Extremal antipodal polygons and polytopes
令$S$是圆上的一组$2n$点，使得对于每个点$p \in S$，其对极（相对于圆心镜像）点$p'$也属于$S$。一个尺寸为$n$的多边形$P$称为\emph{antipodal}，如果它恰好由$S$的每个对极对$(p,p')$的一个点组成。我们提供了一个完整的表征对映多边形最大化（最小化，分别）之间的所有对映多边形的$S$的面积。在此基础上，提出了一种计算极对映多边形的简单线性时间算法。此外，对映多边形的推广到更高的维度，我们表明，不存在类似的特征。
2013-01-28 cs.CG math.CO math.MG
Extremal Area of Polygons, sliding along a Circle
本文研究了顶点在圆或椭圆上的多边形面积函数的临界构型，计算了孤立临界点的莫尔斯指数，并将退化点与特征值问题关联，揭示了偶数维中的非孤立奇点结构。
2020-10-08 math.GT math.MG
Extremal Eigenvalues of the Laplacian on Euclidean domains and closed surfaces
研究了单位体积欧几里得整环上Laplacian算子的特征值在Dirichlet和Neumann边界条件下的极值序列的性质.第二部分研究了Laplace-Beltrami算子在单位面积闭曲面上的极值特征值序列。
2014-03-08 math.MG
Isoperimetric inequality for non-Euclidean polygons
针对正多边形在固定周长与边数下面积最大这一经典等周结论，本文将其推广到非欧情形，并完整证明了双曲几何与球面几何中的多边形等周不等式。
2024-09-10 math.HO math.MG
From spaces of polygons to spaces of polyhedra following Bavard, Ghys and Thurston
在W的工作之后。P. Thurston，C. Bavard和Bavard。吉斯从欧氏多边形的变形空间中构造了特殊的双曲多面体。我们提出这种结构作为一个简单的混合体积理论的结果。这些多面体的胶合可以等距嵌入到由Thurston从欧氏多面体的变形空间构造的复双曲锥流形中。这样就有可能推导出P. Deligne和G. D.莫斯托
2009-09-07 math.MG
The Extremal Spheres Theorem
考虑一个多边形P和所有相邻的圆（通过P的三个连续顶点的圆）。我们说一个邻圆是极值的，如果它是空的（里面没有P的顶点）或满的（外面没有P的顶点）。众所周知，对于任何凸多边形，至少存在两个空圆和两个满圆，即至少存在四个极值圆。1990年，Schleman考虑了d维欧几里得空间中的凸多胞体的这一定理的推广。也就是说，他声称至少存在2d极值邻球。在本文中，我们表明，有一定的差距，Schlecran的证明，这是基于Bruggesser-Mani脱壳方法。我们表明，使用这种方法，它是可以证明，至少有d+1极值相邻球。然而，二维极值邻域球的存在性问题仍然是一个悬而未决的问题。
2011-03-31 math.MG
Separating circles on the sphere by polygonal tilings
我们说，一个平铺分离盘的包装在欧几里德平面，如果每个瓷砖包含的只是一个成员的包装。证明圆盘的每一个局部有限填充都存在一个由凸多边形构成的分离镶嵌是一个已知的初等几何问题。在本文中，我们表明，这种分离性质仍然适用于球上和双曲平面的圆填充。此外，我们表明，在欧氏平面圆是唯一的凸盘，其包装与类似的副本总是可以分开的多边形平铺。类似的说法在球面上不成立，在双曲平面上也不知道。
2021-11-06 math.MG
On the perimeters of simple polygons contained in a plane convex body
一个简单的n边形是一个有n条边的多边形，使得每个顶点属于两条边，而每隔一个点最多属于一条边。布拉斯，莫泽和帕奇提出了以下问题：对于n > 3奇数，什么是最大周长的一个简单的n-边形包含在一个欧几里德单位盘？2009年，Audet、Hansen和Messine回答了这个问题，并证明了上确界是内接于圆盘的等腰三角形的周长，其边重数为n-2。Lángi将他们的结果推广到包含在双曲圆盘中的多边形。本文给出了欧氏平面或双曲平面中任意平面凸体所包含的单n阶凸体的周长的上确界。
2012-07-17 math.MG
Shortest billiard trajectories
本文证明了d维欧几里得空间（d> 1）中的任一凸体至少有一条最短广义台球轨线，且任一最短广义台球轨线的周期至多为d +1。实际上，在欧几里德平面上，我们改进这个定理如下。一个参数r> 0的圆盘多边形是半径为r的许多（闭合）圆盘的交点，称为生成圆盘，在欧几里得平面上有一些共同的内点。另外，我们说一个参数r> 0的圆盘多边形是一个胖的圆盘多边形，如果它的生成圆盘的中心之间的两两距离至多是r。证明了任意胖圆盘多边形的任意最短广义台球轨迹都是2-周期轨迹。此外，我们还证明了用半径ε> 0的圆盘将胖圆盘多边形四舍五入得到的ε-圆化圆盘多边形的类似结果。我们的定理部分地回答了S. Zelditch的特征凸体的最短周期台球轨迹的周期2。
2011-10-19 math.MG
On the Existence of $U$-Polygons of Class $c\geq 4$ in Planar Point Sets
对于欧几里德平面中的有限集$U$，凸非退化多边形$P$称为$U$ -多边形，如果平行于$U$的一个方向且与$P$的一个顶点相交的每条线也与$P$的另一个顶点相交。我们刻画了所有顶点都在平面的某些子集上的$c\geq4$类$U$ -多边形的边数，并在分圆模型集的情况下得到了明确的结果。
2008-11-21 math.MG
Certain Hyperbolic Regular Polygonal Tiles are Isoperimetric
六边形是欧几里得平面中周长最小的瓦片。在双曲曲面上，等周问题对于每个给定的区域都不同。Cox证明了一个规则的120度角的$k$ -平行四边形的面积是等周的。我们证明他的猜想和更多。
2019-11-15 math.MG
The extreme polygons for the self Chebyshev radius of the boundary
本文研究固定边界自切比雪夫半径的凸多边形周长最小化问题，完整解决了 n=4 的情形，证明最小周长四边形为魔法风筝形，从而验证了 Rolf Walter 的猜想。
2023-11-26 math.MG
Polygons in buildings and their refined side lengths
在非紧型对称空间中，人们可以将欧氏建筑中的定向测地线线段与欧氏外尔腔中的向量值长度联系起来;除了度量长度之外，它还包含关于线段方向的信息。本文研究了（厚）欧氏建筑物中多边形向量值边长的限制。主要的结果是，n-π的可能边长的集合只依赖于相关的球形考克斯特复形。我们还证明了它与半稳定加权组态在Tits边界上的向量值权空间一致。文献[KLM 1]研究了非紧型对称空间中多边形的边长。[KLM 3]给出了这两篇文章中几何结果在代数群理论中的应用。
2005-11-06 math.DG math.MG
Polygons in hyperbolic geometry 1: Rigidity and inversion of the n-inequality
多边形的某些主题是从欧几里德扩展到双曲几何。这第一部分处理的唯一性和存在性的上循环多边形与规定的边长。由于在双曲平面中存在三种不同类型的圆，因此非欧几里德版本更加困难。第二部分讨论边长固定的多边形的面积最大化问题。由于这些问题的度量性质，有必要在一定程度上免除经典的双曲三角学，因为角度必须用长度量代替。因此，第一部分也考虑到了这一技术方面。
2010-08-19 math.GT math.MG
Three characterizations of reducedness of spherical convex polygons
本文研究了二维球面 $S^2$ 上球面凸体的约化性，提出了球面凸奇边形约化性的三个刻画，并指出类似刻画在欧几里得和双曲平面中同样成立。
2025-09-15 math.MG
Polygons in hyperbolic geometry 2: Maximality of area
这第二部分的多边形在双曲平面是基于第一部分，其中涉及的唯一性和存在性的共循环多边形规定的边长。这里的主题是这些多边形面积的最大值问题。证明了最大副本必须是上循环的、有向凸的或具有特殊的共线形状。最大副本是唯一的刚性双曲运动。共圈性是指顶点位于距离圆、距离线或均圈上，这三种类型的圈在双曲平面上。不同的圆类型的现象与欧几里得的情况形成鲜明的对比，并为双曲讨论中的各种困难付出了代价。
2010-08-23 math.MG
On a Minimax Problem for Ovals
对于有界度量空间$ X $，可以考虑量$ δ(X) := \text{inf\rule[-0.5ex]{0em}{1ex}}_{\,p\in X}\; \text{sup}_{q \in X} \; d(p,q) $。这个纯粹的度量不变量从逼近论中被称为$ X $的相对切比雪夫半径w.r. t。$ X $本身。尽管其明显的意义，$ δ(X) $似乎相当未触及的几何文献。本文讨论了平面凸曲线$ X $的一个等周型不等式，它将$ δ(X) $与曲线的周长联系起来.由于$ δ(X) $的极大极小性质，它的处理违背了极值问题的通常原则。它将表明，光滑的情况下，不等式可以减少到多边形的情况下的近似。然而，对于多边形，存在顶点集的高维性的附加问题。所以，一般来说，我们只能提供咨询。有限类曲线的定解是可能的。即使是短多边形，也已经出现了一种“魔法风筝”，它表明正方形绝对不是极端图形。
2016-06-21 math.MG
On equidistant polytopes in the Euclidean space
等距多面体是空间$\mathbb{R}^n$中的一个特殊等距集，它的所有边界点到两个有限点系的距离相等。由于给定点的有限系统中的一个需要在另一个的凸包的内部，我们可以谈论等距多面体的内焦点和外焦点。它属于$(q, p)$类型，其中$q$是外部焦点的数量，$p$是内部焦点的数量。等距性是凸性的推广，因为凸多面体可以被给定为$(q, 1)$型的等距多面体，其中$q\geq n+1$。本文给出了等距多面体的一些基本性质的一般性结果：凸分支、图表示、连通性、与Voronoi分解的对应性等。特别地，我们对$2$维的等距多面体（等距多边形）感兴趣。$(3,2)$类型的等距多边形的特征在于一个建设性的（标尺和指南针）的过程来识别它们。一般来说，它们是正好有两个凹角的五边形，使得出现凹角的顶点通过与多边形相邻边相关的内对角线以特殊的方式通过共点线的三个反射定理连接起来。最后一节讨论了凹四边形的一些特殊的焦点排列，以得到$(3,2)$型等距多边形。
2021-12-10 math.MG
Extremal Configuration of Robot Arms in Three Dimensions
在三维欧几里得空间中定义了机器人手臂的体积函数，并给出了其临界点的几何条件。对于3-臂，该体积函数是3-球面上的精确拓扑Morse函数。
2014-03-24 math.MG
On curves and polygons with the equiangular chord property
设$C$是在球面$\mathbb{S}^{2}$、双曲平面$\mathbb{H}^{2}$或欧几里得平面$\mathbb{E}^{2}$上的光滑凸曲线，具有以下性质：存在$α$和$C$的参数化$x(t), y(t)$，使得对于每个$t$，连接$x(t)$和$y(t)$的弦与$C$之间的角度在两端都是$α$。假设$C$不是圆，则E.古特金完全特征化的角度$α$，这样的曲线存在于欧几里德的情况下。我们研究这个问题的无穷小版本的上下文中的其他两个常曲率的几何形状，特别是我们提供了一个完整的表征的角度$α$，其中存在一个非平凡的无穷小变形的圆通过这样的曲线与同位角$α$。我们还考虑了一个离散版本的欧氏多边形的这个属性，在这种情况下，我们给出了一个完整的描述所有非平凡的解决方案。
2013-11-11 math.DG math.MG
On the maximum product of distances of diameter $2$ point sets
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔拉克-科特赖克校区）；Ghent University（根特大学）；Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
研究直径为2的点集最大距离乘积问题，证明凸多边形的充分性，并提出优于正n边形的构造，揭示极值多边形特征及偶数阶无法一般性刻画的结论。
2026-03-07 math.CO math.CV math.MG
Dowker-type theorems for disk-polygons in normed planes
本文研究了赋范平面上由单位圆盘平移交集定义的 $C$-$n$-gons 的 Dowker 型定理，证明了外切 $C$-$n$-gons 的面积和周长及内接 $C$-$n$-gons 的周长定理成立，并发现对于典型原点对称凸体，内接面积定理不成立。
2024-03-25 math.MG
New Properties and Invariants of Harmonic Polygons
Data Science Consulting Ltd.（数据科学咨询有限公司）；Departamento de Matemática, Universidade de Brasília（巴西利亚大学数学系）
通过模拟，我们发现并证明了好奇的新欧几里德性质和不变量的庞斯莱家庭的调和多边形。
2022-09-29 cs.CG cs.GR cs.RO
Iterating evolutes of spatial polygons and of spatial curves
m维欧几里得空间中平滑曲线的渐屈线是其密切球面中心的轨迹，空间多边形的渐屈线是其相邻顶点通过原多边形的相邻（m+1）个顶点元组成为球面中心的多边形。我们研究这些渐屈线变换的迭代。这项工作延续了最近对二维空间中类似问题的研究，见arXiv：1510.07742。这是我们的结果的一个样本。在平行移动的情况下，具有固定方向的n维向量集是一个（n-m）维向量空间，第二渐屈线变换是这个空间的线性映射。如果n=m+2，则第二个渐屈线与原始多边形相似，如果n=m+3，则第一个和第三个渐屈线相似。一般来说，第二渐屈线映射的每个特征值都有双重重数。我们还研究了三维欧几里得空间中的尖点曲线及其渐屈线。我们提供了连续的类似物的多边形所获得的结果，并提出了一类曲线，这是他们的第二evolutes位似的，这些曲线是经典的内摆线的空间类似物。
2017-04-16 math.DG math.MG
An Efficient Algorithm to Calculate the Center of the Biggest Inscribed Circle in an Irregular Polygon
本文提出了一种求多边形内接最大圆圆心的有效算法。这项工作的灵感来自Daniel Garcia-Castellanos和Umberto Lombardo的出版物，他们的算法用于寻找陆地的不可达极点。两个更有效的算法被发现，其中一个只适用于当问题可以被描述为线性问题，如在一个凸多边形的情况下。保留字：距离几何，欧氏距离，内切圆，不规则多边形，算法，数学优化，蒙特卡罗，线性规划，极大极小
2012-12-13 cs.DS math.MG
Identification of generic polygonal domains by integral-geometric invariants
该研究利用点间距离分布、里斯能量函数等积分几何不变量，实现一般多边形区域的唯一识别，还补充了正多边形的识别结果，扩展了经典重建定理的适用范围。
2026-09-17 math.MG
Curves of constant diameter and inscribed polygons
欧氏平面上的一条简单闭曲线具有性质C_n（R），如果在每一点上都能内接一个唯一的正则$n$ -边形，其边长为$R$ . C_2（R）等价于具有恒定直径。本文证明了对于所有n，除了圆之外，满足C_n（R）的平滑曲线是存在的，并且圆是唯一满足C_2（R）和C_4（R '）的$C^2$正则曲线，其中$R'=R/\sqrt{2}$ .在附录中，我们证明了最后一个断言对任何R和R '都成立。证明只使用了初等微分学和几何。
2012-02-10 math.MG
Note on the chromatic number of Minkowski planes: the regular polygon case
著名的Hadwiger-Nelson问题要求为欧几里得平面上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔单位距离的两个点不会被分配相同的颜色。本文考虑Minkowski度量平面上的一个变形问题，其中单位圆是一个偶数且至多22个顶点的正多边形。我们提出了一个单格-子格着色方案，使用6种颜色，证明了上面的Minkowski平面的色数至多为6。这个结果对于顶点数超过8的正多边形是新的。
2023-01-31 math.CO math.MG
Geometric properties of extremal sets for the dimension comparison in Carnot groups of step 2
在第二步的卡诺群中，我们考虑与欧几里得维数相比具有最大或最小可能齐次豪斯多夫维数的集合：在第一种情况下，我们证明它们在某种意义上必须是垂直的，也就是说，这些集合中的很大一部分可以通过它们的点离开水平面，在后一种情况下接近水平面。用于证明次黎曼维数与欧几里德维数比较的尖锐性的例子直观地满足这些几何性质，我们在这里量化并证明这些几何性质是必要的。我们还用一些例子来说明我们的声明的尖锐性。本文推广了Mattila和作者在第一Heisenberg群中证明的类似结果。
2018-08-30 math.CA math.MG
Expected extremal area of facets of random polytopes
该研究聚焦$\n\mathbb{R}^n$中单位球面随机点凸包构成的球面随机多面体，确定了其各面最大、最小表面积期望值在各固定维度下的渐近增长（精确到绝对常数）。
2025-01-15 math.MG math.PR
On an extremal problem connected with simplices
本文研究了欧氏$n$ -空间中两个同余相交单形的凸包所能具有的体积的性质。我们证明了一些有用的等式和不等式在这卷。对于正则单形，我们确定了当两个单形通过在与它们相交的超平面上的反射而彼此相关时的最大可能体积。
2013-05-13 math.CO math.MG
Rigidity of extremal quasiregularly elliptic manifolds
本文证明了对于一个从欧氏$n$ -空间中引入拟正则映射的闭$n$ -流形$N$，下列条件是等价的：（1）$π_1(N)$的增长阶是$n$，（2）$N$是非球面的，（3）$π_1(N)$是虚$\mathbb{Z}^n$和无挠的.
2014-11-21 math.CV math.GT math.MG
Growth of Hyperbolic Cells
考虑单位圆盘$\{z:\, |z|<1\}$中的双曲多边形，其顶点都在单位圆$\{z:\, |z|=1\}$上，当每个$n$边形通过在其所有边上反转生成一个$n(n-1)$边形时，这类多边形的增长过程.本文证明了凸双曲$n$ -边形反演的一些一般单调性结果，并解决了一个极值问题：在所有包含原点的凸双曲$4$ -边形中，给定的双曲$4$-边形的最长边的反演边长对于正则双曲$4$-边形是最小的.
2015-07-22 math.CV math.MG
Convex Polytopes: Extremal Constructions and f-Vector Shapes
这些课堂讲稿讨论了凸多胞体理论中两个密切相关的主题的一些当前方面：f-向量的形状和极值结构。第一堂课处理三维多面体;它包括一个完整的证明Koebe-Andreev-Thurston定理，使用变分原理由Bobenko & Springborn（2004）。在第二堂课中，我们研究了高维多面体的f-向量形状。第三堂课解释了一个令人惊讶的简单的2-单纯2-单纯4-多面体的构造，它具有对称的f-向量。第四堂课概述了4-多面体的f-向量锥的几何形状，从而确定了高"肥度"的4-多面体的存在性/构造是一个关键问题。在这个方向上，最后一堂课介绍了一个非常新的"多边形的投影积"的构造，其胖度达到9-\eps。
2005-12-07 math.CO math.MG
Conic optimization for extremal geometry
本文综述了锥优化在四种几何堆积问题（单位球面上的接吻数与可测π/2回避集，欧氏空间中的球堆积与可测一回避集）中的最新应用进展。
2025-10-08 math.MG math.OC
Densest plane group packings of regular polygons
填充的规则凸多边形（$n$ -）是足够密集的背景下，已被广泛研究的建模物理和生物系统，以及离散和计算几何。以往的研究主要是关于双晶格或密排晶格的。在这里，我们考虑所有的二维晶体对称群（平面群），通过限制的配置空间的一般包装问题的全等副本的一个紧凑的子集的二维欧几里得空间，以特定的同构类的离散群的等距。将平面群布局问题转化为一个非线性约束最优化问题。利用近似解决这一问题的熵置信域填充算法，我们研究了各种$n$ -边形在所有$17$平面群中的已知和未知的离散填充，以及关于每一个$n$ -边形的离散平面群填充的公共对称性的状态图.
2022-11-21 cond-mat.soft cond-mat.stat-mech math-ph
