Tightening Inequalities on Volume Extremal $k$-Ellipsoids Using Asymmetry Measures
本文利用 John 不对称性统一并加强了关于低维椭球体积上下界的两类不等式，证明其在大维度、平面及任意不对称性凸体（含交叉多胞形、平行多胞形和单纯形）中的紧性，并给出与 Banach-Mazur 距离相关的推论。
2024-12-31 math.MG
Strengthened inequalities for the mean width and the $\ell$-norm of origin symmetric convex bodies
本文改进了对称凸体均宽和ℓ-范数的极值结果，证明了立方体和正交叉多面体在特定条件下的最优稳定性版本，并探讨了相关稳定性结果。
2024-10-15 math.MG
Regular ellipsoids and a Blaschke-Santaló-type inequality for projections of non-symmetric convex bodies
本文将 Pisier 关于覆盖数正则递减的定理推广至非对称凸体，通过引入关于 Santaló 点位于原点的凸体投影的 Blaschke-Santaló 型不等式作为关键新方法，并探讨了其在各向同性凸体平均范数中的应用。
2023-04-03 math.FA math.MG
Extremal sections and projections of certain convex bodies: a survey
本文综述了$\ell_p$球等凸体在低维子空间上截面与投影体积的极值估计，回顾了源于数的几何的概率与分析方法的进展。
2023-06-21 math.FA math.MG math.PR
Complex ellipsoids and complex symmetry
证明了Cn中凸体间复椭球的几个截面和投影特征。用类似的术语描述复对称性是一个重要的工具。
2021-11-29 math.MG
Strengthened inequalities for the mean width and the $\ell$-norm
本文加强了关于凸体均宽和ℓ-范数的不等式，证明了正则单纯形在特定条件下的极值性质，并研究了中心各向同性测度支撑集的凸包的相关稳定性结果。
2020-01-29 math.MG
On Certain Extremal Banach-Mazur Distances and Ader's Characterization of Distance Ellipsoids
本文证明三维空间中平行多面体与交叉多胞体是 Banach-Mazur 距离达到 $\sqrt{n}$ 的唯一极大化对象，并基于 Ader 的距离椭球刻画给出绕开体积概念的证明，同时建立平行四边形在平面问题中的唯一性与稳定性。
2025-06-05 math.FA math.MG
Duality of Floating and Illumination Bodies
我们调查的浮动和照明机构之间的对偶关系。这两个物体的定义表明，漂浮物体的极性应该类似于极性的照明体。我们考虑中心对称凸体类的这个问题。我们提供了精确的估计$(B_p^n)$和中心对称凸体与处处正高斯曲率。我们的估计表明，平等的极性的浮动机构和照明机构的极性只能在椭球的情况下才能实现。
2017-09-07 math.FA math.MG
Closed-Form Parametric Equation for the Minkowski Sum of $m$ Ellipsoids in $\mathbb{R}^N$ and Associated Volume Bounds
回顾了凸体的一般结果，并利用这些结果导出了$N$维欧几里得空间中$m$任意椭球的Minkowski和边界的精确封闭形式参数公式.这些Minkowski和的主曲率的表达式也来自。这些结果，然后使用它们的定义矩阵获得的Minkowski和的椭球体的体积上，下界的下界是尖锐的比Brunn-Minkowski不等式。还给出了凸体的一个逆等距不等式。
2021-03-28 math.DG math.MG
Sections and projections of nested convex bodies
本文研究了嵌套凸体的截面与投影，通过分析两凸体的截面或投影关系，揭示了球体和椭球体的新描述方法。
2021-07-30 math.MG
Reflections of convex bodies and their sections
本文的目的是研究凸体的反射。特别是，我们感兴趣的正交反射的部分，可以扩展到整个身体的反射。出于这个原因，我们需要研究非球形椭球体的情况，其中出现了令人惊讶的结构（第2节）。这些结果使我们能够给出椭球的反射的一个新的特征，另一方面，证明了一个与K.贝兹德克
2022-08-05 math.MG
Convex bodies of constant width in spaces of constant curvature and the extremal area of Reuleaux triangles
推广了Blaschke和Lebesgue在欧氏平面上的经典结果，最近在球面和双曲情形下也证明了在等宽凸区域$D$中，三角形具有最小面积.我们证明了一个基本上是最佳的稳定性版本的这一声明中的每一个三种类型的常曲率曲面。此外，我们还总结了常曲率空间中常宽凸体的基本性质，并给出了双曲情形下的横球面特征。
2022-03-30 math.MG
Functional John and Löwner conditions for pairs of log-concave functions
本文同时推广John定理的两个方向，在泛函框架下研究对数凹函数对的最大与最小积分位置问题，统一了凸体与对数凹函数两种设定下的已知结果，并揭示John与Löwner对偶问题在函数情形下关系更复杂。
2023-11-30 math.FA math.MG
Convex Bodies with affinely equivalent projections and affine bodies of revolution
本文研究仿射旋转体。这将使我们能够证明，一个凸体的正交$n$ -投影是仿射等价的是一个椭球，提供$n\equiv 0,1, 2$ mod $4$，$n>1$与可能的豁免$n=133$。我们的证明使用凸几何和紧李群的拓扑。AMS分类主题：22 E10、52 A05
2020-05-05 math.MG
Flat grazes of convex bodies and local characterization of quadrics
本文通过局部化Blaschke定理，研究了二次曲面和椭球体的grazes平坦性特征化问题。
2025-12-14 math.MG
John Ellipsoids of Revolution
该研究通过引入旋转椭球在凸体中找最大欧几里得球与最大体积椭球的经典问题间建立插值，推导了带仿射变换限制的凸体最大体积仿射像最优性一阶条件，并揭示了极值旋转椭球的对应性质。
2025-08-03 math.FA math.MG
On polynomially integrable convex bodies
$\mathbb R^n$中的无限光滑凸体称为$N$次多项式可积的，如果它的平行截面函数是$N$次多项式.我们证明了在奇数维中具有这种性质的光滑凸体是椭球，如果$N\ge n-1$。这与偶维的情况和具有$N<n-1$的奇维的情况相反，在奇维的情况下，这样的物体不存在，正如阿格拉诺夫斯基最近所证明的那样。
2017-02-01 math.MG
The Petty Conjecture for Convex Bodies of Revolution
本文证明了Petty猜想对所有n≥3维空间中的旋转凸体成立，即商式V_n(ΠK)/V_n(K)^{n-1}的最小值由椭球体取得，并刻画了等号情形。
2026-09-15 math.MG
John Ellipsoid and the Center of Mass of a Convex Body
很自然地要问凸体$K\subset \mathbb{R}^n$的质心是否位于其约翰椭球体$B_K$中，即，在$K$中包含的最大体积椭圆体中。这个问题关系到许多凸体算法的效率。在本文中，我们得到了一个意想不到的否定结果。存在凸体$K\subset \mathbb{R}^n$，使得其质心不位于围绕$B_K$的中心膨胀$(1-C\sqrt{\frac{\log(n)} {n}})n$倍的约翰椭球$B_K$中。此外，还存在一个多胞体$P \subset \mathbb{R}^n$，它的$O(n^2)$小面的质心不包含在围绕$B_P$中心膨胀$O(\frac{n}{\log(n)})$倍的John椭球$B_P$中.
2018-09-17 math.FA math.MG
Extremal Banach-Mazur distance between a symmetric convex body and an arbitrary convex body on the plane
本文证明在平面上，若对称凸体与另一凸体的Banach-Mazur距离达到极值2，则该凸体必为三角形。
2023-05-10 math.FA math.MG
On Extremal Volume Projections of the Simplex and the Cube
University of Crete（克里特大学）
本文推导了正n-simplex和单位立方体的极值体积投影闭式公式，并在L_p投影体框架内进行了泛化。
2026-01-26 math.FA math.MG
A characterization of the ellipsoid through planar grazes
本文通过平面掠射特征证明，若凸体满足特定条件，则其为椭球
2025-08-22 math.MG
Random polytopes in convex bodies: Bridging the gap between extremal containers
本研究探讨块β分布族中随机点凸包构成的随机多面体的渐近性质，建立面期望数量的显式增长率，分析均匀分布下任意维度面的期望数量及体积差，揭示其插值性质以弥合两类凸容器中随机多面体行为的差距。
2024-11-28 math.MG math.PR
The Extremals of the Alexandrov-Fenchel Inequality for Convex Polytopes
Alexandrov-Fenchel不等式是经典的等周不等式在任意混合体积上的广泛推广，是凸几何的核心。它的极端体的特征是一个长期存在的开放问题，可以追溯到亚历山德罗夫1937年的原始论文。已知的极值已经形成了一个非常丰富的家族，甚至由于施耐德的贡献，关于它们的一般结构的主猜测也是不完整的。本文完全解决了关于凸多胞体的Alexandrov-Fenchel不等式的极值问题。特别是，我们表明，极值产生于三个不同的机制的组合：翻译，支持和维度。这些机制的表征需要发展各种各样的技术，揭示了新的光的几何混合体积的非光滑凸体。我们的主要结果进一步扩展超出多面体在许多方面，包括设置quermassintegrals的任意凸体。作为我们的主要结果的一个应用，我们解决了斯坦利的一个问题，在偏序集的组合学中出现的某些对数凹序列的极值行为。
2022-02-02 math.CO math.MG
On flat shadow boundaries from point light sources and the characterization of ellipsoids
Kent State University（肯特州立大学）；Case Western Reserve University（凯斯西储大学）
研究点光源下阴影边界平坦的凸体必为椭球体，并建立点光源照明与超平面截面对称性的对偶框架。
2026-03-31 math.MG
Generalized Outer Bounds on the Finite Geometric Sum of Ellipsoids
一般结果凸体的审查和使用推导出一个精确的封闭形式的参数公式的边界的几何（Minkowski）和$k$椭球在$n$维欧几里得空间。以前，这是通过迭代算法完成的，其中每个新的椭球体被添加到先前椭球体之和的椭球体近似中。在这里，我们提供了一次公式来直接添加$k$椭圆，而不需要中间近似。这使我们能够观察到一个新的自由度在家庭的椭球界限的几何和。我们展示了这些工具的应用程序来计算离散时间动力系统的可达集。
2021-06-08 cs.SY eess.SP eess.SY
On the approximation of convex bodies by ellipses with respect to the symmetric difference metric
给定一个中心对称的凸体$K \subset \mathbb{R}^d$和一个正数$λ$，我们考虑在体积为$λ$的所有椭圆$E \subset \mathbb{R}^d$中，那些关于对称差度量最好地近似$K$的椭圆，或者等价地最大化$E\cap K$的体积的椭圆：这些是由Artstein-Avidan和Katzin引入的最大相交（MI）椭圆。MI椭球的唯一性问题（在显然必要的假设下，$λ$介于$K$的John椭球和Loewner椭球的体积之间）通常是开放的。我们在维度$d=2$中对这个问题提供了肯定的回答。因此，我们得到了一个连续的$1$参数椭圆族，该椭圆族插值于$K$的John椭圆和Loewner椭圆之间.为了证明唯一性，我们表明，该地区$I_K(E)$的交集$K \cap E$是一个严格的拟凹函数的椭圆$E$，相对于自然的仿射结构上的集合的椭圆面积$λ$。证明依赖于平滑$K$，将其置于一般位置，并获得函数$I_K(.)$的某些导数的统一估计。最后，我们给出了最大相交位置的一个特征，即假设两个边界是横截的，$K$的MI椭圆是单位圆盘的情形。
2018-06-03 math.DG math.MG
Parkable convex sets and finite-dimensional Hilbert spaces
在欧几里得空间中包含原点的凸体$B$的子集是{ \it可在$B$中停放}，如果它可以在$B$内平移，使得平移原点。基于可驻性的概念，给出了$\ge 3$维欧几里得空间中椭球和中心对称凸体的特征，回答了G.伯格曼所用的技巧是基于有限维巴拿赫空间中的希尔伯特空间的子空间格和自同态代数的刻画，也适用于改进W.布拉施克用光照边界表征椭球。
2016-03-29 math.FA math.MG
On Bezdek's conjecture for high-dimensional convex bodies with an aligned center of symmetry
North Dakota State University（北达科他州立大学）；Kent State University（肯特州立大学）
本文在高维空间中验证了Bezdek猜想，假设通过固定点的截面具有反射轴，且互补不变子空间平行于固定超平面，证明了在正交和仿射设置中成立。
2026-05-13 math.MG
Anisotropic symmetrization, convex bodies, and isoperimetric inequalities
本文利用各向异性等周不等式、Sobolev 函数精细性质及 Brunn-Minkowski 理论，给出各向异性 Pólya-Szegö 型不等式无需逼近论证的新证明，并实现对极值函数的刻画。
2024-11-02 math.FA math.MG
Small perturbations of polytopes
本文研究凸体无穷小扰动的泛函分析刻画，完整描述了多胞体情形下的可实现扰动集合，并由此给出迷向常数多胞体极大化子的必要条件。
2024-09-05 math.FA math.MG
Extremal affine surface areas in a functional setting
本文在函数空间中引入极值仿射表面积，建立其对偶公式，证明其与函数积分幂成正比，从而推广并改进了凸体情形的相关结果。
2024-02-25 math.FA math.MG
On Sections of Convex Bodies in John's Position and of Generalised $B_p^n$ Balls
Universidad de Zaragoza（萨拉戈萨大学）；University of Crete（克里特大学）；University of Ioannina（约阿尼纳大学）
本文通过结合几何Brascamp-Lieb不等式与广义Parseval型恒等式，改进了K.Ball的论证，为约翰位置下凸体截面体积提供了精确估计，并推广了Meyer-Pajor和Koldobsky关于$B_p^n$球体极值截面的经典估计。
2026-03-29 math.FA math.MG
John-type decompositions for affinely-optimal positions of convex bodies
本文提出了一种约翰型分解，用于确定凸体在仿射最优位置下的必要条件，并应用于Banach-Mazur距离的优化问题。
2026-02-16 math.FA math.MG
The isodiametric problem with lattice-point constraints
本文研究了格L中不含内部非零点的欧氏d-空间R^d中中心对称凸体的等径问题。证明了一个合适的球与2L的Dirichlet-Voronoi胞腔的交是极值的，即，它在所有体积相同的物体中直径最小。证明了这些集是唯一的极值体，并对所有的三维格和几个突出格证明了这一点。
2007-11-14 math.MG math.NT
Stability of the Blaschke-Santaló and the affine isoperimetric inequality
证明了维数n>2的凸体的Blaschke-Santaló不等式和仿射等周不等式的稳定性.第一步是还原到当凸体是o对称的并且具有轴旋转对称性时的情况。这一步适用于与Steiner对称化兼容的相关不等式。其次，对于这些凸体，建立了一个稳定的版本的特征的事实，每个超平面部分是中心对称的椭球。
2009-01-21 math.MG
The computational complexity of convex bodies
我们讨论了一个给定的凸体B在一个实d维向量空间V中如何能被一个集合X近似，对于这个集合X的成员问题是：“给定V中的一个x，x属于X吗？“”可以有效地回答（在d中的时间多项式中）。本文讨论了凸体的椭球逼近、代数超曲面逼近、多面体的控制面数投影逼近和半正定二次型锥逼近。我们说明了一些结果的旅行商多面体，一个例子，一个复杂的凸体研究组合优化。
2006-10-10 math.CO math.MG
Negative moments of the support function and applications to isotropic convex bodies
本文通过支撑函数的负矩估计和球冠论证，研究各向同性凸体的随机投影内半径等几何量，得到多项式偏差估计并证明立方体在无条件类中的极值性，同时给出混合旋转-投影定理和体积剖面的尖锐结果。
2026-09-24 math.FA math.MG math.PR
On the reverse isodiametric problem and Dvoretzky-Rogers-type volume bounds
等直径不等式指出，欧几里得球使给定直径的所有凸体的体积最大化。我们的动机是小马凯的一个猜想~关于反问题：每个凸体都有一个线性象，它的等径商至少与正则单形的等径商一样大。我们将这个反向等径问题的最小体积封闭椭球和Dvoretzky-Rogers型的问题，找到大体积的简单的任何分解的单位矩阵。结果，我们解决了$o$ -对称凸体的反等径问题，并在一般情况下得到了一个强渐近界。利用矩阵乘积的子式的Cauchy-比内公式，我们得到了具有独立意义的Dvoretzky-Rogers型体积界.
2020-04-28 math.FA math.MG
On the local convexity of intersection bodies of revolution
凸几何中的一个基本结果是Busemann定理，它指出对称凸体的相交体是凸的。因此，很自然地会问布斯曼定理是否存在定量版本，即，如果相交体操作实际上改善了凸性。在本文中，我们集中在对称的旋转体提供了几个结果的（严格）改善凸性下的相交体操作。证明了对称旋转凸体的交体在赤道附近具有与欧氏球相同的渐近行为。我们应用这一结果表明，在足够高的维度，一个对称的旋转凸体的双相交体是非常接近的Banach-Mazur距离的椭球。我们还证明了结果的局部凸性在赤道相交机构类的恒星机构的革命。
2013-04-11 math.MG
Sharp Isoperimetric Inequalities for Affine Quermassintegrals
$\mathbb{R}^n$中与凸体相关联的仿射quermassintegrals是Brunn-Minkowski理论中经典内禀体积的仿射不变类似物，因此构成仿射凸几何的中心支柱。它们是在20世纪80年代由E. Lutwak，他证明了在给定体积的所有凸体中，第$k$次仿射quermassintegral在椭球族上精确地最小化。已知的情形$k=1$和$k=n-1$分别对应于经典的Blaschke-Santaló和Petty投影不等式。在这项工作中，我们确认Lutwak的猜想，包括表征的平等的情况下，所有值的$k=1,\ldots,n-1$，在一个统一的框架。事实上，事实证明椭球是关于豪斯多夫拓扑的唯一局部极小点。为了证明，我们引入了一些新的成分，包括一个新的建设的凸体的投影Rolodex。特别地，从这个新的观点，Petty不等式被解释为一个广义的Blaschke-Santaló不等式的集成形式的一个新的家庭的极体编码的投影Rolodex。我们将这些结果推广到更一般的$L^p$-矩quermassintegrals，并解释的情况下$p=0$作为一个尖锐的平均Loomis-Whitney等周不等式.
2022-08-19 math.FA math.MG
Convex bodies with centrally symmetric sections
Facultad de Matemáticas-Acapulco, Universidad Autónoma de Guerrero（阿卡普尔科数学学院，格雷罗自治大学）
本文研究Barker-Larman猜想的一个特例，证明当凸体K是中心对称且严格凸，且球B满足一定条件时，K必为椭球。
2026-06-26 math.MG
Smooth valuations on convex bodies and finite linear combinations of mixed volumes
本文基于 Alesker 对 McMullen 猜想的解，证明了凸体上连续平移不变齐次赋值可由有限个混合体积线性组合一致逼近，且部分参数可固定为不依赖赋值的椭球体。
2024-10-15 math.MG
On random diameters of convex bodies
Univ Gustave Eiffel, Univ Paris Est Creteil, CNRS（巴黎-塞纳河谷大学，巴黎东 Créteil 大学，法国国家科学研究中心）；University of Alberta（阿尔伯塔大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文研究凸体随机截面直径的上下界，并应用于p-椭球体，解决了信息复杂性理论中关于随机信息替代最优信息的自然猜想，给出最优二分法。
2026-09-22 math.FA math.MG math.PR
Iterations of the projection body operator and a remark on Petty's conjectured projection inequality
证明了如果凸体具有绝对连续的表面积测度，且其密度足够接近于常数，则凸体序列$\{Π^mK\}$关于Banach-Mazur距离收敛于球，为$m\rightarrow\infty$ .这里，$Π$表示投影体算子。我们的结果使我们能够表明，椭球是一个局部的解决方案，固定不等式的Petty和改进的一个相关不等式的Lutwak。
2015-11-11 math.FA math.MG
Dvoretzky type theorems for multivariate polynomials and sections of convex bodies
本文证明了$\mathbb R^n$上齐次多项式的Gromov-Milman猜想（Dvoretzky型定理），并改进了奇次多项式$d$（这种情况称为Birch定理）和复多项式的类似猜想中数$n(d,k)$的界.我们还考虑了实和复Grassmannian上典范丛中齐次多项式域的一个更强的猜想。这个猜想一般来说强得多，而且是错误的，但是在$d=2$（对于某种类型的$k$）、奇$d$和复格拉斯曼（对于奇、偶$d$和任何$k$）的情况下都得到了证明。从多项式域猜想的$d=2$情形中导出了凸体投影或截面的约翰椭球的推论。
2011-01-26 math.AT math.CO math.FA
On the volume of convolution bodies in the plane
本文证明在平面中固定体积的凸体上，任意δ∈(0,1)的δ-卷积体体积最大化者并非椭球，这一结果与δ→1⁻时由Petty投影不等式决定的极限行为相矛盾。
2024-10-21 math.MG
Uniqueness of centers of nearly spherical bodies
在$n$维欧几里得空间中的紧凑体$\Om$的$r^{\an}$ -中心是给出正则化里斯位势的极值的点，其是从该点到$\an$的幂的距离在$\Om$上的积分（的Hadamard正则化）。我们表明，对于任何实数$\la$，如果一个紧凑的身体是足够接近的球的意义上的非球面，然后$r^{\an}$中心是唯一的。我们还研究了单位球的正则化势。
2022-09-08 math.DG math.MG
Convex bodies with algebraic section volume functions
本文研究凸体截面体积函数的代数性质，证明在光滑严格凸体中，椭球体可由特定多项式代数方程完全刻画，从而推广了多项式可积区域的相关结论。
2024-09-28 math.CA math.FA math.MG
Star bodies with completely symmetric sections
如果恒星体的质心位于原点，并且其对称群$G$迫使任何对称群包含$G$的椭圆体成为球，则我们说恒星体$K$是完全对称的。在这篇短文中，我们证明了如果一个星体$L$的所有中心截面都是完全对称的，那么$L$必须是一个球。我们的结果的一个特殊情况是，如果$L$的所有部分是原点对称和1-对称的，那么$L$必须是一个欧几里德球。这回答了\cite{R2}的一个问题。我们的结果是我们建立的一个一般定理的结果，该定理指出，如果在球面上定义的实函数$f$的几乎所有方程中的限制是各向同性函数，则$f$是常数a.e.在本说明的最后一节中，讨论了应用、改进和相关的开放问题，并回答了\cite{R}和\cite{R2}的两个额外的开放问题。}
2016-11-29 math.MG
A bound for the perimeter of inner parallel bodies
本文给出了凸体$Ω$的内平行集周长的一个精确下界。该边界仅取决于周长和内径$r$的原始机构，并指出，\[|\partialΩ_t| \geq \Bigl(1-\frac{t}{r}\Bigr)^{n-1}_+ |\partial Ω|.\]特别是该边界是独立的任何规律性的性质$\partialΩ$。作为证明的副产品，我们建立了平等的精确条件。证明，这是直接的，是基于对某一最优化问题的极值集的建设和使用的基本性质的混合体积。这是发表在J. Funct上的论文的修订版。Anal.（2016年），其中错误根据J. Funct. Anal.本文的主要结果保持不变，但引理2.1中的一个错误已被纠正，随后的证明已相应地调整。
2020-05-04 math.FA math.MG
Empirical forms of the Petty projection inequality
本文从随机视角重新审视Petty投影不等式，建立了其多种经验形式，并针对随机凸集的混合投影体与混合体积等泛函推导出尖锐极值不等式。
2024-12-31 math.MG
Area Minimization Among Group-Invariant Planar Convex Bodies of Constant Width
Universidad de Valencia（瓦伦西亚大学）；University of the Fraser Valley（弗雷泽河谷大学）
该研究在给定对称约束下，分类了固定原点的有限等距变换群G作用下不变的常宽度凸体中的最小面积者，明确了不同G对应的极小值类型。
2026-08-06 math.FA math.GR math.MG
The Extremals of Minkowski's Quadratic Inequality
本文通过将任意凸体的混合体积表示为与高度退化椭圆算子相关联的Dirichlet形式，利用算子的定量刚性性质，完全解决了Minkowski二次不等式的极值问题并证实了R. Schneider的猜想。
2021-04-08 math.DG math.FA math.MG
