闭流形与欧氏空间乘积上的大体积分数等周问题
Large-volume fractional isoperimetry on products of closed manifolds and Euclidean spaces
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中文总结 AI 辅助
本文证明在闭流形与欧氏空间乘积上，当体积足够大时直圆柱唯一极小化分数周长，并给出周长亏损对偏差的控制，方法结合谱约化与切片重排。
中文摘要 AI 辅助
设 $M$ 为闭连通黎曼流形，$\u0024\mathcal P_s$\u0024 为通过其热半群定义的 $M\times\mathbb R^k$ 上的分数周长，其中 $k\ge1$，$0<s<1$。我们证明，当 $R\sqrt{\lambda_1(M)}$ 至少达到一个仅依赖于 $k$ 和 $s$ 的显式阈值时，直圆柱 $M\times B_R$（其中 $B_R\subset\mathbb R^k$ 为半径 $R$ 的球）在所有同体积可测集（在 $\mathbb R^k$ 平移和零集意义下）中唯一极小化 $\mathcal P_s$。这里 $\lambda_1(M)$ 是 $M$ 上非负 Laplace--Beltrami 算子 $-\Delta_M$ 的第一个正特征值。在更大的阈值下，周长亏损同时控制切片体积与其均值的偏差以及相对于直圆柱的不对称性的平方。对于平坦环面，这给出了周期分数周长下直圆柱的大体积唯一性，包括每个环境维度中的单周期集。证明结合了 $M$ 上的谱约化、欧氏切片的重新排列，以及交互增益与凹性损失之间的一元比较。
英文摘要
Let $M$ be a closed connected Riemannian manifold and let $\mathcal P_s$ be the fractional perimeter on $M\times\mathbb R^k$ defined through its heat semigroup, where $k\ge1$ and $0<s<1$. We prove that the straight cylinder $M\times B_R$, with $B_R\subset\mathbb R^k$ a ball of radius $R$, uniquely minimizes $\mathcal P_s$ among all measurable sets of the same volume, up to translations in $\mathbb R^k$ and null sets, whenever $R\sqrt{λ_1(M)}$ is at least an explicit threshold depending only on $k$ and $s$. Here $λ_1(M)$ is the first positive eigenvalue of the nonnegative Laplace--Beltrami operator $-Δ_M$ on $M$. Under a larger threshold, the perimeter deficit controls both the deviation of the slice volumes from their mean and the square of the asymmetry relative to straight cylinders. For flat tori this gives large-volume uniqueness of straight cylinders for the periodic fractional perimeter, including singly periodic sets in every ambient dimension. The proof combines spectral reduction on $M$ with rearrangement of the Euclidean slices and a one-variable comparison between an interaction gain and a concavity loss.
发表机构
- Dong-A University（东亚大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
