Existence of minimizers and convergence of critical points for a new Landau-de Gennes energy functional in nematic liquid crystals
双折射液晶的Landau-de Gennes能取决于四个弹性常数$L_1$、$L_2$、$L_3$、$L_4$。在$L_4\neq 0$的情况下，Ball和Majumdar（Mol.结晶液结晶度、2010）发现了一个例子，物理学中的原始Landau-de Gennes能量泛函不满足一个非线性条件，这导致了数学中的一个问题，即建立能量极小的存在性。首先，我们引入了一个新的具有$L_4\neq 0$的Landau-de Gennes能量密度，它等价于单轴张量的Landau-de Gennes密度，并且对所有$Q$ -张量都满足能量条件.其次，我们证明了Landau-de Gennes系统的解可以逼近$Q$ -张量Oseen-Frank系统的解，而不需要使用能量极小。第三，我们开发了一种新的方法来推广Nguyen和Zarnescu（Calc.变种偏微分方程，2013年）收敛结果的情况下，非零弹性常数$L_2$，$L_3$，$L_4$。
2022-09-28 math.AP
Smooth Convergence of Landau-de Gennes Minimizers in the Lyuksyutov Regime
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
该研究分析Lyuksyutov区域三维域中Landau--de Gennes泛函的全局极小元，证明其光滑收敛至$\u211d^4$值极限并得到$O(μ^{-1})$距离估计，推广了已有收敛结果。
2026-08-11 math-ph math.AP math.MP
Ergodic Mean Field Games: existence of local minimizers up to the Sobolev critical case
我们研究了粘性遍历平均场博弈系统在有界区域中的解的存在性，该系统具有Neumann边界条件和局部的，可能是聚集耦合。特别是，我们利用相关的变分结构和搜索一个合适的功能的约束极小。根据耦合的增长，我们检测到存在的全球极小的质量亚临界和临界的情况下，和局部极小的质量超临界的情况下，特别是索伯列夫临界的情况下。
2023-01-27 math.AP
On convergence of solutions to nonlocal optimal control problems with quasi-minimization constraints
研究具有拟最小化约束的非局部最优控制问题，通过新约束选择，在能量最小化器可能不唯一情况下，证明解的存在性，并得到非局部最优控制问题最小化器的收敛结果，相比之前有更强收敛性。
2026-07-27 math.AP math.OC
On the $ Γ$-convergence of the Allen-Cahn functional with boundary conditions
本文研究带 Dirichlet 边界条件的 Allen-Cahn 系统，建立 ε-能量泛函的 Γ-极限，并利用平面极小锥分类与极小曲线正则性，刻画极限泛函极小化子的精确结构。
2024-01-17 math.AP
$(s,p)$-harmonic approximation of functions of least $W^{s,1}$-seminorm
我们研究了$W^{s,p}$ -能量的极小元的$p\searrow1$收敛性，对于$s\in(0,1)$和$p\in(1,\infty)$到$W^{s,1}$ -能量的极小元的$p\searrow1$收敛性，无论是在逐点意义上还是通过$Γ$ -收敛.我们还讨论了相应的Euler-Lagrange方程的收敛性，以及极小解和弱解之间的等价性。作为辅助的结果，我们研究了一些正则性问题，关于极小的$W^{s,1}$ -能量。
2021-09-10 math.AP
On the convergence of minimizers of singular perturbation functionals
对狄利克雷能的奇异扰动的研究是软凝聚态唯象描述范式的核心。能够传递到极限在理解基态的几何驱动轮廓中起着至关重要的作用。在这项工作中，我们研究，在非常一般的假设下，收敛极小调和映射。我们证明了收敛是局部一致的边界，远离低维奇异集。我们的结果概括了相关的发现，最显着的液晶理论，所有尺寸$n\geq 3$，一般的非线性。我们的证明遵循一个众所周知的计划，依赖于小能量估计和单调性公式。由于我们不依赖于势的具体形式，因此它与以前在处理边界处的小能量估计方面的研究有很大的不同。特别是，这扩展了现有的结果在三维设置。在更高的维度，我们还处理有关边界单调性公式的额外困难。
2017-09-16 math-ph math.AP math.MP
Refined approximation for a class of Landau-de Gennes energy minimizers
研究了小弹性常数$L>0$渐近区域中的一类Landau-de Gennes能量泛函.我们重新回顾并改进了[18]中关于收敛到极限Oseen-Frank泛函的结果。我们研究如何Landau-de Gennes全局极小近似的Oseen-Frank的确定的一阶项在其渐近展开为$L\to 0$。我们确定适当的功能设置，其中的渐近展开举行，急剧的收敛速率的限制，并确定一阶项的方程。我们发现方程有一个由代数关系给出的“法向分量”和一个由线性系给出的"切向分量“。
2010-06-29 math.AP
Local minimizers for a class of functionals over the Nehari set
我们分析了一类依赖于实参数$λ$且具有两个齐次度的泛函的Nehari集的拓扑结构。一个特别注意的极值参数$λ^*$，这是一个门限值的Nehari集由{ \it自然约束}。主要的困难出现时，$λ>λ^*$，能量泛函可能是无界的从下面的Nehari集。在这种情况下，我们证明了局部极小的功能限制到这个集合的存在性。我们统一和扩展以前的存在性和多重性的不确定性，$(p,q)$ -拉普拉斯算子，基尔霍夫型问题的临界点的结果。
2022-03-03 math.AP
Symmetry of minimizers with a level surface parallel to the boundary
考虑泛函$$I_Ω(v) = \int_Ω[f(|Dv|) - v] dx,$$，其中$Ω$是有界区域，$f$是凸函数.在$f$的一般假设下，G. Crasta [Cr1]证明了如果$I_Ω$在$W_0^{1,1}(Ω)$中允许极小元只依赖于到$Ω$边界的距离，则$Ω$一定是一个球。在对$f$作了一定限制的情况下，证明了只有在极小元有一个平行于边界的水平面（即只有一个与距离相同的水平面）的条件下，才能得到球对称性.然后，我们将讨论如何将这些结果扩展到更一般的设置，特别是泛函是不可微的，完全非线性椭圆和抛物型方程的解决方案。
2014-12-27 math.AP
Symmetry of minimizers of a Gaussian isoperimetric problem
研究了由标准高斯周长和重心范数组成的泛函所描述的等周问题。这第二项具有排斥效应，它与周长竞争。正因为如此，一般来说，解决方案不是半空间。我们的特点是所有的极小这个功能，当体积接近1，证明极小是半空间或对称带，这取决于排斥项的强度。作为推论，我们得到当体积接近于1时，对称带是对称集之间高斯等周问题的解。
2018-05-08 math.AP math.PR
Consensus-Based Optimization on the Sphere: Convergence to Global Minimizers and Machine Learning
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；University of Calgary（卡尔加里大学）；University of Ferrara（费拉拉大学）
我们研究了一个新的随机Kuramoto-Vicsek型模型的实现非凸函数的全局优化的领域。该模型属于基于最优化的一类。事实上，粒子在朝向瞬时共识点的漂移的驱动下在球体上移动，该共识点被计算为粒子位置的凸组合，根据拉普拉斯原理由成本函数加权，并且它代表对全局最小化的逼近。动力学进一步受到随机向量场的扰动，以利于探索，其方差是粒子到共识点的距离的函数。特别是，一旦达成共识，随机分量就消失了。本文的主要结果是在充分准备初值的条件下，证明了数值格式收敛于全局极小值。证明结合了以往的平均场极限的结果与一个新的渐近分析，和经典的收敛性结果的数值方法的双曲型。我们提出了几个数值实验，这表明，在本文件中提出的算法规模以及与尺寸，是非常通用的。为了量化的新方法的性能，我们表明，该算法是能够执行基本上一样好的ad hoc最先进的方法在具有挑战性的问题，在信号处理和机器学习，即相位恢复问题和强大的子空间检测。
2021-07-28 cs.LG cs.NA math.AP
Large data limit of the MBO scheme for data clustering: $Γ$-convergence of the thresholding energies
在这项工作中，我们开始严格分析MBO计划的数据聚类在大数据的限制。MBO方案的每次迭代对应于某些数据集相似性图上阈值能量的一步隐式梯度下降。对于图的节点的子集，在时间$h$处的阈值能量是在时间$h$处从子集传递到其补充的热量，由因子$\sqrt{h}$重新缩放。因此，人们很自然地认为目标管理方案的结果是这种能量的（局部）最小化。我们证明了该算法是一致的，在这个意义上说，这些（本地）极小收敛到极小的适当加权的最优分割问题。
2022-08-10 math.AP math.DG
Convergence of regularized nonlocal interaction energies
受聚集方程数值研究的启发，我们研究了正则化对非局部相互作用能的影响。我们认为能量定义通过排斥吸引相互作用内核，正规化的卷积与软化。我们证明了，相对于2-Wasserstein度量，正则化的能量$Γ$ -收敛到非正则化的能量和极小收敛到极小。然后，我们应用我们的结果来证明$Γ$ -收敛的梯度流，当限制到空间的措施有界密度。
2015-10-08 math.AP
A model of anisotropic branched optimal transport
本文提出基于电流理论的各向异性最优运输模型，通过将成本函数分解为空间方向和电流乘数的因子，证明了平面运输问题存在极小值，并在任意维度下证明了超度量空间中极小值存在的条件。
2026-04-18 math.AP math.OC
Faithful global convergence for the rescaled Consensus-Based Optimization
Hunan University（湖南大学）；University of Graz（格拉茨大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文研究了通过缩放共识点的共识优化算法，证明了其在特定条件下无条件收敛到全局极小值点，并扩展到多个极小值点的情况。
2026-01-16 math.AP math.OC
Convergence of the Lawrence-Doniach Energy for Layered Superconductors with Magnetic Fields near $H_{c_1}$
我们分析了三维层状结构高各向异性超导体的Lawrence-Doniach能量极小化。对于这样一个超导体占据一个有界的广义圆柱体的$\mathbb{R}^3$与等距平行层，我们假设一个施加的磁场是垂直于层的强度$h_{ex}\sim|\lnε|$为$ε\rightarrow 0$，其中$ε$是金斯堡-朗道参数的倒数。我们证明了能量最小化的各种物理量的紧性结果，并推导出Lawrence-Doniach能量的伽玛极限为$ε$，层间距离$s$趋于零，在附加的假设下，层是弱耦合的（即，$s\ggε$）。
2018-08-09 math.AP
$G$-convergence of elliptic and parabolic operators depending on vector fields
针对依赖向量场的散度型椭圆与抛物算子，本文利用补偿紧性理论，在缺乏仿射函数保证的情形下建立了 G-收敛（H-收敛）紧性结果。
2022-04-15 math.AP math.FA
Minimizers and Gradient Flows of Attraction-Repulsion Functionals with Power Kernels and Their Total Variation Regularization
研究了一种基于幂核的吸引-排斥能量泛函的性质，该泛函可用于图像的半色调处理。在这项工作的第一部分中，使用变分框架的概率测度，我们研究的存在性和行为的极小的功能和正则化它的全变差长期。此外，我们引入粒子逼近的功能和它的正则化版本，并证明其一致性的伽玛收敛，我们另外说明了数值例子。在第二部分中，我们考虑了2-Wasserstein空间中泛函的梯度流，并证明了关于其大时间渐近行为的陈述，为此我们采用了一维概率测度的伪逆技术。取决于参数范围，这包括存在一个子序列收敛到一个稳定状态，甚至收敛到一个限制，我们可以明确指定的整个轨迹。对于这两个部分的工作，一个关键的成分是广义傅里叶变换，它使我们能够验证的相互作用内核的条件正定性相吻合的吸引力和排斥指数。
2013-10-03 math.AP
Maximum Principles for Vectorial Approximate Minimizers of Nonconvex Functionals
建立了变分学中一般积分泛函的向量逼近极小值的最大值原理。我们的主要结果是一个版本的凸包性质。与文献中已有的结果相比，主要的进步是我们放弃了梯度项中被积函数的拟凸性假设。弱下半连续性的缺乏是通过引入一种非线性收敛技术来补偿的，该技术基于反射到凸集上的投影的近似和被积函数在正交群下的梯度项中的不变性。对于不存在极小元的松弛解和Euler-Lagrange方程组的极小解，我们得到了最大值原理。
2011-12-09 math.AP
Gamma-convergence of 2D Ginzburg-Landau functionals with vortex concentration along curves
研究了超流性或薄膜超导性研究中出现的一类二维Ginzburg-Landau泛函在Ginzburg-Landau参数θ趋于0时的变分收敛性。在这种情况下，对于足够大的外加旋转（对于超流体）或磁场（对于超导体），极小化器获得量子化的点奇点（涡旋）。我们专注于无限数量的涡沿规定的约旦曲线或一个简单的弧在域中积累的情况。已知这发生在均匀旋转下的圆环中，或者发生在具有适当选择的旋转向量场的单连通域中。我们证明，适当归一化，能量泛函伽玛收敛到一个经典的能量从位势论。应用于全局极小，我们的结果描述了限制分布的旋涡沿曲线的格林平衡测度。
2009-06-26 math.AP
Lorentz Space Estimates and Jacobian Convergence for the Ginzburg-Landau Energy with Applied Magnetic Field
在本文中，我们继续我们的前一篇文章，\cite{p1}中开始的研究金斯堡-朗道能量的洛伦兹空间估计。我们专注于得到估计的金斯堡-朗道能量与外部磁场$h_{ex}$在某些有趣的制度$h_{ex}$。这使我们能够表明，对于接近能量极小或局部极小的构型，$(u,A)$构型的涡量质量与$\nabla_A u$的$L^{2,\infty}$洛伦兹空间范数相当。我们还建立了规范不变的雅可比（涡度措施）在一个函数空间定义的洛伦兹空间的对偶收敛。
2007-05-08 math-ph math.AP math.MP
Convergence and local-to-global results for $p$-superminimizers on quasiopen sets
本文研究度量空间拟开集上细$p$-（超）极小元，推导Caccioppoli型不等式与局部到全局原理，证明相关函数属于局部细Sobolev空间，在带加倍测度和$p$-庞加莱不等式的完备度量空间中得到收敛性结果，且多数结论对无权重$\mathbf{R}^n$也属新成果。
2022-06-06 math.AP
Asymptotics of nonlocal nonlinear Robin energies
The University of Western Australia（西澳大利亚大学）；Università della Calabria（卡塔尼亚大学）
本文研究Robin型非局部非线性泛函的自由最小化问题，证明极小元存在唯一并具衰减性，分析参数映射的正则性，并给出能量在参数趋于无穷和零时的渐近展开，揭示零质量情形下的发散行为。
2026-09-18 math.AP
Stochastic two-scale convergence in the mean in Orlicz-Sobolev's spaces and applications to the homogenization of an integral functional
本文研究了 Orlicz-Sobolev 空间中具有凸且非标准增长被积函数的积分泛函的随机均质化，将均值双尺度收敛的经典紧性结果推广至该空间，并证明了一类高度振荡极小化问题序列的极小值点收敛于均质化问题的极小值点。
2025-01-22 math.AP math.PR
Line defects in the small elastic constant limit of a three-dimensional Landau-de Gennes model
我们考虑了三维区域中液晶的Landau-de Gennes变分模型。更确切地说，我们研究的弹性常数趋于零的极小化的渐近行为，假设极小化是一致有界的，他们的能量爆炸的弹性常数的对数。证明了存在一个有限长的闭集S，使得极小元收敛于远离S的局部调和映射。此外，限制在区域内部的S是直线段的局部有限并。我们提供了充分条件，根据域和边界数据，我们的主要结果适用。我们还讨论了一些例子。
2016-04-16 math.AP
Local Lipschitz continuity for energy integrals with fast growth and lower order terms
本文研究快速增长且含低阶项的积分泛函，证明其局部极小值具有局部Lipschitz连续性。
2025-10-10 math.AP
Variational interacting particle systems and Vlasov equations
Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn（波恩莱茵弗里德里希·威廉大学）
本文研究了相互作用粒子系统的优化问题，证明了临界点满足Vlasov方程，并将极小解与Hamilton-Jacobi-Bellman方程联系起来。
2024-04-05 math-ph math.AP math.MP
Numerical analysis of elastica with obstacle and adhesion effects
Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo（东京大学大学院数理科学研究科）
本文研究了受障碍和粘附影响的弹性体变分问题的数值计算，通过离散化和正则化能量函数，结合Γ收敛分析，探讨了离散极小值的收敛性及数值实验中奇异局部极小值的存在性。
2016-04-12 cs.NA math.AP math.NA
The Ginzburg-Landau equation in the Heisenberg group
我们考虑海森堡群框架下与相变模型相关的一个泛函。我们证明了局部极小的水平集满足一定的密度估计，即它们表现为“余维1”集。因此，我们推导出这些水平集的一致收敛性性质的接口与最小面积。然后将这些结果应用于构造（准）周期的平面极小化器，即，我们的泛函的极小化器，其水平集包含在一个在规定方向上具有普遍大小的空间板中。作为一个极限情况，我们得到了存在的超曲面包含在这样的板，最小化表面积相对于一个给定的周期度量。
2006-01-11 math.AP
Gamma-convergence of integral functionals depending on vector-valued functions over parabolic domains
De Giorgi在1979年指出，如果一个抛物泛函序列Gamma收敛到一个极限泛函，那么相应的梯度流在适当改变时间尺度后也会收敛。本文研究了一类抛物泛函的Gamma收敛性，证明了De Giorgi猜想.
2003-01-15 math.AP
The weak Harnack inequality for unbounded minimizers of elliptic functionals with generalized Orlicz growth
本文证明了具有广义 Orlicz 增长的椭圆泛函的无界极小元属于 De Giorgi 类，并在此基础上建立了依赖于 $L^s$-范数的弱 Harnack 不等式，为多种泛函的 Harnack 型估计提供了更广泛的解释。
2024-03-20 math.AP
On Woltjer's force free minimizers and Moffatt's magnetic relaxation
在这篇文章中，我们展示了一种情况下，Moffatt的理想磁弛豫问题的一个定态是不同于相应的无力$L^2$能量最小的Woltjer的变分原理。这样的例子已经设想在莫法特的开创性工作的主题，并涉及发散自由向量场支持的集合基本上链接的磁管。证明莫法特的例子需要最小化序列的强收敛性。本文证明了由拓扑非平凡域通过能量减同态得到的向量场类的全局极小值（{ \em Woltjer极小值}）与弱$L^2$闭包上的极小值之间存在一个间隙.在泰勒猜想的背景下，我们的结果表明，Woltjer的最小值不能达到粘性MHD松弛过程中的理想导电磁流体，如果初始场具有非平凡的拓扑结构。结果也适用于超越莫法特的松弛到任何其他松弛过程，演变的发散自由场的能量减少的同态，这样的过程提出了瓦利斯et.al和最近由西山。
2021-08-31 math-ph math.AP math.MP
$Γ$-Convergence of an Ambrosio-Tortorelli approximation scheme for image segmentation
本文证明了Ambrosio-Tortorelli逼近在分片光滑设置下对Mumford-Shah泛函的$\Gamma$-收敛，从而为图像分割中该逼近的极小元收敛性提供了理论保证。
2023-09-04 cs.NA math.AP math.NA
Spreading equilibria under mildly singular potentials: pancakes versus droplets
我们研究全球极小的功能建模的自由能薄的液体层在固体基板的表面，重力和分子间的潜力的综合作用下。当后者有一个温和的排斥性的奇异性在短距离，全球最小的compoundly支持，并显示微观接触角$π/2$。取决于势的形式，宏观形状可以是液滴状或煎饼状，在零扩散系数时在两者之间具有过渡轮廓。这些结果推广，完成，并给予数学严谨德热内的正式讨论的传播平衡。同时也讨论了唯一性和非唯一性现象。
2022-07-15 math-ph math.AP math.MP
Properties of periodic Dirac--Fock functional and minimizers
本文研究周期 Dirac–Fock 极小元的结构，通过泛函与收缩复合的二阶展开证明在 α/c 受显式常数约束时 Fermi 能级全空或全满，故极小元为投影。
2023-07-18 math-ph math.AP math.MP
Front propagation in geometric and phase field models of stratified media
我们研究了强迫中曲率流的波前传播问题及其在分层介质中发生的相场变化，即，特性在一个方向上不变化的非均匀介质。我们考虑相变前线无限圆柱体的轴重合的对称轴的介质。使用最近开发的变分方法，我们提供了一个收敛的结果，在扩散界面的情况下，在尖锐的界面的情况下，适当平衡的非线性艾伦-卡恩型渐近的时间前传播。利用$Γ$-收敛的思想，得到了指数加权Ginzburg-Landau型泛函极小值与指数加权面积型泛函极小值之间的对应关系.这些极小值产生最快的行波入侵一个给定的稳定平衡在各自的模型，并确定渐近传播速度的前端样的初始数据。我们进一步证明了这些波前是指数稳定的全局吸引子，并给出了通过形成所考虑的波前而发生完全相变的充分条件。
2014-10-07 math-ph math.AP math.MP
