Reifenberg flatness for almost-minimizers of the perimeter under minimal assumptions
本文的目的是证明在极小性概念很弱的情况下，周长的几乎极小元是Reifenberg平坦的。主要的观察结果是，在某种尺度上的小的过剩意味着在所有更小的尺度上的小的过剩。
2021-06-17 math.AP
Two characterization of BV functions on Carnot groups via the heat semigroup
本文利用热半群的短时性，给出了卡诺群中有限周长集和有界变差函数的两种不同的刻画，类似于欧几里得空间中的刻画.第二个成立的假设下，减少边界的一组有限的周长是可求长的，目前已知的结果在步骤2卡诺集团。
2011-07-20 math.AP math.FA
A Bourgain-Brezis-Mironescu-Dávila theorem in Carnot groups of step two
本文在任意卡诺群的第二步$\mathbb{G}$中证明了下列定理：\[ \underset{s\nearrow 1/2}{\lim} (1 - 2s) \mathfrak P_{H,s}(E) = \frac{4}{\sqrt π}\ \mathfrak P_H(E). \]这里，$\mathfrak P_H(E)$表示可测集$E\subset \mathbb{G}$的水平周长，而非局部水平周长$\mathfrak P_{H,s}(E)$是一个基于热的Besov矩阵.这一结果代表了Bourgain-Brezis-Mironescu和Dávila的一个著名刻画的无量纲次黎曼对应。
2020-07-18 math.AP
Lipschitz regularity for almost minimizers of a one-phase $p$-Bernoulli-type functional in Carnot Groups of step two
本文在二阶Carnot群中研究单相p-Bernoulli型泛函的几乎极小元，证明当p大于临界指数2Q/(Q+2)时，几乎极小元关于Carnot-Carathéodory距离局部Lipschitz连续，从而在欧氏意义下具有Hölder连续正则性。
2024-06-24 math.AP
Minimizers of anisotropic perimeters with cylindrical norms
我们研究了$Φ$ -周长的极小元的各种正则性质，其中$Φ$是一个范数。在适当的关于$Φ$和周围空间维数的假设下，证明了Carnival极小元的边界是小豪斯多夫维数的闭奇异集上的局部Lipschitz图.此外，我们还证明了如下各向异性Bernstein型结果：任何整carnival极小是一个只依赖于一个变量的单调函数的子图。
2016-04-01 math.AP math.FA
Existence of minimizers for a generalized liquid drop model with fractional perimeter
本文考虑了由分数周长和一般里斯位势组成的泛函的极小化问题，该泛函是Gamow液滴模型的推广。我们首先证明了存在极小值的任何体积，如果内核的里斯位势潜在的衰减速度比分数周长。其次，证明了当里斯位势的核在无穷远处为零时，任意体积的广义极小解的存在性。最后，我们研究了极小值的渐近行为时，体积趋于无穷大，我们证明了一个序列的极小收敛到欧几里德球的翻译，如果内核的里斯位势潜力衰减足够快。
2021-12-29 math.AP math.OC
Minimizers for nonlocal perimeters of Minkowski type
我们研究了一个非局部的周边功能的启发Minkowski内容，其主要特点是，它插值之间的经典周长和体积功能。这个问题是由一个广义的coarea公式的Dirichlet能量泛函，其中的能量密度是一个函数的局部振荡。这两个非局部泛函出现在具体的应用中，因为问题的非局部特征和能量在不同尺度上的不同行为允许在去除白噪声的过程中保留图像的细节和不规则性，从而在不丢失相关特征的情况下提高图像的质量。本文给出了极小解的存在性、刚性和分类、紧性结果、等周不等式、Poincaré-Wirtinger不等式和密度估计等一系列结果.此外，我们提供了一个小的和周期性的体积扰动下，这个广义周长的类平面极小的建设。
2018-03-03 math.AP
Nonexistence of Minimizers for a Nonlocal Perimeter Functional with a Riesz and a Background Potential
考虑了在体积约束下，含$N\geq2$的$\mathbb{R}^N$中，能量包含非局部周长和一般核$K$，里斯位势和背景势的极小解的不存在性.我们表明，能量有足够大的质量下适当的假设$K$没有极小。证明是基于一个极小的分区和比较的能量的总和为每个部分的原始配置的能量。这一战略见[R. A.弗兰克河Killip，P.T. Nam，2016]和[D.A. La Manna，2018]
2019-10-03 math.AP math.OC
Non-local planelike minimizers and $Γ$-convergence of periodic energies to a local anisotropic perimeter
The University of Western Australia（西澳大学）
本文研究了非局部界面能量的同调问题，证明了平面状极小解的存在性，并展示了能量序列Γ收敛到局部各向异性周长。
2026-01-16 math.AP math.DS
Isoperimetric problems for a nonlocal perimeter of Minkowski type
证明了Minkowski型非局部周长的等周不等式的一个定量形式。我们也将这个结果应用于研究在凸性约束下具有排斥相互作用项的等周问题。我们证明了极小的存在性，并描述了极小的形状在一定的参数制度。
2017-09-25 math.AP
Existence and regularity of minimizers for some spectral functionals with perimeter constraint
本文证明了形状最优化问题$$\min\left\{λ_k(Ω):\ Ω\subset\R^d,\ Ω \hbox{open},\ P(Ω)=1,\ |Ω|<+\infty\right\},$$对任意$k\in\N$和维数$d$都有解。而且，每个解都是一个有界连通开集，其边界是在Hausdorff维数闭集$d-8$之外的$C^{1,α}$.我们的结果是更一般的，并适用于谱泛函的形式$f(λ_{k_1}(Ω),\dots,λ_{k_p}(Ω))$，增函数$f$满足一些适当的bi-Lipschitz型条件。
2013-09-30 math.AP
A Halfspace Theorem for Global Anisotropic Perimeter Minimizers
Hunan University（湖南大学）
该研究证明了两类各向异性半空间定理，分别针对三维偶积分元对应的各向极小曲面与任意维数的全局各向异性周长极小化子，为相关几何分析问题提供了关键理论支撑。
2026-09-07 math.AP
Critical concave-convex problems in Carnot groups
Università di Bologna（博洛尼亚大学）
研究Carnot群中具有凹凸和临界非线性的Dirichlet问题，利用变分Perron方法和Sobolev不等式的极小函数估计，证明存在两个正解。
2026-04-16 math.AP
Planelike minimizers of nonlocal Ginzburg-Landau energies and fractional perimeters in periodic media
在这里，我们考虑一个非局部的相变能量在周期性介质中，我们构造的解决方案，其接口位于从任何给定的超平面有界距离。这些解是周期的或准周期的，取决于法线方向对参考超平面的有理依赖性。值得注意的是，相对于参考超平面的界面的振荡是由一个普遍常数乘以介质的周期尺度所限定的。这种几何性质使我们能够在极限下证明周期结构中存在类平面非局部极小曲面。证明依赖于新的最优密度和能量估计。具体地说，粗略地说，相变最小化器的能量由一维过渡层的能量从上方和下方控制。
2018-02-05 math.AP
Mean value formulas for classical solutions to some degenerate elliptic equations in Carnot groups
证明了具有Hölder连续系数的散度型一致椭圆型方程的经典解的面积和体积平均值公式.积分中出现的核由与伴随微分算子相关的基本解的水平集和超水平集支持。然后，我们将上述公式推广到Carnot群上的一些次椭圆算子。在这种情况下，我们依赖于分层李群上的有限周长理论。
2022-06-29 math.AP
Convexity of the free boundary for an exterior free boundary problem involving the perimeter
证明了如果给定的紧集$K$是凸的，则泛函$$ I(v)=\int_{B_R} |\nabla v|^p dx+\text{Per}(\{v>0\}),\,1<p<\infty, $$在集合$\{v\in H^1_0(B_R)|\,\, v\equiv 1\,\,\text{on}\,\, K\subset B_R\}$上的极小元有凸支撑，从而其所有水平集也是凸的.我们推导了极小值的自由边界条件，并证明了自由边界是解析的，极小值是唯一的。
2010-10-14 math.AP
Sets with constant normal in Carnot groups: properties and examples
我们分析卡诺群的子集，具有内在的常数正常的，因为它们出现在爆破研究的集合，有有限的子黎曼周长。本文件有三个目的。首先，我们证明了任意Carnot群中的一些弱正则性和结构性结果。也就是说，我们证明了，对于卡诺群中的每一个常正规集，它的次黎曼-勒贝格代表是正则开的，可收缩的，并且它的拓扑边界与约化边界和测度论边界重合。我们从锥的性质推断出这些性质。这样的锥将是一个具有非空内部的半群，它与法线方向正则相关。我们的特点是常数正规集正是那些任意工会的翻译，这样的半子群。其次，利用这样的表征，我们提供了一些病理的例子，在特定情况下的自由卡诺集团的步骤3和秩2。也就是说，我们构造了一个常数正规集，相对于任何黎曼度量，不是局部有限周长;我们还构造了一个例子，在某些点上具有非唯一的内禀爆破，表明它在原点具有不同的上下子黎曼密度。第三，我们表明，在卡诺集团的步骤4或更少，每一个常数正规集是内在可求长，在这个意义上的弗兰基，塞拉皮奥尼，和塞拉卡萨诺。
2019-10-26 math.AP math.DG math.GR
The Aronsson equation for absolute minimizers of $L^\infty$-functionals associated with vector fields satisfying Hörmander's condition
给定一个由满足Hörmander条件的向量场$\{X_i\}_{i=1}^m$生成的Carnot-Carathéodory度量空间$(R^n, d_{\hbox{cc}})$，我们在定理A中证明了在$f$上的适当条件下，任何绝对极小元$u\in W^{1,\infty}_{\hbox{cc}}(\Om)$到$F(v,\Om)=\sup_{x\in\Om}f(x,Xv(x))$是Aronsson方程（1.6）的粘性解.特别地，任何AMLE都是次椭圆$\infty$ -拉普拉斯方程（1.7）的粘性解。若Carnot-Carathédory空间是一个Carnot群${\bf G}$，且$f$与$x$ -变量无关，则在定理C中我们证明了在适当的条件下，Aronsson方程（1.13）在$f$上粘性解的唯一性.因此，在${\bf G}$中建立了次椭圆$\infty$ -Laplacian方程的AMLE解和粘性解的唯一性
2003-07-14 math.AP
On the shape of minimizers for the periodic nonlocal perimeter in $\mathbb{R}^2$
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究了二维周期非局部周长极小解的形状，通过分支分析和计算证明非局部Delaunay集在特定条件下不稳定，并支持极小解在大区域范围内为直线带的猜想。
2026-02-20 math.AP
Second order expansion for the nonlocal perimeter functional
Bourgain、Brezis、Mironescu和Dávila的开创性结果表明，经典周长可以近似为一族非局部周长泛函。我们考虑相应的二阶展开的非局部周边功能。在一个特殊的情况下，考虑家庭的能量也是相关的变分模型的铁磁薄膜。我们得到了这些泛函的Gamma极限。我们还证明了具有规定体积分数的极小元的存在性。对于小的体积分数，唯一的，直到平移，极限能量的极小值是由球。该分析是基于相关的对称自相关函数的系统开发。
2021-10-24 math.AP
Approximation by BV-extension sets via perimeter minimization in metric spaces
该研究在度量测度空间中证明有界区域可由内部闭BV-延拓集测度逼近，通过最小化周长与差集测度之和构造延拓集，并给出PI-空间中极小元开代表元非BV-延拓域且非局部John域的例子。
2023-05-04 math.AP math.FA math.MG
Regularity of sets of finite fractional perimeter and nonlocal minimal surfaces in metric measure spaces
本文在倍增度量测度空间中研究有限s-周长集合的正则性，给出周长有限性的充分条件并证明测度论边界的Hausdorff测度为零，同时推广非局部周长泛函并证明极小化子的存在性、一致密度性与多孔性。
2025-04-08 math.AP math.MG
Minimization of the buckling load of a clamped plate with perimeter constraint
本文研究任意维度下带周长约束的屈曲载荷最小化问题，证明二维最小化板为凸集，高维最优集合为开连通集，并证明高阶特征值在指定周长的凸集族中存在最小化子。
2023-07-06 math.AP math.OC
A nonlocal isoperimetric problem with density perimeter
在体积约束下，考虑了由密度周长和指数为$α$的Riesz型非定域相互作用之和给出的能量泛函的极小化问题，其中非定域相互作用的强度由参数$γ$控制.我们表明，对于广泛的一类密度函数的能量承认一个极小值的$γ$。此外，这些极小是有界的。对于$|x|^p$形式的单式密度，我们证明了当$γ$足够小时，唯一极小元由固定体积的球给出.与恒定密度的情况相反，在适当的重新缩放下，这里的$γ\to 0$极限对应于当$p<d-α+1$时的小质量$m=|Ω|\to 0$极限，而对于功率$p>d-α+1$则对应于大质量$m\to\infty$。
2020-10-14 math.AP
Non-Local Isoperimetric Problems
我们刻画了由$t$ -周长和$s$ -周长之差给出的非局部自由能的体积约束极小元，其中$s$小于$t$ .利用定量分数等周不等式，我们表明，球是唯一的极小，如果体积是足够小的，取决于$t-s$，而存在与不存在的极小大体积仍然开放。我们还考虑了相应的等周问题，证明了所有$s,\,t$极小解的存在性和正则性。当$s=0$这个问题减少到分数等周问题，这是众所周知的，球是唯一的极小。
2014-06-29 math.AP
Sharp Poincaré inequalities for the logarithmic smoothness of the Gauss map on hypersurfaces
A. Mas 1,2 1 Departament de Matem\`atiques, Universitat Polit\`ecnica de Catalunya, Campus Diagonal Bes\`os, Edifici A (EEBE), Av. Eduard Maristany 16, 08019 Barcelona, Spain 2 Centre de Recerca Matem\`atica, Edifici C, Campus Bellaterra, 08193 Bellaterra, Spain
该研究针对ℝ^d中有界开集边界上的高斯映射，建立了p=1、2时Gagliardo半范数端点s=0对应的几何泛函的严格下界，证明球是唯一极小化子，并给出其在s>0分数阶情形的应用。
2026-11-04 math.AP
Calibrations and null-Lagrangians for nonlocal perimeters and an application to the viscosity theory
对于非负偶核$K$，我们考虑作用于集合的$K$ -非局部周边泛函。假设存在一个由开集$Ω\subset\mathbb{R}^n$中的相关$K$ -非局部中曲率方程的解构成的空间叶理，我们建立了$Ω\subset\mathbb{R}^n$内部非局部周长的校准。校准泛函是一个非局部零拉格朗日。因此，我们得出的最小值在$Ω$的每一片叶的叶理。作为应用，我们证明了$K$ -非局部极小图的极小性，并且证明了它们是唯一的极小者。作为校准的第二个应用程序，我们给出了一个简单的证明的一个重要结果，从开创性的文件的Caffarelli，Roquejoffre，和Savin，说明极小的分数周长是黏性解。
2020-01-27 math.AP
Existence and almost everywhere regularity of isoperimetric clusters for fractional perimeters
证明了具有多个体积约束的分数阶等周问题极小解的存在性，并给出了一个部分正则性结果。
2016-05-18 math.AP math.OC
Uniform $C^{1,α}$-regularity for almost-minimizers of some nonlocal perturbations of the perimeter
本文研究周长非局部扰动泛函的几乎极小元正则性，建立了参数ε趋于0时一致的C¹,ᵅ正则性判据，证明小ε下体积约束极小元为球，适用于强非局部相互作用的Gamow型大质量问题。
2024-09-13 math-ph math.AP math.MP
An isoperimetric problem with a competing nonlocal singular term
在本文中，我们调查的最小化的功能，其中通常的周长是竞争的非局部奇异项可比（但不一定等于）的分数周长。这个问题的动机是一个细胞运动模型介绍了一些以前的工作由第一作者。我们建立了几个事实的整体极小体积约束。特别是，我们证明了极小存在，是径向对称的小质量，而极小不能径向对称的大质量。对于大质量，我们证明，最小化序列分裂成更小的集合，漂移到无穷大或开发指定宽度的手指。最后，我们将这两个替代品连接到一个经典插值不等式（分数周长的Gagliardo-Nirenberg型不等式）中的最佳常数的相关最小化问题。
2020-09-08 math.AP
Symmetry of minimizers of a Gaussian isoperimetric problem
研究了由标准高斯周长和重心范数组成的泛函所描述的等周问题。这第二项具有排斥效应，它与周长竞争。正因为如此，一般来说，解决方案不是半空间。我们的特点是所有的极小这个功能，当体积接近1，证明极小是半空间或对称带，这取决于排斥项的强度。作为推论，我们得到当体积接近于1时，对称带是对称集之间高斯等周问题的解。
2018-05-08 math.AP math.PR
Lipschitz approximation of almost $\mathbb G$-perimeter minimizing boundaries in plentiful groups
本文证明丰富群中内蕴周长几乎最小化边界可由内蕴Lipschitz图逼近，首次将正则性理论推广至Heisenberg群之外。
2023-12-24 math.AP math.DG
Large mass minimizers for isoperimetric problems with integrable nonlocal potentials
本文研究了由伽莫夫液滴模型导出的体积约束极小化问题，其中包含了周长项和排斥非定域势的竞争.我们考虑了一大类势，由在$\mathbb{R}^n$上可积的一般径向非负核给出，如Bessel势，并研究了大质量问题的行为（即，卷）。与小质量的情况相反，非局部项与周长相比变得可以忽略不计，而这里的非局部项与周长相比爆炸了。然而，利用这些核的可积性，我们将问题重写为经典周长和非局部周长之间的差的最小化，随着质量趋于无穷大，它收敛于经典周长的倍数。重整到一个固定的体积，我们表明，如果内核的第一时刻小于一个明确的阈值，这个问题承认极小的任意大的质量，这与通常情况下的里斯位势。此外，我们证明了，任何序列的极小收敛到球的质量趋于无穷大。最后，我们研究了球的稳定性，并表明我们的阈值上的核的第一时刻是尖锐的，在这个意义上，大球从稳定到不稳定。一个直接后果的不稳定性大球以上的这个阈值是，存在非平凡的紧支撑的内核的问题承认极小不是球，也就是说，对称性破缺发生。
2021-05-03 math-ph math.AP math.MP
Shapes of drums with lowest base frequency under non-isotropic perimeter constraints
研究了平面Jordan域类中负Laplacian的主Dirichlet特征值与周长之和关于一般范数的极小元。这等同于（模缩放）使所述特征值（或这种形状的鼓的基频）最小化，其受到对周边的硬约束。我们表明，对于所有的规范，存在一个极小，是唯一的空间平移，是凸的，但不一定光滑。我们给条件的规范，表征外观的小平面和角落。我们还证明了近极小必须接近Hausdorff距离中的最优极小。我们的动机考虑这一类的变分问题来自于研究随机游动在随机环境中相互作用，通过边界的支持。
2016-03-12 math-ph math.AP math.MP
Connected Coulomb Columns: Analysis and Numerics
我们考虑了一个具有短程吸引周长惩罚势和长程库仑相互作用的伽莫夫液滴模型的一个版本的均匀带电质量在$\R^3$。在这里，我们约束自己，以最小化一类形状是柱状的，即，在一个空间方向上是恒定的。在能量中使用标准周长将导致由于在恒定空间方向上的无限质量而不存在任何规定的横截面积。为了弥补这一缺陷，我们使用连接的周边代替。我们证明了这个具有长程相互作用的连通等周问题极小解的存在性，并研究了极小解在小和大截面区域的形状。对于一个中间区域，我们使用了一个Ohta-Kawasaki相场模型与连通性约束的数值研究极小的形状。
2020-06-30 math.AP
Minimization of a fractional perimeter-Dirichlet integral functional
我们考虑一个最小化问题，结合Dirichlet能量与非局部周长的水平集，即$$ \int_\Om |\nabla u(x)|^2\,dx+\Per\Big(\{u > 0\},\Om \Big),$$与$σ\in(0,1)$。我们得到的最小和他们的自由边界$\p \{u>0\}$使用爆破分析的正则性结果。我们还将给出密度估计、单调性公式、Euler-Lagrange方程和延拓问题的相关结果。
2013-06-22 math.AP
Flat flows of periodic Lipschitz subgraphs for generalized nonlocal perimeters
本文研究了周期性Lipschitz子图的平面流，证明其存在性和时间连续性，并展示了广义非局部周长的减少性质以及半空间作为极小值解和吸引子的作用。
2025-11-24 math.AP
A nonlocal isoperimetric problem with dipolar repulsion
本文研究了一个几何变分问题，它是在一个质量约束下，周长与正则偶极相互作用相互竞争的平面上的集合。与以前研究的非局部等周问题相反，这里的非局部项渐近本地化，并有助于周长项领先的顺序。我们建立了广义极小值的偶极强度，质量和正则化截断的所有值的存在性，并给出了经典极小值的存在条件。对于亚临界偶极强度，我们证明了限制功能是一个重整化周长，并为小的截止长度的所有质量约束极小化磁盘。对于临界偶极强度，我们确定了下一阶$Γ$ -极限时，发送的截止长度为零，并证明了偶极核有轻微的修改存在的经典极小不是磁盘的群众。
2018-08-28 cond-mat.mes-hall math-ph math.AP
Minimization problems involving nonlocal functionals: nonlocal minimal surfaces and a free boundary problem
这篇博士论文致力于分析一些涉及非局部泛函的极小化问题。我们主要研究了$s$ -分数周长及其极小化子，即$s$ -极小集.研究了具有（局部）有限分数周长的集合的行为，建立了（局部）$s$ -极小集的存在性和紧性结果。我们研究的$s$ -最小集高度非局部制度，对应于小值的分数参数$s$。我们介绍了一个功能框架，研究这些$s$ -最小集，可以在全球范围内写为子图。特别是，我们证明了存在性和唯一性的结果极小的分数版本的经典面积泛函，我们显示之间的等价性极小和各种概念的解决方案的分数中曲率方程。我们还证明了一个平坦性的结果，整个非局部极小图有一些偏导数有界的上方或下方。此外，我们考虑一个自由边界问题，它包括在一个功能定义为一个非局部能量的总和，加上经典的周长的最小化。关于这个问题，我们证明了能量的一致估计，并研究了极小元的爆破序列，特别是建立了Weiss型单调性公式。
2018-11-24 math.AP
A note on Bernoulli type free boundary problem on collapsed RCD(K,N)-spaces
School of Mathematical Sciences, and Institute of Natural Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院，自然科学研究院）
本文研究了坍缩RCD(K,N)-空间上的伯努利型自由边界问题，证明了极小解的存在性及其局部Lipschitz连续性，并展示了自由边界具有局部有限perimeter。
2025-11-24 math.AP math.MG
Slow motion for the nonlocal Allen-Cahn equation in n-dimensions
本文研究了有界区域$Ω\subset \mathbb{R}^n$中非局部Allen-Cahn方程解的慢运动，其中对$n > 1$ .初始数据被假定为接近一个配置，其接口分离的状态最小化的表面积（或周长），本地和全球的周长最小化考虑。推导了界面在时间尺度$\varepsilon^{-1}$上的演化规律，其中$\varepsilon$为相互作用长度参数。关键的工具是一个二阶$Γ$ -收敛分析的能量泛函，它提供了尖锐的能量估计。本文对整环的等周函数导出了新的正则性结果。证明了Cahn-Hilliard方程的解在接近全局周长极小点处开始慢运动。
2015-12-05 math.AP
Minimality of polytopes in a nonlocal anisotropic isoperimetric problem
我们考虑在体积约束下，由晶体周长和Riesz型非局部相互作用之和给出的能量泛函的最小化。我们表明，在小质量制度，如果各向异性周长的武尔夫形状具有一定的对称性，那么它是唯一的总能量的全局极小。在二维中，这适用于相对于角的平分线反射对称的凸多边形。我们进一步证明了一个刚性的结构的（局部）极小在二维。
2021-04-01 math.AP
Large volume minimizers of a non local isoperimetric problem: theoretical and numerical approaches
我们考虑周长和里斯位势之和的体积约束极小化。我们增加了一个外部潜在的形式$\|x\|^β$，提供了一个极小的存在任何体积约束，我们研究了大极小的几何形状。然后给出了一种数值方法来解决这个变分问题。
2018-02-09 math.AP math.OC
Lattice tilings with minimal perimeter and unequal volumes
本文研究欧几里得空间中不等体积周期铺砌的周长极小化问题，分析局部与非局部周长下极小化子的存在性、性质及正则性，并证明近等面积分割中六边形铺砌最优。
2024-06-18 math.AP math.DG math.FA
$Γ$-convergence for functionals depending on vector fields. II. Convergence of minimizers
给定$\mathbb{R}^n$上的一类局部Lipschitz向量场$X(x)=(X_1(x),\dots,X_m(x))$，$m\leq n$，研究了依赖于$X$的积分泛函.利用\cite{MPSC1}中的结果，我们研究了这些泛函的极小、极小元和动量的收敛性。此外，我们将这些结果应用于Carnot群中的周期均匀化，并证明了依赖于$X$的二阶线性微分算子的$H$ -紧性定理。
2021-04-26 math.AP math.FA
On critical points of the relative fractional perimeter
研究了具有光滑边界的有界开集具有常非局部中曲率和预定小体积的集合的局部化问题，证明了它们{ \em充分接近}于适当的非局部势的临界点.然后我们考虑半空间中的分数周长。我们证明了在固定体积约束下极小元的存在性，给出了它的一些性质，如光滑性和对称性，是$x_N$方向上的图，并刻画了它与超平面$\{x_N=0\}$的相交.
2018-02-05 math.AP math.DG
Approximation of sets of finite fractional perimeter by smooth sets and comparison of local and global $s$-minimal surfaces
在本文的第一部分中，我们证明了一个集合$E$具有局部有限的$s$ -周长当且仅当它可以在适当的意义下被光滑开集近似。第二部分证明了局部和整体$s$ -极小集的存在性和紧性等基本性质。我们还比较了两个概念的极小（即本地和全球），表明在有界的开放集与Lipschitz边界，他们重合。然而，在一般情况下，这是不正确的无界开集，其中一个全球$s$ -最小集可能不存在（我们提供了一个例子的情况下，一个圆柱$Ω\times\mathbb{R}$）。
2016-12-25 math.AP
Least Wasserstein distance between disjoint shapes with perimeter regularization
证明了双重极小化问题\[ \inf\Big\{ P(E) + λW_p(\mathcal{L}^n \lfloor \, E,\mathcal{L}^n \lfloor\, F) \colon |E \cap F| = 0, \, |E| = |F| = 1\Big\}, \]的全局极小解的存在性，其中$P(E)$表示集合$E$的周长，$W_p$是Borel概率测度之间的$p$距离，且$λ> 0$是任意的.对于所有$p \in [1,\infty),$和所有正$λ$，结果在所有空间维度中均成立。这回答了布塔佐、卡里尔和拉博德的问题。
2022-10-05 math.AP
Quantitative flatness results and $BV$-estimates for stable nonlocal minimal surfaces
我们建立了非局部相互作用泛函的极小化和稳定集的定量性质，包括$s$ -分数周长作为一个特殊的情况。一方面，我们建立了稳定集在每一维$n\ge 2$上的泛$BV$ -估计。也就是说，我们证明了$B_1$中的任何稳定集在$B_{1/2}$中都有有限的经典周长，并且有一个泛界。这个非局部的结果是新的，即使在$s$ -周长和其本地对应（经典稳定的极小曲面）的情况下，已知只有简单连接的二维表面沉浸在$\mathbb R^3$。另一方面，我们证明了低维$n=2,3$中极小元和稳定集的定量平坦性估计。更准确地说，我们表明，一个稳定的$B_R$，$R$大，是非常接近的措施，是一个半空间$B_1$ --与定量估计的对称差异的措施。作为一个副产品，我们得到了新的分类结果稳定集在整个平面。
2016-11-27 math.AP
Local minimizers in $3$d of vector Allen-Cahn with a quadruple junction
Indiana University（印第安纳大学）
本文研究了三维向量Allen-Cahn方程的局部极小解，证明了在特定条件下存在收敛于四面体锥结构的极小解序列，并通过加权周长问题的Γ极限理论得到结论。
2025-11-21 math.AP math.OC
A singular local minimizer for the volume constrained minimal surface problem in a nonconvex domain
最近由Wang和Xia [WX]建立了受体积约束的球内周长的局部极小元必须是球冠或通过原点的平面。这验证了作者的一个猜想，并与具有指定边界的面积最小化曲面的情况形成对比，其中在高维中可以存在奇点。这一结果支持更一般的猜想，体积约束极小在任意凸集可能享有更好的正则性比他们的边界规定的堂兄弟。在这里，我们展示了一个简单的例子，由西蒙斯锥，一个奇异的体积约束的局部面积最小化表面内的非凸域，是任意接近的单位球的凸性条件的重要性。
2017-11-01 math.AP
Existence and stability results for an isoperimetric problem with a non-local interaction of Wasserstein type
本文的目的是证明一个变分问题的极小值的存在性，该问题涉及周长和Wasserstein型非局部能量之和的体积约束。这将以前的部分结果扩展到整个参数范围。我们还表明，在该制度的周长是占主导地位的，能量是唯一的球最小化。
2021-08-25 math.AP
Existence and nonexistence of minimizers for classical capillarity problems in presence of nonlocal repulsion and gravity
研究半空间内体积约束下含毛细、非局部排斥与重力的能量极小化，证明小质量存在性、特定核大质量不存在性及广义存在性。
2024-10-16 math.AP math.DG math.FA
A class of unstable free boundary problems
考虑一类由Dirichlet能量与经典周长或分数周长的非线性函数之和的能量泛函所引起的自由边界问题。与现有文献的主要区别在于，总能量在这里是局部或非局部表面张力效应与弹性能的非线性叠加。与线性情形形成鲜明对比的是，本文所考虑的问题是不稳定的，即在一个给定的区域中的极小值不一定是在一个较小的区域中的极小值。我们为这种不稳定性提供了一个明确的例子。我们还给出了一个自由边界条件，它强调了区域在自由边界几何中所起的作用。此外，我们提供的自由边界和最小解的正则性结果的密度估计。据我们所知，这是第一次在这种情况下，周长的非线性函数的研究这类问题。此外，在这种非线性设置中获得的结果是新的，即使在当地的周长的情况下，事实上的不稳定性特征是不是一个后果的可能的非局部性的问题，但它是由于非线性特征的能量泛函。
2017-05-13 math.AP
