Volume constrained minimizers of the fractional perimeter with a potential energy
我们考虑分数周长的体积约束极小化器，其中增加了体积积分形式的势能。这样的最小化器是规定的分数曲率问题的解。在适当的势能假设下，我们证明了极小解的存在性和正则性。在小体积政权，我们表明，极小接近球，定量估计。
2016-02-27 math.AP
Fractional Perimeter and Nonlocal Minimal Surfaces
这篇硕士论文研究了s-分数周长的基本性质和相应的s-极小集的正则性理论。特别地，我们对Caffarelli，Roquejoffre和Savin的文章“Nonlocal极小曲面“中所包含的所有定理给出了充分详细的证明，其中这些s-极小集是第一次被引入和研究的。
2015-08-25 math.AP
Existence and almost everywhere regularity of isoperimetric clusters for fractional perimeters
证明了具有多个体积约束的分数阶等周问题极小解的存在性，并给出了一个部分正则性结果。
2016-05-18 math.AP math.OC
Fractional perimeters on the sphere
本文讨论球面上分数周长或$s$ -周长的几个问题。建立了球面分式等周不等式.事实证明，等式的情况正是球冠。进一步证明了分数周长收敛于表面积为$s \nearrow 1$。结果表明，它们的极限为$s \searrow -\infty$，可用体积表示.
2020-11-30 math.AP math.FA math.MG
Fractional perimeter from a fractal perspective
在\cite{Visintin}的基础上，利用集合的分数周长给出了集合的测度论边界的分维定义。我们计算的分形维数集，可以定义在一个递归的方式，我们给出了一些这样的集的例子，解释如何构建它们从众所周知的自相似分形。特别是，我们表明，在冯科赫雪花$S\subset\mathbb R^2$的情况下，这种分形维数符合闵可夫斯基维数，即\begin{equation*} P_s(S)<\infty\qquad\Longleftrightarrow\qquad s\in\Big(0,2-\frac{\log4}{\log3}\Big). \end{equation*}我们还研究了作为$s\to1^-$的分数周长的一组具有有限（经典）周长的渐近性。
2016-03-19 math.AP
A nonlocal approximation of the Gaussian perimeter: Gamma convergence and Isoperimetric properties
研究了高斯周长的非局部逼近，证明了Gamma收敛于局部逼近。令人惊讶的是，与局部设置相比，半空间原来是一个体积约束的驻点，当且仅当边界超平面通过原点。特别地，这意味着Ehrhard对称化通常可以增加所考虑的非局部高斯周长。
2020-11-15 math.AP
Minimization of a fractional perimeter-Dirichlet integral functional
我们考虑一个最小化问题，结合Dirichlet能量与非局部周长的水平集，即$$ \int_\Om |\nabla u(x)|^2\,dx+\Per\Big(\{u > 0\},\Om \Big),$$与$σ\in(0,1)$。我们得到的最小和他们的自由边界$\p \{u>0\}$使用爆破分析的正则性结果。我们还将给出密度估计、单调性公式、Euler-Lagrange方程和延拓问题的相关结果。
2013-06-22 math.AP
Anisotropic fractional perimeters
相对于凸体$K$的各向异性分数$s$ -周长在$\rn$中被示出为收敛到相对于$K$的矩体的各向异性周长为$s\to 1^-$。对$BV(\rn)$上的各向异性分数阶$s$ -范数建立了相应的结果（推广了Bourgain，Brezis & Mironescu和Dávila的结果）.证明了各向异性分数阶$s$ -等周不等式关于$K$的极小元收敛于$K$的矩体.建立了各向异性分数阶Sobolev不等式。
2013-06-06 math.AP math.FA math.MG
Convergence of supercritical fractional flows to the mean curvature flow
我们考虑一个核心半径的方法来管理的各向同性内核临界和超临界指数的非局部周长，扩展了当今经典的概念$s$ -分数周长，定义为$0<s<1$，的情况下$s\ge 1$ \，。我们发现，作为核心半径消失，这样的核心半径正则化$s$ -分数周长，适当缩放，$Γ$ -收敛到标准的欧几里得周长。在相同的尺度下，这种非局部周长的一阶变分给回正规$s$ -分数曲率，作为核心半径消失，收敛到标准的中曲率，因此，我们表明，水平集的解决方案，相应的非局部几何流，适当地重新参数化的时间，收敛到标准的中曲率流。最后，我们证明了类似的结果的情况下，各向异性内核与应用位错动力学。保留字：分数周长; $Γ$ -收敛;局部和非局部几何演化;黏性解;水平集公式;分数中曲率流;位错动力学
2021-02-25 math.AP
Sharp comparison between the perimeter and its fractional analogue in two dimensions
Ludwig-Maximilians Universität München（慕尼黑路德维希-马克西米利安大学）；Munich Center for Quantum Science and Technology（慕尼黑量子科学与技术中心）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
该研究证明在固定周长的平面集合中，任意阶分数阶周长以圆盘为最大，建立了尖锐比较结果。
2026-09-22 math.AP math.DG
Gamma-convergence as $s\to1^-$ of anisotropic nonlocal fractional perimeter functionals
本文研究了各向异性非局部 $s$-分数阶周长泛函当 $s\to1^-$ 时的 $Γ(L^1_{loc})$-收敛渐近行为，证明了其重新缩放后收敛到合适的各向异性周长，且该结论在 $\mathbb{R}^n$ 和具有 Lipschitz 边界的有界区域上均成立。
2025-09-17 math.AP
Existence of minimizers for a generalized liquid drop model with fractional perimeter
本文考虑了由分数周长和一般里斯位势组成的泛函的极小化问题，该泛函是Gamow液滴模型的推广。我们首先证明了存在极小值的任何体积，如果内核的里斯位势潜在的衰减速度比分数周长。其次，证明了当里斯位势的核在无穷远处为零时，任意体积的广义极小解的存在性。最后，我们研究了极小值的渐近行为时，体积趋于无穷大，我们证明了一个序列的极小收敛到欧几里德球的翻译，如果内核的里斯位势潜力衰减足够快。
2021-12-29 math.AP math.OC
On critical points of the relative fractional perimeter
研究了具有光滑边界的有界开集具有常非局部中曲率和预定小体积的集合的局部化问题，证明了它们{ \em充分接近}于适当的非局部势的临界点.然后我们考虑半空间中的分数周长。我们证明了在固定体积约束下极小元的存在性，给出了它的一些性质，如光滑性和对称性，是$x_N$方向上的图，并刻画了它与超平面$\{x_N=0\}$的相交.
2018-02-05 math.AP math.DG
Local minimizers and Gamma-convergence for nonlocal perimeters in Carnot Groups
我们证明了卡诺群的半空间的局部极小的一类非局部泛函通常称为非局部周长。此外，在一类Carnot群中，De Giorgi的可求直定理成立，我们提供了一个下界的$Γ$ -limif的重新标度的能量的水平周长。
2020-04-05 math.AP math.MG
Approximation of sets of finite fractional perimeter by smooth sets and comparison of local and global $s$-minimal surfaces
在本文的第一部分中，我们证明了一个集合$E$具有局部有限的$s$ -周长当且仅当它可以在适当的意义下被光滑开集近似。第二部分证明了局部和整体$s$ -极小集的存在性和紧性等基本性质。我们还比较了两个概念的极小（即本地和全球），表明在有界的开放集与Lipschitz边界，他们重合。然而，在一般情况下，这是不正确的无界开集，其中一个全球$s$ -最小集可能不存在（我们提供了一个例子的情况下，一个圆柱$Ω\times\mathbb{R}$）。
2016-12-25 math.AP
Sufficiently wide strips uniquely minimize the planar periodic fractional perimeter
Dong-A University（东亚大学）
该论文研究平面周期分数阶周长的极小化问题，证明足够宽的带状区域是唯一极小化者，并通过定量下界处理凹性困难，适用于任意非负可积剖面。
2026-09-29 math.AP
Stability of the ball in isoperimetric inequalities between two fractional perimeters
Università di Pisa（比萨大学）；Università degli Studi di Padova（帕多瓦大学）
研究在s-周长和t-周长之间等周不等式中，球作为近球集的局部极小值问题，通过将F函数表示为参数函数u的泛函，并证明其关于Sobolev范数的稳定性结果。
2026-05-08 math.AP
Periodic partitions with minimal perimeter
证明了在齐次度量测度空间中使一般周长泛函最小的基本区的存在性。在某些情况下，包括闭黎曼流形的泛覆盖中的通常周长，以及$\mathbb R^n$中的分数周长，我们可以证明极小域的正则性。作为我们的分析的副产品，我们得到的可数分区，这是最小的分数周长是局部有限的和定期的，扩展了以前已知的局部周长的结果。最后，在平面的情况下，我们提供了一个详细的描述的基本区是最小的一般各向异性周长。
2022-12-22 math.AP math.DG
Gamma-convergence of a nonlocal perimeter arising in adversarial machine learning
Hausdorff Center for Mathematics, University of Bonn（哈代尔夫数学中心、波恩大学）
本文证明了一种Minkowski型非局部周长在Gamma收敛意义下趋于局部各向异性周长，该非局部模型描述了二分类中对抗训练的正则化效应，仅假设分布具有有界BV密度，并应用于总变分、对抗训练渐近性和图离散化的收敛性分析。
2024-01-29 cs.LG math.AP math.OC
Asymptotics as $s \to 0^+$ of the fractional perimeter on Riemannian manifolds
研究完备黎曼流形上分数阶拉普拉斯算子及分数阶周长在 $s\to 0^+$ 时的渐近行为，揭示其与有界调和函数存在性的联系，并推广至一般完备流形。
2024-05-22 math.AP math.DG
The isoperimetric problem for nonlocal perimeters
考虑了一类非局部广义周长，它包括分数周长和Riesz型势。证明了这类泛函的一个一般等周不等式，并讨论了它的一些应用。特别是，我们证明存在的等周配置文件，在适当的假设下的相互作用内核。
2017-09-03 math.AP
Planelike minimizers of nonlocal Ginzburg-Landau energies and fractional perimeters in periodic media
在这里，我们考虑一个非局部的相变能量在周期性介质中，我们构造的解决方案，其接口位于从任何给定的超平面有界距离。这些解是周期的或准周期的，取决于法线方向对参考超平面的有理依赖性。值得注意的是，相对于参考超平面的界面的振荡是由一个普遍常数乘以介质的周期尺度所限定的。这种几何性质使我们能够在极限下证明周期结构中存在类平面非局部极小曲面。证明依赖于新的最优密度和能量估计。具体地说，粗略地说，相变最小化器的能量由一维过渡层的能量从上方和下方控制。
2018-02-05 math.AP
Stable solutions to the fractional Allen-Cahn equation in the nonlocal perimeter regime
研究了分数阶Allen-Cahn方程\linebreak $(-Δ)^{s/2} u = u-u^3$，$|u|<1$在$\mathbb{R}^n$中的稳定解.对于每一个$s\in (0,1)$和尺寸$n\geq 2$，我们建立尖锐的能量估计，密度估计，并收敛到稳定的非局部$s$ -最小锥的吹。由此，我们得到了一个新的分类结果：如果对$(n,s)$，有$n\ge 3$，超平面是$\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$中唯一稳定的非局部$s$ -极小锥，则分数阶Allen-Cahn方程在$\mathbb{R}^n$中的每个稳定解都是一维的，即其水平集是平行超平面.结合作者在最近的一篇文章中对$s\sim 1$的$\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$中的稳定$s$ -极小锥的分类，当算子的阶$s\in (0,1)$充分接近$1$时，我们对分数阶Allen-Cahn方程的$\mathbb{R}^3$中的“稳定性猜想”和$\mathbb{R}^4$中的“De Giorgi猜想”给出了肯定的回答.
2021-11-11 math.AP
Gamma-convergence of nonlocal energies for partitions
本文证明了由可测集划分定义的含广义表面张力系数的非局部泛函Gamma-收敛到以周长为模型的局部泛函，揭示了极限中的松弛过程及新效应。
2025-06-25 math.AP math.FA
On the asymptotic behaviour of nonlocal perimeters
我们研究了一类被称为非局部周长的积分泛函，直观地说，它表达了一个集合与其补集之间的加权相互作用。权重由可能是奇异的正内核K提供。在第一部分的文件中，我们表明，这些泛函确实是在广义上的周长，我们建立了相应的高原问题的极小的存在。此外，当K是径向和严格减少，我们证明了半空间是极小，如果我们规定平坦的边界条件。在第二部分的工作中讨论了伽玛收敛的结果。我们研究的限制行为的非局部周长与一定的重新缩放的一个给定的内核，具有快于L1衰减在无穷远，我们表明，伽玛极限是经典的周长，直到一个乘法常数，我们明确计算。
2018-02-07 math.AP
Regularity of sets of finite fractional perimeter and nonlocal minimal surfaces in metric measure spaces
本文在倍增度量测度空间中研究有限s-周长集合的正则性，给出周长有限性的充分条件并证明测度论边界的Hausdorff测度为零，同时推广非局部周长泛函并证明极小化子的存在性、一致密度性与多孔性。
2025-04-08 math.AP math.MG
A fractional isoperimetric problem in the Wiener space
我们介绍了分数周长的概念在一个抽象的维纳空间，我们表明，半空间是唯一的体积约束极小。
2014-07-21 math.AP
Flat flows of periodic Lipschitz subgraphs for generalized nonlocal perimeters
本文研究了周期性Lipschitz子图的平面流，证明其存在性和时间连续性，并展示了广义非局部周长的减少性质以及半空间作为极小值解和吸引子的作用。
2025-11-24 math.AP
The square sticky disk: crystallization and Gamma-convergence to the octagonal anisotropic perimeter
本文研究方形粘性圆盘能量，证明方形晶格极小元的结晶化，并显式计算其 Gamma-极限为八边形各向异性周长，推广了三角情形的能量分解方法。
2025-03-26 math-ph math.AP math.MP
$Γ$-convergence of some nonlocal perimeters in bounded subsets of $\mathbb{R}^n$ with general boundary conditions
我们建立了有界区域中描述非局部吸引相互作用的能量泛函的$Γ$ -收敛性。相互作用势在有界域上求解一个椭圆型方程（局部或非局部），我们的主要目的是研究势的边界条件对极限泛函的影响。我们考虑一般的Robin边界条件，其中包括Dirichlet和Neumann条件作为特例。根据椭圆算子的阶数，极限泛函包含通常的周长或某个分数周长。我们还考虑了$Γ$ -收敛的相关的能量泛函结合通常的周长功能和非局部排斥相互作用能。
2022-02-07 math.AP
Nonlocal minimal clusters in the plane
证明了在Dirichlet边界条件下，在给定的相数下，开集$Ω$的分划的存在性，使得所有相的分数周长之和最小.在两个维度，我们表明，如果分数参数$s$足够接近$1$，唯一的奇异最小锥，也就是说，唯一的最小分区不变的膨胀和奇点，是由三个半线满足$120$度。在分数周长加权和的情况下，我们证明存在唯一的具有三个相位的最小锥。
2020-04-23 math.AP
Minimization problems involving nonlocal functionals: nonlocal minimal surfaces and a free boundary problem
这篇博士论文致力于分析一些涉及非局部泛函的极小化问题。我们主要研究了$s$ -分数周长及其极小化子，即$s$ -极小集.研究了具有（局部）有限分数周长的集合的行为，建立了（局部）$s$ -极小集的存在性和紧性结果。我们研究的$s$ -最小集高度非局部制度，对应于小值的分数参数$s$。我们介绍了一个功能框架，研究这些$s$ -最小集，可以在全球范围内写为子图。特别是，我们证明了存在性和唯一性的结果极小的分数版本的经典面积泛函，我们显示之间的等价性极小和各种概念的解决方案的分数中曲率方程。我们还证明了一个平坦性的结果，整个非局部极小图有一些偏导数有界的上方或下方。此外，我们考虑一个自由边界问题，它包括在一个功能定义为一个非局部能量的总和，加上经典的周长的最小化。关于这个问题，我们证明了能量的一致估计，并研究了极小元的爆破序列，特别是建立了Weiss型单调性公式。
2018-11-24 math.AP
An isoperimetric problem with a competing nonlocal singular term
在本文中，我们调查的最小化的功能，其中通常的周长是竞争的非局部奇异项可比（但不一定等于）的分数周长。这个问题的动机是一个细胞运动模型介绍了一些以前的工作由第一作者。我们建立了几个事实的整体极小体积约束。特别是，我们证明了极小存在，是径向对称的小质量，而极小不能径向对称的大质量。对于大质量，我们证明，最小化序列分裂成更小的集合，漂移到无穷大或开发指定宽度的手指。最后，我们将这两个替代品连接到一个经典插值不等式（分数周长的Gagliardo-Nirenberg型不等式）中的最佳常数的相关最小化问题。
2020-09-08 math.AP
Lattice tilings minimizing nonlocal perimeters
本文证明了在一般非局部周长泛函下，周期镶嵌的最小化存在性，通过将最优分割问题转化为等周问题并利用紧致性论证，同时探讨了平面六边形镶嵌的最优性。
2023-10-02 math.AP
Non-Local Isoperimetric Problems
我们刻画了由$t$ -周长和$s$ -周长之差给出的非局部自由能的体积约束极小元，其中$s$小于$t$ .利用定量分数等周不等式，我们表明，球是唯一的极小，如果体积是足够小的，取决于$t-s$，而存在与不存在的极小大体积仍然开放。我们还考虑了相应的等周问题，证明了所有$s,\,t$极小解的存在性和正则性。当$s=0$这个问题减少到分数等周问题，这是众所周知的，球是唯一的极小。
2014-06-29 math.AP
Boxing inequalities for relative fractional perimeter and fractional Poincaré-type inequalities on John domains with the BBM factor
Key Laboratory of Computing and Stochastic Mathematics (Ministry of Education), School of Mathematics and Statistics, Hunan Normal University（湖南师范大学数学与统计学院计算与随机数学教育部重点实验室）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文针对s-John域证明了带BBM因子的相对分数阶周长Boxing不等式及其泛函形式，推导了对应分数阶Poincaré型系列不等式，验证了John域条件的最优性，相关结果在Lipschitz域上也属全新。
2026-04-23 math.AP math.CV math.FA
A Boxing Inequality for the Fractional Perimeter
本文证明了分数阶周长的 Boxing 不等式，并据此推导出分数阶 Sobolev 空间中的迹不等式，统一包含 Sobolev 嵌入、Lorentz 空间改进及 Hardy 不等式，且在 $\alpha$ 趋于 $0$ 和 $1$ 时保持适当渐近性并恢复经典一阶不等式。
2018-02-28 math.AP math.FA
A nonlocal free boundary problem
给定$s,σ\in(0,1)$和一个有界区域$Ω\subset\R^n$，我们考虑如下$s$ + $σ$ -perimeter型$$ [u]_{ H^s(\R^{2n}\setminus(Ω^c)^2) } + \Per_σ\left(\{u>0\},Ω\right), $$极小化问题，其中$[ \cdot]_{H^s}$是分数Gagliardo算子，$\Per_σ$是分数周长.除其他结果外，我们证明了极小值的单调性公式、胶合引理、一致能量界、收敛结果、平面锥的正则性理论以及平坦情况的平凡化结果。几个经典的自由边值问题是本文所考虑的自由边值问题的极限情形，如$s\nearrow1$，$σ\nearrow1$或~ $σ\searrow0$ .
2015-10-01 math.AP
Large-volume fractional isoperimetry on products of closed manifolds and Euclidean spaces
Dong-A University（东亚大学）
本文证明在闭流形与欧氏空间乘积上，当体积足够大时直圆柱唯一极小化分数周长，并给出周长亏损对偏差的控制，方法结合谱约化与切片重排。
2026-10-07 math.AP math.DG
Gamma convergence of an energy functional related to the fractional Laplacian
证明了一类能量泛函的Gamma收敛结果，该能量泛函与Laplacian算子的某些分数阶幂有关，具有两个奇异扰动（一个在内部，一个在边界）.
2009-01-10 math.AP
$Γ$-convergence for higher order nonlocal phase transitions
University of Western Australia（西澳大学）；Bocconi University（博科尼大学）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进会数学研究所）
该文研究高阶非局部相变能量泛函的$\Gamma$-收敛，证明当$0<s<3/4$时一阶变分贡献消失，极限为经典或分数阶周长，推翻曲率项预期。
2025-10-27 math.AP
One dimensional fractional order $TGV$: Gamma-convergence and bilevel training scheme
在一维情形下，提出了新的分数阶$r$ -型，$TGV^r$，$r\in \mathbb R$，$r\geq 1$，作为整数阶$TGV^k$ -型，$k\in\mathbb{N}$的推广.分数阶$r$-$TGV^r$ -正态分布介于整数阶$TGV^k$ -正态分布之间.提出了一种双层训练方案，其中在框约束下，同时进行参数和推导顺序的优化。利用$Γ$ -收敛性证明了双层训练方案解的存在性。最后，数值景观的费用函数相关的双层培训计划进行了讨论的两个数值例子。
2017-10-09 math.AP
On the Shape of Small Liquid Drops Minimizing Nonlocal Energies
本文研究势能作用下分数周长极小化问题中小液滴的平衡形状，并通过定量估计证明小体积极小元具有凸性且一致逼近球体。
2023-04-13 math.AP
Density estimates and the fractional Sobolev inequality for sets of zero $s$-mean curvature
本文证明了具有零 $s$-平均曲率的局部有限周长集合满足表面密度估计，并由此推出分数阶 Sobolev 不等式在其边界上成立。
2024-06-07 math.AP
Gamma convergence and asymptotic behavior for eigenvalues of nonlocal problems
本文利用伽玛收敛方法分析了几个分数阶本征值问题的渐近性态。这种方法使我们能够在一个统一的框架下处理不同的本征值问题。当分数参数$s$变为1时，我们能够恢复$p-$分数拉普拉斯算子的特征值的行为的一些已知结果，并且当$p$变为$\infty$时，我们能够扩展相同本征值问题的行为的一些已知结果.最后，我们分析了其他本征值问题以前没有在文献中。
2019-12-04 math.AP
Optimizers for the finite-rank fractional Lieb--Thirring inequality
Key Laboratory of Algebraic Lie Theory and Analysis of Ministry of Education, School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（教育部代数李理论与分析重点实验室，北京理工大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）
该研究针对有限秩分数阶Lieb-Thirring不等式，证明其优化器存在性，刻画优化谱性质，推导归一化最大化序列预紧性与最优常数绑定不等式，明确最优常数无法由有限负特征值势达到。
2026-10-16 math.AP
Subcritical approximation of a Yamabe type non local equation: a Gamma-convergence approach
利用$Γ$ -收敛技巧，研究了分数索伯列夫空间$H^s$中Sobolev商的次临界Sobolev嵌入对任意$0<s<N/2$的自然逼近.我们发现，对于这样的近似，最佳的功能总是存在的，并表现出集中效应的$H^s$能量在一个点。
2013-06-28 math.AP
Lipschitz regularity of fractional $p$-Laplacian
Indian Institute of Science Education and Research-Pune（印度科学教育与研究学院-浦那）；Instituto de Matemáticas, Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学数学研究所）
本文研究分数阶$p$-拉普拉斯方程的 Hölder 正则性，证明了不同参数条件下解的局部 Hölder 或利普希茨连续性，并讨论了分数阶双相问题的进一步正则性结果。
2026-10-16 math.AP
Non-local singular perturbations of non-convex functionals -- recent results
University of Rome Tor Vergata（罗马托维加塔大学）
本文研究非局部奇异扰动与非凸泛函的近期成果，探讨了分数阶和高阶半范数在相变和自由间断问题中的应用，结合了极限分析与Gamma展开理论。
2026-01-13 math-ph math.AP math.MP
