Largest similar copies of convex polygons amidst polygonal obstacles
给定一个具有$k$顶点的凸多边形$P$和一个由多边形障碍物组成的多边形区域$Q$，其总尺寸为$n$，研究了寻找$P$的最大相似副本的优化问题，该副本可以放置在$Q$中而不与障碍物相交.我们将求解问题的时间复杂度改进为$O(k^2n^2λ_4(k)\log{n})$。这是Chew和Kedem [SoCG89，CGTA 93]以及Sharir和Toledo [SoCG91，CGTA 94]在超过25年的时间内对该问题的最佳已知结果的改进。
2020-12-13 cs.CG
On implementation of the minimal perimeter triangle enclosing a convex polygon algorithm
一个高层次的描述算法，计算最小周长三角形包围一个凸多边形在线性时间存在于文献中。此外，在后续的工作中给出了算法的实现。然而，该实施是不完整的，并省略了某些常见的情况。本说明的贡献包括一个现代的治疗算法及其随之而来的简单和强大的实现。
2016-06-07 cs.CG math.MG
The Largest Contained Quadrilateral and the Smallest Enclosing Parallelogram of a Convex Polygon
本文提出了一个求凸多边形最大面积四边形的线性时间算法，并证明了它与求凸多边形最小包围圈的一个老算法是密切相关的。
2019-06-18 cs.CG
A linear-time algorithm for the maximum-area inscribed triangle in a convex polygon
给定一个凸多边形的n个循环阶顶点，能否用O（n）时间复杂度的算法求出内接于P的最大面积三角形？1979年Dobkin和Snyder提出的线性时间算法最近被Keikha、Löffler、Urhausen和van der Hoog证明是不正确的。这些作者给出了一个替代算法的O（n log n）时间复杂度。这里我们给出了一个具有线性时间复杂度的算法。
2017-06-09 cs.CG math.MG
A technique for solving the polygon inclusion problems
提出 Rotate-and-Kill 技术，以 $O(n)$ 时间解决多边形包含与外接问题，包括最大面积内接三角形及最小面积/周长外接三角形，并简化或改进了现有算法。
2024-04-21 cs.CG
Finding Largest Rectangles in Convex Polygons
本文考虑了如下几何优化问题：求一个包含在给定凸多边形中的最大面积矩形和最大周长矩形，该凸多边形的顶点为$n$。我们给出精确的算法，解决这些问题的时间$O(n^3)$。我们还给出了$(1-\varepsilon)$ -近似算法，需要时间$O(\varepsilon^{-3/2}+ \varepsilon^{-1/2} \log n)$。
2014-10-06 cs.CG
Quasi-Polynomial Time Approximation Scheme for Sparse Subsets of Polygons
我们描述了如何近似，在准多项式时间，最大的多边形独立集，在一个给定的多边形集。我们的算法通过将Adamaszek和Wiese \cite{aw-asmwi-13, aw-qmwis-14}的结果推广到任意复杂度的多边形。令人惊讶的是，该算法还可以计算给定多边形集合中具有某种稀疏性条件的最大子集。例如，我们证明了可以近似多边形的最大子集，使得该子集的相交图不包含长度为$4$的循环（即，$K_{2,2}$）。
2013-12-04 cs.CG
Largest and Smallest Area Triangles on Imprecise Points
假设我们在平面上有一组平行的线段，我们希望在每条线段上放置一个点，使得得到的点集最大化或最小化集合中最大或最小三角形的面积。我们分析了四个计算问题的复杂性，我们表明，其中三个承认多项式时间算法，而第四个是NP-难。具体来说，我们表明，最大化最大的三角形可以在$O(n^2)$时间（或单位段的$O(n \log n)$时间）;最小化最大的三角形可以在$O(n^2 \log n)$时间;最大化最小的三角形是NP难的，但最小化最小的三角形可以在$O(n^2)$时间。我们还讨论了在何种程度上我们的结果可以推广到多边形与$k>3$边。
2018-06-09 cs.CG
Polylidar -- Polygons from Triangular Meshes
University of Michigan（密歇根大学）
本文提出了一种从二维点集（包括内部孔洞）中提取非凸多边形的高效算法--Polylidar。平面分割的点云可以输入到Polylidar中以提取其多边形对应物，从而减小地图大小并提高可视化。该算法首先对点集进行三角剖分，然后根据用户可配置的参数（如三角形边长）对三角形进行过滤。接下来，将连接的三角形提取到表示点集形状的三角形网格区域中。最后通过一种新的边界跟踪方法将每个区域转换为一个多边形，该方法考虑了孔洞的存在。真实世界和合成基准比较评估Polylidar的速度和精度。实验结果表明，与其他凹多边形提取方法相比，该方法具有相当的精度和4倍以上的加速比。
2020-06-06 cs.CG cs.RO
Oriented Convex Containers of Polygons -- II
我们定义一个“有向凸区域”为具有对称方向的凸区域。以前的一篇文章已经触及等腰三角形，矩形和椭圆形。在这里，我们研究了一些更可能的定向容器--圆、圆的线段和扇区--并提出了一些问题。
2020-05-22 cs.CG
The Convex Configurations of "Sei Shonagon Chie no Ita" and Other Dissection Puzzles
七巧板和Sei Shonagon Chie no Ita是由七块组成的流行解剖拼图。每个拼图可以通过识别16个相同的直角等腰三角形的边来形成。据了解，七巧板可以形成13个凸多边形。我们证明了圣少根千之一田可以形成16个凸多边形，提出了一个新的拼图，可以形成19个，没有7块拼图可以形成20个，11块是必要的和足够的，以形成所有20个多边形可形成的16个相同的等腰直角三角形。最后，我们研究了由不同数量的这些三角形形成的凸多边形的数量。
2014-07-08 cs.CG math.HO
On Isosceles Triangles and Related Problems in a Convex Polygon
给定任何凸$n$ -边形，在本文中，我们：（i）证明了它的顶点最多能构成两边为单位长度的$n^2/2 + Θ(n\log n)$等腰三角形，并证明了这个界是一阶最优的;（ii）猜想它的顶点最多能构成$3n^2/4 + o(n^2)$等腰三角形，并对一个特殊的凸$n$ -凸群证明了这个猜想，（iii）证明了对于任意整数$k\ge 4$，它的顶点至多能形成$\lfloor n/k \rfloor$正则$k$ -边形，并且这个界是最优的;（iv）给出了一个简短的证明：只要凸$n$ -边形具有单位周长，它的顶点之间的所有距离之和至少为$(n-1)/2$至多为$\lfloor n/2 \rfloor \lceil n/2 \rceil(1/2)$.
2010-09-15 cs.CG cs.DM math.CO
Large $k$-gons in a 1.5D Terrain
给定的是1.5D地形$\mathcal{T}$，即，$x$-$\mathbb{R}^2$中的单调多边形链。对于一个给定的$2\le k\le n$，我们的目标是近似的最大面积或周长凸多边形的确切或最多的$k$顶点内$\mathcal{T}$。对于一个常数$k>3$，我们设计了一个FPTAS，有效地近似最大的凸多边形与最$k$顶点，在一个因素$(1-ε)$。对于$k=2$的情况，我们设计了一个$O(n)$时间精确算法来计算$\mathcal{T}$中最长的线段，对于$k=3$，我们设计了一个$O(n \log n)$时间精确算法来计算$\mathcal{T}$中最大周长的三角形。
2022-06-06 cs.CG
Point Enclosure Problem for Homothetic Polygons
针对位似点包含问题，提出空间复杂度O(n log n)、查询时间O(log n + k)、预处理时间O(n log n)的解决方案，结果可推广到位似多边形。
2021-12-03 cs.CG cs.DS
Finding a Largest-Area Triangle in a Terrain in Near-Linear Time
针对下边界为单一线段的x-单调多边形地形，提出O(n log n)时间复杂度的最大面积三角形查找算法，较此前O(n²)的最优算法效率显著提升。
2025-02-13 cs.CG cs.DS
Maximum-Area Quadrilateral in a Convex Polygon, Revisited
在这篇笔记中，我们通过例子证明了Dobkin和Snyder在1979年提出的寻找内接于凸多边形的最大面积k边形的算法在k=4时找不到最优解。这个问题由Keikha等人提出，他们证明了Dobkin Snyder算法在k=3时失败。
2017-12-24 cs.CG
Deterministic Linear Time Constrained Triangulation using Simplified Earcut
符合一组不相交输入线段的三角剖分算法通常以增量方式进行，即先插入点，然后插入线段。插入一个线段相当于：（1）删除它相交的所有三角形;（2）用两个多边形填充这样生成的洞，这两个多边形具有所需的线段作为共享边;（3）分别对每个多边形进行三角剖分。在本文中，我们证明了这些多边形是这样的，他们所有的凸顶点，但两个可以用来形成三角形的耳切方式，而不需要检查其他多边形点是否位于每个耳朵。任何简单多边形至少包含三个凸顶点的事实保证了有效耳的存在，以确保收敛。这不仅转化为最优的确定性线性时间三角剖分算法，而且这种算法实现起来也是微不足道的。我们正式证明了我们的方法的正确性，也验证了它在实际应用中，并与现有技术进行比较。
2021-03-28 cs.CG cs.GR
Cramer-Castillon on a Triangle's Incircle and Excircles
本文将 Cramer-Castillon 问题限定于三角形顶点约束，研究内接于内切圆或旁切圆且各边循环经过这些顶点的多边形构造。
2024-12-04 cs.CG math.MG
Finding all Maximal Area Parallelograms in a Convex Polygon
多边形包含问题在几何优化中得到了广泛的研究。本文研究了凸多边形中最大面积平行四边形（MAP）和所有局部最大面积平行四边形（LMAP）的计算问题。通过证明和利用LMAP的几个结构性质，我们在$O(n^2)$时间内计算了所有的LMAP（包括所有的MAP），其中$n$表示给定多边形的边数.此外，我们证明了LMAP彼此交错，因此LMAP的数量是$O(n)$。我们讨论我们的结果的应用，除其他外，计算最大面积中心对称凸体内的凸多边形的问题，和最简单的情况下的海尔布隆三角形问题。
2018-09-03 cs.CG math.AG
Polygon Placement Revisited: (Degree of Freedom + 1)-SUM Hardness and an Improvement via Offline Dynamic Rectangle Union
我们重新审视经典的问题，确定一个简单的多边形$P$，可以放置到一个简单的多边形$Q$的最大副本。尽管付出了巨大的努力，但已知的算法需要高多项式运行时间。（Barquet and Har-Peled，2001）给出了当$P$和$Q$是具有$Θ(n)$顶点的（凸）多边形时，在3SUM猜想下的$n^{2-o(1)}$的下界.这就留下了我们是否能建立（1）超过二次时间的硬度和（2）常数大小的$P$或$Q$的任何超线性界限的问题。在本文中，我们肯定地回答这些问题下的$k$ SUM猜想，证明自然的硬度结果，增加每个自由度（缩放，$x$ -平移，$y$ -平移，旋转）：（1）找到最大的副本$P$，可以$x$ -翻译成$Q$需要时间$n^{2-o(1)}$下的3SUM猜想。(2)在4SUM猜想下，找到可以任意翻译成$Q$的$P$的最大拷贝需要时间$n^{2-o(1)}$。(3)当其中一个多边形的大小不变时，上述下界几乎是紧的：我们分别得到了具有$p$和$q$顶点的正交多边形$P,Q$的$\tilde O((pq)^{2.5})$时间算法。(4)在5和猜想下，找到可以任意旋转并翻译成$Q$的$P$的最大副本需要时间$n^{3-o(1)}$。我们不知道几何优化问题的任何其他这样的自然$($自由度$+ 1)$ -SUM硬度。
2021-11-03 cs.CC cs.CG cs.DS
Canonical polygon Queries on the plane: a New Approach
点上的多边形检索问题是对平面上的一组$n$点进行预处理的问题，以便给定多边形查询，可以有效地报告位于其中的点的子集。它在计算机图形学、CAD应用、空间数据库和GIS开发任务等领域都有很大的兴趣。本文研究平面上的规范$k$ -顶点多边形查询问题。一个规范的$k$ -顶点多边形查询总是满足以下特定的属性：一个点检索查询可以转换成一个线性数量（相对于顶点的数量）的点检索正交对象，如矩形和三角形（在整个这项工作中，我们称三角形正交，如果它的两个边是轴平行的）。我们提出了两个新的算法，这个问题。第一个需要$O(n\log^2{n})$空间和$O(k\frac{log^3n}{loglogn}+A)$查询时间。第一种算法的一个简单的修改方案导致我们的第二种解决方案，它消耗$O(n^2)$空间和$O(k \frac{logn}{loglogn}+A)$查询时间，其中$A$表示答案的大小，$k$是顶点的数量。一般多边形检索问题的最佳先前解决方案使用$O(n^2)$空间，并在$O(k\log{n}+A)$时间内回答查询，其中$k$是顶点数。它也非常复杂，难以用标准命令式程序设计语言（如C或C++）实现。
2009-07-30 cs.CG cs.DS
The number of distinct distances from a vertex of a convex polygon
Erdrescu在1946年提出，平面中凸位置的每个n点集P包含一个点，该点至少确定到P的其他点的floor（n/2）不同距离。在本文中，我们将这个结果稍微改进为（13/36 + eps）n-O（1）（eps ~= 1/23000）.我们的主要成分是一个改进的界的等腰三角形的最大数目确定的P。
2013-03-22 cs.CG cs.DM
Convexly independent subsets of Minkowski sums of convex polygons
我们证明了存在凸$n$ -凸$P$和凸$Q$使得Minkowski和$P+Q$中的最大凸多边形的大小为$Θ(n\log n)$ .这与Tiwary的上界匹配。
2021-06-02 cs.CG cs.DM math.CO
Covering Polygons is Even Harder
University of Copenhagen（哥本哈根大学）
在最小凸覆盖（MCC）问题中，给定一个简单多边形$\mathcal P$和一个整数$k$，问题是是否存在$k$凸多边形的并为$\mathcal P$。已知MCC是$\mathsf{NP}$ -hard [Culberson & Reckhow：Covering polygons is hard，FOCS 1988/Journal of Algorithms 1994]和$\exists\mathbb{R}$ [O'Rourke：The complex of computing minimum convex covers for polygons，Allerton 1982]。我们证明了MCC是$\exists\mathbb{R}$ -困难的，因此该问题是$\exists\mathbb{R}$ -完全的.换句话说，这个问题等价于决定一个整数系数的多项式方程组和不等式组是否有实数解。如果我们构造的多边形存在一个覆盖，那么一个完全由三角形组成的覆盖也存在。作为一个副产品，我们因此也建立了它是$\exists\mathbb{R}$ -完全的决定是否$k$三角形覆盖一个给定的多边形。在文献中已经反复提出了不知道是否在$\mathsf{NP}$中找到最小覆盖的问题，并且在2001年已经将其作为“长期未决问题”提及[Escherbenz & Widmayer：An近似算法for minimum …
2021-06-04 cs.CC cs.CG cs.CV
On the Two-Dimensional Knapsack Problem for Convex Polygons
研究了凸多边形的二维的【形】几何背包问题。给定一组加权凸多边形和一个正方形背包，目标是选择给定多边形中最有利可图的子集，该子集非重叠地适合背包。我们允许旋转多边形的任意角度。我们提出了一个准多项式时间的$O(1)$ -近似算法的一般情况下和多项式时间的$O(1)$-近似算法，如果所有的输入多边形是三角形，都假设多项式有界的积分输入数据。此外，我们给出了一个准多项式时间算法，计算的最优权重下的资源增加，即，对于某些$δ>0$，我们允许将背包的大小增加因子$1+δ$，但是将我们自己与原始背包的最优解进行比较。据我们所知，这些是第一个结果的二维的【形】几何背包中的输入对象是更一般的比轴平行的矩形或圆形，其中输入多边形可以旋转任意角度。
2020-07-31 cs.CG cs.DS
