On the Shape of Small Liquid Drops Minimizing Nonlocal Energies
Konstantinos Bessas, Matteo Novaga, Fumihiko Onoue
本文研究势能作用下分数周长极小化问题中小液滴的平衡形状，并通过定量估计证明小体积极小元具有凸性且一致逼近球体。
我们研究在势能作用下最小化分数周长的液滴平衡形状。我们通过定量估计证明，小体积极小元是凸的，并且一致接近于一个球。
We study the equilibrium shape of liquid drops minimizing the fractional perimeter under the action of a potential energy. We prove, with a quantitative estimate, that the small volume minimizers are convex and uniformly close to a ball.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Convex minimizing curves of the scaling-invariant nonlocal Willmore energy
本文研究缩放不变非局部Willmore能量，证明了在凸$C^1$-曲线类中极小元的存在性。
$K$ mean-convex and $K$-outward minimizing sets
我们考虑了集合的非局部中曲率的演化，并讨论了两个几何性质，即平均凸性和向外极小性沿流的保持。在我们的分析中的主要工具是水平集制定和最小化运动计划的非局部流。当初始集是向外最小化，我们还显示了收敛的（时间集成）非局部周长的离散演化的极限流的非局部周长。
Lattice tilings minimizing nonlocal perimeters
本文证明了在一般非局部周长泛函下，周期镶嵌的最小化存在性，通过将最优分割问题转化为等周问题并利用紧致性论证，同时探讨了平面六边形镶嵌的最优性。
Young's law for a nonlocal isoperimetric model of charged capillarity droplets
研究带电液滴在表面平衡配置的变分问题，证明小电荷下杨氏定律成立。
Existence of variational solutions to doubly nonlinear nonlocal evolution equations via minimizing movements
证明了一类以双相方程\begin{align*} \partial_t u^m &+ \text{P.V.}\int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u(x,t)-u(y,t)|^{p-2}(u(x,t)-u(y,t))}{|x-y|^{N+ps}}\\&+a(x,y)\frac{|u(x,t)-u(y,t)|^{q-2}(u(x,t)-u(y,t))}{|x-y|^{N+qr}} \,dy = 0,\,m>0,\,p>1,\,s,r\in (0,1). \end{align*}为原型的双非线性非局部发展方程变分解的存在性.利用DeGiorgi和Ambrosio开创的并由Bögelein，Duzaar，Marcellini等人改进的极小化运动方法，研究了具有非标准增长的非线性抛物型方程.
Compactness and dichotomy in nonlocal shape optimization
我们证明了一个一般性的结果，满足适当的结构假设的非局部形状泛函的最小化序列的行为。典型的例子包括齐次Dirichlet边界条件下的分数拉普拉斯算子的特征值的函数。利用非局部版本的狮子的浓度紧凑性原则，我们证明，要么存在一个最佳的形状，或存在一个最小化序列组成的两个“件”的相互距离趋于无穷大。我们的工作是由Bucur在当地的情况下获得类似的结果的启发。
Local and Nonlocal Liquid Drop Models
我们考虑伽莫夫的液滴模型的原子核的一些扩展。我们提出了一个审查的经典模型，然后我们说明了一些最近的事态发展的非局部的变体，其中的周长项被替换的分数周长。
Fractional multi-phase transitions and nonlocal minimal partitions
本文研究非局部能量相变模型，分析小参数趋于零时Allen-Cahn型分数阶椭圆方程组的渐近行为，证明解收敛于非局部几何能量的临界点，并对几何问题的解及3-划分极小元进行正则性分析。
Variational Nonlinear and Nonlocal Curvature Flows
本文在一般变分曲率框架下证明Almgren-Taylor-Wang最小化运动格式收敛到带时间依赖强迫项的非线性非局部曲率流水平集解，并在曲率附加假设下建立解的唯一性。
Droplet phase in a nonlocal isoperimetric problem under confinement
我们解决小体积分数的渐近性质的非局部等周泛函的限制项，推导出的尖锐的界面限制的变分模型的自组装的二嵌段共聚物的纳米粒子夹杂物的限制。我们引入一个小参数$η$来表示少数相的域的大小，并研究所得到的液滴制度为$η\to 0$。通过考虑限制密度是空间可变的，并达到非简并的最大值，我们提出了一个两阶段的渐近分析，其中分离的长度尺度被捕获由于非局部排斥和限制吸引力的影响之间的竞争的能量。一个关键的作用是由一个参数$M$，它给出了在$η^3$阶液滴的总体积和它的关系的存在和不存在的伽莫夫的液滴模型$\mathbb{R}^3$。对于大的$M$值，少数相分裂成几个液滴在一个中等规模的$η^{1/3}$，而对于小的$M$最小化形成一个单一的液滴收敛到最大的约束密度。
Gradient Flow Solutions For Porous Medium Equations with Nonlocal Lévy-type Pressure
本文研究了压力由非局部Lévy算子给出的多孔介质型方程，通过变分极小化运动格式构造弱解，克服了因缺乏插值技术带来的挑战。
Minimality of the ball for a model of charged liquid droplets
我们推断，荷电液滴最小化Debye-Hückel型自由能是球形的小电荷制度。变分模型由Muratov和Novaga在2016年提出，以避免经典模型的不适定性。通过结合最近的（部分）正则性结果与Cicalese和Leonardi的选择原理，我们证明了球是唯一的极小在小电荷区。
On the Strong Attraction Limit for a Class of Nonlocal Interaction Energies
本文研究了在强吸引极限下，在质量约束下，在$\mathbb{R}^n$上的测度上极小化一类非局部能量泛函的问题.在这些问题中，总能量是对吸引-排斥型相互作用的积分。相互作用核是具有与里斯位势相关的吸引力$α\in (0, \infty)$和排斥力的竞争幂律势的总和。强吸引力极限$α\to \infty$通过伽玛收敛解决，和极限的极小化的特点是在一个等直径容量问题。我们还提供了证据，在高维度的破缺。
An isoperimetric problem with a competing nonlocal singular term
在本文中，我们调查的最小化的功能，其中通常的周长是竞争的非局部奇异项可比（但不一定等于）的分数周长。这个问题的动机是一个细胞运动模型介绍了一些以前的工作由第一作者。我们建立了几个事实的整体极小体积约束。特别是，我们证明了极小存在，是径向对称的小质量，而极小不能径向对称的大质量。对于大质量，我们证明，最小化序列分裂成更小的集合，漂移到无穷大或开发指定宽度的手指。最后，我们将这两个替代品连接到一个经典插值不等式（分数周长的Gagliardo-Nirenberg型不等式）中的最佳常数的相关最小化问题。
On the shape of minimizers for the periodic nonlocal perimeter in $\mathbb{R}^2$
本文研究了二维周期非局部周长极小解的形状，通过分支分析和计算证明非局部Delaunay集在特定条件下不稳定，并支持极小解在大区域范围内为直线带的猜想。
Two dimensional liquid crystal droplet problem with tangential boundary condition
本文研究了一个形状最优化问题，它归结为一个包含周长的非局部自由边界问题。它是由切向锚定边界条件和体积约束的液晶液滴的研究。我们在2D中建立了边界上有两个尖点的最佳形状的存在性。我们还证明了液滴的边界是一条弦弧曲线，其法向量场在VMO空间中。事实上，这种液滴的边界曲线属于所谓的Weil-Petersson类。此外，还研究了体积变得极大或很小时最优形状的渐近行为。
Non-constant functions with zero nonlocal gradient and their role in nonlocal Neumann-type problems
本文研究了有限视域分数阶梯度消失的函数，证明其构成无限维向量空间，并利用伪微分算子理论刻画其特征，进而提出非局部Poincaré不等式等工具，用于研究非局部Neumann型问题的适定性与局部极限。
The fractional Cheeger problem
给定一个开有界集$Ω\subset\mathbb{R}^N$，考虑在$Ω$的子集之间极小化$s-$周长与$N-$维勒贝格测度之比的问题.这是著名的Cheeger问题的非局部版本。我们证明了这个问题的最优集的各种性质，以及一些等价的配方。此外，还研究了与此最优化问题有关的一些非线性非局部本征值问题的极限行为。演示文稿尽可能独立。
On minimizers of an anisotropic liquid drop model
我们考虑一个变种的伽莫夫的液滴模型与各向异性的表面能。在适当的规则性和椭圆率假设的表面张力，武尔夫形状是极小在这个问题中，当且仅当表面能是各向同性的。我们表明，对于光滑的各向异性，在小的非局域性制度，极小收敛到武尔夫形状$C^1$规范和量化的收敛速率。我们还获得了一个定量的扩展的能量周围的能量产生的几何稳定性结果的武尔夫形状的任何极小。对于某些晶体表面张力，我们可以确定整体极小值，并获得其精确的能量展开的非局域性参数。
Formation of multiple flocks in a simple nonlocal aggregation model
该研究针对具有“势阱-势垒”核的非局部聚集模型，利用集中紧性原理的二分情形求解能量极小值，解释了大种群中多鸟群形成的机制。
Localization for nonlocal gradient-based optimal control problems
本文研究非局部函数空间框架下的最优控制问题，探讨非局部p-拉普拉斯和广义能量的凸性对解的影响，并分析参数趋近于局部问题的近似方法。
Existence results for Cahn-Hilliard type systems driven by nonlocal integrodifferential operators with singular kernels
本文研究具有奇异势的分数阶Cahn-Hilliard方程，利用极小化运动格式证明了一般积分微分算子（含分数阶q-Laplacian）下弱解的存在唯一性，并推广到区域分数阶算子及分数阶Neumann和周期边界条件。
Droplet breakup in the liquid drop model with background potential
我们考虑一个变种的伽莫夫的液滴模型，一般排斥里斯核和一个长期的吸引力的重量$Z$的背景潜力。背景势的加入作为液滴模型的正则化，因为它恢复了任意质量的极小值的存在。我们考虑小$Z$的制度和特点的极小结构的限制$Z\to 0$通过一个尖锐的渐近展开的能量。在研究这个极限的过程中，我们用“广义极小元”来刻画伽莫夫模型的所有极小化序列。
Towards a long-range theory of capillarity
本文在经典毛细理论基础上引入长程粒子相互作用的非局部方法，在极限下恢复表面张力，并给出正则性、接触角及渐近结果。
Convergence of the TFDW Energy to the Liquid Drop Model
我们考虑两个非局部变分模型产生的物理背景。第一个是在原子和分子电离研究中引入的TFDW模型，第二个是伽莫夫在核结构背景下提出的具有外部势的液滴模型。已经观察到，这两个模型表现出许多相同的属性，特别是在极小值的存在和不存在方面。我们表明，在一个“尖锐的接口”缩放的系数和约束质量，TFDW能量伽玛收敛到液滴模型，为一般类的外部电位。最后，我们提出了一些后果的全球最小化的每个模型。
A mean curvature flow arising in adversarial training
本文将二元分类对抗训练与决策边界几何演化方程关联，提出一种逼近加权平均曲率流的非局部周长泛函最小化运动方案，并证明其单调性与一致性，揭示对抗训练有效性源于局部最小化决策边界长度。
Delaunay solutions to the fractional Hartree equation with critical growth
本文研究带原点不可移除孤立奇点的临界分数阶Hartree方程，结合Caffarelli–Silvestre延拓与移动球方法证明其正奇异解径向对称，并通过最小化Rayleigh型商构造出所有足够大周期的Delaunay型周期奇异解。
Large mass rigidity for a liquid drop model in 2D with kernels of finite moments
受Gamow液滴模型的启发，我们考虑了一个等周问题，其中标准周长$P(E)$被$P(E)-γP_\varepsilon(E)$代替，$0<γ<1$和$P_\varepsilon$是一个非局部能量，使得作为$\varepsilon$的$P_\varepsilon(E)\to P(E)$消失.我们证明了单位面积极小元是足够小的$\varepsilon>0$的圆盘。更确切地说，我们首先表明，在$2$维，极小必须凸，只要$\varepsilon$是足够小的。反过来，这意味着极小化有近似圆形的边界，也就是说，它们的边界是圆的一个小的Lipschitz扰动。然后，使用Fuglede型参数，我们证明了（在任意维$n\geq 2$）的单位球在$\mathbb{R}^n$是唯一的单位体积极小问题的中心近球集。因此，直到平移，单位圆盘是唯一的极小元。这个等周问题等价于伽莫夫引入的原子核液滴模型的推广，其中非局部排斥势由径向的、充分可积的核给出。在该公式中，我们的主要结果表明，如果内核的第一时刻小于一个明确的阈值，存在一个临界质量$m_0$，使任何$m>m_0$，磁盘是唯一的最小化区域$m$的翻译。这与通常的Riesz核的情况形成鲜明对比，其中该问题不允许临界质量以上的极小化。
Large mass minimizers for isoperimetric problems with integrable nonlocal potentials
本文研究了由伽莫夫液滴模型导出的体积约束极小化问题，其中包含了周长项和排斥非定域势的竞争.我们考虑了一大类势，由在$\mathbb{R}^n$上可积的一般径向非负核给出，如Bessel势，并研究了大质量问题的行为（即，卷）。与小质量的情况相反，非局部项与周长相比变得可以忽略不计，而这里的非局部项与周长相比爆炸了。然而，利用这些核的可积性，我们将问题重写为经典周长和非局部周长之间的差的最小化，随着质量趋于无穷大，它收敛于经典周长的倍数。重整到一个固定的体积，我们表明，如果内核的第一时刻小于一个明确的阈值，这个问题承认极小的任意大的质量，这与通常情况下的里斯位势。此外，我们证明了，任何序列的极小收敛到球的质量趋于无穷大。最后，我们研究了球的稳定性，并表明我们的阈值上的核的第一时刻是尖锐的，在这个意义上，大球从稳定到不稳定。一个直接后果的不稳定性大球以上的这个阈值是，存在非平凡的紧支撑的内核的问题承认极小不是球，也就是说，对称性破缺发生。
The double sphere solution in the liquid drop model
针对体积约束下液滴模型能量泛函的临界区域问题，构造了轴对称非极小化解，该解由两个小球经细颈连接而成，适用于小体积情形。
The Liquid Drop Model with a Yukawa Potential: Existence of Minimizers and Sharp Stability of the Ball
该研究探讨带有汤川势的液滴模型，证明了不同参数下极小化子的存在性、球的唯一性及稳定性阈值，克服了汤川核非齐次性的技术难题。
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