Xiaole Su, Hongwei Sun, Yusheng Wang
This paper aims to give a further study on quasi-convex subsets in Alexandrov spaces with lower curvature bound which are introduced in [SSW]. We first provide new insights on quasi-convex subsets (Theorem A and Corollary C), and then as applications of them we explore more properties of quasi-convex subsets.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Farthest points on most Alexandrov surfaces
我们研究了最Alexandrov曲面上的距离函数的全局最大值，其中“最”是在Baire类别的意义上使用的。
Alexandrov curvature of convex hypersurfaces in Hilbert space
证明了希尔伯特空间中的凸超曲面具有非负Alexandrov曲率.这推广了Buyalo关于有限维黎曼流形中凸超曲面的一个较早的结果.
Rigidity theorems for glued spaces being suspensions, cones and joins in Alexandrov geometry with curvature bounded below
本文给出了两个曲率有界的Alexandrov空间的胶合空间为悬点、锥或并时的刚性定理。我们在附录中列出了连接的一些基本性质。
Self and partial gluing theorems for Alexandrov spaces with a lower curvature bound
本文证明了：如果一个曲率不小于$κ$的Alexandrov空间的余维数为1的极值子集允许关于诱导长度度量的等距对合，则将该极值子集沿等距线粘合得到的度量空间是一个曲率不小于$κ$的Alexandrov空间.这是Perelman的加倍定理和Petrunin的胶合定理的推广。
In this paper, we prove the Soul Conjecture in Alexandrov geometry in dimension $4$, i.e. if $X$ is a complete non-compact $4$-dimensional Alexandrov space of non-negative curvature and positive curvature around one point, then a soul of $X$ is a point.
Simple closed geodesics on most Alexandrov surfaces
研究了大多数曲率有界、紧、无边界的Alexandrov曲面（Baire范畴）上的简单闭测地线的存在性.我们表明，它依赖于曲率界和拓扑的表面。
The Alexandrov-Toponogov comparison theorem for radial curvature
本文在点流形（M，o）以旋转旋转曲面为参照的径向曲率条件下，讨论了Alexandrov-Toponogov比较定理.对于其中一个顶点是基点o的三角形，建立比较定理有两个障碍。一个是参考旋转曲面中比较三角形的另一个顶点的割点。另一类是M中基点o的割点。我们找到了一个条件，在此条件下，对于M中顶点为o的任意测地三角形，omp定理成立。
Moderate smoothness of most Alexandrov surfaces
我们证明了在Baire范畴意义下，曲率由$κ$下界的Alexandrov曲面大多数没有锥点.我们利用这个结果证明了在大多数点上，这类曲面的下高斯曲率和上高斯曲率分别等于$κ$和$\infty$。
Finite Quotient of Join in Alexandrov Geometry
给定两个曲率为$\ge 1$的$n_i$维Alexandrov空间$X_i$，$X_1$和$X_2$的连接是曲率为$\ge 1$的$(n_1+n_2+1)$维Alexandrov空间$X$，它包含$X_i$作为凸子集，使得它们的点分开$\frac \pi2$.如果一个群等距地作用在一个保持$X_i$的连接上，则轨道空间称为连接的商。本文证明了一个具有曲率$\ge 1$的$n$维Alexandrov空间$X$等距于一个有限的join商，如果$X$包含两个无边界的紧凸子集$X_i$，使得$X_1$和$X_2$至少相隔$\frac \pi2$且$\dim(X_1)+\dim(X_2)=n-1$ .
Ricci Curvature on Alexandrov spaces and Rigidity Theorems
本文在Alexandrov空间上引入了一个新的里奇曲率下界的概念，并在此里奇曲率条件下将Cheeger-Gromoll分裂定理和Cheng最大直径定理推广到Alexandrov空间.
Collapsing three-dimensional closed Alexandrov spaces with a lower curvature bound
在本文中，我们确定了在Gromov-Hausdorff拓扑中收敛到低维空间的三维闭Alexandrov空间的拓扑。
In this paper we prove that in the class of metric measure spaces with Alexandrov curvature bounded from below the Riemannian curvature-dimension condition $RCD(K,N)$ with $K\in \mathbb{R}$ and $N\in [1,\infty)$ is preserved under doubling and gluing constructions.
Three-Dimensional Alexandrov spaces with positive or nonnegative Ricci curvature
本文研究了$\mathsf{CD}^*(K,N)$意义下具有里奇曲率下界的三维Alexandrov闭空间，重点研究了具有正或非负里奇曲率的空间.首先，我们证明了一个封闭的三维$\mathsf{CD}^*(2,3)$ -Alexandrov空间必须同胚于一个球面空间型或$\mathbb{R}P^2$的悬置。然后，我们分类封闭的三维$\mathsf{CD}^*(0,3)$ -Alexandrov空间。
Curvature tensor of smoothable Alexandrov spaces
本文证明了在截面曲率有下界且非塌缩的收敛序列下，Riemannian流形的曲率张量具有弱收敛性。
Alexandrov curvature of Kaehler curves
本文研究了在Grauert意义下具有Kaehler度量的一维复空间的内禀几何。证明了如果K是正则轨迹上的高斯曲率的上界，则内在度量的曲率至多为K的Alexandrov意义下的曲率.
We show that if an Alexandrov space $X$ has an Alexandrov subspace $\bar Ω$ of the same dimension disjoint from the boundary of $X$, then the topological boundary of $\bar Ω$ coincides with its Alexandrov boundary. Similarly, if a noncollapsed RCD(K,N) space $X$ has a noncollapsed RCD(K,N) subspace $\bar Ω$ disjoint from boundary of $X$ and with mild boundary condition, then the topological boundary of $\bar Ω$ coincides with its De Philippis-Gigli boundary. We then discuss some consequences about convexity of such type of equivalence.
Markov type of Alexandrov spaces of nonnegative curvature
证明了非负曲率的Alexandrov空间$X$在Ball意义下具有Markov 2型.作为推论，任何从$X$的子集到2-一致凸巴拿赫空间的Lipschitz连续映射都被推广为整个空间$X$上的Lipschitz连续映射.
On a new definition of Ricci curvature on Alexandrov spaces
最近，在[49]中，作者给出了Alexandrov空间上里奇曲率下界的一个新定义.在这篇文章中，我们扩展我们的研究，总结几何和解析的结果，在此Ricci条件。特别地，得到了两个新的结果：Bishop-Gromov体积比较的刚性结果和热核的Lipschitz连续性.
Geometric analysis aspects of infinite semiplanar graphs with nonnegative curvature II
在以前的文件华Jost刘，我们已经应用Alexandrov几何方法来研究无限半平面图的非负组合曲率。我们证明了这些图的弱相对体积比较和Poincaré不等式，得到了多项式增长调和函数的维数估计，它在增长率上是渐近二次的.本文不使用图的体积比较，而是直接在Alexandrov空间上讨论图上多项式增长的调和函数的最优维数估计，它的增长率实际上是线性的.从图上的一个调和函数出发，我们在相应的Alexandrov曲面上构造了一个函数，该函数不一定是调和的，但满足关键的估计。
Shape of Alexandrov spaces with positive Ricci curvature
在Zhang-Zhu引入的Alexandrov空间的里奇曲率有下界的定义下，推广了Colding的一个结果，即一个n维流形，其里奇曲率大于或等于n-1，且其体积接近于单位n球面的体积，则它是闭的（在Gromov-Hausdorff距离中）到球面，从黎曼流形的情况到亚历山德罗夫空间的情况，加上一个额外的假设，粗略地说，短割点的粗体积是小的，遵循黎曼情形中的基本思想，但由于距离函数的仅几乎处处二阶可微性而作了必要的修改。
A note on local gradient estimate on Alexandrov spaces
本文证明了里奇曲率下有界的Alexandrov空间上调和函数的Cheng-Yau型局部梯度估计.我们采用了一个改进的版本的Moser迭代，这是基于张朱的Bochner型公式。在负Ricci下界的情况下，改进了Zhang-Zhu的结果.
Alexandrov Regions
本文提出 Alexandrov 区域概念，它是不完备但满足下曲率界且有限维的内在度量空间，并证明了其局部等距于 Alexandrov 空间的定量版本。
Orientability and fundamental classes of Alexandrov spaces with applications
在本文中，我们考虑了几个有效的概念的Alexandov空间的定向性，并证明了所有这些条件是等价的。进一步，我们给出了可定向性的拓扑和几何应用。特别地，证明了一个Poincaré型对偶定理。作为对偶定理的一个推论，我们还证明了，如果一个封闭的亚历山德罗夫空间承认一个正曲率界在一个综合的意义上，那么它的余维一个同调消失。进一步，我们得到了可定向闭Alexandrov空间的一个填充半径不等式.
Reverse isoperimetric inequality in two-dimensional Alexandrov spaces
证明了二维Alexandrov曲率空间$\geqslant c$中曲率边界下有界的圆盘同胚域的一个逆等周不等式.我们还研究了平等问题。
Affine functions on Alexandrov spaces
我们证明了每个曲率有界的有限维Alexandrov空间X正则嵌入到具有相同曲率界的Alexandrov空间和欧几里得空间的乘积中，使得X上的每个仿射函数来自欧几里得空间上的仿射函数。
In the present paper, we define a notion of good coverings of Alexandrov spaces with curvature bounded below, and prove that every Alexandrov space admits such a good covering and that it has the same homotopy type as the nerve of the good covering. We also prove the stability of the isomorphism classes of the nerves of good coverings in the non-collapsing case. In the proof, we need a version of Perelman's fibration theorem, which is also proved in this paper.
Alexandrov spaces with large volume growth
设$(X,d)$是$n$维Alexandrov空间，其Hausdorff测度$\mathcal{H}^n$满足一个条件，给出度量测度空间$(X,d,\mathcal{H}^n)$具有非负里奇曲率的概念.我们研究了大体积增长对这些空间的影响，并推广了黎曼几何中的一些经典论点，表明当体积增长足够大时，则$(X,d,\mathcal{H}^n)$具有有限的拓扑型。
Comparison and Rigidity Theorems for geodesic curvatures in two dimensional Alexandrov spaces
本文研究了二维Alexandrov空间边界的测地曲率，证明了比较和刚性定理，扩展了已知的曲率上界和下界结果。
In this paper, we introduce quasi-convex subsets in Alxandrov spaces with lower curvature bound, which include not only all closed convex subsets without boundary but also all extremal subsets. Moreover, we explore several essential properties of such kind of subsets including a generalized Liberman theorem. It turns out that the quasi-convex subset is a nice and fundamental concept to illustrate the similarities and differences between Riemannian manifolds and Alxandrov spaces with lower curvature bound.
This paper aims to give an elementary proof for Toponogov's theorem in Alexandrov geometry with lower curvature bound. The idea of the proof comes from the fact that, in Riemannian geometry, sectional curvature can be embodied in the second variation formula.
Lectures on Alexandrov spaces with curvature bounded below
介绍曲率有下界的亚历山德罗夫空间，涵盖比较条件、全球化定理等多主题，简述二维理论，为现代亚历山德罗夫几何的主要前身，对该领域相关内容进行了全面介绍。
Here I show compatibility of two definition of generalized curvature bounds --- the lower bound for sectional curvature in the sense of Alexandrov and lower bound for Ricci curvature in the sense of Lott--Villani--Sturm.
An Invitation to Tropical Alexandrov Curvature
本文研究热带投影环面中热带度量下的 Alexandrov 曲率，揭示三角形组合类型与曲率符号与未定义性的紧密联系，并结合证明与计算实验讨论其统计意义。
Closed geodesics in Alexandrov spaces of curvature bounded from above
本文证明了$W^{1,2}$映射到$CAT(K)$空间的局部能量凸性。这种能量凸性使我们能够扩展Colding和Minicozzi的宽度扫掠构造，以在任何从上方有界的曲率封闭亚历山德罗夫空间中产生闭测地线，这也提供了关于亚历山德罗夫设置中存在非平凡闭测地线的Birkhoff-Lyusternik定理的广义版本。
$SRA$-free spaces is a wide class of metric spaces including finite dimensional Alexandrov spaces of non-negative curvature, complete Berwald spaces of nonnegative flag curvature, Cayley Graphs of virtually abelian groups and doubling metric spaces of non-positive Busemann curvature with extendable geodesics. This class also includes arbitrary big balls in complete, locally compact $CAT(k)$-spaces $(k \in \mathbb R)$ with locally extendable geodesics, finite-dimensional Alexandrov spaces of curvature $\ge k$ with $k \in R$ and complete Finsler manifolds satisfying the doubling condition. We sh…
Besicovitch Covering on Alexandrov Spaces
本文证明具有曲率下界的有限维Alexandrov空间（包括截面曲率下界的完备黎曼流形）满足Besicovitch覆盖定理，方法是证明其在Federer意义下方向受限。
Curvature bounded below: a definition a la Berg--Nikolaev
在Alexandrov意义下，给出了具有非负曲率空间的一个新的刻画。
In this paper, we give a comparison version of Pythagorean Theorem to judge the lower or upper bound of the curvature of Alexandrov spaces (including Riemannian manifolds).
Alexandrov spaces with non negative curvature and displacement convexity of the entropy tensor
将熵张量推广到曲率有下界的Alexandrov空间，通过构造满足上循环条件和第二变分公式的平行平凡化，证明非负曲率等价于熵张量的矩阵位移凸性。
The Gauss curvature measure of a pointed Euclidean convex body is a measure on the unit sphere which extends the notion of Gauss curvature to non-smooth bodies. Alexandrov's problem consists in finding a convex body with given curvature measure. In Euclidean space, A.D. Alexandrov gave a necessary and sufficient condition on the measure for this problem to have a solution. In this paper, we address Alexandrov's problem for convex bodies in the hyperbolic space H m+1. After defining the Gauss curvature measure of an arbitrary hyperbolic convex body, we completely solve Alexandrov's problem in t…
Yau's gradient estimates on Alexandrov spaces
本文在具有里奇曲率的Alexandrov空间上建立了一个Bochner型公式.在Alexandrov空间上也得到了调和函数的Yau梯度估计.
New definitions of Alexandrov space and applications
该研究引入虚比较角与支撑意义下的有界二阶导数，证明Alexandrov空间定义的原始条件可被更弱条件替代，并为相关经典定理提供了新证明。
We introduce a new geometric invariant called the obtuse constant of spaces with curvature bounded below. We first find relations between this invariant and the normalized volume. We also discuss the case of maximal obtuse constant equal to $π/2$, where we prove some rigidity for spaces. Although we consider Alexandrov spaces with curvature bounded below, the results are new even in the Riemannian case.
Alexandrov geometry: foundations
本书聚焦曲率有上下界的Alexandrov空间结构理论，以关注两类空间关联的新颖方法，系统阐述其基础理论至维数定义的相关内容，后续卷册将覆盖更多主题。
Locally Lipschitz contractibility of Alexandrov spaces and its applications
我们证明了任何具有下曲率界的有限维Alexandrov空间都是局部Lipschitz可收缩的。作为应用，我们得到了Mese和Zulkowski在Alexandrov空间中求解Plateau问题的一个充分条件.
Laplacian comparison for Alexandrov spaces
我们考虑一个无穷小版本的Bishop-Gromov相对体积比较条件作为广义概念的里奇曲率有界下的Alexandrov空间。在此条件下，我们证明了Alexandrov空间的一个Laplacian比较定理。作为应用，我们证明了一个拓扑分裂定理。
The Injectivity Radius of Souls of Alexandrov Spaces
本文将Šarafutdinov关于非紧非负曲率黎曼流形注入半径的下界推广到Alexandrov空间，证明当空间注入半径不等于其灵魂的注入半径时，其至少为$πK^{-1/2}$，并系统引入灵魂概念及比较两种注入半径定义。
We obtain sharp lower bounds on the radii of inscribed balls for strictly convex isoperimetric domains lying in a 2-dimensional Alexandrov metric space of curvature bounded below. We also characterize the case when such bounds are attained.
For a general radially symmetric, non-increasing, non-negative kernel $h\in L ^ 1 _{loc} ( R ^ d)$, we study the rigidity of measurable sets in $R ^ d$ with constant nonlocal $h$-mean curvature. Under a suitable "improved integrability" assumption on $h$, we prove that these sets are finite unions of equal balls, as soon as they satisfy a natural nondegeneracy condition. Both the radius of the balls and their mutual distance can be controlled from below in terms of suitable parameters depending explicitly on the measure of the level sets of $h$. In the simplest, common case, in which $h$ is po…
A variational proof of Alexandrov's convex cap theorem
给出了一个变分证明，证明了具有给定上边界的凸帽的存在性和唯一性。利用广义凸帽空间上的全数量曲率泛函的证明。作为一个副产品，我们证明了广义凸帽与固定的边界是全球刚性的，这是唯一确定的曲率。
Discrete-time gradient flows and law of large numbers in Alexandrov spaces
我们发展了Alexandrov空间上具有任意曲率上下界的凸函数的离散时间梯度流理论。我们采用不同的预解映射的上下曲率界的情况下，构建这样的流，并显示其收敛到一个极小的势函数。我们还证明了随机版本，凸函数值随机变量的广义大数定律，它不仅扩展Sturm的大数定律的非正弯曲空间的任意下或上曲率界，但这个版本似乎新的，即使在欧几里德设置。这些结果推广了Bačák、Jost、Sturm等人在非正曲空间（部分是平方距离函数）中的结果，而下曲率界的情况似乎是全新的。
The connected components of the space of Alexandrov surfaces
用$\mathcal{A}(κ)$表示所有紧致Alexandrov曲面的集合，这些曲面的曲率由$κ$无边界地限定，并赋予由Gromov-Hausdorff度量诱导的拓扑。我们确定了$\mathcal{A}(κ)$及其闭包的连通分支。
On three-dimensional Alexandrov spaces
本文研究了具有下曲率界的三维Alexandrov空间，推广了关于三维流形的三个经典结果：第一，证明了具有至少一个拓扑奇点的正曲率闭三维Alexandrov空间必同胚于实射影平面的悬置;我们用它来分类，同胚，封闭的，积极弯曲的三维亚历山德罗夫空间。其次，我们对具有非负曲率的三维Alexandrov闭空间进行了分类。第三，我们研究了著名的庞加莱猜测在三维，在亚历山德罗夫空间的背景下，在两种形式，它通常是制定的流形。我们首先证明，唯一的三维亚历山德罗夫空间，也是一个同伦球面是3-球;然后，我们给出了封闭的，几何的，单连通的三维亚历山德罗夫空间的例子，为8个瑟斯顿几何中的5个，一路证明了不可能得到这样的例子为零，$\widetilde{\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})}$和溶胶几何。最后，我们证明了封闭的三维Alexandrov空间的几何化猜想的模拟文件。
Quantitative Stability of Wasserstein Barycenters over Alexandrov Spaces with Lower Curvature Bounds
本文结合Carlier-Delalande-Mérigot的变分策略与热核正则化，证明了曲率下有界Alexandrov空间上Wasserstein重心的定量稳定性，给出了重心方差泛函的显式强凸模，并推导出重心关于分布的一致Hölder连续性、经验重心一致性和熵基样本复杂度界。
Sharp bounds and rigidity for volumes of boundaries of Alexandrov spaces
该研究针对具有给定曲率下界、维度和半径的Alexandrov空间，推导了其边界体积的精确界，完成刚性情形分类与几乎刚性分析，成果对带边光滑流形也具创新性。
A topological splitting theorem for weighted Alexandrov spaces
在Alexandrov空间上测度的Bishop-Gromov相对体积比较条件的无穷小形式下，证明了Cheeger-Gromoll型拓扑分裂定理.作为推论，我们证明了具有非负（Bakry-Emery）里奇曲率奇点的黎曼流形的等距分裂定理.
Equivariant Alexandrov geometry and orbifold finiteness
设紧李群等距作用在具有固定维数、一致下曲率和一致直径上界的紧Alexandrov空间的非塌缩序列上。如果作用序列是等度连续的并且在等变Gromov-Hausdorff拓扑中收敛，则极限空间是等变同胚于序列尾部的空间。因此，由截面曲率和体积的下界和直径的上界定义的维数为$n$的黎曼轨道折叠类，在轨道同胚之前只有1000个成员。此外，任何一类截面曲率有下界的等谱黎曼轨道折叠在轨道同胚下都是有限的。
We characterize Riemannian orbifolds with an upper curvature bound in the Alexandrov sense as reflectofolds, i.e. Riemannian orbifolds all of whose local groups are generated by reflections, with the same upper bound on the sectional curvature. Combined with a result by Lytchak--Thorbergsson this implies that a quotient of a Riemannian manifold by a closed group of isometries has locally bounded curvature (from above) in the Alexandrov sense if and only if it is a reflectofold.
The Optimal Scaling Parameter in Metric Cotype for Alexandrov Spaces of Nonnegative Curvature
本文确定了非负曲率 Alexandrov 空间中度量余型 2 不等式缩放参数的最优阶为线性，并回答了相关开放问题。
Farthest-cell triplet entropy: high-dimensional shell limits and hyperbolic curvature amplification
本研究提出最远胞体三元组熵统计量，推导其在高维欧氏与双曲空间的极限性质，验证了基于熵反演的曲率估计效果，并指出该方法对各向异性不鲁棒。
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