Fine structure of 4-critical triangle-free graphs I. Planar graphs with two triangles and 3-colorability of chains
Aksenov证明了在至多含有一个三角形的可平面图G中，每个4-圈的预染色都可以推广为G的3-染色。本文给出了具有两个三角形的可平面图的一个精确刻画，即4-圈的某些预染色不扩张。利用这个刻画，我们解决了无三角形可平面图中两个4-圈的预着色扩张问题，即预着色的4-圈被许多不相交的4-圈分隔开.后一个结果是在后续文件中使用的4-临界三角形自由图嵌入在一个固定的表面的结构的详细信息。
2017-02-15 math.CO
The triangle-free graphs which are competition graphs of multipartite tournaments
在本文中，我们发现了所有的三角形自由图是多部竞赛图的竞争图。
2023-03-21 math.CO
Triangle-free graphs with the maximum number of cycles
证明了对于$n\geq 141$，在所有顶点为$n$的无三角形图中，完全等二部图是唯一的具有最多圈数的无三角形图.
2015-03-21 math.CO
Triangle-degree and triangle-distinct graphs
本文构造了每个顶点三角度均不同的无限图族，并研究了此类图的顶点度与规模性质。
2023-08-30 math.CO
Dense graphs with a large triangle cover have a large triangle packing
众所周知，具有$m$边的图可以通过移除（略小于）$m/2$边而成为无三角形的。另一方面，有许多类的图是很难使三角形自由的意义上说，它是必要的，以消除所有的三角形删除大致$m/2$边。证明了很难使之成为无三角形的稠密图具有大量的两两边不相交三角形。特别地，它们具有多于$m(1/4+cβ^2)$的成对边不相交三角形，其中$β$是图的密度，而$c$是绝对常数。这改善了以前的$m(1/4-o(1))$界，其中遵循的渐近有效性的Tuza的猜想稠密图。证明了这类图有一个大小为$m(1/3-o(1))$的渐近最优三角形填充.这个结果被推广到更大的集团和奇数圈。
2010-09-02 math.CO
No Dense Subgraphs Appear in the Triangle-free Graph Process
考虑无三角形图过程，它从$n$顶点上的空图和可能的${n \choose 2}$边的随机排序开始;如果图保持无三角形，则以这种顺序添加边。我们将证明存在一个常数$c$使得在$k$顶点上的任何固定的有限无三角形图的副本至少有$ck$边渐近几乎必然出现在无三角形图过程中。
2010-02-11 math.CO
An Arithmetic Analogue of Fox's Triangle Removal Argument
我们给出了最近由Fox [Fox11]证明的三角形去除引理的算术版本，对于群$\mathbb{F}_2^n$。$\mathbb{F}_2^n$中的三角形是三重$(x,y,z)$，使得$x+y+z = 0$。$\mathbb{F}_2^n$的三角形移除引理表明，对于每个$ε> 0$，都有一个$δ> 0$，因此如果$\mathbb{F}_2^n$的子集$A$需要至少移除$ε\cdot 2^n$元素以使其无三角形，则它必须至少包含$δ\cdot 2^{2n}$三角形。这个问题首先由Green [Gre05]研究，他使用算术正则引理证明了$δ$的一个下界。基于正则性的下界图中的三角形删除最近改进的福克斯和我们给出了一个类似的改进$\mathbb{F}_2^n$中的三角形删除的直接证明。改进的下界已经知道遵循（对于所有组中的三角形移除），使用Fox的有向循环移除引理和Král，Serra和Vena的约化[KSV 09]（参见[Fox11，CF13]）。本文的目的是为群$\mathbb{F}_2^n.$提供一个直接的傅里叶分析证明
2016-02-01 cs.DM math.CO
Many disjoint triangles in co-triangle-free graphs
证明了任何补图是无三角形的$n$ -顶点图都含有$n^2/12-o(n^2)$边不交三角形。这对于两个$n/2$序集团的不交并是紧的。我们还证明了相应的稳定性定理，即所有达到上述界限的大型图都接近于二分图。我们的结果回答了Alon和Linial的一个问题，并对Erdens的一个猜想作出了改进.
2020-01-08 math.CO
Triply Existentially Complete Triangle-Free Graphs
一个无三角形图G称为k-存在完全图，如果对G的每一个k-顶点导出子图H，H到一个（k+1）-顶点无三角形图的每一个扩张都可以通过在H上添加G的另一个顶点来实现. Cherlin问k-存在完全无三角形图是否对每个k都存在。在这里，我们提出了已知的和新的3-存在完全三角形自由图的结构。
2014-05-06 math.CO
Scott's induced subdivision conjecture for maximal triangle-free graphs
Scott证明了给定图不具有诱导剖分的图类是$χ$ -有界的.我们验证了他的猜想，极大的三角形自由图。
2011-07-18 math.CO
Fractional triangle decompositions in graphs with large minimum degree
图的三角形分解是将图的边划分成三角形。图的分数三角形分解是将非负权重分配给其每个三角形，使得包含任何给定边的三角形的权重之和为1。证明了对所有的$ε> 0$，$n$顶点上的最小度至少为$(0.9 + ε)n$的所有足够大的图都有一个分数三角分解.这改进了Garaschuk的一个结果，即对于最小度至少为$0.956n$的图，同样的结果也成立。结合Barber，Kühn，Lo和Osthus最近的一个结果，这意味着对于所有的$ε> 0$，$n$顶点上的每一个足够大的三角形可分图，其最小度至少为$(0.9 + ε)n$，都允许一个三角形分解.
2015-07-21 math.CO
A Remark on Triangle-Critical Graphs
一个有$k \geq 3$的连通$k$ -色图$G$称为三角临界图，如果$G$的每条边都包含在$G$的导出三角形中，并且从$G$中去掉任何三角形都会使$G$的色数减少3. B.托夫特提出了证明两个以上顶点的完全图是唯一的三角形-临界图的问题。应用M. Stiebitz [Discrete Math.64（1987），91- 93]，我们用$k \leq 6$对三角临界$k$ -色图肯定地回答了这个问题.
2008-02-24 math.CO
Triangle Decompositions of Planar Graphs
一个多重图G是三角可分解的，如果它的边集可以被划分成子集，每个子集导出G的一个三角形，并且如果它的三角形可以被分配有理权重，使得对于G的每个边e，包含e的三角形的权重之和等于1，则它是有理三角可分解的。给出了平面重图是三角可分解的一个充要条件。我们还证明了如果一个简单的可平面图是有理三角可分解的，那么它有这样一个分解，只使用权0，1和1/2。这一结果给出了有理三角可分解简单可平面图的一个刻划。最后，如果G是一个以4阶完全图为基础图的多重图，我们给出了G是三角形图和有理三角可分解图的边重数的充要条件.
2015-04-02 math.CO
A sequence of triangle-free pseudorandom graphs
阿隆的建设产生一系列的高度伪随机的三角形自由图的边缘密度显着高于人们可能期望从随机图比较。我们给出了这种图的另一种构造。
2016-08-03 math.CO
Triangles and subgraph probabilities in random regular graphs
本文改进了随机正则图中子图概率的估计。利用改进的结果，我们进一步改进了随机正则图中三角形个数的极限分布。
2023-02-01 math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
Asymptotic Structure of Graphs with the Minimum Number of Triangles
我们考虑了给定阶数和大小的图中三角形个数的最小化问题，并描述了极图的渐近结构。这是通过描述使三角形密度最小化的标志代数同态的集合来实现的。
2014-09-24 math.CO
Constructing Triangle Decomposable Multigraphs with Minimum Multi-edges
研究了图的三角分解。我们考虑的建设类图的每一个边缘在于一个三角形和添加的最小数量的重边之间已经邻顶点的结果在一个强三角形整除图，也是三角形可分解的。我们探讨了几类可平面图以及一类环形图。
2021-08-19 math.CO
Triangles in graphs without the expansion of $4$-cycle
East China Normal University（华东师范大学）
研究问题：确定不含4-圈扩张的图中三角形的最大数量；核心方法：通过分析剩余情况证明猜想；主要贡献：证明4-圈扩张是猜想的唯一反例。
2026-05-17 math.CO
Strongly Regular Graphs with No Triangles
对于图中不含三角形的情形，给出了强正则图理论的一个简化形式。这导致（i）克莱因条件的直接证明，以及（ii）没有三角形的强正则图的特征，使得第二子成分也是强正则的。该方法还提供了一种有效的手段，列出可行的参数，这样的图。
2009-11-11 math.CO
Long heterochromatic paths in heterochromatic triangle free graphs
在本文中，所考虑的图总是边着色的。本文研究了无异色三角形图的长异色路。考虑了两类图，一类是具有Gallai染色的完全图，即，一类是无异色三角形的完全图，另一类是有$k$ -好着色的无异色三角形的图，即，最小颜色度至少为$k$。对于异色无三角形图$K_n$，我们得到，对于每个顶点$v\in V(K_n)$，$K_n$有一个异色$v$ -路的长度至少$d^c(v)$ ;而对于异色无三角形图$G$，我们证明，如果，对于任何顶点$v\in V(G)$，$d^c(v)\geq k\geq 6$，那么$G$的异色路的长度至少$\frac{3k}{4}$。
2008-04-29 math.CO
Minimal Regular graphs with every edge in a triangle
本文研究每条边都在三角形中的正则图，证明三角形数量的下界，并对 r≤5 的极小情形利用线图和偶圈分解完成分类，同时给出 r≥6 的构造方法。
2024-07-31 math.CO
Large triangle packings and Tuza's conjecture in sparse random graphs
图$G$的三角形堆积数$ν(G)$是图$G$中边不相交三角形集合的最大尺寸。Tuza证明了在任何图$G$中存在一组至多$2ν(G)$的边与$G$中的每个三角形相交.本文证明了当随机图$G=G(n,m)$满足$m \le 0.2403n^{3/2}$或$m\ge 2.1243n^{3/2}$ .这是通过分析一个贪婪算法在随机图中寻找大三角形包装。
2020-02-04 math.CO
On triangle-free graphs that do not contain a subdivision of the complete graph on four vertices as an induced subgraph
本文证明了一类不包含四点完全图的一个剖分作为诱导子图的无三角形图的分解定理。我们证明了这类图中围长至少为~5的图都是3-可着色的。
2014-07-25 math.CO
Multiple list colouring triangle-free planar graphs
本文证明了对每一个正整数$m$，存在一个无三角形可平面图$G$，它不是$(3m+ \lceil \frac m{17} \rceil-1, m)$ -可选的.
2018-12-07 math.CO
Searching for regular, triangle-distinct graphs
针对正则图能否同时三角形度数互异的开放问题，本文通过构造与搜索找到了阶数21至27的实例，并介绍相应发现方法。
2024-01-19 math.CO
Fine structure of 4-critical triangle-free graphs II. Planar triangle-free graphs with two precolored 4-cycles
研究了具有两个相距较远的预着色4-圈$C_1$和$C_2$的无三角形平面图$G$的3-着色性质.我们证明了，无论是每一个预着色的$C_1\cup C_2$扩展到3-着色的$G$，或$G$包含两个特殊的子结构，唯一地确定其中3-着色的$C_1\cup C_2$扩展。作为推论，我们证明了存在一个常数$D>0$，使得如果$H$是一个平面无三角形图，且$S\subseteq V(H)$由两两距离至少为$D$的顶点组成，则$S$的每一个预染色都扩展到$H$的一个3-染色.这对Dvoák，Král'和Thomas的一个猜想给出了肯定的回答，并暗示了有界最大度的无三角形平面图的3-着色数的指数下界。
2015-05-27 math.CO
Triangle-free Uniquely 3-Edge Colorable Cubic Graphs
本文给出了无限多个无三角形的唯一3边可着色三次图的新例子。此前已知的唯一一张这样的图是Tutte在1976年给出的。
2015-08-27 math.CO
Universality of graphs with few triangles and anti-triangles
本文研究3-类随机图，即三角形和反三角形的密度收敛于1/8的图序列。由于随机图${\mathcal G}_{n,1/2}$特别地是3-随机类的，这可以被视为准随机性的弱版本。我们首先证明了3-类随机图是4-泛图，也就是说，它们包含所有4-顶点图的诱导副本。这解决了Linial和Morgenstern的问题。然后，我们表明，对于较大的子图，3-类随机序列表现出完全不同的行为。我们证明了对于每个在$n\geq R(10,10)$顶点上的图$H$，存在3-random like图，而不存在$H$的导出副本。此外，我们还证明了对于每个$\ell$，当$m$比$\ell$大时，存在3-类随机图是$\ell$ -泛图而不是$m$ -泛图.
2014-01-22 math.CO
Triangle Percolation on the Grid
Iowa State University（爱荷华州立大学）；Rutgers University（罗格斯大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Emory University（埃默里大学）；University of Wyoming（怀俄明大学）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）；Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
本文研究了网格上基于三角形的渗流过程，探讨了稳定集的性质及其密度。
2024-01-10 math.CO
Edge number critical triangle free graphs with low independence numbers
确定了所有无三角形图G =（V，E）的结构，其中|E| - 6 |V| + 13α（G）= 0，从而肯定地回答了StanismartawRadziszowski和DonaldKreher的一个问题.
2013-09-30 math.CO
The fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
Heckman和Thomas证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为14/5。改进了Hatami和Zhu以及Lu和Peng的估计，证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为32/11（约为2.909）.
2013-05-01 math.CO
4-regular planar unit triangle graphs without additional triangles
本文证明了仅由单位三角形组成而不含附加三角形的4-正则平面单位距离图的存在性。结果表明，单位三角形的最小数目是$\leq$ 6422。
2019-11-03 math.CO math.MG
Characterization of 4-critical triangle-free toroidal graphs
我们给出了一个精确的表征的3-着色的三角形自由图画在环面中，在186个“模板”（图与某些面填充任意四边形）的形式，使这一类的图是不是3-着色的当且仅当它包含一个子图匹配的模板之一。因此，我们证明了每一个边宽度至少为6的环面上的无三角形图都是3-可着色的，这是一个用于无三角形环面图的有效3-可着色算法的关键属性。
2020-09-02 math.CO
On the number of edge-disjoint triangles in $K_4$-free graphs
我们证明了四分之一个世纪前的猜想，即每一个具有$n$顶点和$\lfloor n^2/4 \rfloor +k$边的$K_4$ -free图都包含$k$成对边不相交的三角形。
2015-06-10 math.CO
Some results on triangle partitions
我们证明了着色置换图、完全多部图、距离遗传图、k-模置换图和k-部图的补图（当k固定时）中的三角形填充问题存在有效的算法。我们证明了二部置换图上C_4-packing的一个有效算法，并证明了二部图上C_4-packing是NP-完全的。我们刻画了具有三角形划分的偶图。
2011-04-20 math.CO
The triangle-free graphs with rank 6
图G的秩定义为它的邻接矩阵A（G）的秩。本文刻画了所有秩为6的连通无三角形图。
2013-01-05 math.CO
An invariant for minimum triangle-free graphs
我们研究了具有指定顶点数$n(G)$、独立数$α(G)$和长度为4的圈数$\operatorname{N}(C_4;G)$的无三角形图的边数$e(G)$。我们特别表明，$$3e(G) - 17n(G) + 35α(G) + \operatorname{N}(C_4;G) \geq 0$$的所有三角形的自由图$G$。我们还证明了满足这个不等式的图具有相等性。
2016-12-04 math.CO
Typical structure of oriented graphs and digraphs with forbidden blow-up transitive triangle
本文利用有向图的正则引理建立了加权有向图的Erdös-Stone定理的一个类似结果。给出了定向图和具有禁止爆破传递三角形的有向图的稳定性结果，证明了几乎所有的定向图和几乎所有具有禁止爆破传递三角形的有向图都是几乎二部图.
2017-03-09 math.CO
Multigraphs (only) satisfy a weak triangle removal lemma
三角形移除引理指出，一个有o（n^3）个三角形的单图可以通过移除o（n^2）条边而成为无三角形的。很自然地会问，这个广泛使用的结果是否可以扩展到多重图（或等价地，加权图）。在这篇简短的论文中，我们排除了这种扩展的可能性，证明了存在只有n^{2+o（1）}个三角形的多重图仍然远远不是三角形自由的。另一方面，我们证明了对于某些g（n）=ω（1），如果一个重图（或加权图）只有g（n）n^2个三角形，那么它一定接近于无三角形.证明依赖于Ruzsa-Szemerédi定理的变体。
2009-02-03 math.CO
Decomposition of triangle-free planar graphs
图$G$的分解是$G$的一族子图，其边集形成$E(G)$的一个划分。本文证明了每一个无三角形可平面图$G$都可以分解为一个$2$ -退化图和一个匹配。因此，每个无三角形可平面图$G$都有一个匹配的$M$，使得$G-M$是在线3-DP可着色的。这加强了[R.Škrekovski，{ \em A Grötzsch-Type Theorem for List Colorings with Impropriety One}，Combin.概率计算8（1999），493-507]证明了每个无三角形可平面图都是$1$ -亏$3$ -可选的。
2022-12-14 math.CO
Fractional triangle decompositions in almost complete graphs
证明了对于$n \ge 7$，每个至少有$\binom{n}{2} - (n - 4)$边的$n$ -顶点图都有一个分数三角分解.这是一个关键因素，在我们的证明，在一个配套文件中，每一个$n$ -顶点$2$ -着色完全图包含$n^2/12 + o(n^2)$边不相交的单色三角形，这证实了一个猜想的Erdlas。
2020-08-14 math.CO
The Median of Sierpinski Triangle Graphs
本文研究了图的中位数顶点集问题，通过分析图的收缩结构，确定了谢尔宾斯基三角形图的中位数。
2024-08-23 math.CO
Quartic graphs with every edge in a triangle
我们证明了四次（即4-正则）重图的每条边都在三角形内的性质。主要的结果是，这样的图要么是平方的周期，线重图的立方重图，或从这些由一些简单的子图替换操作。这一点的一个推论是，每条边都在三角形中的简单四次图要么是圈的平方，要么是三次图的线图，要么是通过用K_{1,1,3}的副本替换三角形而从三次多重图的线图获得的图。
2013-08-01 math.CO
Planar graphs without 4-cycles adjacent to triangles are DP-4-colorable
单图的DP-染色（也称为对应染色）是列表染色的推广。已知与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是4-可选图，不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色图.本文证明了与三角形相邻的不含4-圈的可平面图是DP-4-可着色的，这是上述两个结果的推广。
2017-12-25 math.CO
On triangle-free graphs of order 10 with prescribed 1-defective chromatic number
一个图是（m，k）-色图，如果它的顶点可以用m种颜色着色，使得在接受相同颜色的顶点上导出的任何子图的最大度至多为k。图的k-亏色数是使图是（m，k）-亏色的最小正整数m。所有顶点数不超过8的无三角形图都是（2，1）-列图。恰好有四个9阶无三角形图的1-亏损色数为3。我们发现，这四个图出现在几乎所有的10阶无三角形图的1-亏损色数等于3的子图。实际上存在唯一的10个顶点上的无三角形的（3，1）-临界图，并给出了这个图.
2015-01-19 math.CO
The minimal density of triangles in tripartite graphs
在给定边密度的三部图中，确定了三角形的最小密度。这扩展了以前的结果邦迪，沈，Gillassé和Gillassen特征的边密度保证存在的三角形在一个三分图。为了更准确地说，我们表明，适当的加权副本的图形形成删除某个9-圈从$K_{3,3,3}$具有最小的三角形密度之间的所有加权三部图与规定的边缘密度。
2009-10-07 math.CO
Progress towards Nash-Williams' Conjecture on Triangle Decompositions
将图的边划分成边不相交的三角形，形成图的三角形分解。Nash-Williams在1970年提出了一个著名的猜想：任何一个在$n$顶点上的三角形可分图，只要它的最小度至少为$0.75 n$，它就允许一个三角形分解。根据最近的结果，这个问题的分数版本是至关重要的。分数三角形分解是将非负权重分配给图中的每个三角形，使得沿着每条边的权重之和精确地为1。我们证明了，对于$n$顶点上的任何图，至少$0.827327 n$允许一个分数三角分解。结合Barber，Kühn，Lo，和Osthus的结果，这意味着对于$n$顶点上的每一个具有最小度的足够大的三角形可分图，至少$0.82733 n$允许一个三角形分解.
2020-10-01 math.CO
On the maximum number of five-cycles in a triangle-free graph
利用Razborov的旗代数，我们证明了一个n个顶点的无三角形图最多包含（n/5）^5个长度为5的圈。它解决了肯定的一个猜想鄂尔多斯。
2012-04-03 math.CO
Spanning Triangle-trees and Flows of Graphs
本文研究了含有生成三角树的图的流性质。我们的主要结果提供了一个图的结构特征与生成三角树承认无处零$3$ -流。所有这些没有无处为零的$3$ -流的图都是通过所谓的牛生长操作从$K_4$构造的。这推广了Fan等人在2008年关于三角连通图的一个结果，并特别证明了每个具有生成三角树的$4$边连通图都有无处为零的$3$流. Jaeger在1979年给出的一个著名的经典定理证明了每个具有两个边不相交生成树的图都存在一个无处为零的$4$流。证明了具有两个边不相交生成三角树的图的流严格小于$3$。
2019-10-11 math.CO
Homothetic triangle representations of planar graphs
证明了平面图都是平面中位似三角形的交图。
2019-08-30 cs.DM math.CO
A density bound for triangle-free $4$-critical graphs
证明了所有无三角形的$4$ -临界图$G$都满足$e(G) \geq \frac{5v(G)+2}{3}$ .这一结果给出了无三角形可平面图是$3$ -列图，围长至少为5的嵌入射影平面、环面或Klein Bottle中的图是$3$ -列图的统一证明，这些结果是Grötzsch，Schlassen，Thomas和Walls的结果.我们的结果几乎是最好的，因为Davies已经构造了无三角形的$4$ -临界图$G$，使得$e(G) = \frac{5v(G) + 4}{3}$。为了证明这一结果，我们证明了一个更一般的结果特征稀疏$4$ -临界图与几个顶点不相交的三角形。
2022-06-30 math.CO
Quintic graphs with every edge in a triangle
我们证明了五次（即5-正则）重图的每条边都在三角形内。这样的图或者来自一组小图，或者通过将完美匹配添加到三次图的线图作为双边来形成，或者可以通过一系列操作来减少到这些图中的一个。
2021-07-08 math.CO
Triangle-Intersecting Families of Graphs
一个图族F称为三角形相交的，如果对F中的任意两个图G，H，G和H的交包含一个三角形。Simonovits和Sos在1976年的一个猜想指出，在一个固定的n个顶点的集合上的最大的三角形相交图族是通过固定一个特定的三角形并取所有包含它的图，得到一个大小为（1/8）2^{n choose 2}的图族。我们证明了这个猜想和一些推广（例如，我们证明了同样是真的奇循环相交的家庭，我们得到最好的可能界限的大小家庭根据不同的，不一定是统一的，措施）。我们还得到了稳定性结果，表明几乎最大的三角形相交的家庭有近似相同的结构。
2012-10-08 math.CO
