发表机构
Jiangsu Normal University; Philipps-Universität Marburg（江苏师范大学; 马尔堡菲利普大学）
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本文研究根系偏序集反链构成的单纯复形的可壳性，证明其等价于根系为A_n、B_n、D_3或G_2，并利用f-和h-三角形给出Dyck路径的统计量，有理情形留作开放问题。
AI 中文摘要
对于晶体学根系${\mathfrak D}$，我们考虑${\mathfrak D}$的根偏序集中所有反链构成的单纯复形$\Delta_{\mathfrak D}$。我们证明$\Delta_{\mathfrak D}$是可壳的当且仅当${\mathfrak D}$是$A_n$、$B_n$、$D_3$或$G_2$。由于类型$A_n$和$B_n$中的反链可以分别与Dyck路径和对称Dyck路径等同，这产生了Dyck路径上的单纯复形。实际上，在类型$A_n$中，可壳性可以扩展到有理Dyck路径。然后$f$-三角形和$h$-三角形给出了（对称/有理）Dyck路径上的统计量。我们确定了$A_n$和$B_n$的这些统计量，并将有理Dyck路径的情况留作开放问题。
英文摘要
For a crystallographic root system ${\mathfrak D}$ we consider the simplicial complex $Δ_{\mathfrak D}$ of all antichains in the root poset of ${\mathfrak D}$. We show that $Δ_{\mathfrak D}$ is shellable if and only if ${\mathfrak D}$ is $A_n$, $B_n$, $D_3$ or $G_2$. Since antichains in types $A_n$ and $B_n$ can be identified with Dyck paths and symmetric Dyck paths, respectively, this yields a simplicial complex on Dyck paths. Indeed, in type $A_n$, shellability can be extended to rational Dyck paths. The $f$- and $h$-triangles then yield statistics on (symmetric/rational) Dyck paths. We determine these statistics for $A_n$ and $B_n$ and leave the case of rational Dyck paths as an open problem.
