Dyck Numbers, III. Enumeration and bijection with symmetric Dyck paths
戴克路径（也称为平衡括号和戴克词）是加泰罗尼亚语中研究最多的家族之一。本文是[2，3]的继续。本文列举了OEIS A036991中的Dyck数项，并构造了一个具有对称Dyck路的伴随双射。在Dyck路径的二进制编码的情况下，我们工作与紧凑的自然数去除前导零后。二进制后缀的分析，使我们能够获得任意A036991项和对称A036991项之间的双射编码对称Dyck路径。双射生成一个由一元不相交的无限树组成的森林。每个双射树的根是一个非对称项;其他节点是对称的。有无数这样的树。读者提供了一个软件包，用于处理双射树。
2023-02-06 math.CO
The Dyck pattern poset
我们介绍了模式的概念，在格路径的上下文中，并调查它在特定情况下的戴克路径。类似于置换的情况，模式包含关系在所有Dyck路径的集合上定义了一个偏序集结构，我们称之为Dyck模式偏序集。给定一个Dyck路径P，我们确定一个公式的Dyck路径的数量覆盖P，以及覆盖P的Dyck路径的数量。然后，我们解决一些典型的模式回避问题，列举了一些类的模式回避Dyck路径。最后，我们提供了一个猜想的渐近行为的序列计数Dyck路径避免了一个通用的模式，我们提出了一系列的公开问题的结构的Dyck模式偏序集。
2013-03-15 math.CO
Partial Dyck paths with Air Pockets
带气穴的Dyck路径是由普通Dyck路径通过将最大降阶压缩成任意大小的巨降阶而得到的。使用核方法，我们认为部分戴克路径的气穴，无论是从左到右，从右到左。
2022-02-27 math.CO
Counting Restricted Dyck Paths Through Random Walks
我们表明，有界高度和随机游动的高峰戴克路径之间的连接。某类随机游动和这样的Dyck路径之间的对应关系使我们能够对切比雪夫多项式发展一种概率的观点。
2015-10-19 math.CO
Counting generalized Dyck paths
Catalan数有很多解释，其中之一就是Dyck路的数量。Dyck路径是从$(0,0)$到$(n,n)$的位于对角线$y=x$下方的晶格路径。推广Dyck路定义的一种方法是改变Dyck路的终点，即我们定义（广义）Dyck路为从$(0,0)$到$(m,n) \in \mathbb{N}^2$的一条格路，它位于对角线$y=\frac{n}{m}x$的下方，用$C(m,n)$表示从$(0,0)$到$(m,n)$的Dyck路的个数.本文给出了计算任意$m$和$n$的$C(m,n)$的公式。
2013-04-20 math.CO
Some results on Dyck paths and Motzkin paths
我们在Dyck路集合上引入了一个等价关系，并在Dyck路集合上引入了一些运算.我们确定了这些等价类的基数公式，并使用这些信息来获得一个组合公式的Dyck和Motzkin路径的固定长度的数量。
2015-05-08 math.CO
Dinv, Area, and Bounce for $\vec{k}$-Dyck paths
著名的$q,t$ -Catalan序列作为普通Dyck路的加权和有两种组合解释：一种是Haglund的面积反弹公式，另一种是Haiman的单位面积公式. zeta映射是为了连接这两个公式而构造的：它是从普通Dyck路径到它们自身的双射，它需要dinv到面积，面积到反弹。Loehr把这个结果推广到$k$ -Dyck路径上. Zeta地图由Armstrong-Loehr-Warrington扩展为非常一般的一类路径。本文推广了$\vec{k}$ -Dyck路径的面积反弹结果：i）给出了$\vec{k}$-Dyck路径反弹统计量的尺规作图法，其中包括$k$ -Dyck路径和普通Dyck路径的特殊情况; ii）给出了$\vec{k}$ -Dyck路径的dinv统计量的几何解释。我们的反弹结构受到Loehr结构和Xin-张的线性算法反演扫描映射上的$\vec{k}$ -Dyck路径。我们的dinv解释受到Garsia-Xin在理性Dyck路径上对dinv到面积结果的视觉证明的启发。
2020-11-10 math.CO
Inverting the Sweep Map on (2n,n)-Dyck Paths: A Simple Algorithm
我们介绍了一个简单的，基于秩的算法反转扫描映射（2n，n）-Dyck路径。
2016-04-11 math.CO
A description of the Zeta map on Dyck paths area sequences
我们给出了一个众所周知的Zeta地图的戴克路径发送的dinv，面积统计的区域，反弹统计的描述。我们的描述使用Dyck路径区域序列，可以很容易地实现。
2022-06-08 math.CO
Properties of the poset of Dyck paths ordered by inclusion
按包含序的Dyck路偏序集的性质的简要总结。
2010-11-23 math.CO
Enumeration of area-weighed Dyck paths with restricted height
我们推导出明确的表达式$q$ -正交多项式中所产生的枚举面积加权Dyck路径的限制高度。
2011-11-04 math.CO
Restricted Dyck Paths on Valleys Sequence
本文研究了经典格点路径\emph{Dyck paths}的一个子类，称为\emph{restricted $d$-Dyck}路径，简称$d$ -Dyck. Dyck路径$P$的谷是$P$的局部极小值;如果两个连续谷的高度差（从左至右）至少为$d$，我们说$P$是一条受限的$d$路径。Dyck路径的\emph{area}是$y$的绝对值之和。我们发现的峰值的数量和面积的所有路径的给定长度的集合中的$d$ -Dyck路径。我们给出了一个二元生成函数来计算$d$ -Dyck路径的个数与半长和峰数的关系。在此基础上，详细分析了案例$d=-1$。除其他事项外，我们给两者，生成函数和递归关系的总面积。
2021-08-17 math.CO
Combinatorics for Certain Skew Young Tableaux, Dyck Paths, Triangulations, and Dissections
我们提出了组合双射和身份之间的某些斜杨tableaux，戴克路径，三角剖分和解剖。
2022-09-17 math.CO
On rational Dyck paths and the enumeration of factor-free Dyck words
受Bizley和Duchon的独立结果的启发，我们研究了有理Dyck路及其无因子元子集。一方面，我们给出了有理Dyck路和正则Dyck路之间的一个双射，其中上升部分被无因子词着色。这种双射导致了一个新的统计的基础上的减少水平的路径，我们提供了一个相应的公式。另一方面，我们证明了通过部分贝尔多项式定义的某些序列的逆关系，我们用它来推导出一个公式的枚举因子自由的话。此外，我们给出了替代公式的各种枚举序列中出现的情况下，合理的戴克路径。
2016-12-22 math.CO
Raised $k$-Dyck paths
升高的$k$ -Dyck路径是$k$ -Dyck路径的一般化，其可以在非零高度处开始和结束。在本文中，我们给出了从$(0,α)$到$(\ell,β)$的所有高度对$k$ -Dyck路的个数的封闭公式，其中包括所有高度对$α,β\geq 0$，所有长度对$\ell \geq 0$和所有$k \geq 2$ .然后，我们枚举提出$k$ -戴克路径与固定数量的返回地面，一个固定的最小高度，和一个固定的最大高度，提出生成函数（在生成函数$C_k(t)$的$k$ -加泰罗尼亚数字）时，封闭的公式是不听话的。专业化我们的结果$k=2$或$α< k$揭示与先前存在的结果高度有界的戴克路径和“戴克路径与负边界”，分别连接。
2022-06-02 math.CO
Bijections for Dyck paths with all peak heights of the same parity
我们双射地证明了所有峰都在奇数高度的Dyck路径由Motzkin数计数，所有峰都在偶数高度的Dyck路径由Riordan数计数。
2017-02-25 math.CO
Enumerating Restricted Dyck Paths with Context-Free Grammars
半长$n$的Dyck路的个数是著名的$C_n$，即第$n$个Catalan数。这一事实是在注意到每个Dyck路径都可以根据上下文无关语法进行唯一解析之后得出的。在最近的一篇论文中，Zeilberger表明，许多限制集的戴克道路满足不同的，更复杂的语法，并从这派生出各种生成函数的身份。我们采取这一进一步，突出了一些组合的Dyck路径通过语法证明和推广一些Zeilberger的语法无限的家庭。
2020-09-18 math.CO
Skew Dyck paths having no peaks at level 1
倾斜Dyck路径是Dyck路径的变体，其中除了步骤$(1,1)$和$(1,-1)$之外，还允许西南步骤$(-1,-1)$，只要路径不与自身相交。用红色的东南台阶代替西南台阶，我们最终得到了装饰过的戴克小径。Encyclopedia of Escherichia Sequences的Sequence A128723考虑了这样的路径，其中在1级的峰值是禁止的。我们提供了一个更一般的情况下，即部分装饰戴克路径，结束在规定的水平$j$，无论是从左到右，从右到左（装饰戴克路径是不对称的）的彻底分析。该方法完全基于生成函数。
2022-01-03 math.CO
Dispersed Dyck paths revisited
本文利用生成函数与核方法，系统重新研究并扩充了整数序列百科全书中关于允许零水平平步的分散 Dyck 路径的若干问题。
2024-02-20 math.CO
Symmetric Dyck paths and q-Narayana numbers
本文证明当q=-1时，q-Narayana数按谷的数量计数对称Dyck路径。
2026-01-13 math.CO
A new bijection on m-Dyck paths with application to random sampling
我们提出了一个新的双射之间的变体$m$路径（路径与步骤在$\{+1,-m\}$开始和结束在高度$0$和保持在非负高度），这推广了一个经典的双射之间的Dyck前缀和尖的pumukasiewicz路径。作为应用，我们提出了一个新的随机抽样过程的$m$ -Dyck路径具有线性时间复杂度和使用一个准最佳数量的随机比特。这优于Devroye的算法，该算法使用$\mathcal O(n\log n)$随机位。
2016-03-26 math.CO
Skew Dyck paths without up--down--left
枚举没有上下左的倾斜Dyck路径。在第二步骤中，对连续子字“上-下-左”的数目进行计数。这解释并扩展了在Encyclopedia of DNA Sequences中发布的结果。
2022-03-20 math.CO
Skew Dyck paths with catastrophes
倾斜Dyck路径与Dyck路径类似，但允许增加一个西南阶$(-1,-1)$，前提是路径本身不相交。带有灾变的格路径可以从任何一个层次下降到原点，只需一步。我们把这两个想法结合起来。分析严格基于生成函数，并使用核方法。
2022-01-10 math.CO
Two Bijections for Dyck Path Parameters
本文给出了两个双射，一个证明了无UUU的Dyck n-路的个数是Motzkin数M_n，另一个证明了Dyck n-路上参数“UDU个数”和“DDU个数”的（已知）分布.第一个双射很简单，第二个就不那么明显了。
2004-07-20 math.CO
Bijections from weighted Dyck paths to Schroeder paths
Kim和Drake使用生成函数证明了2-distance noncrossing matching的个数，它们与小Schroeder路径的双射相同，与Dyck路径的权重相同，其中从偶数高度向下的台阶的权重为2。本文给出了从这些Dyck路径到小Schroeder路径的双射，以及从一组相似的Dyck路径到大Schroeder路径的双射。我们展示了这些双射对相应匹配的影响，找到两个新的类格路径的生成函数，并证明了与231-避免排列的关系。
2010-06-11 math.CO
Left to right maxima in Dyck Paths
在Dyck路径中，一个（弱）高于前面所有峰值的峰值被称为严格（弱）左到右最大值。我们得到明确的生成函数的弱和严格的左到右的Dyck路径极大值。相关渐近性的证明利用了分析技术，如梅林变换，奇异性分析和形式留数演算。
2021-07-07 math.CO
Symmetric statistics on rational Dyck paths
College of Mathematics and Statistics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院）；Key Laboratory of Nonlinear Analysis and its Applications (Chongqing University), Ministry of Education（非线性分析及其应用教育部重点实验室（重庆大学））；Center for Combinatorics, LPMC, Nankai University（南开大学组合数学中心、理论力学与系统科学研究所）
本文研究了有理Dyck路径上的run和ratio-run统计量，证明了其与return统计量的对称联合分布，并推广了Li和Lin的结果。
2026-02-23 math.CO
A new statistic on Dyck paths for counting 3-dimensional Catalan words
一个三维加泰罗尼亚语单词是一个三个字母的单词，因此任何两个字母上的子单词都是一个Dyck路径。对于给定的Dyck路径$D$，最近定义的一个统计量计算了加泰罗尼亚语单词的数量，其属性是任何两个字母上的子单词都正好是$D$。在本文中，我们列举了Dyck路与此统计量等于一定的值，包括所有的素数。所得到的公式是以Motzkin数和Motzkin选票数表示的。
2022-05-19 math.CO
Pattern distributions in Dyck paths with a first return decomposition constrained by height
我们提供了生成函数的流行度和分布的模式的长度最多为三个在一组戴克路径具有第一个返回分解的高度约束。
2020-05-17 math.CO
Pairs of Noncrossing Free Dyck Paths and Noncrossing Partitions
利用划分间的双射和摇摆表，建立了长度为$2n$的无交叉自由Dyck路对与$[2n+1]$的无交叉划分与$n+1$块之间的对应关系.利用Labelle合并算法，得到了由不相交的自由Dyck路对构造的Dyck路的一个特征，即在奇数位置上的向上步数.
2008-07-27 math.CO
Kostka semigroups and generalized Dyck paths
证明了S的一个猜想。高-J.奥列洛维茨-A Yong，它断言某些广义Dyck路的约化。这给了Kostka半群的Hilbert基上的宽度界定理一个加强和新的证明。
2021-05-14 math.CO
Humps for Dyck and for Motzkin paths
我们计算的总数量的驼峰在戴克和Motzkin路径，我们给标准的杨表格所涉及的数字的解释。然后观察到有趣的现象，驼峰计算改变分区在一个带的分区在一个钩。
2010-02-24 math.CO
Rational Dyck paths
本文针对正有理数 q 引入有理 Dyck 路径类，给出其按半长度的生成函数与构造方法，并刻画由 Q-bonacci 数计数的子集。
2024-09-30 math.CO
Some combinatorics related to central binomial coefficients: Grand-Dyck paths, coloured noncrossing partitions and signed pattern avoiding permutations
我们给出了某些整数序列的参数的Grand-Dyck路径和有色不相交划分的一些解释，我们发现了一些新的双射有关Grand-Dyck路径和符号模式避免置换。接下来，我们转移一个自然的分配格结构的Grand-Dyck路径的有色非交叉分区和签署的模式，避免置换，从而显示，特别是，它是同构的结构诱导的（强）Bruhat秩序上的某一组签署的模式，避免置换。
2008-06-05 math.CO
Enumerations of humps and peaks in $(k,a)$-paths and $(n,m)$-Dyck paths via bijective proofs
最近Mansour和Shattuck研究了$(k,a)$-路，并给出了所有$(k,a)$-路的峰（峰）的总数与超级$(k,a)$-路的数目之间的关系式.这些结果推广了Regev关于Dyck路径和Motzkin路径的早期结果。他们的证明是基于生成函数，他们要求双射证明他们的结果。本文首先给出Mansour和Shattuck结果的双射证明，然后将我们的研究推广到$(n,m)$-Dyck路.当$n$和$m$互质时，我们给出了一个双射，它将所有$(n,m)$-Dyck路径中的峰的总数与某些自由$(n,m)$-路径联系起来.由这个双射我们得到了具有恰好$j$峰的$(n,m)$-Dyck路的个数，它是著名结果的推广，即具有恰好$j$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数$\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{n\choose k-1}$.
2015-05-22 math.CO
Double deficiencies of Dyck paths via the Billey-Jockusch-Stanley bijection
我们证明了最近的猜想René Marczinzik涉及某些统计的Dyck路径，起源于表示论的中山代数的线性定向的一个。我们这样做，通过分析Dyck路径和321-避免排列对这些统计数据，这是建议的查询结果发布到在线数据库FindStat之间的Billey-Jockusch-Stanley双射的效果。
2017-08-16 math.CO
Dyck paths with coloured ascents
我们引入了一个概念的戴克路径与彩色上升。对于着色的几种方法，我们建立双射之间的集合，这样的路径和其他组合结构，如非交叉树，解剖的凸多边形等，在某些情况下枚举给出了新的表达序列枚举这些结构。
2007-01-25 math.CO
Some properties of a new partial order on Dyck paths
引入并研究了Dyck路上的一个新的偏序。我们证明了这些偏序集是交半格。证明了它们的区间数与双三次平面映射的区间数相同。我们描述了一个意想不到的连接与Hochschild多面体Saneblidze。
2018-09-28 math.CO
Rational Dyck Paths in the Non Relatively Prime Case
本文研究了有理斜率Dyck路与$\mathbb Z,$的不变子集之间的关系，推广了前两位作者在互素情形下的工作.我们还发现了$(dn,dm)$ -Dyck路与赋予一定胶合数据的$(n,m)$ -Dyck路的$d$ -元组之间的一个双射.这些是理解合理的斜率加泰罗尼亚组合和仿射施普林格纤维和结不变量的非互素的情况下的几何之间的关系的第一步。
2017-03-08 math.CO
On the Sweep Map for $\vec{k}$-Dyck Paths
Garsia和Xin给出了$D_{m,n}$中Fuss有理Dyck路的扫描映射的一个线性反演算法，其中$m=kn\pm 1$ .他们引入了一个中间族$\mathcal{T}_n^k$，它是某些标准杨氏表的中间族。然后通过$T\in \mathcal{T}_n^k$上的简单行走算法来反转扫描映射。我们发现他们的想法自然地扩展到$\mathbf{k}^\pm$ -Dyck路径，也为$\mathbf{k}$ -Dyck路径（减少到$k$ -Dyck路径的等参数的情况下）。中间对象在不同列长的$\mathcal{T}_\mathbf{k}$中成为类似类型的画面。这种方法是独立于用于反演一般模扫描映射的M-W算法的。
2018-11-19 math.CO
New Formulas for Dyck Paths in a Rectangle
我们考虑的问题计数集$\mathscr{D}_{a,b}$的Dyck路内接在一个矩形大小$a\times b$。它们是由加泰罗尼亚数字列举的古典戴克词的自然概括。利用与Dyck路相关的Ferrers图，我们导出了用Catalan数表示的具有$a$和$b$非互素的$\mathscr{D}_{a,b}$的计数公式.
2015-09-25 math.CO
An involution on Dyck paths that preserves the rise composition and interchanges the number of returns and the position of the first double fall
受阿丁，Bagno和Roichman最近的一篇论文的启发，我们提出了一个对合的戴克路径，保持上升组成和互换的数量的回报和第一个双下降的位置。
2017-01-24 math.CO
Kreweras's Narayana number identity has a simple Dyck path interpretation
我们表明，一个身份的Kreweras的纳拉亚纳数计数戴克路径与给定数量的峰值的峰值高原，其中一个峰值高原是一个运行的连续峰值，之前立即由一个upstep，然后由一个downstep。
2012-03-18 math.CO
1234-avoiding permutations and Dyck paths
定义了对称群$S_n$与半长Dyck路对集合$n$之间的映射$ν$。我们证明了映射$ν$是单射的，当限制到1234-避免排列的集合，并描述了这个映射的图像。
2011-02-08 math.CO
Explicit Generating Functions for the Sum of the Areas Under Dyck and Motzkin Paths (and for Their Powers)
该研究以Motzkin路径为引例，推导广义Dyck路径、Motzkin路径和Dyck路径下面积相关的函数方程，提出处理函数方程的微扰展开算法，可得到任意幂次下两类路径面积幂次之和的显式生成函数。
2024-04-16 math.CO
On k-Dyck paths with a negative boundary
由一个单位的向上步和$k$单位的向下步组成的路径，由水平线$-t$在下面限定，表现得像$k$-Dyck路径的$t+1$有序元组，条件是$t\le k$。我们描述的一般情况下，允许$t$也更大。参数是双射的和/或分析的。
2020-08-18 math.CO
On bijections between 231-avoiding permutations and Dyck paths
构造了一个231-避置换与Dyck路的双射，它将一个231-避置换的主指数与逆主指数之和映射到对应的Dyck路的主指数上，并将这个双射与其它双射联系起来，得到了一个与q，t-Catalan数有关的231-避置换的双统计量.
2009-10-02 math.CO
Words, Dyck paths, Trees, and Bijections
在\cite{BaDeFePi96}中引入了非减Dyck路的概念。我们继续从文字、理性语言、种植的悬铃木和连分数的角度进行研究。我们构建一个双射种植的平面树的高度$\le 4$和计算各种统计的树是非减Dyck路径的等价物。
2019-10-25 math.CO
A simple and unusual bijection for Dyck paths and its consequences
在本文中，我们引入了一个新的双射从Dyck路集本身。这种双射的性质是，它将最近出现在模式避免排列研究中的统计量映射到Dyck路径上的经典统计量中，Dyck路径的分布很容易获得。我们还提出了一个推广的双射，以及它的几个应用到统计的计数问题的限制排列。
2003-06-09 math.CO
Skew 2-Dyck paths via the kernel method
本文提出斜2-Dyck路径的新定义，通过核方法求解生成函数，并讨论了扩展到t-Dyck路径的可能性以及右向扫描方法。
2025-12-21 math.CO
Euler Coefficients and Restricted Dyck Paths
我们考虑的问题，枚举Dyck路径停留弱以上的x轴的限制，连续向上的步骤，或限制的数量连续向下的步骤。我们使用有限算子演算来获得在第一象限中到达给定点的所有这样的路径的数量的公式。我们的所有结果都是基于欧拉系数。
2007-05-21 math.CO
Unimodality and Dyck paths
我们提出了一种新颖的方法来解决Dyck格的秩单峰性问题。它是基于一个众所周知的递归建设戴克路径最初开发的ECO方法，它提供了一个分区的戴克格饱和链的背景下。即使我们不能证明，戴克格是秩单峰，我们描述了一个家庭的多项式（这构成了一个多项式模拟投票号码）和继承规则，似乎是有用的，在解决这样的问题。在文章的最后，我们还提出并开始了对继承规则单峰性问题的系统研究。
2012-07-31 math.CO
Dyck path triangulations and extendability
本文介绍了两个单形$Δ_{n-1}\timesΔ_{n-1}$的笛卡儿积的Dyck路径三角剖分。这种三角剖分的最大单形由Dyck路径给出，并且其构造自然地推广到使用有理Dyck路径产生$Δ_{r\ n-1}\timesΔ_{n-1}$的三角剖分。我们的研究Dyck路径三角剖分的动机是两个单纯形的乘积的部分三角剖分的可拓性问题。我们表明，只要$m\geq k>n$，任何三角的$Δ_{m-1}^{(k-1)}\timesΔ_{n-1}$扩展到一个独特的三角的$Δ_{m-1}\timesΔ_{n-1}$。此外，通过一个显式构造，我们证明了界$k>n$是最优的。我们还表现出有趣的解释，我们的结果在语言的热带定向拟阵，这是类似于经典的结果在定向拟阵理论。
2014-02-20 math.CO
Enumeration of colored Dyck paths via partial Bell polynomials
我们考虑一类格路径的上升和下降的步骤有一定的限制，并使用它们作为积木来构建各种家庭的戴克路径。我们让每个构建块$P_j$采用$c_j$颜色，并计算给定半长度的所有有色Dyck路径。我们的方法是证明一个递归关系的卷积型，从而产生一个代表性的部分贝尔多项式，简化了处理不同的着色。这使得我们能够以统一的方式恢复Dyck路径和相关晶格路径的多个已知公式。
2016-02-10 math.CO
