相关性的衰减，证明了上述结果的适用性。这些是在整个亚临界制度$λ<1$是有效的晶格三角形的第一个结果。在最近的一项工作与卡普托，Martinelli和辛克莱，我们应用此李雅普诺夫函数建立严格的边界上的混合时间的Glauber动力学在薄矩形，所有$λ<1$举行。李雅普诺夫函数的结果在这里举行的极大的一般性，它适用于三角剖分的一般晶格多边形（而不是$[0,n]^2$广场），也在存在的任意约束边缘。
2015-04-29 cs.DM math-ph math.CO
Random lattice triangulations: Structure and algorithms
本文研究格点三角剖分，即在$\mathbb{R}^2$中对多边形中顶点也为整数点的整数点进行三角剖分。格点三角剖分作为几何对象和在代数几何中的应用得到了广泛的研究。我们的重点是随机三角剖分，其中三角剖分$σ$具有权重$λ^{|σ|}$，其中$λ$是正实参数，而$|σ|$是$σ$中的边的总长度。根据经验，该模型在$λ=1$（对应于均匀分布）处表现出“相变”：对于$λ<1$，远边缘基本上独立地表现，而对于$λ>1$，出现非常大的对齐边缘区域。我们证实这一情况如下。对于足够小的$λ<1$，我们表明，边缘之间的相关性随距离（适当定义）呈指数衰减，并且Glauber动态（一个本地的马尔可夫链的基础上翻转的边缘）是迅速混合（在时间多项式中的三角测量中的边缘的数量）。这种动力学已经提出了几个作者作为一种算法生成随机三角剖分。相反，对于$λ>1$，我们表明混合时间是指数的。这些显然是第一个严格的定量结果的结构和动力学的随机晶格三角。
2015-06-02 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
$q$-deformed rationals and $q$-continued fractions
引入了$q$ -变形有理数和$q$ -变形连分数的概念.一个$q$变形有理数是由一个多边形的三角剖分编码，可以递归计算。该递推公式类似于高斯二项式系数的$q$变形Pascal恒等式，但用Farey图代替了杨辉三角形.定义$q$ -有理数的多项式的系数是与三角剖分对偶的图的最大不可分解表示的子表示。给出了Farey图的全正性、$q$ -变形、矩阵表示和$q$ -连续等性质，以及与有理纽结的Jones多项式的关系.
2020-02-13 math.CO math.NT
On the Erdos-Szekeres convex polygon problem
设$ES(n)$是最小整数，使得平面中处于一般位置的任何一组$ES(n)$点都包含处于凸位置的$n$点。在他们1935年的开创性论文中，Erdos和Szekeres证明了$ES(n) \leq {2n - 4\choose n-2} + 1 = 4^{n -o(n)}$。1960年，他们证明了$ES(n) \geq 2^{n-2} + 1$，并证明这是最佳的。本文通过证明$ES(n) =2^{n +o(n)}$ .
2016-08-27 cs.CG math.CO
Counting Triangulations and other Crossing-free Structures via Onion Layers
设$P$是平面中的一组$n$点。$P$上的无交叉结构是顶点集为$P$的平面图。无交叉结构的实例包括$P$的三角剖分，跨越$P$的环，也称为$P$的三角剖分等。在本文中，我们开发了一个通用的技术来计算输入集$P$的无交叉结构的数量。我们应用该技术来获得算法计算的三角剖分，匹配，和生成周期的$P$。我们的算法的运行时间是由$n^{O(k)}$，其中$k$是$P$的洋葱层数的上限。特别地，对于$k = O(1)$，我们的算法在多项式时间内运行。此外，我们表明，我们的算法计数三角形是从来没有慢于$O^{*}(3.1414^{n})$，即使当$k = Θ(n)$。考虑到有几个充分研究的配置点，至少$Ω(3.464^{n})$三角形，有些甚至与$Ω(8^{n})$三角形，我们的算法渐近优于任何枚举算法的这种情况下。事实上，人们普遍认为，任何$n$点集必须至少具有$Ω(3.464^{n})$三角剖分。如果这是真的，那么我们的算法是严格的三角形计数的数量次线性。我们还表明，我们的技术是一般的，足以解决"限制三角测量计数问题"，我们证明是$W[2]$-硬的参数$k$。这意味着一个"没有免费的午餐"的结果：为了是固定参数易处理的，我们的一般算法必须依赖于特定于所考虑的结构类的附加属性。
2013-12-17 cs.CC cs.CG cs.DS
Strong convexity in flip-graphs
Université Paris 13（巴黎第十三大学）；Sun Yat-Sen University（中山大学）
该研究探讨翻转图的强凸性，证明了与凸多边形顶点集相关翻转图中三角形的相关性质，指出添加两个点后对应的子图未必强凸，并得出弧交叉数无法以小于3/2因子近似三角剖分距离的结论。
2026-09-02 math.CO math.GT
Edge Statistics for Lozenge Tilings of Polygons, II: Airy Line Ensemble
本文证明在极限形状技术假设下，单连通多边形随机菱形铺砌在北极边界非奇异点附近的边缘统计收敛于Airy线系综，并利用保持高度函数集中估计的Markov链完成与六边形铺砌的局部比较。
2023-10-09 math-ph math.CO math.MP
