Area bounds for planar convex bodies containing a fixed number of interior integral points
本文研究包含固定数量内部整点的平面凸体的面积界问题，利用格宽数据证明面积界，并给出有理多边形依赖于分母的精确面积界及基于诺特公式的格多边形面积方程。
2025-07-02 math.CO math.MG
Transforming triangulations on non planar-surfaces
我们考虑是否任何两个三角剖分的多边形或点集上的非平面表面与给定的度量可以转换成彼此的一系列的边缘翻转。答案一般是否定的，但有一些显著的例外，如圆柱上的多边形、平面环面上的多边形以及圆柱上点的某些构形。
2010-05-21 cs.CG math.MG
Equilateral n-gons in planar integer lattices
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
研究证明在特定整数格中存在足够大的等边n边形，扩展了平面格中等边多边形的分类结果。
2025-11-20 math.CO math.MG
On generalized disc-polygons in plane convex bodies with a higher degree of smoothness
本文证明了平滑平面凸体中随机 $L$-凸多边形的顶点数期望与遗漏面积的幂级数展开式，扩展了已有渐近公式并推及 $L$-凸浮体与相对仿射表面积。
2025-09-15 math.MG
Polygons and coplanar points on submanifolds of codimension 2
University of Toronto（多伦多大学）
本文解决格林第73个公开问题，证明n≥6时ℝⁿ中余维2光滑子流形的非空相对开子集含仿射正五边形顶点，n≥7时得6个共面点，核心方法是让图映射低傅里叶模式沿圆消失。
2026-10-14 math.CO math.DG math.MG
The cross covariogram of a pair of polygons determines both polygons, with a few exceptions
R^n中两个凸集K和L的交叉协方差函数g_{K,L}是将R^n中的每个x与K和L+x的交集的体积相关联的函数。最近Averkov和Bianchi [AB]证实了Matheron关于协方差问题的猜想，即任何平面凸体K都是由g_{K,K}的知识决定的。从协方差函数中确定集合的问题在概率、统计形状识别和从X射线衍射图像确定准晶的原子结构中是相关的。我们证明，当K和L是凸多边形（也当K和L是平面凸锥）g_{K,L}确定K和L，直到一个所描述的家庭的例外。这些结果意味着，当K和L是在这些类中，由交叉协方差函数提供的信息是如此丰富，以确定不仅是一个未知的机构，所需的马塞隆的猜想，但两个机构，与一些分类的例外。这些结果也被比安奇[Bia]用来证明R^3中的任何凸多胞体P都由g_{P,P}决定。
2008-05-13 math.MG math.ST stat.TH
Polygon recutting as a cluster integrable system
重切是对平面多边形的一种操作，其定义为沿对角线切割多边形以移除三角形，然后沿同一对角线但以相反方向重新连接三角形。沿着不同对角线的再切割生成仿射对称群在多边形空间上的作用。我们表明，这一行动是由集群变换，是完全可积的。可积性的证明是基于对四元数多项式重构的再切割的解释。
2022-11-19 math.CO math.DS math.MG
Dual-cyclic polytopes of convex planar polygons with fixed vertex angles
如果我们固定凸平面$n$ -gon的顶点处的角度，则其边的长度必须满足两个线性约束才能使其闭合。如果我们还要求单位周长，则我们的$n$边长向量形成一个维数为$n-3$的凸多胞体，其每个小平面由其中特定边长降为零的那些$n$ -多面体组成。Bavard和Ghys要求单位面积，这给了他们一个双曲多面体。这两个多面体在组合上是等价的，所以对于我们的目的来说，任何一个都可以。这样一个固定角度的多面体是组合丰富时，角度很好地平衡。我们说，固定外角是“多数优势”，当每个连续的字符串的一半以上，他们的总和超过$π$。当$n$是奇数时，我们证明了对于任意多数占优角的固定角多面体与循环多面体$C_{n-3}(n)$是对偶的。为了将该结果扩展到偶数$n$，我们要求角度也具有“偶极平局打破”：没有长度为$n/2$的$n$串的总和精确地等于$π$，并且总和大于$π$的$n/2$尽可能多地重叠，所有都包含特定的角度。然而，固定顶角并不常见;人们更常固定边长。这就比较困难了，部分原因是固定长度的$n$ -ε可能不是凸的，但主要是因为固定长度会非线性地约束角度--所以得到的模空间，称为“多边形空间”，是弯曲的。利用施瓦茨-克里斯托弗映射，卡波维奇和米尔森证明了，对于相同的固定值，其中$n$ -流形是凸的且逆时针遍历的多边形空间的子集与上面的固定角多面体同胚。因此，每个这样的子集是一个拓扑多面体;当固定长度占多数…
2020-02-19 math.CO math.GT math.MG
Geometric constructibility of polygons lying on a circular arc
对于一个正整数$n$，一个$n$边的多边形位于一个圆弧上，或者简称为$n$ -扇形，它是一个逆时针方向的圆上的一系列$n+1$点，使得从第一个点到最后一个点的“总旋转”$δ$至多为$2π$。证明了对于$n\geq 3$，从圆心角$δ$和圆心距（边到圆心的距离）出发，一般不能用直尺和圆规构造出$n$ -扇形.此外，我们证明了，对于每个固定的$δ$在间隔$(0, 2π]$和每个$n\geq 5$，存在一个具体的$n$ -风扇的中心角$δ$，这是不是由它的中心距离和$δ$。本文推广了第二作者和J. Kunos在$δ=2π$和$δ=π$的特殊情况下。
2017-10-24 math.AG math.MG
Categorical Tiling Theory: Constructing Directed Planar Tilings via Edge Reversal
本文提出范畴平铺理论，通过构造有限范畴和预层模型，将平铺对齐问题形式化，并利用边反转构造反射对齐，生成具有对称性的对齐族。
2026-10-30 math.CO math.CT math.GT
Convex polygons in geometric triangulations
我们证明了平面上$n$点的三角剖分中凸多边形的最大数目是$O(1.5029^n)$。这改进了van Kreveld，Löffler，and Pach（2012）建立的早期$O(1.6181^n)$的界，并且几乎与由相同作者建立的$Ω(1.5028^n)$的当前最佳下界相匹配。给出了一个平面直线图$G$，它的顶点是$n$，我们给出了如何有效地计算$G$中凸多边形的个数.
2017-02-16 cs.DM math.CO math.MG
Multiple coverings with closed polygons
一个平面集合$P$被称为覆盖可分解的，如果存在一个常数$k=k(P)$，使得平面的每一个具有$P$平移的$k$ -折叠覆盖都可以分解为两个覆盖.已知开凸多边形是覆盖可分解的。在这里，我们证明了封闭的，中心对称的凸多边形也是覆盖可分解的。我们还表明，一个无限倍覆盖的平面与$P$的平移可以分解成两个无限倍覆盖。这两个结果保持覆盖的任何子集的平面。
2014-03-09 cs.CG math.CO math.MG
Asymptotic behavior of $β$-polygon flows
在这篇文章中，我们研究了一个家庭的非线性演变的多边形在平面上称为$β$ -多边形流，并获得了一些结果类似于结果的平滑曲线缩短流：（1）任何平面多边形收缩到一个点和（2）一个正多边形与五个或更多的顶点是渐近稳定的意义下，附近的多边形收缩到点，重新缩放到一个正多边形。在四维空间中，我们证明了正方形的形状在所有可能扰动的超曲面上的扰动下是局部稳定的。此外，我们能够表明，在角度的下界下，存在一个从演化中提取的重新缩放序列，该演化收敛到一个极限多边形，该极限多边形是流的自相似解。最后一个结果使用类似于Huisken的曲线缩短流的单调性公式。
2016-10-12 math.DG math.GT math.MG
The limit point of the pentagram map and infinitesimal monodromy
五角星形映射将平面多边形$P$转换为多边形$P'$，该多边形的顶点是$P$的连续最短对角线的交点。凸多边形在这个映射下的轨道是一个指数收敛到一点的多边形序列。此外，正如Glick最近证明的那样，该极限点的坐标可以计算为与多边形相关联的某个算子的特征向量。本文证明了Glick算子可以解释为多边形的无穷小单值性。也就是说，存在一个多边形的某种自然的无穷小扰动，它也是一个多边形，但通常不是封闭的;格利克算子测量的是这个扰动的多边形不封闭的程度。
2020-08-19 math.DG math.DS math.MG
Random Triangles and Polygons in the Plane
我们考虑的问题，找到一个随机三角形是钝角的概率，这是最早提出的刘易斯·基尔。我们的研究导致我们之间的一个自然的对应平面多边形和Grassmann流形的2-planes在真正的$n$ -空间由Allen Knutson和Jean-Claude Hausmann提出。这种对应关系定义了平面多边形上的自然概率测度。在这些方面，我们回答了卡尔的问题。然后，我们探讨平面四边形的格拉斯曼几何，提供了一个答案西尔维斯特的四点问题，并明确描述的模空间无序四边形。所有这些都为形状分类和计算机视觉中使用的一系列度量提供了具体的介绍。
2017-02-01 math.CO math.DG math.HO
