首页/论文/math/0504300

arXiv math/05043002005-04math.MG

等径曲线与内接多边形

Curves of constant diameter and inscribed polygons

Mathieu Baillif

备注：: 6 pages, 10 figures. Aimed at an undergraduate audiance. V2 includes the published version, with many suggestions from the referee, and a short addendum with some improvements of the results
发表信息：: Elemente der Mathematik, 2009, vol. 64, no. 3, p. 102-108

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

欧氏平面上的一条简单闭曲线具有性质C_n（R），如果在每一点上都能内接一个唯一的正则$n$ -边形，其边长为$R$ . C_2（R）等价于具有恒定直径。本文证明了对于所有n，除了圆之外，满足C_n（R）的平滑曲线是存在的，并且圆是唯一满足C_2（R）和C_4（R '）的$C^2$正则曲线，其中$R'=R/\sqrt{2}$ .在附录中，我们证明了最后一个断言对任何R和R '都成立。证明只使用了初等微分学和几何。

英文摘要：

A simple closed curve in the Euclidean plane is said to have property C_n(R) if at each point we can inscribe a unique regular $n$-gon with edges length $R$. C_2(R) is equivalent to having constant diameter. We show that smooth curves satisfying C_n(R) other than the circle do exist for all n, and that the circle is the only $C^2$ regular curve satisfying C_2(R) and C_4(R') where $R'=R/\sqrt{2}$. In an addendum, we show that the last assertion holds for any R and R'. The proofs use only elementary differential calculus and geometry.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

带内切圆多边形的面积

The Area of a Polygon with an Inscribed Circle

Heron公式指出，三角形的面积$K$由边$a$、$b$和$c$给出为$$ K=\sqrt {s(s-a) (s-b) (s-c)} $$，其中$s$是半周长$(a+b+c)/2$。Brahmagupta，Robbins，Roskies和Maley将这个公式推广到了内接于圆内的多边形的八条边。在本文中，我们推导出公式给出任何$n$ -gon，奇$n$，在边长的有序列表，如果$n$ -gon是外切一个圆（而不是内接在一个圆）的面积。与循环多边形问题不同，边的顺序无关紧要，对于内切圆问题（我们的情况），它很重要。这个解比循环多边形问题容易得多，但它确实很容易推广到所有奇数$n$。我们还提供了即使在$n$的情况下也有解充要条件。

2012-03-15math.MG

内接于给定凸多边形的极凸多边形

Extremal convex polygons inscribed in a given convex polygon

一个凸多边形$Q$内接于一个凸多边形$P$，如果$P$的每条边至少包含$Q$的一个顶点。本文提出了分别在$O(n)$和$O(n^3)$时间内求内接于任意凸$n$ -边形的最小面积和最小周长凸多边形的算法。我们还研究了这个问题的其他变体。

2021-09-23math.COmath.MG

不规则多边形最大内切圆圆心的一种有效算法

An Efficient Algorithm to Calculate the Center of the Biggest Inscribed Circle in an Irregular Polygon

本文提出了一种求多边形内接最大圆圆心的有效算法。这项工作的灵感来自Daniel Garcia-Castellanos和Umberto Lombardo的出版物，他们的算法用于寻找陆地的不可达极点。两个更有效的算法被发现，其中一个只适用于当问题可以被描述为线性问题，如在一个凸多边形的情况下。保留字：距离几何，欧氏距离，内切圆，不规则多边形，算法，数学优化，蒙特卡罗，线性规划，极大极小

2012-12-13cs.DSmath.MG

凸多边形内最大面积内接三角形的线性时间算法

A linear-time algorithm for the maximum-area inscribed triangle in a convex polygon

给定一个凸多边形的n个循环阶顶点，能否用O（n）时间复杂度的算法求出内接于P的最大面积三角形？1979年Dobkin和Snyder提出的线性时间算法最近被Keikha、Löffler、Urhausen和van der Hoog证明是不正确的。这些作者给出了一个替代算法的O（n log n）时间复杂度。这里我们给出了一个具有线性时间复杂度的算法。

2017-06-09cs.CGmath.MG

霍姆斯-汤普森面积与内接多边形及凸投影结构

Holmes-Thompson area of inscribed polygons and convex projective structures

Max-Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数理科学研究所）；Sam Houston State University（山姆休斯顿州立大学）

本文研究了正向旗在三维空间中定义的凸多边形，并探讨了霍姆斯-汤普森面积与希尔伯特度量之间的关系，以及有限面积凸实投影结构的参数化问题。

2026-01-07math.GTmath.MG

双着丝点家族的抛物线内接Poncelet多面体

Parabola-Inscribed Poncelet Polygons Derived from the Bicentric Family

ENS-Lyon（里昂高等师范学院）；Inst. Mat. e Estatística, Univ. Fed. de Goiás（戈亚斯联邦大学数学与统计研究所）；Data Science Consulting（数据科学咨询公司）

研究了焦散点为圆心圆的一类抛物线内接Poncelet多边形的轨迹和性质。这个家庭是双中心家庭的一个特例相对于其外接圆的极像。我们描述封闭条件，好奇的位点，和新的保守量。

2022-01-25cs.GRcs.ROmath.DS

更多相关论文收起更多论文

给定圆内接正多边形顶点集之间的 Gromov-Hausdorff 距离

Gromov-Hausdorff distance between vertex sets of regular polygons inscribed in a given circle

本文研究圆内接正多边形顶点集在圆周度量下的 Gromov-Hausdorff 距离，完整解决了 m 可被 n 整除时 n 边形与 m 边形的情形，并给出到 2 边形和 3 边形的全部距离。

2022-10-18math.COmath.MG

内接三角形和内接四边形的希尔伯特面积

The Hilbert area of inscribed triangles and quadrilaterals

希尔伯特体积是实射影几何的不变量。内接于多边形的多边形被认为是真实的射影平面。研究了Fock-Goncharov坐标系与直角坐标的对应关系。分析了内接四边形的退化和Hilbert面积。给出了退化有界Hilbert区域的一个微局部条件。应用该条件给出了一类Hilbert面积有界且Goldman参数发散的严格凸域序列。

2020-12-18math.GTmath.MG

包含内接椭圆、共轭直径和切线弦的平行四边形的推广

A generalization of parallelograms involving inscribed ellipses, conjugate diameters, and tangency chords

凸四边形$Q$称为中点对角四边形，如果$Q$的对角线的交点与$Q$的至少一条对角线的中点重合。一个四边形P是一个特殊的中点对角四边形，因为P的对角线彼此平分。证明了关于内接于中点对角四边形的椭圆的两个结果，推广了内接于包含凸四边形的平行四边形的椭圆的性质。首先，$Q$是中点对角四边形当且仅当内接于$Q$的每个椭圆都有与$Q$的一条对角线平行的切线。其次，$Q$是中点对角四边形当且仅当$Q$中内接的每个椭圆都有一对平行于$Q$对角线的共轭直径。最后，我们证明了存在唯一的椭圆$E_I$，它具有最小的偏心率，并且证明了$E_I$的相等共轭直径平行于$Q$的对角线.

2021-02-22math.HOmath.MG

正多边形边界上uniform distributions的量化系数

Quantization coefficients for uniform distributions on the boundaries of regular polygons

本文给出了一个确定均匀分布量化系数的一般公式，均匀分布定义在圆内接的不同正$m$边多边形的边界上。结果表明，圆内接正$m$边多边形边界上均匀分布的量化系数是$m$的增函数，当$m$趋于无穷大时，其量化系数接近圆上均匀分布的量化系数.

2021-02-19math.DSmath.MG

关于循环和半循环多项式的面积

On the Areas of Cyclic and Semicyclic Polygons

我们调查的“广义海伦多项式”，涉及的平方面积的n边形内接在一个圆的平方，其边长。对于一个（2 m +1）-边形或（2 m +2）-边形，我们将它表示为从具有m-1个二重根的二元（2 m-1）-形式簇导出的某个簇的定义多项式。从而得到了循环七边形和循环八边形面积的显式公式，并阐明了循环五边形和循环六边形面积的Robbins公式的某些神秘性质。我们还介绍了一个同伴家庭的多项式，涉及的平方面积的n边形内接在一个圆，其一侧是直径，平方长度的其他方面。通过类似的代数技巧，我们得到了这些多项式的显式公式，所有n <= 7。

2004-07-16math.MG

关于内接多边形的最大面积

On the maximum area of inscribed polygons

给定一个凸$n$边形$P$和一个正整数$m$使得$3\le m\le n-1$，令$Q$表示包含在$P$中的最大面积凸$m$边形.我们感兴趣的是$Δ(Q)/Δ(P)$的最小值，即这两个多边形的面积之比。更准确地说，给定正整数$n$和$m$，用$3 \le m \le n-1$定义\begin{equation*} f_n(m)=\min_{P\in \mathcal {P}_n} \max_{Q \subset P,|Q|=m} \frac{Δ(Q)}{Δ(P)} \end{equation*}，其中最大值取于$P$中包含的所有$m$ -类，最小值取于$\mathcal{P}_n$，整个凸$n$ -类。$f_4(3)$、$f_5(4)$和$f_6(3)$的值是已知的。在本文中，我们计算的值的$f_5(3)$，$f_6(5)$和$f_6(4)$。此外，我们证明，对于所有的$n\ge 6$，我们有\begin{equation*} \frac{4}{n}\cdot\sin^2\left(\fracπ{n}\right)\le 1-f_n(n-1)\le \min\left(\frac{1}{n}, \frac{4}{n}\cdot\sin^2\left(\frac{2π}{n}\right)\right). \end{equation*}这些界限可以用来改善已知的估计$f_n(m)$。

2021-04-25math.COmath.MG

双心多边形的旁心共圆

The excenters of bicentric polygons are concyclic

本文证明双心多边形的所有旁心共圆，并给出该圆圆心与外接圆、内切圆圆心之间的中点关系，以及用内外圆半径和圆心距表示的旁心圆半径公式。

2025-03-07math.MG

赋范平面上圆盘多边形的 Dowker 型定理

Dowker-type theorems for disk-polygons in normed planes

本文研究了赋范平面上由单位圆盘平移交集定义的 $C$-$n$-gons 的 Dowker 型定理，证明了外切 $C$-$n$-gons 的面积和周长及内接 $C$-$n$-gons 的周长定理成立，并发现对于典型原点对称凸体，内接面积定理不成立。

2024-03-25math.MG

关于圆盘中简单多边形的周长

On the perimeters of simple polygons contained in a disk

一个简单的$n$ -边形是一个多边形，它有$n$边，每个顶点恰好属于两条边，每隔一个点最多属于一条边。布拉斯提出了以下问题：对于$n \geq 5$奇，什么是最大周长的一个简单的$n$ -gon包含在一个欧几里得单位盘？在2009年，Audet、Hansen和Messine回答了这个问题，并证明了最佳构型是一个重边内接于圆盘的等腰三角形。在本注记中，我们给出了一个更短和更简单的证明他们的结果，我们也推广到双曲盘，并为球盘足够小的半径。

2010-02-20math.MG

庞斯莱多边形的质心，200年后

Centers of mass of Poncelet polygons, 200 years after

内接于圆锥曲线$Γ$并外接于圆锥曲线$γ$的庞斯莱多边形族的质心轨迹是与$Γ$相似的圆锥曲线。

2016-07-16math.AGmath.HOmath.MG

关于普通双曲约化多边形的周长、直径和外接圆半径

On the perimeter, diameter and circumradius of ordinary hyperbolic reduced polygons

本文研究双曲平面中的普通约化多边形，回答了 Lassak 关于其周长、直径和外接圆半径的问题，并将 Fabińska 的相关结果推广到双曲情形。

2025-02-18math.MG

关于平面凸体所含简单多边形的周长

On the perimeters of simple polygons contained in a plane convex body

一个简单的n边形是一个有n条边的多边形，使得每个顶点属于两条边，而每隔一个点最多属于一条边。布拉斯，莫泽和帕奇提出了以下问题：对于n > 3奇数，什么是最大周长的一个简单的n-边形包含在一个欧几里德单位盘？2009年，Audet、Hansen和Messine回答了这个问题，并证明了上确界是内接于圆盘的等腰三角形的周长，其边重数为n-2。Lángi将他们的结果推广到包含在双曲圆盘中的多边形。本文给出了欧氏平面或双曲平面中任意平面凸体所包含的单n阶凸体的周长的上确界。

2012-07-17math.MG

关于庞塞莱特多边形的若干几何猜想

An Affine Approach to Metric Invariants of Poncelet Polygons

The University of Texas at Arlington（德克萨斯大学阿灵顿分校）

本文推广Dan Reznik的几何观察结果，基于Marden定理的三角形对称参数化给出更强形式的证明，还推广了其奇数边形相关结论，并提出圆内接n边形外切于中心二次曲线时的正方形总面积不变性新猜想。

2026-09-01math.MG

具有最大面积的非对称多边形

Asymmetric polygons with maximum area

我们说一个内接于圆的多边形是不对称的，如果它不包含两个作为直径端点的对径点。给定圆的$n$直径和正整数$k<n$，本文讨论了以给定直径的端点$k<n$为顶点的最大面积非对称$k$边形的计算问题.这种类型的多边形的研究是出于民族音乐学的应用。

2015-01-30cs.CGmath.COmath.MG

关于凸小多边形的最大周长和最大宽度的注记

A note on the maximal perimeter and maximal width of a convex small polygon

如果多边形$P$的直径等于1，则多边形小。当求解$n=2^s$时，如何求小$n$ -边形的最大周长或最大宽度仍然是一个待解决的问题.受Bingane的一系列工作的启发，我们改进了最大周长和最大宽度的下界。

2021-08-30math.MG

关于直径为2的点集的最大距离乘积

On the maximum product of distances of diameter $2$ point sets

KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔拉克-科特赖克校区）；Ghent University（根特大学）；Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）

研究直径为2的点集最大距离乘积问题，证明凸多边形的充分性，并提出优于正n边形的构造，揭示极值多边形特征及偶数阶无法一般性刻画的结论。

2026-03-07math.COmath.CVmath.MG

直径为凸$n$ -边形边的圆的交图

The intersection graph of the disks with diameters the sides of a convex $n$-gon

给定一个有$n$边的凸多边形，可以画出$n$圆盘（称为边圆盘），其中每个圆盘的直径为多边形的不同边，而边的中点为圆心。这样的圆盘的交图是顶点为$n$圆盘和两个圆盘相邻的无向图当且仅当它们有一个公共点。我们证明了对每个凸多边形，这个图都是平面图。特别是，对于$n=5$，这表明对于任何凸五边形，五个侧圆盘中有两个圆盘不相交，这意味着$K_5$永远不是这五个圆盘的交图。对于$n=6$，我们有，对于任何凸六边形的交图的侧盘不包含$K_{3,3}$作为子图。

2016-06-16cs.CGmath.MG

最大面积小多边形的边界层与尖锐渐近分析

Boundary Layers and Sharp Asymptotics for Maximum-Area Small Polygons

Faculty of Law and Administration, War Studies University（法律与行政学院，华沙战争大学）

该研究确定直径不超过1的平面多边形最大面积$A_n$的渐近行为，通过分析偶阶最大化子的边界层与收敛性质，给出其渐近展开式及相关常数的精确变分定义。

2026-08-18math.MG

正多边形的Vietoris-Rips复形

Vietoris-Rips Complexes of Regular Polygons

在过去的二十年里，持续同源性已经成为一种新的数据分析工具。然而，仍然有非常少的形状或甚至流形，其持久的同源条形码（例如Vietoris-Rips复合体）是完全已知的。朝这个方向，让$P_n$是一个正多边形的边界在平面上的$n$侧，我们描述的同伦类型的Vietoris-Rips复$P_n$。事实上，当$n=(k+1)!!$是一个奇数双阶乘，我们提供了一个完整的表征同伦类型和持久的同源性的Vietoris-Rips复合物的$P_n$的尺度参数$r_n$，其中$r_n$接近直径的$P_n$为$n\to\infty$。令人惊讶的是，这些同伦类型包括所有维度的球体。粗略地说，出现的高维球体的数量与可以刻入$P_n$的等边（但不一定是等角）恒星的数量有关。作为我们的主要工具，我们使用最近发展的循环图和缠绕分数的理论。此外，我们证明了$P_n$的任意稠密子集的Vietoris-Rips复形不需要同伦等价于$P_n$本身的Vietoris-Rips复形，而且这两个复形在任意高维数下可以有不同的同调群。作为我们的结果的应用，我们提供了一个下界的Gromov-Hausdorff距离之间的$P_n$和圆。

2018-07-28math.GTmath.MG

小多边形最大面积的紧界：改进的Mossinghoff多边形

Tight bounds on the maximal area of small polygons: Improved Mossinghoff polygons

针对偶数顶点小多边形最大面积未知的问题，构造了面积为单变量函数最大值的新小n边形，证明其面积优于Mossinghoff构造的最优结果，且n=6时达到最大面积。

2022-03-13math.COmath.MG

最大面积小多边形问题

Maximum-Area Small Polygons of Even Order

Faculty of Law and Administration, War Studies University（法律与行政学院，华沙战争大学）

该研究解决了直径不超过1的最大面积小多边形的缺失偶数阶问题，证明n≥8时最大面积小n边形的构型，结合已有结果得到n≥3时所有情况的精确解。

2026-08-20math.MGmath.OC

最大宽度的等边小八边形

The equilateral small octagon of maximal width

小多边形是单位直径的多边形。当满足$s \ge 3$时，不知道具有$n=2^s$顶点的等边小多边形的最大宽度。本文解决了第一种开的情形，找到了最优的等边小八边形。它的宽度大约是$3.24\%$大于正八边形的宽度：$\cos(π/8)$。此外，本文还对具有$s\ge 4$的$n=2^s$提出了一族等边小$n$ -矩阵，其宽度在最大宽度的$O(1/n^4)$之内.

2022-02-03math.COmath.MGmath.OC

双曲单调瓦片的面积与直径间隙

Area and diameter gaps for hyperbolic monotiles

Zhejiang Normal University（浙江师范大学）

本文针对双曲平面及闭曲面上的测地线单调瓦片，证明了直径与面积的正下界，并给出显式常数，同时构造了边数可任意大但直径趋于零的示例，表明边数需附加条件限制。

2026-10-06math.COmath.MG