Parabola-Inscribed Poncelet Polygons Derived from the Bicentric Family
ENS-Lyon（里昂高等师范学院）；Inst. Mat. e Estatística, Univ. Fed. de Goiás（戈亚斯联邦大学数学与统计研究所）；Data Science Consulting（数据科学咨询公司）
研究了焦散点为圆心圆的一类抛物线内接Poncelet多边形的轨迹和性质。这个家庭是双中心家庭的一个特例相对于其外接圆的极像。我们描述封闭条件，好奇的位点，和新的保守量。
2022-01-25 cs.GR cs.RO math.DS
On the maximum area of inscribed polygons
给定一个凸$n$边形$P$和一个正整数$m$使得$3\le m\le n-1$，令$Q$表示包含在$P$中的最大面积凸$m$边形.我们感兴趣的是$Δ(Q)/Δ(P)$的最小值，即这两个多边形的面积之比。更准确地说，给定正整数$n$和$m$，用$3 \le m \le n-1$定义\begin{equation*} f_n(m)=\min_{P\in \mathcal {P}_n} \max_{Q \subset P,|Q|=m} \frac{Δ(Q)}{Δ(P)} \end{equation*}，其中最大值取于$P$中包含的所有$m$ -类，最小值取于$\mathcal{P}_n$，整个凸$n$ -类。$f_4(3)$、$f_5(4)$和$f_6(3)$的值是已知的。在本文中，我们计算的值的$f_5(3)$，$f_6(5)$和$f_6(4)$。此外，我们证明，对于所有的$n\ge 6$，我们有\begin{equation*} \frac{4}{n}\cdot\sin^2\left(\fracπ{n}\right)\le 1-f_n(n-1)\le \min\left(\frac{1}{n}, \frac{4}{n}\cdot\sin^2\left(\frac{2π}{n}\right)\right). \end{equation*}这些界限可以用来改善已知的估计$f_n(m)$。
2021-04-25 math.CO math.MG
Curves of constant diameter and inscribed polygons
欧氏平面上的一条简单闭曲线具有性质C_n（R），如果在每一点上都能内接一个唯一的正则$n$ -边形，其边长为$R$ . C_2（R）等价于具有恒定直径。本文证明了对于所有n，除了圆之外，满足C_n（R）的平滑曲线是存在的，并且圆是唯一满足C_2（R）和C_4（R '）的$C^2$正则曲线，其中$R'=R/\sqrt{2}$ .在附录中，我们证明了最后一个断言对任何R和R '都成立。证明只使用了初等微分学和几何。
2012-02-10 math.MG
The Hilbert area of inscribed triangles and quadrilaterals
希尔伯特体积是实射影几何的不变量。内接于多边形的多边形被认为是真实的射影平面。研究了Fock-Goncharov坐标系与直角坐标的对应关系。分析了内接四边形的退化和Hilbert面积。给出了退化有界Hilbert区域的一个微局部条件。应用该条件给出了一类Hilbert面积有界且Goldman参数发散的严格凸域序列。
2020-12-18 math.GT math.MG
Polygon Vertex Extremality and Decomposition of Polygons
在本文中，我们表明，如果我们把一个多边形分解成两个较小的多边形，然后通过比较的极值点的数量在原来的多边形与两个较小的多边形的总和，我们可以得到最多两个全局极值点在较小的多边形，以及最多两个局部极值点。然后，我们将从我们的结果得到两个离散的四顶点定理。
2010-04-11 math.MG
Asymmetric polygons with maximum area
我们说一个内接于圆的多边形是不对称的，如果它不包含两个作为直径端点的对径点。给定圆的$n$直径和正整数$k<n$，本文讨论了以给定直径的端点$k<n$为顶点的最大面积非对称$k$边形的计算问题.这种类型的多边形的研究是出于民族音乐学的应用。
2015-01-30 cs.CG math.CO math.MG
Variance estimates for random disc-polygons in smooth convex discs
本文证明了以$C^2_+$为边界的光滑凸圆上内接随机圆多边形顶点数和缺失面积方差的渐近上界。我们还考虑了这种概率模型的外接变量，其中凸盘近似随机圆的交叉。
2018-02-08 math.MG
Centers of mass of Poncelet polygons, 200 years after
内接于圆锥曲线$Γ$并外接于圆锥曲线$γ$的庞斯莱多边形族的质心轨迹是与$Γ$相似的圆锥曲线。
2016-07-16 math.AG math.HO math.MG
On the Areas of Cyclic and Semicyclic Polygons
我们调查的“广义海伦多项式”，涉及的平方面积的n边形内接在一个圆的平方，其边长。对于一个（2 m +1）-边形或（2 m +2）-边形，我们将它表示为从具有m-1个二重根的二元（2 m-1）-形式簇导出的某个簇的定义多项式。从而得到了循环七边形和循环八边形面积的显式公式，并阐明了循环五边形和循环六边形面积的Robbins公式的某些神秘性质。我们还介绍了一个同伴家庭的多项式，涉及的平方面积的n边形内接在一个圆，其一侧是直径，平方长度的其他方面。通过类似的代数技巧，我们得到了这些多项式的显式公式，所有n <= 7。
2004-07-16 math.MG
Extremal antipodal polygons and polytopes
令$S$是圆上的一组$2n$点，使得对于每个点$p \in S$，其对极（相对于圆心镜像）点$p'$也属于$S$。一个尺寸为$n$的多边形$P$称为\emph{antipodal}，如果它恰好由$S$的每个对极对$(p,p')$的一个点组成。我们提供了一个完整的表征对映多边形最大化（最小化，分别）之间的所有对映多边形的$S$的面积。在此基础上，提出了一种计算极对映多边形的简单线性时间算法。此外，对映多边形的推广到更高的维度，我们表明，不存在类似的特征。
2013-01-28 cs.CG math.CO math.MG
Some extremal problems for polygons in the Euclidean plane
本文研究了欧氏平面中凸多边形及其周长相关的极值问题，提出了若干表述简单但证明复杂的结果，并讨论了未解决的问题。
2022-10-01 math.MG
Extremal Area of Polygons sliding along Curves
本文研究多边形顶点沿曲线滑动时的面积函数，给出临界点几何判据及Hesse矩阵，为Morse理论方法奠基，并引出内面积台球这一新概念。
2022-11-25 math.MG
Dowker-type theorems for disk-polygons in normed planes
本文研究了赋范平面上由单位圆盘平移交集定义的 $C$-$n$-gons 的 Dowker 型定理，证明了外切 $C$-$n$-gons 的面积和周长及内接 $C$-$n$-gons 的周长定理成立，并发现对于典型原点对称凸体，内接面积定理不成立。
2024-03-25 math.MG
Davis' Convexity Theorem and Extremal Ellipsoids
给出了极小椭球外切和极大椭球内接于凸体的唯一性结果。唯一性来自于用于测量椭球大小的函数的凸性或凸性准则。简单的例子与非唯一的最小或最大椭球结束这篇文章。
2009-08-25 math.MG
Polygons with prescribed edge slopes: configuration space and extremal points of perimeter
我们描述了具有指定边斜率的多边形的位形空间$\mathbf{S}$，并研究了周长$\mathcal{P}$作为$\mathbf{S}$上的Morse函数。我们描述了$\mathcal{P}$的临界点（这些是\textit{tangential}多边形）并计算它们的莫尔斯指数。这种设置的动机是由一些结果有关的临界点和Morse指数的定向面积函数上定义的配置空间的多边形与规定的边长（灵活的多边形）。作为一个副产品，我们提出了一个独立的计算莫尔斯指数的面积函数（获得较早的G。Panina和A. Zhukova）。
2017-12-01 math.GT math.MG
On the perimeters of simple polygons contained in a plane convex body
一个简单的n边形是一个有n条边的多边形，使得每个顶点属于两条边，而每隔一个点最多属于一条边。布拉斯，莫泽和帕奇提出了以下问题：对于n > 3奇数，什么是最大周长的一个简单的n-边形包含在一个欧几里德单位盘？2009年，Audet、Hansen和Messine回答了这个问题，并证明了上确界是内接于圆盘的等腰三角形的周长，其边重数为n-2。Lángi将他们的结果推广到包含在双曲圆盘中的多边形。本文给出了欧氏平面或双曲平面中任意平面凸体所包含的单n阶凸体的周长的上确界。
2012-07-17 math.MG
Extremal Area of Polygons, sliding along a Circle
本文研究了顶点在圆或椭圆上的多边形面积函数的临界构型，计算了孤立临界点的莫尔斯指数，并将退化点与特征值问题关联，揭示了偶数维中的非孤立奇点结构。
2020-10-08 math.GT math.MG
Aperture-Angle and Hausdorff-Approximation of Convex Figures
不在平面Q中的点x相对于凸多边形Q的孔径角α（x，Q）是包含Q的顶点为x的最小圆锥的角度。平面内的紧致凸集C关于C的内接凸多边形Q的孔径角逼近误差是C Q中任意x关于Q的最小孔径角。本文证明了对平面上的任意紧凸集C和任意k > 2，存在C的内接凸k边形Q，其孔径角逼近误差为（1 - 2/（k+1））π.这个界限是最优的，并且解决了Fekete在20世纪90年代早期提出的一个猜想。同样的证明技术可以用来证明布拉斯的一个猜想：如果多边形P不允许用豪斯多夫距离sigma的子k边形（P的k个顶点的凸包）逼近，但P的所有子多边形（P的某些顶点的凸包）都允许这样的逼近，那么P是（k+1）-gon。这意味着以下结果：对于任意k > 2和任意周长至多为1的凸多边形P，存在P的子k边形Q使得P和Q的Hausdorff距离至多为1/（k+1）* sin（pi/（k+1））。
2007-02-20 cs.CG math.MG
Variants of a theorem of Macbeath in finite dimensional normed spaces
University of Szeged（塞格德大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文研究了在有限维规范空间中，最大体积凸多面体的几种体积指标的极值问题，扩展了Macbeath定理的范围。
2025-12-29 math.MG
The Extremal Spheres Theorem
考虑一个多边形P和所有相邻的圆（通过P的三个连续顶点的圆）。我们说一个邻圆是极值的，如果它是空的（里面没有P的顶点）或满的（外面没有P的顶点）。众所周知，对于任何凸多边形，至少存在两个空圆和两个满圆，即至少存在四个极值圆。1990年，Schleman考虑了d维欧几里得空间中的凸多胞体的这一定理的推广。也就是说，他声称至少存在2d极值邻球。在本文中，我们表明，有一定的差距，Schlecran的证明，这是基于Bruggesser-Mani脱壳方法。我们表明，使用这种方法，它是可以证明，至少有d+1极值相邻球。然而，二维极值邻域球的存在性问题仍然是一个悬而未决的问题。
2011-03-31 math.MG
On the maximum product of distances of diameter $2$ point sets
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔拉克-科特赖克校区）；Ghent University（根特大学）；Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
研究直径为2的点集最大距离乘积问题，证明凸多边形的充分性，并提出优于正n边形的构造，揭示极值多边形特征及偶数阶无法一般性刻画的结论。
2026-03-07 math.CO math.CV math.MG
The extremal volume ellipsoids of convex bodies, their symmetry properties, and their determination in some special cases
一个凸体K具有唯一的最小体积的外切椭球CE（K）和唯一的最大体积的内接椭球IE（K）。我们首先给出了一个统一的，现代的阐述这些极值椭球的基本理论，使用的半无限规划的方法开创了弗里茨约翰在他的开创性的1948年的文件。然后，我们研究了凸体及其极值椭球的自同构群。证明了如果凸体K的自同构群足够大，则可以用半无限规划或非线性规划精确地确定极值椭球CE（K）和IE（K）.作为例子，我们计算了当凸体K是给定椭球在两个平行超平面之间的部分时，以及当K是截头二阶锥或椭球柱时的极值椭球。
2007-09-05 math.FA math.MG
Convex Polytopes: Extremal Constructions and f-Vector Shapes
这些课堂讲稿讨论了凸多胞体理论中两个密切相关的主题的一些当前方面：f-向量的形状和极值结构。第一堂课处理三维多面体;它包括一个完整的证明Koebe-Andreev-Thurston定理，使用变分原理由Bobenko & Springborn（2004）。在第二堂课中，我们研究了高维多面体的f-向量形状。第三堂课解释了一个令人惊讶的简单的2-单纯2-单纯4-多面体的构造，它具有对称的f-向量。第四堂课概述了4-多面体的f-向量锥的几何形状，从而确定了高"肥度"的4-多面体的存在性/构造是一个关键问题。在这个方向上，最后一堂课介绍了一个非常新的"多边形的投影积"的构造，其胖度达到9-\eps。
2005-12-07 math.CO math.MG
On a Minimax Problem for Ovals
对于有界度量空间$ X $，可以考虑量$ δ(X) := \text{inf\rule[-0.5ex]{0em}{1ex}}_{\,p\in X}\; \text{sup}_{q \in X} \; d(p,q) $。这个纯粹的度量不变量从逼近论中被称为$ X $的相对切比雪夫半径w.r. t。$ X $本身。尽管其明显的意义，$ δ(X) $似乎相当未触及的几何文献。本文讨论了平面凸曲线$ X $的一个等周型不等式，它将$ δ(X) $与曲线的周长联系起来.由于$ δ(X) $的极大极小性质，它的处理违背了极值问题的通常原则。它将表明，光滑的情况下，不等式可以减少到多边形的情况下的近似。然而，对于多边形，存在顶点集的高维性的附加问题。所以，一般来说，我们只能提供咨询。有限类曲线的定解是可能的。即使是短多边形，也已经出现了一种“魔法风筝”，它表明正方形绝对不是极端图形。
2016-06-21 math.MG
Growth of Hyperbolic Cells
考虑单位圆盘$\{z:\, |z|<1\}$中的双曲多边形，其顶点都在单位圆$\{z:\, |z|=1\}$上，当每个$n$边形通过在其所有边上反转生成一个$n(n-1)$边形时，这类多边形的增长过程.本文证明了凸双曲$n$ -边形反演的一些一般单调性结果，并解决了一个极值问题：在所有包含原点的凸双曲$4$ -边形中，给定的双曲$4$-边形的最长边的反演边长对于正则双曲$4$-边形是最小的.
2015-07-22 math.CV math.MG
Extreme problems for convex curves with given relative Chebyshev radius
本文讨论了欧氏平面上凸曲线和凸多边形的极值问题，并给出了相应的切比雪夫半径。特别地，我们确定了任意三角形的相对切比雪夫半径。此外，我们还得到了凸曲线和凸n-n阶曲线在给定的相对切比雪夫半径下的最大可能周长。
2020-10-13 math.MG
