A simple and unusual bijection for Dyck paths and its consequences
在本文中，我们引入了一个新的双射从Dyck路集本身。这种双射的性质是，它将最近出现在模式避免排列研究中的统计量映射到Dyck路径上的经典统计量中，Dyck路径的分布很容易获得。我们还提出了一个推广的双射，以及它的几个应用到统计的计数问题的限制排列。
2003-06-09 math.CO
The height of skew Dyck paths with two variants of downsteps
Department of Mathematics, University of Stellenbosch（斯泰伦博斯大学数学系）；NITheCS (National Institute for Theoretical and Computational Sciences)（理论计算科学国家研究所）
研究具有两种下降步变体的斜戴克路径的高度，利用生成函数、核方法和线性系统，对其平均高度等计数做出贡献，得出平均高度为$\sqrt{n}$阶的结论。
2026-07-17 math.CO
Enumeration of Dyck paths with air pockets
本文引入并研究了一类新的带气袋的组合Dyck路。我们展示了一个双射的无峰Motzkin路径，它传输几个模式的统计数据，并给出二元生成函数的分布模式的峰值，回报和金字塔。然后，我们推导出这些模式的普及和渐近期望，并指出金字塔的普及和一种特殊的封闭光滑自重叠曲线，斐波那契曲折的子集之间的联系。对带有气穴的非递减Dyck路径进行了类似的研究。
2023-03-06 cs.DM math.CO
Double deficiencies of Dyck paths via the Billey-Jockusch-Stanley bijection
我们证明了最近的猜想René Marczinzik涉及某些统计的Dyck路径，起源于表示论的中山代数的线性定向的一个。我们这样做，通过分析Dyck路径和321-避免排列对这些统计数据，这是建议的查询结果发布到在线数据库FindStat之间的Billey-Jockusch-Stanley双射的效果。
2017-08-16 math.CO
Skew 2-Dyck paths via the kernel method
University of Stellenbosch（斯泰伦博斯大学）；NITheCS (National Institute for Theoretical and Computational Sciences)（国家理论与计算科学研究所）
本文提出斜2-Dyck路径的新定义，通过核方法求解生成函数，并讨论了扩展到t-Dyck路径的可能性以及右向扫描方法。
2025-12-21 math.CO
Exterior Pairs and Up Step Statistics on Dyck Paths
令$\C_n$为长度为$n$的Dyck路径的集合。本文利用有序树的一个新的自同构，证明了A.丹尼斯和R. Simion，在集合$\C_n$上是等分布的，具有统计量“在高度$h$处的上升台阶数，具有$h\equiv 0$（mod 3”）“。此外，对于$m\ge 3$，我们证明了集合$\C_n$上的两个统计量“在高度$h$上的向上台阶数与$h\equiv 0$（mod $m$）”和“在高度$h$上的向上台阶数与$h\equiv m-1$（mod $m$）”是“几乎等分布的”。这两个结果都得到了组合证明。
2010-10-27 math.CO
Kreweras's Narayana number identity has a simple Dyck path interpretation
我们表明，一个身份的Kreweras的纳拉亚纳数计数戴克路径与给定数量的峰值的峰值高原，其中一个峰值高原是一个运行的连续峰值，之前立即由一个upstep，然后由一个downstep。
2012-03-18 math.CO
Enumeration of Generalized Dyck Paths Based on the Height of Down-Steps Modulo $k$
该研究针对满足特定约束的$k_t$-Dyck广义格点路径，通过统计下降步高度模$k$的分布，推导了对应路径数的精确计数公式，采用双射法与生成函数完成证明，丰富了组合计数领域的相关结论。
2022-04-29 math.CO
The area above the Dyck path of a permutation
本文研究了从置换到Dyck路的映射。一个戴克路径产生的（杨）图，我们给统计排列和统计之间的关系，其相应的图表。分布的大小，这张图进行了讨论，并概括了奇偶校验结果由于西蒙和施密特。我们提出了一个填充的图，它确定的置换唯一。图包含在一个受限制的类的排列被证明是有关的强Bruhat偏序集。
2009-11-25 math.CO
On k-Dyck paths with a negative boundary
由一个单位的向上步和$k$单位的向下步组成的路径，由水平线$-t$在下面限定，表现得像$k$-Dyck路径的$t+1$有序元组，条件是$t\le k$。我们描述的一般情况下，允许$t$也更大。参数是双射的和/或分析的。
2020-08-18 math.CO
Dinv, Area, and Bounce for $\vec{k}$-Dyck paths
著名的$q,t$ -Catalan序列作为普通Dyck路的加权和有两种组合解释：一种是Haglund的面积反弹公式，另一种是Haiman的单位面积公式. zeta映射是为了连接这两个公式而构造的：它是从普通Dyck路径到它们自身的双射，它需要dinv到面积，面积到反弹。Loehr把这个结果推广到$k$ -Dyck路径上. Zeta地图由Armstrong-Loehr-Warrington扩展为非常一般的一类路径。本文推广了$\vec{k}$ -Dyck路径的面积反弹结果：i）给出了$\vec{k}$-Dyck路径反弹统计量的尺规作图法，其中包括$k$ -Dyck路径和普通Dyck路径的特殊情况; ii）给出了$\vec{k}$ -Dyck路径的dinv统计量的几何解释。我们的反弹结构受到Loehr结构和Xin-张的线性算法反演扫描映射上的$\vec{k}$ -Dyck路径。我们的dinv解释受到Garsia-Xin在理性Dyck路径上对dinv到面积结果的视觉证明的启发。
2020-11-10 math.CO
Dyck tableaux
在这项工作中，我们引入了新的组合对象称为戴克tableaux，提出了一个自然的插入算法。这些工具可能是有用的，以描述统计，这是相关的物理模型PASEP的研究。
2011-10-20 math.CO
Euler Coefficients and Restricted Dyck Paths
我们考虑的问题，枚举Dyck路径停留弱以上的x轴的限制，连续向上的步骤，或限制的数量连续向下的步骤。我们使用有限算子演算来获得在第一象限中到达给定点的所有这样的路径的数量的公式。我们的所有结果都是基于欧拉系数。
2007-05-21 math.CO
The descent statistic over 123-avoiding permutations
我们利用Krattenthaler的双射之间的123-避免排列和Dyck路径，以确定在$S_n$的123-避免排列的集合$S_n(123)$的欧拉分布。特别地，我们证明了置换的下降对应于Dyck路径的谷和三重下降，并通过研究这两个统计量在Dyck路径上的联合分布，得到了$S_n(123)$的欧拉数.
2009-10-06 math.CO
Permutation-generated maps between Dyck paths
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung（万隆理工学院数学系）；Department of IT and Big Data Analytics, Calvin Institute of Technology（卡尔文理工学院信息技术与大数据分析系）
在2003年，Deutsch和Elizalde定义了一类Dyck路集到自身的双射映射，这类映射是由一些特殊的置换诱导的。在本文中，我们通过允许置换是任意的，推广了映射的构造。我们将生成相同映射的置换进行排序，并找到所有生成双射的置换。因此，我们给出了一个新的组合解释的数量$(2n-1)!!$，以及一些新的统计Dyck路径等分布到一些已知的高度统计，通过我们的广义地图。
2022-12-30 math.CO
Enumerating several statistics of r-Colored Dyck paths with no dd-steps having the same colors
本文研究无相邻同色 d-步的 r-色 Dyck 路径，利用与 (a,b)-Schröder 路径加权生成函数相关的 Riordan 阵列，建立点数、u-步数和峰数等统计量的计数公式及恒等式。
2025-06-10 math.CO
Bijections from weighted Dyck paths to Schroeder paths
Kim和Drake使用生成函数证明了2-distance noncrossing matching的个数，它们与小Schroeder路径的双射相同，与Dyck路径的权重相同，其中从偶数高度向下的台阶的权重为2。本文给出了从这些Dyck路径到小Schroeder路径的双射，以及从一组相似的Dyck路径到大Schroeder路径的双射。我们展示了这些双射对相应匹配的影响，找到两个新的类格路径的生成函数，并证明了与231-避免排列的关系。
2010-06-11 math.CO
A bijection between bargraphs and Dyck paths
条形图是一类特殊的凸多项式。它们可以用晶格路径来标识，晶格路径的单位步长分别为北、东、南，起始于原点，终止于$x$轴，并且除了端点之外的任何地方都严格位于$x$轴上方。在统计物理学中，条形图被用来表示直方图和建模聚合物，在文献中已经通过半周长和其他几种统计方法进行了列举，使用不同的方法，如Bousquet-Mélou和Rechnitzer的蜂腰分解，以及某些Motzkin路径的双射。本文描述了条形图与Dyck路之间的一种特殊的双射，并研究了一些统计量如何由这种双射映射。因此，我们得到一个新的解释加泰罗尼亚数，计数条形图的半周长减去峰的数量是固定的。
2017-05-17 math.CO
Words, Dyck paths, Trees, and Bijections
在\cite{BaDeFePi96}中引入了非减Dyck路的概念。我们继续从文字、理性语言、种植的悬铃木和连分数的角度进行研究。我们构建一个双射种植的平面树的高度$\le 4$和计算各种统计的树是非减Dyck路径的等价物。
2019-10-25 math.CO
On rational Dyck paths and the enumeration of factor-free Dyck words
受Bizley和Duchon的独立结果的启发，我们研究了有理Dyck路及其无因子元子集。一方面，我们给出了有理Dyck路和正则Dyck路之间的一个双射，其中上升部分被无因子词着色。这种双射导致了一个新的统计的基础上的减少水平的路径，我们提供了一个相应的公式。另一方面，我们证明了通过部分贝尔多项式定义的某些序列的逆关系，我们用它来推导出一个公式的枚举因子自由的话。此外，我们给出了替代公式的各种枚举序列中出现的情况下，合理的戴克路径。
2016-12-22 math.CO
How to decompose a permutation into a pair of labeled Dyck paths by playing a game
我们给出了长度为2n的置换和某些Dyck路径对与标签的下降步骤之间的双射。双射来自一个游戏，在这个游戏中，两个玩家从一组2n个项目中交替选择：排列编码了玩家对项目的偏爱序，而戴克路径编码了在最佳游戏下选择项目的顺序。我们列举排列的某些统计数据，AA反转和BB反转，这在游戏方面有自然的解释。给出了经典恒等式如\sum_p \prod_{i=1}^n q^{h_i-1} [h_i]_q = [1]_q [3]_q. [2n-1]_q，其中和是在所有长度为2n的Dyck路p上，h_i是p的下台阶的高度。
2013-06-28 cs.GT math.CO math.PR
Bell Polynomials and $k$-generalized Dyck Paths
长度为$n$的{ \em k-广义Dyck路径}是平面整数格$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$中从$(0,0)$到$(n,0)$的格路径，该格路径由针对给定整数$k\geq 0$的水平阶$(k, 0)$、向上阶$(1,1)$和向下阶$(1,-1)$组成，其从不通过x轴下方。本文研究了$k$ -广义Dyck路的三种统计量：“$u$ -段数”、“内部$u$ -段数”和“$(u,h)$ -段数”.拉格朗日反演公式被用来表示的生成函数的$k$ -广义Dyck路径的数量根据统计作为部分贝尔多项式或潜在的多项式之和。许多重要的特殊情况被认为是导致一些令人惊讶的观察。此外，还建立了与$u$ -段和$(u,h)$ -段有关的计数结果，得到了许多新的组合恒等式，特别是Catalan数的两个新的表达式.
2008-05-09 math.CO
Enumeration of colored Dyck paths via partial Bell polynomials
我们考虑一类格路径的上升和下降的步骤有一定的限制，并使用它们作为积木来构建各种家庭的戴克路径。我们让每个构建块$P_j$采用$c_j$颜色，并计算给定半长度的所有有色Dyck路径。我们的方法是证明一个递归关系的卷积型，从而产生一个代表性的部分贝尔多项式，简化了处理不同的着色。这使得我们能够以统一的方式恢复Dyck路径和相关晶格路径的多个已知公式。
2016-02-10 math.CO
Combinatorics of the zeta map on rational Dyck paths
$(a,b)$路径$P$是保持在线$y=\frac{a}{b}x$上方的从$(0,0)$到$(b,a)$的晶格路径. zeta映射是一个奇怪的规则，映射到自身的$(a,b)$ -Dyck路径的集合，它是抽象的双射，我们提供的进展证明双射在本文中，通过显示，知道zeta的$P$和zeta的$¶$共轭是足以恢复$P$。当$ζ$是一个双射时，我们的方法在$(a,b)$路的集合上产生了一个保面积的对合$χ$，同时也给出了一个计算经典Dyck路上的$ζ^{-1}$的新方法.对于某些好的$(a,b)$路径，我们给出了$ζ^{-1}$和$χ$的显式公式，对于另外的$(a,b)$路径，我们讨论了如何归纳地计算$ζ^{-1}$和$χ$.我们还探讨了阿姆斯特朗的斜长统计量，并提出了两个新的组合方法计算zeta地图涉及激光和间隔相交。我们提供了一个组合统计$δ$，可用于递归计算$ζ^{-1}$，并表明$δ$是可计算的$ζ(P)$在福斯加泰罗尼亚的情况下。
2016-02-18 math.CO
Bijections from Dyck paths to 321-avoiding permutations revisited
文献中至少有三个从Dyck路径到321-避免置换的双射，分别是Billey-Jockusch-Stanley，Krattenthaler和Mansour-Deng-Du的双射，它们有什么不同？分别记为B，K，M，证明了M = B \circ L = K \circ L'，其中L是Dyck路上的经典Kreweras-Lalanne对合，L'也是对合，是L的一种导函数.因此，K^{-1} \circ B，B和K之间的差的度量，是对合L' \circ L的乘积，结果是一个非常奇怪的双射：作为Dyck n-路上的置换，它是“反向路”对合的n次方根。这一事实的证明归结为一个几何参数涉及对不相交的格路径。
2007-11-16 math.CO
Parallelogram polyominoes, partially labelled Dyck paths, and the Delta conjecture
我们引入了关于修饰的二次多项式的面积、反弹和dinv统计，并证明了它们的一些q，t-枚举数匹配$\langle Δ_{h_m} e_{n+1}, s_{k+1,1^{n-k}} \rangle$，以这种方式扩展了Aval等人的工作。此外，我们提供了一个双射之间的连接装饰的多角形和装饰的标记Dyck路径，这使我们能够证明的Delta猜想预测的系数$\langleΔ_{e_{m+n-k-1}}'e_{m+n}, h_m h_n \rangle$的组合解释（Haglund et al. 2015）。最后，我们在部分标记的Dyck路径上定义了一个统计量pmaj，它提供了$Δ_{h_{\ell}}Δ_{e_{n-k-1}}'e_n$的另一种几何组合解释，参见。（Haglund等人，2015年）。这是（D 'Adderio，Iraci 2017）的扩展摘要：即将出版的出版物将提供证明和其他细节和结果。
2017-11-10 math.CO
Short note on the number of 1-ascents in dispersed dyck paths
长度为n的色散戴克路径（DDP）是$N\times N$上从（0，0）到（n，0）的晶格路径，其中允许以下步骤：“上”（x，y）$\to$（x+1，y+1）;“下”（x，y）$\to$（x+1，y-1）;以及“右”（x，0）$\to$（x+1，0）。DDP中的上升是连续上升步骤的包含方式最大序列。1-ascend是一个上升的步骤组成的正好1。本文给出了Sloane OEIS中所有长度为n的离散Dyck路A191386的1-上升总数的一个闭公式。以前，只有隐式生成函数关系和渐近性是已知的。
2016-03-04 math.CO
Parametric production matrices and weighted succession rules: a Dyck path example
我们引入了加权继任规则和参数生产矩阵--标准ECO方法继任规则和生产矩阵的单扩张。其目的是枚举关于几个变量的组合对象。我们考虑一个主要的例子，从理论的戴克路径。主要考虑的路径统计数据是峰值高度、上升高度和某些人行道。许多经典序列（如Catalan数、Motzkin数、Narayana数和Schroeder数）都包含在这个例子中。
2007-01-29 math.CO
Parallelogram polyominoes, partially labelled Dyck paths, and the Delta conjecture (FULL VERSION)
我们引入了关于修饰的二次多项式的面积、反弹和dinv统计，并证明了它们的一些q，t-枚举数匹配$\langle Δ_{h_m} e_{n+1},s_{k+1,1^{n-k}}\rangle$，以这种方式扩展了Aval等人的工作。此外，我们提供了一个双射之间的连接装饰的多角形和装饰的标记Dyck路径，这使我们能够证明的Delta猜想预测的系数$\langle Δ_{e_{m+n-k-1}}'e_{m+n},h_m h_n\rangle$的组合解释（Haglund et al. 2015）。最后，我们在部分标记的Dyck路径上定义了一个统计量pmaj，它提供了$Δ_{h_{\ell}}Δ_{e_{n-k-1}}'e_n$的另一种几何组合解释，参见。（Haglund等人，2015年）。这是（D 'Adderio，Iraci 2017）arXiv：1711.03923的完整版本。
2017-12-23 math.CO
Symmetry of the refined $q,t$-Catalan polynomials for $\vec{k}$-Dyck paths
Scuola Normale Superiore（高等师范学校）；Yunnan University of Finance and Economics（云南财经大学）
本文研究$\vec{k}$-Dyck路径中面积与深度的$q,t$-对称性，并给出更高阶$q,t$-Catalan多项式的另一种描述。
2026-05-11 math.CO
An area-bounce exchanging bijection on a large subset of Dyck paths
本文针对Dyck路径上交换面积与弹跳统计量的长期开放问题，在指数大的子集上构造了显式双射，并证明其自然性，同时给出存在性等价及和值计数结果。
2025-10-08 math.CO
Simplicial Complexes of Antichains in Root Posets and Related Combinatorics of Dyck Paths
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）；Philipps-Universität Marburg（马尔堡菲利普大学）
本文研究根系偏序集反链构成的单纯复形的可壳性，证明其等价于根系为A_n、B_n、D_3或G_2，并利用f-和h-三角形给出Dyck路径的统计量，有理情形留作开放问题。
2026-09-15 math.CO math.RT
Symmetric and asymmetric peaks or valleys in (partial) Dyck paths
Dyck路径中对称峰和非对称峰的概念是由Flórez和Ram 'ırez提出的，他们计算了给定长度的所有Dyck路径上的对称峰和非对称峰的总数。Elizalde通过给出多变量生成函数来推广他们的结果，该生成函数跟踪对称峰的数量和不对称峰的数量。Elizalde还考虑了类似的概念对称山谷的连分数方法。本文主要利用双射方法，对给定长度的所有（部分）Dyck路上的权值$k+1$的统计量“对称峰”、“非对称峰”、“对称谷”和“非对称谷”进行了计数.我们的结果改进了Flórez和Ram 'ırez以及Elizalde的一些结果。
2021-12-27 math.CO
A bijection on Dyck paths and its cycle structure
已知的Dyck路上的双射要么是对合，要么具有众所周知的难以处理的循环结构。在这里，我们提出了一个尺寸保持双射的Dyck路径的循环结构是服从完整的分析。特别地，每个周期具有2的幂的长度。一个新的表现形式的加泰罗尼亚数字标记的森林作物在途中一样，帕斯卡矩阵模2。我们使用双射来证明Motzkin数的两种已知表现形式的等价性。最后，我们考虑一些新的加泰罗尼亚表现的统计数据。
2006-11-22 math.CO
Partial skew Dyck paths -- a kernel method approach
偏斜Dyck是Dyck路径的变体，其中除了步骤$(1,1)$和$(1,-1)$之外，还允许西南步骤$(-1,-1)$，只要路径不与自身相交。用一个红色的东南台阶代替西南台阶，我们以装饰的戴克小径结束。我们分析它们的部分版本，其中路径在固定级别$j$上结束，而不一定在级别0。我们专门使用生成函数，并推导出他们与著名的核方法。在本文的第二部分中，研究了一个双重版本，其中的路径是从右向左读取。这样，我们就有了两种向上的台阶，而不是像以前那样有两种向下的台阶。最后一节涉及也允许负区域（$x$轴以下）的变化。令人惊讶的是，这更多地涉及到计算方面。
2022-04-24 math.CO
Meanders and Dyck-Path Billiards
本文通过Dyck路径网格多边形中的台球轨迹统计量traj建立对合，证明了半蜿蜒线与蜿蜒线按分支数奇偶分类的计数公式，并给出生成函数在(-1)处取值的结果。
2025-09-23 math.CO
Distribution of peak heights modulo $k$ and double descents on $k$-Dyck paths
我们证明了在给定长度的$k$ -Dyck路径中，在高度$i$模$k$处的峰数分布与$i\in[0,k-1]$无关，并且是峰总数分布的反转。此外，这些统计数据，连同双下降的数量，与它们的任何排列都是共同等分布的。我们也将这个结果推广到广义Motzkin路和广义选票路。
2023-02-27 math.CO
Bijections between directed animals, multisets and Grand-Dyck paths
$n$ -$[k]=\{1,2,\ldots, k\}$的多集由来自$[k]$的一组$n$元素组成，其中每个元素都可以重复。本文给出了无连续元素的$[k]$的$n$ -多集的二元生成函数.对于$n=k$，这些多重集具有与正方形晶格中的有向动物相同的枚举。然后，我们给建设性的双射之间的有向动物，没有连续的元素和Grand-Dyck路径避免模式$DUD$，我们展示了如何经典和新颖的统计运输这些双射。
2019-11-20 math.CO
Fibonacci Polyominoes: Refined Enumeration and Dyck-Path Bijections
Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）；Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文研究 Fibonacci 多联骨牌的按面积和半周长枚举，通过生成函数得到含 Catalan 数的精细公式，并建立与带标签 Dyck 路径的双射，将统计量转化为峰与返回，还研究等高连续列并得到 Motzkin 数控制的精细化。
2026-09-25 math.CO
Nested quantum Dyck paths and nabla(s_lambda)
我们猜想了任意Schur函数在Bergeron-Garsia nabla算子下的像的单项式展开的一个组合公式。该公式涉及嵌套标记的Dyck路径加权面积和一个合适的“对角反转”统计。我们的模型包括作为特殊情况下，许多以前的连接纳布拉运营商的量子晶格路径。逆Kostka矩阵的组合学导致我们提出的公式当q=1时的一个初等证明。我们还概述了一种可能的方法来证明所有现存的纳布拉定理，减少一切建设的显式集合的签署，加权对象的符号反转对合。
2007-05-31 math.CO
Major Index on Catalan Combinatorics
本文研究了 $r$-Dyck 路径等 Catalan 组合对象上的逆序数和 major index 统计量，并证明了它们与 Dyck 路径上的对应统计量具有等分布性。
2024-07-24 math.CO
Symmetric peaks and symmetric valleys in Dyck paths
Dyck路径中对称峰和非对称峰的概念是由Flórez和Rodr 'ıguez提出的，他们计算了给定长度的所有Dyck路径上此类峰的总数。在本文中，我们推广他们的结果，给出多元生成函数，跟踪对称峰的数量和非对称峰的数量，以及这些峰的宽度。我们恢复了Denise和Simion的公式作为我们结果的一个特例。我们也考虑类似的，但更复杂的概念对称谷。我们发现一个连分数的表达的生成函数的Dyck路径的对称山谷的数量和它们的宽度的总和，这提供了一个意想不到的连接对称山谷和统计有序有根树。最后，我们列举了戴克路径的峰或谷的高度满足一定的单调性和单峰性条件，使用一个共同的框架来恢复一些已知的结果，并与我们的问题，某些列凸多项式类的枚举。
2020-08-13 math.CO
Restricted Dumont permutations, Dyck paths, and noncrossing partitions
我们完成了第二类杜蒙排列的枚举，避免了长度为4的模式，它本身就是第二类杜蒙排列。我们还考虑了一些组合统计Dumont排列避免某些模式的长度为3和4，并给出了一个自然的双射之间的3142-避免Dumont排列的第二类和非交叉分区，使用循环分解，以及双射之间的132-，231-和321-避免Dumont排列和Dyck路径。最后，我们列举杜蒙排列的第一类同时避免某些对4字母的模式和另一种模式的任意长度。
2006-10-06 math.CO
Combinatorics of generalized Dyck and Motzkin paths
我们与周期性的广义Dyck和Motzkin路径的组合服从广义排斥统计粒子的簇系数，并获得明确的表达式的计数路径与固定数量的步骤的每种在每个垂直坐标。在分析中出现了一类整数路长的广义合成。
2022-07-15 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Generating 2-Gray codes for grand Motzkin paths and grand Dyck paths with air pockets in constant amortized time
School of Computer Science and Engineering, Sun Yat-sen University（中山大学计算机科学与工程学院）；Faculty of Applied Sciences, Macao Polytechnic University（澳门理工大学应用科学学院）
本文提出首个已知的2-Gray码用于具有气穴的大Motzkin路径和大Dyck路径，采用三阶段算法，每个字符串的常数摊销时间生成，并给出计数公式。
2026-06-03 cs.DS math.CO
Using Symbolic Computation to Explore Generalized Dyck Paths and Their Areas
本文利用Groebner基算法与符号动态规划及微积分相结合，自动推导广义Dyck路径的生成函数及其面积幂次和的生成函数，从而获取面积统计信息。
2023-05-15 math.CO
Dyck Paths, Standard Young Tableaux, and Pattern Avoiding Permutations
我们提出了一个生成函数和一个封闭的计数公式在两个变量，列举了一个家庭的类的排列，避免或包含一个增加的模式的长度为3，并有一个规定的次数出现的另一种模式的长度为3。这给出了一些以前研究过的统计数据的改进，其中最著名的是努南的统计数据。该公式还示出了列举一个家庭的类的戴克路径和标准的杨表格，和双射之间的相应的类，这两个家庭的对象。最后，将所得结果用于解决某纸牌游戏的最优化问题。
2009-12-23 math.CO
Counting Dyck paths by area and rank
长度为$2n$的Dyck路的集合从具有通常偏序的非交叉划分的集合的双射继承了格结构。本文研究了Dyck路的两个统计量：\emph{area}（路下面积）和\emph{rank}（格上秩）的联合分布. Dyck路的面积已被研究，配对它与这个秩函数似乎是新的，我们得到了一个有趣的$(q,t)$ -加细的Catalan数。我们提出了相应的生成函数的两个分解：一个细化Carlitz和Riordan的身份;另一个细化的概念，$γ$ -非负性，是基于分解的晶格的非交叉分区由于Simion和Ullman。此外，比恩的对应关系和结果的树桩让我们得出结论，联合分布的面积和秩的戴克路径等于联合分布的长度和反射长度的排列低于$n$ -周期$(12...n)$的绝对顺序上的对称群。
2012-06-12 math.CO
Bounded Dyck paths, bounded alternating sequences, orthogonal polynomials, and reciprocity
本文研究有界上下路径与有界交错序列间的“互反性”，将其推广至不相交路径与交错表，基于碎片堆理论证明，并应用于细化多连块生成函数及平面分拆研究。
2023-03-07 math.CO
Rational Catalan polynomials and rank words
对于$m,n$互质，我们在$(m,n)$ -有理Dyck路上引入了一个新的统计跳跃，并给出了一种计算dinv和skip统计量的快速方法.我们还引入了$(m,n)$ -秩字，它与$(m,n)$ -Dyck路径一一对应.在秩字中定义了秩对的等价关系，证明了等价类的个数是秩字的跳数和对应的Dyck路的跳数，并利用统计区域、dinv和skip构造了一个齐次生成函数$W_{m,n}(q,t,b)$，其中$W_{m,n}(q,t,1)=C_{m,n}(q,t)$是有理Catalan多项式.然后给出了$(3,n)$ -有理Catalan多项式的一个显式公式，并证明了它们是$q,t$ -对称的.
2016-11-15 math.CO
Area and water-capacity statistics for upper hulls of Dyck paths
University of Melbourne（墨尔本大学）；Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
研究Dyck路径在面积和蓄水容量双重约束下的计数，通过上壳分解得到耦合的面积-容量替换，给出精确的四变量高度展开，并证明长度半径由分母分支最小值决定。
2026-06-07 math-ph math.CO math.MP
Refinements of two identities on $(n,m)$-Dyck paths
对于具有$n \geq 1$和$0 \leq m \leq n$的整数$n, m$，$(n,m)$ -Dyck路径是整数格$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$中的格路径，其使用向上步骤$(0,1)$和向下步骤$(1,0)$，从原点$(0,0)$到点$(n,n)$，并且精确地包含线$y=x$下方的$m$向上步骤。经典的Chung-Feller定理指出$(n,m)$ -Dyck路的总数与$m$无关，等于$n$次Catalan数$C_n=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ .对于具有$1 \leq k \leq n$的任何整数$k$，令$p_{n,m,k}$为具有$k$峰值的$(n,m)$ -Dyck路径的总数。Ma和Yeh证明了对于$0 \leq m \leq n$，$p_{n,m,k}$ = $p_{n,n-m,n-k}$，对于$1 \leq m \leq n-2$，$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}=p_{n,m+1,k}+p_{n,m+1,n-k}$。本文给出了这两个结果的双射证明。利用我们的双射，我们还得到了数$p_{n,m,k}$和$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}$根据开始和结束步骤的精确计数结果。
2018-01-28 math.CO
Decorated Dyck paths, the Delta conjecture, and a new q,t-square
我们通过引入两个新的统计量“bounce和bounce”来讨论Haglund、Remmel和Wilson（2015）和Zabrocki（2016）的Delta猜想框架中出现的装饰Dyck路径的组合学。然后，我们通过这种方式证明Haglund的q，t-Schroeder定理的修饰版本，回答Haglund，Remmel和Wilson（2015）中的一个问题，为它们的q，t-枚举数提供了体积公式。特别是，我们提供了Haglund，Remmel和Wilson（2015）和Zabrocki（2016）中所描述的对称性的代数和组合解释。最后，我们展示了这些结果与Can and Loehr（2006）的q，t-square定理（由Loehr and Warrington（2007）证明）之间的联系，得到了一个新的q，t-square，其在t=1/q的特化与经典的相同，并暗示了这种类型的更广泛的现象。
2017-09-25 math.CO
Decorated Dyck paths, polyominoes, and the Delta conjecture
我们讨论了装饰Dyck路径和装饰Dyck多角形的组合，将[Haglund 2004]和[Aval et al. 2014]的主要结果扩展到装饰的情况。这特别解决了Haglund，Remmel和Wilson（2018）的Delta猜想的情况$\langle\cdot,e_{n-d}h_d\rangle$和$\langle\cdot,h_{n-d}h_d\rangle$。在此过程中，我们引入了一些新的统计量，制定了一些新的公式，证明了对称函数的一些新恒等式，并回答了文献中的一些开放问题（例如[Haglund et al. 2018]，[Zabrocki 2016]，[Aval et al. 2015]）。主要的技术工具是麦克唐纳多项式理论中的一个新的恒等式，它扩展了Haglund在[Haglund 2004]中的一个定理。这是arXiv：1712.08787和arXiv：1709.08736的编辑合并
2020-11-18 math.CO
