Markov type of Alexandrov spaces of nonnegative curvature
证明了非负曲率的Alexandrov空间$X$在Ball意义下具有Markov 2型.作为推论，任何从$X$的子集到2-一致凸巴拿赫空间的Lipschitz连续映射都被推广为整个空间$X$上的Lipschitz连续映射.
2010-05-08 math.FA math.MG
Bi-Lipschitz embeddings of $SRA$-free spaces into Euclidean spaces
$SRA$ -free空间是一类广泛的度量空间，包括有限维非负曲率的Alexandrov空间、非负旗曲率的完备Berwald空间、虚阿贝尔群的Cayley图和具有可扩测地线的非正Busemann曲率的加倍度量空间.这类也包括任意大球在完整的，局部紧的$CAT(k)$ -空间$(k \in \mathbb R)$与局部可扩测地线，有限维Alexandrov空间的曲率$\ge k$与$k \in R$和完整的芬斯勒流形满足加倍条件。我们证明了$SRA$自由空间允许在欧几里得空间中的双Lipschitz嵌入。作为推论，我们得到了有限维Alexandrov空间中球的一个定量的双Lipschitz嵌入定理。埃里克森-比克证明的主要工具是双Lipschitz映射到欧几里得空间的扩张定理。这个扩张定理与J. Seo的嵌入定理在性质上是接近的，并且可能是独立的。
2019-06-06 math.MG
Margulis lemma and Hurewicz fibration Theorem on Alexandrov spaces
本文证明了在曲率有界的Alexandrov $n$ -空间$X$上具有一致指标界的广义Margulis引理，即$p\in X$处的小循环生成单位球$B_1(p)$的基本群的子群，该子群包含指数为$\le w(n)$的幂零子群，其中$w(n)$是仅取决于维度$n$的常数。证明是基于V的主要思想。Kapovitch，A.~ Petrunin和W.~ Tuschmann的结果，并证明了以下结果：（1）证明了Yamaguchi在曲率有界的塌缩Alexandrov空间上构造的正则几乎Lipschitz浸没是Hurewicz纤维化。我们还证明了这种纤维化是唯一确定的同伦等价。(2)给出了梯度推进的详细证明，改进了V.~ Kapovitch，A.~ Petrunin和W.~ Tuschmann提出的方法，并证明了正则点之间的梯度推总是可以远离极值子集。
2019-03-31 math.DG math.MG
A fibration theorem for collapsing sequences of Alexandrov spaces
针对仅含弱奇点的 Alexandrov 空间坍缩序列，本文证明在方向空间体积满足一致正下界且足够强时，Yamaguchi 的近似 Lipschitz 淹没为局部平凡纤维化，并刻画纤维度量与体积性质。
2021-06-17 math.DG math.MG
Existence of least-area discs
本文证明欧几里得空间中每条闭Lipschitz曲线可延拓为最小面积Lipschitz圆盘，并推广至Alexandrov曲率有上界的度量空间。
2026-09-28 math.DG math.MG
Heat flow on Alexandrov spaces
证明了在曲率有界的紧致Alexandrov空间上，$L^2$ -空间中Dirichlet能量的梯度流与$L^2$ -Wasserstein空间中相对熵的梯度流具有相同的演化.这意味着热流由两个梯度流中的任一个很好地限定。结合这些流的性质，我们能够推导出热核的Lipschitz连续性以及Bakry-Émery梯度估计和$Γ_2$ -条件。我们的识别是建立在纯粹的度量手段，不像以前的结果依赖于PDE技术。我们的方法推广到热流漂移的情况下。
2012-01-19 math.AP math.DG math.MG
Quantitative Estimates on the Singular Sets of Alexandrov Spaces
设$X\in\text{Alex}\,^n(-1)$是具有曲率$\ge -1$的$n$维Alexandrov空间.令$r$ -尺度$(k,ε)$ -奇异集$\mathcal S^k_{ε,\,r}(X)$是$x\in X$的集合，使得$B_r(x)$在任何分裂空间$\mathbb R^{k+1}\times Z$中都不是$εr$ -接近球.我们表明，存在$C(n,ε)>0$和$β(n,ε)>0$，独立的体积，使任何不相交的集合$\big\{B_{r_i}(x_i):x_i\in \mathcal S_{ε,\,βr_i}^k(X)\cap B_1, \,r_i\le 1\big\}$，包装估计$\sum r_i^k\le C$举行。因此，我们得到了Hausdorff测度估计$\mathcal H^k(\mathcal S^k_ε(X)\cap B_1)\le C$和$\mathcal H^n\big(B_r (\mathcal S^k_{ε,\,r}(X))\cap B_1(p)\big)\leq C\,r^{n-k}$。这回答了Kapovitch和Lytchak提出的一个开放性问题。我们还证明了$k$ -奇异集$\mathcal S^k(X)=\underset{ε>0}\cup\left(\underset{r>0}\cap\mathcal S^k_{ε,\,r}\right)…
2019-12-08 math.DG math.MG
Distributional sectional curvature bounds for Riemannian metrics of low regularity
Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学系）；Department of Mathematics, University of Toronto（多伦多大学数学系）
本文提出了一种针对低正则性黎曼度量的分布曲率界概念，并证明了其与阿莱克斯安德罗夫空间三角比较的联系。
2026-01-29 math.DG math.MG
The coincidence of the current homology and the measure homology via a new topology on spaces of Lipschitz maps
考虑了局部Lipschitz可缩度量空间和局部Lipschitz映射的范畴，它是度量空间的一个广泛的范畴，包括了有限维Alexandrov空间和CAT空间.在Ambrosio和Kirchheim意义下，我们还考虑了度量空间中具有紧支集的正规流的链复形.本文证明了它的同调是范畴上的一个同伦不变量。为了证明这个结果，我们在任意度量空间之间的Lipschitz映射空间上定义了一个新的拓扑。证明了该拓扑与紧黎曼流形之间的$C^1$ -映射空间上的通常的$C^1$ -拓扑一致。
2015-10-26 math.AT math.GN math.MG
On the volume measure of non-smooth spaces with Ricci curvature bounded below
我们证明，给定一个$RCD^{*}(K,N)$ -空间$(X,d,m)$，那么它是可能的$m$ -基本上覆盖$X$的可测量子集$(R_{i})_{i\in \mathbb{N}}$具有以下性质：对于每个$i$存在$k_{i} \in \mathbb{N}\cap [1,N]$，使$m\llcorner R_{i}$是绝对连续的$k_{i}$维Hausdorff措施。我们还表明，Lipschitz可微空间是双Lipschitz嵌入到一个欧氏空间是可求长的度量测度空间，我们的结论与Alexandrov空间的应用。
2017-01-20 math.DG math.FA math.MG
Regularity of quasi-n-harmonic mappings into NPC spaces
本文证明了从欧氏区域到 Alexandrov 意义下非正曲率空间的拟 n-调和映射的局部 Hölder 连续性，并进一步推导出其在有界 Lipschitz 区域上的全局 Hölder 连续性。
2018-01-02 math.AP math.DG math.MG
Jensen's inequality in geodesic spaces with lower bounded curvature
设$(M,d)$是可分完备测地空间，其曲率由$κ\in \mathbb R$在Alexandrov意义下下界.令$μ$是$M$上的Borel概率测度，使得$μ\in\mathcal P_2(M)$，并且具有至少一个重心$x^{*}\in M$。我们表明，任何测地线$α$凸函数$f:M\to \mathbb R$，$α\in \mathbb R$，不等式\[f(x^*)\le \int_M (f -\fracα{2}d^2(x^*,.))\,{\rm d}μ,\]持有$f$是本地Lipschitz在$x^*$和积极的或在$L^1(μ)$。我们的证明依赖于重心处切锥的性质和具有下界曲率的空间中半凹函数梯度的存在性。
2021-03-27 math.DG math.MG math.PR
Metric embeddings of cubes into dense subsets of cubes
University of Athens（雅典大学）；Princeton University（普林斯顿大学）
研究将k维立方体等距或双Lipschitz嵌入到N维立方体δ-稠密子集所需的最小N，并给出不同嵌入类型下的上下界。
2026-07-03 math.CO math.MG
Coarse differentiation and quantitative nonembeddability for Carnot groups
给出了从具有Carnot-Carathéodory度量$(G,\dcc)$的Carnot群到几类不同的度量空间的Lipschitz映射的宏观尺度粗可微性的下界估计.利用这一结果，我们推导出下界估计的定量nonembeddability的Lipschitz嵌入$G$到度量空间$(X,d_X)$，如果$X$是一个Alexandrov空间的非正或非负曲率，超自反Banach空间，或另一个卡诺群，不承认一个biLipschitz同态嵌入$G$。对于相同的目标，我们可以进一步给出每个嵌入$f : B(n) \to X$的biLipschitz失真的下界估计，其中B（n）是一个非交换无挠幂零群$G$的半径为$n$的球.我们还证明了类似的Bourgain的离散化定理的卡诺集团，并表明卡诺集团有非平凡的马尔可夫凸性。这些给出了第一个例子的度量空间，有非平凡的马尔可夫凸，但不能biLipschitzly嵌入到巴拿赫空间的非平凡马尔可夫凸。
2013-06-18 math.GR math.MG
Nonpositive curvature is not coarsely universal
我们证明了不是每一个度量空间粗嵌入到Alexandrov空间的非正曲率。这回答了Gromov（1993）的一个问题，并且与Andoni，Naor和Neiman（2015）所示的任何度量空间都粗略地嵌入非负曲率的Alexandrov空间的事实相反。我们证明了对于某些$q\in [1,\infty)$，$q$ -重心度量空间具有带尖锐标度参数的度量余型$q$。我们的证明利用非线性（度量空间值）鞅不等式，并产生尖锐的界限，甚至对一些经典的Banach空间。这使我们能够评估$\ell_\infty$网格$[m]_\infty^n=(\{1,\ldots,m\}^n,\|\cdot\|_\infty)$到$\ell_q$中的双Lipschitz失真，对于所有$q\in (2,\infty)$，从中我们推导出以下离散逆，即对于$q=O(\log n)$，$\ell_\infty^n$以失真将$O(1)$嵌入到$\ell_q$中。Ribe（1976）的刚性定理意味着对于每个$n\in \mathbb{N}$，存在$m\in \mathbb{N}$，使得如果$[m]_\infty^n$嵌入到具有失真$O(1)$的$\ell_q$中，则$q$必然至少是$\log n$的泛常倍数。Ribe定理并没有给出这个$m$的一个明确的上界，但是通过Bourgain（1987）的工作，它足以取$m=n$，这是以前…
2019-03-21 math.FA math.MG
A new notion of angle between three points in a metric space
在一般度量空间中给出了角的一个新概念;更准确地说，给定度量空间$(X,d)$中的三个a点$p,x,q$，我们引入角锥${\angle_{pxq}}$的概念作为区间${\angle_{pxq}}:=[\angle^-_{pxq},\angle^+_{pxq}]$，其中，量$\angle^\pm_{pxq}$根据来自$p$和$q$的距离函数，通过微分和梯度的对偶构造来定义，所述微分和梯度对于一般上的局部Lipschitz函数成立，度量空间。如果$x$不在$p$或$q$的切割轨迹中，我们在欧几里得平面上的定义给出了三点之间的标准角，在黎曼流形上的定义与测地线之间的通常角重合。我们表明，在一般的角度锥是不是单值（即使在度量空间是光滑黎曼流形的情况下，如果$x$在$p$或$q$的截轨迹中），但如果我们赋予度量空间正Borel测度$(X,d,m)$，则在相当一般的假设下，（其中包括许多基本的例子，如黎曼流形，有限维Alexandrov空间与曲率有界从下面，Gromov-Hausdorff限制黎曼流形与Ricci曲率有界从下面，和严格凸范数的赋范空间），固定$p,q \in X$，$x$的角锥是单值的$m$ -a.e. $x \in X$。我们证明了锥角的一些基本性质（如在空间的同素性下的不变性），并详细分析了$(X,d,m)$是一列Ricci曲率有界的黎曼流形的可测Gromov-Hausdor…
2013-02-03 math.DG math.HO math.MG
