Largest triangles in a polygon
我们研究的问题，找到最大面积的三角形，可以内接在一个多边形在平面上。我们考虑八个版本的问题：我们使用凸多边形或简单的多边形作为容器;我们要求三角形有一个角与固定的角度或所有三个角与固定的角度;我们要么允许重新定向三角形或要求其方向是固定的。我们提出了精确的算法的所有版本的问题。在重定向的情况下，凸多边形的$n$顶点，我们也提出了$(1-\varepsilon)$ -近似算法。
2020-07-24 cs.CG
Maximum-Area Quadrilateral in a Convex Polygon, Revisited
在这篇笔记中，我们通过例子证明了Dobkin和Snyder在1979年提出的寻找内接于凸多边形的最大面积k边形的算法在k=4时找不到最优解。这个问题由Keikha等人提出，他们证明了Dobkin Snyder算法在k=3时失败。
2017-12-24 cs.CG
Aperture-Angle and Hausdorff-Approximation of Convex Figures
不在平面Q中的点x相对于凸多边形Q的孔径角α（x，Q）是包含Q的顶点为x的最小圆锥的角度。平面内的紧致凸集C关于C的内接凸多边形Q的孔径角逼近误差是C Q中任意x关于Q的最小孔径角。本文证明了对平面上的任意紧凸集C和任意k > 2，存在C的内接凸k边形Q，其孔径角逼近误差为（1 - 2/（k+1））π.这个界限是最优的，并且解决了Fekete在20世纪90年代早期提出的一个猜想。同样的证明技术可以用来证明布拉斯的一个猜想：如果多边形P不允许用豪斯多夫距离sigma的子k边形（P的k个顶点的凸包）逼近，但P的所有子多边形（P的某些顶点的凸包）都允许这样的逼近，那么P是（k+1）-gon。这意味着以下结果：对于任意k > 2和任意周长至多为1的凸多边形P，存在P的子k边形Q使得P和Q的Hausdorff距离至多为1/（k+1）* sin（pi/（k+1））。
2007-02-20 cs.CG math.MG
Computing Boundary Cycle of a Pseudo-Triangle Polygon from its Visibility Graph
简单多边形的可见性图是具有相同顶点集的图，其中一对顶点之间存在一条边当且仅当通过它们的线段完全位于多边形内。假设多边形边界上的每对相邻顶点都是可见的。因此，每个多边形的可见性图总是包含其边界边。这意味着我们总是有一个哈密尔顿圈在可见性图，它决定了相应的多边形的边界上的顶点的顺序。在本文中，我们提出了一个多项式时间算法确定这样的哈密尔顿圈的伪三角形多边形的可见性图。
2020-02-16 cs.CG
Linear time Minimum Area All-flush Triangles Circumscribing a Convex Polygon
研究了边对边接触的有$n$边凸多边形的外接三角形的最小面积计算问题。换句话说，我们计算最小面积三角形，该三角形是由给定凸多边形定义的$n$半平面中的3个半平面的交点。基于Rotate-and-Kill技术{Arxiv：1707.04071}，我们提出了一个在$O(n\log n)$时间内解决问题的算法，改进了[A. Aggarwal等al. DCG94; B.希伯SODA 95}。我们的算法计算所有的局部最小面积外接三角形接触边到边。
2022-08-12 cs.CG
Random Distances Associated with Arbitrary Polygons: An Algorithmic Approach between Two Random Points
本文提出了一种新的算法方法来计算任意多边形中均匀分布的两点之间的距离分布，该方法基于积分几何中的扩展运动学测度（KM）。我们首先获得与任意三角形相关联的这种随机点距离分布（PDD）（即，三角形PDD），包括三角形内的PDD，以及共享公共边或公共顶点的两个三角形之间的PDD。对于每一种情况下，我们提供了一个算法程序显示的数学推导过程中，基于该封闭形式的表达式或算法的结果可以得到。所得到的三角形PDD可以用于建模和分析与三角形几何形状相关联的无线通信网络，例如具有三角形簇的传感器网络和具有高度定向天线的三角形蜂窝系统。此外，基于所获得的三角形PDD，我们然后展示了如何通过分解和递归的方法来获得与任意多边形相关联的PDD，因为任何多边形都可以被三角化，并且任何几何形状都可以用多边形以所需的精度来近似。最后，我们给出了与环几何相关的PDD。本文的研究结果丰富和拓展了概率距离模型在无线通信网络分析中的理论和应用。
2016-01-21 cs.CG
Ear-clipping Based Algorithms of Generating High-quality Polygon Triangulation
提出了一种基于耳形裁剪的简单多边形和带洞多边形三角剖分的基本算法和改进算法。在基本版本中，总是选择内角最小的耳朵进行切割，以创建更少的长条三角形。为了进一步减少狭长三角形，设置角度界限来确定新形成的三角形是否有尖角，当三角形尖锐时接受边交换。为了将这两种算法应用于带孔洞的多边形，通过创建“桥”边将带孔洞的多边形转化为退化多边形，并利用这两种算法对退化多边形进行三角剖分。应用结果表明，基本算法避免了产生狭长三角形，得到的三角剖分效果优于传统的剪耳算法，而改进算法能进一步有效地减少狭长三角形。时间复杂度为O（n），空间复杂度为O（n）。
2012-12-25 cs.CG
Harmonious loci of Poncelet triangles about the incircle and their degeneracies
研究了内切圆内接的庞赛莱三角形的和谐位置及其退化现象，揭示了等边三角形对退化行为的影响。
2025-12-25 cs.CG math.DS
Pseudo-Triangle Visibility Graph: Characterization and Reconstruction
简单多边形的可见性图表示其顶点之间的可见性关系。已知多边形边界周围顶点的正确顺序及其可见性图，以与可见性图一致的方式在平面中定位顶点是一个开放的问题。当我们知道目标多边形是{ \it tower}或{ \it spiral}时，这个问题已经在特殊情况下得到解决。已知一个给定的可见性图属于一个简单的多边形，其边界上最多有三个凹链，一个{ \it伪三角形}，我们提出了一个线性时间算法来重建其相应的多边形之一。此外，我们引入了一组必要和充分的性质来表征可视图的伪三角形，并提出多项式算法来检查这些属性。
2019-05-02 cs.CG
Polylidar -- Polygons from Triangular Meshes
University of Michigan（密歇根大学）
本文提出了一种从二维点集（包括内部孔洞）中提取非凸多边形的高效算法--Polylidar。平面分割的点云可以输入到Polylidar中以提取其多边形对应物，从而减小地图大小并提高可视化。该算法首先对点集进行三角剖分，然后根据用户可配置的参数（如三角形边长）对三角形进行过滤。接下来，将连接的三角形提取到表示点集形状的三角形网格区域中。最后通过一种新的边界跟踪方法将每个区域转换为一个多边形，该方法考虑了孔洞的存在。真实世界和合成基准比较评估Polylidar的速度和精度。实验结果表明，与其他凹多边形提取方法相比，该方法具有相当的精度和4倍以上的加速比。
2020-06-06 cs.CG cs.RO
A technique for solving the polygon inclusion problems
提出 Rotate-and-Kill 技术，以 $O(n)$ 时间解决多边形包含与外接问题，包括最大面积内接三角形及最小面积/周长外接三角形，并简化或改进了现有算法。
2024-04-21 cs.CG
Cutting Polygons into Small Pieces with Chords: Laser-Based Localization
出于室内定位的绊网激光器，我们研究的问题，切割成小尺寸的片，使用多边形的弦。几个版本被认为是，取决于一个作品的“大小”的定义。特别是，我们考虑面积，直径和最大内切圆的半径作为一块大小的度量。我们还考虑不同的目标，要么最大限度地减少一个作品的最大尺寸为一个给定数量的和弦，或最小化的和弦数量，达到一个给定的大小阈值的作品。我们给出了硬度的结果，多边形孔和近似算法的多个变量的问题。
2020-06-26 cs.CG cs.DM cs.DS
The Convex Configurations of "Sei Shonagon Chie no Ita" and Other Dissection Puzzles
七巧板和Sei Shonagon Chie no Ita是由七块组成的流行解剖拼图。每个拼图可以通过识别16个相同的直角等腰三角形的边来形成。据了解，七巧板可以形成13个凸多边形。我们证明了圣少根千之一田可以形成16个凸多边形，提出了一个新的拼图，可以形成19个，没有7块拼图可以形成20个，11块是必要的和足够的，以形成所有20个多边形可形成的16个相同的等腰直角三角形。最后，我们研究了由不同数量的这些三角形形成的凸多边形的数量。
2014-07-08 cs.CG math.HO
On Isosceles Triangles and Related Problems in a Convex Polygon
给定任何凸$n$ -边形，在本文中，我们：（i）证明了它的顶点最多能构成两边为单位长度的$n^2/2 + Θ(n\log n)$等腰三角形，并证明了这个界是一阶最优的;（ii）猜想它的顶点最多能构成$3n^2/4 + o(n^2)$等腰三角形，并对一个特殊的凸$n$ -凸群证明了这个猜想，（iii）证明了对于任意整数$k\ge 4$，它的顶点至多能形成$\lfloor n/k \rfloor$正则$k$ -边形，并且这个界是最优的;（iv）给出了一个简短的证明：只要凸$n$ -边形具有单位周长，它的顶点之间的所有距离之和至少为$(n-1)/2$至多为$\lfloor n/2 \rfloor \lceil n/2 \rceil(1/2)$.
2010-09-15 cs.CG cs.DM math.CO
Partitioning Regular Polygons into Circular Pieces I: Convex Partitions
本文研究了正多边形的最优凸划分问题，证明等边三角形的最佳划分有无限多个部分，而正方形的最优长宽比差距缩小至0.01082。
2026-02-08 cs.CG
Oriented Convex Containers of Polygons -- II
我们定义一个“有向凸区域”为具有对称方向的凸区域。以前的一篇文章已经触及等腰三角形，矩形和椭圆形。在这里，我们研究了一些更可能的定向容器--圆、圆的线段和扇区--并提出了一些问题。
2020-05-22 cs.CG
An Infinite, Converging, Sequence of Brocard Porisms
布罗卡三角形是已知的一维三角形族，它内接于一个圆，外接于一个椭圆。值得注意的是，布罗卡角是不变的，布罗卡点在椭圆的焦点处是固定的。在本文中，我们表明，一定的派生三角形产生了第二个，较小的，布罗卡porism，使重复计算产生一个无限的，收敛序列的porisms。我们还表明，这个序列是嵌入在一个连续的家庭porisms。
2020-10-07 cs.CG cs.GR cs.RO
Point Enclosure Problem for Homothetic Polygons
针对位似点包含问题，提出空间复杂度O(n log n)、查询时间O(log n + k)、预处理时间O(n log n)的解决方案，结果可推广到位似多边形。
2021-12-03 cs.CG cs.DS
Deterministic Linear Time Constrained Triangulation using Simplified Earcut
符合一组不相交输入线段的三角剖分算法通常以增量方式进行，即先插入点，然后插入线段。插入一个线段相当于：（1）删除它相交的所有三角形;（2）用两个多边形填充这样生成的洞，这两个多边形具有所需的线段作为共享边;（3）分别对每个多边形进行三角剖分。在本文中，我们证明了这些多边形是这样的，他们所有的凸顶点，但两个可以用来形成三角形的耳切方式，而不需要检查其他多边形点是否位于每个耳朵。任何简单多边形至少包含三个凸顶点的事实保证了有效耳的存在，以确保收敛。这不仅转化为最优的确定性线性时间三角剖分算法，而且这种算法实现起来也是微不足道的。我们正式证明了我们的方法的正确性，也验证了它在实际应用中，并与现有技术进行比较。
2021-03-28 cs.CG cs.GR
