关于具有质量维数的 $\mathbb{Z}^2 \subset \mathbb{R}^2$ 子集的 Marstrand 型切片定理
A Marstrand type slicing theorem for subsets of $\mathbb{Z}^2 \subset \mathbb{R}^2$ with the mass dimension
AI总结：
本文针对平面中 $1$ 分离子集及整数格点特例，证明了带质量维数的 Marstrand 型切片定理，补足了相应投影定理的对偶问题。
摘要：
我们证明了一个关于整数方格点子集的 Marstrand 型切片定理。该问题是相应投影定理的对偶形式；Glasscock、Lima 和 Moreira 曾研究过后者，并将质量维数与计数维数应用于 $\mathbb{Z}^{d}$ 的子集。本文在更一般的情形下处理平面中满足 $1$ 分离条件的子集，而整数格点子集的结果作为特例由此得出。我们证明，在这一设定下，关于质量维数的自然切片问题是成立的。
英文摘要：
We prove a Marstrand type slicing theorem for the subsets of the integer square lattice. This problem is the dual of the corresponding projection theorem, which was considered by Glasscock, and Lima and Moreira, with the mass and counting dimensions applied to subsets of $\mathbb{Z}^{d}$. In this paper, more generally we deal with a subset of the plane that is $1$ separated, and the result for subsets of the integer lattice follow as a special case. We show that the natural slicing question in this setting is true with the mass dimension.
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