Enumeration of area-weighed Dyck paths with restricted height
Aleksander L Owczarek, Thomas Prellberg
我们推导出明确的表达式$q$ -正交多项式中所产生的枚举面积加权Dyck路径的限制高度。
We derive explicit expressions for $q$-orthogonal polynomials arising in the enumeration of area-weighted Dyck paths with restricted height.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On rational Dyck paths and the enumeration of factor-free Dyck words
受Bizley和Duchon的独立结果的启发，我们研究了有理Dyck路及其无因子元子集。一方面，我们给出了有理Dyck路和正则Dyck路之间的一个双射，其中上升部分被无因子词着色。这种双射导致了一个新的统计的基础上的减少水平的路径，我们提供了一个相应的公式。另一方面，我们证明了通过部分贝尔多项式定义的某些序列的逆关系，我们用它来推导出一个公式的枚举因子自由的话。此外，我们给出了替代公式的各种枚举序列中出现的情况下，合理的戴克路径。
Dyck Numbers, III. Enumeration and bijection with symmetric Dyck paths
戴克路径（也称为平衡括号和戴克词）是加泰罗尼亚语中研究最多的家族之一。本文是[2，3]的继续。本文列举了OEIS A036991中的Dyck数项，并构造了一个具有对称Dyck路的伴随双射。在Dyck路径的二进制编码的情况下，我们工作与紧凑的自然数去除前导零后。二进制后缀的分析，使我们能够获得任意A036991项和对称A036991项之间的双射编码对称Dyck路径。双射生成一个由一元不相交的无限树组成的森林。每个双射树的根是一个非对称项;其他节点是对称的。有无数这样的树。读者提供了一个软件包，用于处理双射树。
Enumeration of labeled trees and Dyck tilings
本文利用Dyck铺砌研究平面带标号有根树的偏序集，证明其生成函数在特定条件下可因式分解，并通过两种分解方式建立有理Dyck铺砌的权重关系与偏序结构。
On Enumeration of Dyck Paths with colored hills
我们继续研究早期定义的函数fm和gm的性质，它们依赖于初始算术函数f0。在本文中，f0的值是精细数。我们研究函数fi; gi;（i = 1; 2; 3; 4）。对于每个函数，我们推导出一个明确的公式，并给出一个组合的解释。看来g2和g3是著名的组合对象，称为加泰罗尼亚三角形。最后我们得到一个由十个元素组成的恒等式。
Enumeration of colored Dyck paths via partial Bell polynomials
我们考虑一类格路径的上升和下降的步骤有一定的限制，并使用它们作为积木来构建各种家庭的戴克路径。我们让每个构建块$P_j$采用$c_j$颜色，并计算给定半长度的所有有色Dyck路径。我们的方法是证明一个递归关系的卷积型，从而产生一个代表性的部分贝尔多项式，简化了处理不同的着色。这使得我们能够以统一的方式恢复Dyck路径和相关晶格路径的多个已知公式。
On Enumeration of Dyck--Schröder Paths
我们解决了在正方形格中枚举路径的问题，其中允许的步骤包括（1，0）和（0，1）无处不在，以及对角线y=x以上的（1，1）。我们考虑两个这样的格的不同之处在于（1，1）步骤是否允许沿对角线本身。我们的分析导致显式的生成函数和一个有效的方法来计算条款的许多序列的在线百科全书的序列，提出了克拉克金伯利近二十年前。
Enumerations of humps and peaks in $(k,a)$-paths and $(n,m)$-Dyck paths via bijective proofs
最近Mansour和Shattuck研究了$(k,a)$-路，并给出了所有$(k,a)$-路的峰（峰）的总数与超级$(k,a)$-路的数目之间的关系式.这些结果推广了Regev关于Dyck路径和Motzkin路径的早期结果。他们的证明是基于生成函数，他们要求双射证明他们的结果。本文首先给出Mansour和Shattuck结果的双射证明，然后将我们的研究推广到$(n,m)$-Dyck路.当$n$和$m$互质时，我们给出了一个双射，它将所有$(n,m)$-Dyck路径中的峰的总数与某些自由$(n,m)$-路径联系起来.由这个双射我们得到了具有恰好$j$峰的$(n,m)$-Dyck路的个数，它是著名结果的推广，即具有恰好$j$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数$\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{n\choose k-1}$.
Fibonacci Polyominoes: Refined Enumeration and Dyck-Path Bijections
本文研究 Fibonacci 多联骨牌的按面积和半周长枚举，通过生成函数得到含 Catalan 数的精细公式，并建立与带标签 Dyck 路径的双射，将统计量转化为峰与返回，还研究等高连续列并得到 Motzkin 数控制的精细化。
Enumeration of saturated chains in Dyck lattices
我们确定了一个计算Dyck格中饱和链个数的一般公式，并应用它求出了长度为2和3的饱和链的个数。我们还计算了我们称之为Dyck格的Hasse指数（2阶和3阶），它是饱和链（长度为2和3）的总数与底层偏序集的基数之间的比率。
Enumeration of Generalized Dyck Paths Based on the Height of Down-Steps Modulo $k$
该研究针对满足特定约束的$k_t$-Dyck广义格点路径，通过统计下降步高度模$k$的分布，推导了对应路径数的精确计数公式，采用双射法与生成函数完成证明，丰富了组合计数领域的相关结论。
The cyclic sieving phenomenon on circular Dyck paths
给出了循环Dyck路的一个$q$ -枚举，它是用Catalan数枚举的经典Dyck路的一个超集.这些物体最近由Alexandersson和Panova研究。此外，我们表明，这种$q$ -类似物表现出循环筛分现象下的自然作用的循环群。计数和循环筛选推广到莫比乌斯路。我们还讨论了循环筛分的推广，我们称之为子集循环筛分的性质。最后，我们还介绍了林登循环筛分的概念，涉及特殊的递归性质的组合对象表现出循环筛分现象。
Enumeration of Dyck paths with air pockets
本文引入并研究了一类新的带气袋的组合Dyck路。我们展示了一个双射的无峰Motzkin路径，它传输几个模式的统计数据，并给出二元生成函数的分布模式的峰值，回报和金字塔。然后，我们推导出这些模式的普及和渐近期望，并指出金字塔的普及和一种特殊的封闭光滑自重叠曲线，斐波那契曲折的子集之间的联系。对带有气穴的非递减Dyck路径进行了类似的研究。
Enumeration of Deutsch paths by adding the adding-a-new-slice method and applications
Dyck路径的变体允许任意长度的下降步骤，而不仅仅是一个。这是出于Emeric Deutsch的想法。我们利用增加新片技术和核方法计算了满足R.斯坦利找戴克小路。
Dyck paths with coloured ascents
我们引入了一个概念的戴克路径与彩色上升。对于着色的几种方法，我们建立双射之间的集合，这样的路径和其他组合结构，如非交叉树，解剖的凸多边形等，在某些情况下枚举给出了新的表达序列枚举这些结构。
A simple and unusual bijection for Dyck paths and its consequences
在本文中，我们引入了一个新的双射从Dyck路集本身。这种双射的性质是，它将最近出现在模式避免排列研究中的统计量映射到Dyck路径上的经典统计量中，Dyck路径的分布很容易获得。我们还提出了一个推广的双射，以及它的几个应用到统计的计数问题的限制排列。
On the enumeration of Hoppy's walks
本文给出了m个向上步后终止于第j层的k-Dyck路径的计数，其中最后一步是向上步，并给出了一个和，改进了Deng和Mansour给出的一个公式。
New Formulas for Dyck Paths in a Rectangle
我们考虑的问题计数集$\mathscr{D}_{a,b}$的Dyck路内接在一个矩形大小$a\times b$。它们是由加泰罗尼亚数字列举的古典戴克词的自然概括。利用与Dyck路相关的Ferrers图，我们导出了用Catalan数表示的具有$a$和$b$非互素的$\mathscr{D}_{a,b}$的计数公式.
Deutsch paths and their enumeration
Dyck路径的变体允许任意长度的下降步骤，而不仅仅是一个。本发明归功于Emeric Deutsch。令人惊讶的是，它们的枚举有点类似于Motzkin路径的分析;最后一节包含一个双射。
On factor-free Dyck words with half-integer slope
研究了P. Duchon提出的一类斜率为（2 m +1）/2的有理Dyck路，它对应于无因子Dyck字.我们表明，在本文中考虑的斜坡，语言的无因子Dyck字生成的辅助语言，我们检查从代数和组合的角度来看。我们提供了这种语言的格路径描述，并给出了一个显式的计数公式的部分贝尔多项式。作为推论，我们得到了新的无关联因子广义Dyck字的个数公式。
Enumeration of edges in some lattices of paths
我们列举的边缘在哈斯图中产生的几个格的组合背景下的格路径。具体来说，我们将考虑Dyck、Grand Dyck、Motzkin、Grand Motzkin、Schröder和Grand Schröder晶格的情况。最后，我们给出了任意Young格（可以自然地解释为路径格）中边数的一般公式。
Bijections between directed animals, multisets and Grand-Dyck paths
$n$ -$[k]=\{1,2,\ldots, k\}$的多集由来自$[k]$的一组$n$元素组成，其中每个元素都可以重复。本文给出了无连续元素的$[k]$的$n$ -多集的二元生成函数.对于$n=k$，这些多重集具有与正方形晶格中的有向动物相同的枚举。然后，我们给建设性的双射之间的有向动物，没有连续的元素和Grand-Dyck路径避免模式$DUD$，我们展示了如何经典和新颖的统计运输这些双射。
Restricted Dumont permutations, Dyck paths, and noncrossing partitions
我们完成了第二类杜蒙排列的枚举，避免了长度为4的模式，它本身就是第二类杜蒙排列。我们还考虑了一些组合统计Dumont排列避免某些模式的长度为3和4，并给出了一个自然的双射之间的3142-避免Dumont排列的第二类和非交叉分区，使用循环分解，以及双射之间的132-，231-和321-避免Dumont排列和Dyck路径。最后，我们列举杜蒙排列的第一类同时避免某些对4字母的模式和另一种模式的任意长度。
ad-nilpotent $\frak b$-ideals in sl(n) having a fixed class of nilpotence: combinatorics and enumeration
本文研究了$sl(n+1,\Bbb C)$的Borel子代数的幂零理想的组合.我们提供了一个归纳的方法来计算类的零这些理想和公式的理想的数量有一个给定的类的零。基于ad-幂零理想幂零理想与Dyck路之间的一个显著的双射，我们研究了这些结果与Dyck路的组合数学之间的关系.最后，我们提出了Catalan数$C_n$的（q，t）-模拟.这些（q，t）-Catalan数计数一方面广告-幂零理想方面的维数和类的零，另一方面承认的解释，在自然统计的戴克路径。
Refined Lattice Path Enumeration and Combinatorial Reciprocity
众所周知，具有固定高度和固定数量的谷的$m$ -Dyck路径的集合由Fuch-Narayana数计数。在这篇文章中，我们考虑的$m$ -Dyck路径的集合，至少开始于$t$北步骤。我们给出了这样的路径的数目的精确公式与固定的高度，固定数目的回报和（i）固定数目的山谷，（ii）固定数目的山谷与$x$ -坐标可整除的$m$和（iii）固定数目的山谷与$x$ -坐标不可整除的$m$。枚举（ii）combinatorially实现了$H$ -三角形出现在最近的一篇文章Krattenthaler和第一作者（代数。5，2022）在某些抛物非交叉分区的上下文中。通过Chapoton的一个变换公式，给出了相应的$F$ -三角形的一个显式公式.我们实现这个多项式组合的广义施罗德路径以及单位在某些超平面安排的手段。一路上，我们展示了两个新的组合互惠的结果。
Symmetric peaks and symmetric valleys in Dyck paths
Dyck路径中对称峰和非对称峰的概念是由Flórez和Rodr 'ıguez提出的，他们计算了给定长度的所有Dyck路径上此类峰的总数。在本文中，我们推广他们的结果，给出多元生成函数，跟踪对称峰的数量和非对称峰的数量，以及这些峰的宽度。我们恢复了Denise和Simion的公式作为我们结果的一个特例。我们也考虑类似的，但更复杂的概念对称谷。我们发现一个连分数的表达的生成函数的Dyck路径的对称山谷的数量和它们的宽度的总和，这提供了一个意想不到的连接对称山谷和统计有序有根树。最后，我们列举了戴克路径的峰或谷的高度满足一定的单调性和单峰性条件，使用一个共同的框架来恢复一些已知的结果，并与我们的问题，某些列凸多项式类的枚举。
Caminos de Dyck contenidos en un diagrama de Ferrers
研究了费勒斯图中Dyck路子集的计数问题。这个枚举涉及到找到Kréwéras树的分支中的元素的数量。利用与Dyck路径相关的费勒斯图，我们已经开发了比较和分解图的方法，以获得计数公式的Catalan数。这些方法已被开发的算法和SAGE编码的形式进行验证。--这是Kréwéras的Arbol的一个房间里的所有元素。中间el uso de Ferrers asociados a los caminos de Dyck，hemos desarrollado metodos de comparación y de descomposición de Ferrmas para obtener fórmulas enumerativas en términos de números de Catalan. Escherichia metodos hans sido desarrollados en forma de algoritmos y codificados en SAGE para su verificación.
Bell Polynomials and $k$-generalized Dyck Paths
长度为$n$的{ \em k-广义Dyck路径}是平面整数格$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$中从$(0,0)$到$(n,0)$的格路径，该格路径由针对给定整数$k\geq 0$的水平阶$(k, 0)$、向上阶$(1,1)$和向下阶$(1,-1)$组成，其从不通过x轴下方。本文研究了$k$ -广义Dyck路的三种统计量：“$u$ -段数”、“内部$u$ -段数”和“$(u,h)$ -段数”.拉格朗日反演公式被用来表示的生成函数的$k$ -广义Dyck路径的数量根据统计作为部分贝尔多项式或潜在的多项式之和。许多重要的特殊情况被认为是导致一些令人惊讶的观察。此外，还建立了与$u$ -段和$(u,h)$ -段有关的计数结果，得到了许多新的组合恒等式，特别是Catalan数的两个新的表达式.
The height of skew Dyck paths with two variants of downsteps
研究具有两种下降步变体的斜戴克路径的高度，利用生成函数、核方法和线性系统，对其平均高度等计数做出贡献，得出平均高度为$\sqrt{n}$阶的结论。
Combinatorics of Triangular Partitions
本文的目的是发展与我们称之为\emph{triangular partitions}的结构相关的组合学。如arXiv：2102.07931中所介绍的，对于任何给定的正实数$r$和$s$，这些分区的单元是位于连接点$(r,0)$和$(0,s)$的线下方的那些分区。经典的概念，如代克路径和停车功能，自然是广义的考虑一组分区包括在一个给定的三角分区。我们的一个显著结果是，三角剖分的Young格的限制有一个平面Hasse图，具有许多好的性质。因此，我们可以推广的“第一次返回”的递归，枚举经典的戴克道路，枚举的所有分区包含在一个固定的三角一个。
Permutations with restricted patterns and Dyck paths
我们展示了132-避免排列和Dyck路径之间的双射。使用这种双射，它表明，所有最近发现的结果生成函数的132-避免排列与给定次数的模式$12... k$直接遵循旧的结果计数Motzkin路径，其中是一个连分数结果由于Flajolet。作为奖励，我们使用这些意见，以获得进一步的结果和精确的渐近估计的数量132避免排列的$\{1,2,...,n\}$与$r$发生的模式$12... k$。其次，我们展示了123-避免排列和Dyck路径之间的双射。当与Roblet和Viennot的结果相结合时，这种双射使我们能够以连分数的形式表达具有给定出现次数的模式$(k-1)(k-2)... 1k$的123-避免排列的生成函数，并推导出这些排列的进一步结果。
Combinatorial differential operators in: Faà di Bruno formula, enumeration of ballot paths, enriched rooted trees and increasing rooted trees
得到了一般增树路长计数的一个微分方程。利用微分算子及其组合解释，给出了Faà di Bruno公式的一个双射证明，并对选票和Dyck路的生成进行了建模.根据格点的高度，得到了它的计数公式。还得到了关于其内部和外部顶点高度的丰富增长树和森林计数的递归公式。最后，我们提出了一个推广的形式，所有这些结果使用单参数群在一般情况下的正式幂级数在任意数量的变量。
Ballot tilings and increasing trees
我们研究枚举的戴克和选票平铺，这是平铺的一个区域确定的两个戴克或选票路径。本文通过Hermite历史给出了Dyck镶嵌计数的两个公式的双射证明。我们证明了其中一个公式等于某个Kazhdan-Lusztig多项式。对于选票镶嵌，我们建立的公式是类似的公式戴克镶嵌。特别地，生成函数具有因式分解的表达式。关键的工具是一棵种植的悬铃木和它不断增加的标签。我们还介绍了一个广义完美匹配，这是双射的埃尔米特历史的选票平铺。通过结合这些对象，我们得到了具有固定下路的选票镶嵌生成函数的各种表达式。
Enumeration of paths in a hexagonal circle packing
针对六边形圆堆积中的路径，本文用函数方程、核方法等推导其生成函数、渐近结果，建立与三类经典路径的双射，证明相关阵列为Riordan阵列并得到连分数展开。
Schröder Paths and Pattern Avoiding Partitions
本文证明了集合$[n+1]$的12312-避免划分和12321-避免划分与半长$n$的Schröder路一一对应，在偶数水平上没有峰.因此，12312-避免（分别）的精确枚举。12321-避免）分区根据块的数量可以减少到枚举某些施罗德路径根据峰的数量。此外，我们还得到了不可约12312-避免（分别为12321-避免）分区，这是密切相关的斜戴克路径。
Progressive and Rushed Dyck Paths
本文通过双射证明Asinowski和Jelinek研究的渐进路径与急促路径具有相同计数序列，并建立急促路径与单侧树的联系，最后讨论相关格路和有向动物的渐近性质。
On self-conjugate $(s, s+1,\ldots, s+k)$-core partitions
同时核心分区已经被广泛研究，因为安德森的工作枚举的$(s,t)$核心分区。Amdeberhan和Leven证明了$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核心分区的数目等于$(s, k)$ -Dyck路径的数目。本文证明了自共轭$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核划分与对称$(s, k)$ -Dyck路的个数相等，从而证实了Cho，Huh和Sohn的一个猜想.
Refinements of two identities on $(n,m)$-Dyck paths
对于具有$n \geq 1$和$0 \leq m \leq n$的整数$n, m$，$(n,m)$ -Dyck路径是整数格$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$中的格路径，其使用向上步骤$(0,1)$和向下步骤$(1,0)$，从原点$(0,0)$到点$(n,n)$，并且精确地包含线$y=x$下方的$m$向上步骤。经典的Chung-Feller定理指出$(n,m)$ -Dyck路的总数与$m$无关，等于$n$次Catalan数$C_n=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ .对于具有$1 \leq k \leq n$的任何整数$k$，令$p_{n,m,k}$为具有$k$峰值的$(n,m)$ -Dyck路径的总数。Ma和Yeh证明了对于$0 \leq m \leq n$，$p_{n,m,k}$ = $p_{n,n-m,n-k}$，对于$1 \leq m \leq n-2$，$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}=p_{n,m+1,k}+p_{n,m+1,n-k}$。本文给出了这两个结果的双射证明。利用我们的双射，我们还得到了数$p_{n,m,k}$和$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}$根据开始和结束步骤的精确计数结果。
A subfamily of skew Dyck paths related to $k$-ary trees
本文定义盒路径及更一般的 $k$-盒路径，建立其与多元 $(k+2)$ 叉树、$k_t$-Dyck 路径和阈值序列子族的双射，并给出按返回与长上升的精细化枚举。
A compositional shuffle conjecture specifying touch points of the Dyck path
我们介绍了一个$q,t$ -枚举的戴克路径被迫接触的主对角线在特定的点和禁止接触其他地方和猜想，它描述了行动的麦克唐纳理论$\nabla$运营商适用于霍尔-利特尔伍德多项式。我们的猜想完善了几个早期的关于对角调和空间的猜想，包括“洗牌猜想”（杜克J.数学$\mathbf {126}$（2005），第100页）。195-232）。我们带来光，某些广义霍尔-Littlewood多项式索引的组合物是积木的代数组合理论的$q,t$ -Catalan序列，我们证明了一些身份涉及这些功能。
The ascent lattice on Dyck paths
本文研究Dyck路径上Stanley格的贪心变体，证明其仍为格（上升格$L_n$），通过递归分解和催化变量计数区间，并推广到$m$-Dyck路径情形，揭示与sylvester同余及象限行走的联系，给出渐近估计。
Bounded Height Interlaced Pairs of Parking Functions
我们列举了交错对停车功能，其基础戴克路径有界的高度。我们得到一个明确的公式，这个枚举的形式商的类似物的Chebicheff多项式的系数在环的对称函数。
The $\mathbf{uvu}$-avoiding $(a,b,c)$-Generalized Motzkin paths with vertical steps: bijections and statistic enumerations
广义Motzkin路径，简称G-Motzkin路径，长度为$n$，是XOY平面第一象限中从$(0, 0)$到$(n, 0)$的格点路径，由上台阶$\mathbf{u}=(1, 1)$、下台阶$\mathbf{d}=(1, -1)$、水平台阶$\mathbf{h}=(1, 0)$和垂直台阶$\mathbf{v}=(0, -1)$组成. $(a,b,c)$-G-Motzkin路径是加权的G-Motzkin路径，使得$\mathbf{u}$ -步骤、$\mathbf{h}$ -步骤、$\mathbf{v}$ -步骤和$\mathbf{d}$ -步骤分别由$1, a, b$和$c$加权。本文首先给出了长度为$n$的$\mathbf{uvu}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与$(a,b)$-Schröder路集、长度为$2n$的$(a+b,b)$-Dyck路集、长度为$n$的$\{\mathbf{uvu, uu}\}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与长度为$n$的$(a+b,ab)$-Motzkin路集之间的双射，在以$a$加权的$\mathbf{h}$ -步开始的长度为$n+1$的$\{\mathbf{uvu,uu}\}$ -避免$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路径的集合与长度为$2n+2$的$(a,b)$-Dyck路径的集合之间。…
Deficit and $(q,t)$-symmetry in triangular partitions
本文研究三角Dyck路径的(q,t)计数，引入三角和sim-sym表格及亏缺统计量，用于三角2划分的新结果及猜想。
Retakh's Motzkin paths and some combinatorial comments
在Ekhad的协助下，Retakh提出了只允许在1级和偶数指数级出现峰值的戴克路径，Zeilberger对此进行了分析。我们添加了一些组合的枚举，其中涉及Motzkin数，特别是关于这些对象的平均高度的评论。
The Area Asymptotics of $(sn,n)$-Dyck Paths
本文研究 $(sn,n)$-Dyck 路径的总面积和平均面积，推广了 $s=1$ 情形的精确公式，给出了上下界及两种渐近行为，并证实了 Kotesovec 关于相关二项式和的猜想。
Lattice paths with infinitely many down steps -- the negative boundary model
我们考虑Dyck路径的变化，其中除了步骤$(1,1)$和$(1,-1)$之外，对于$j\ge2$还允许向下步骤$(1,-j)$。我们把这归功于Emeric Deutsch。对生活在条带中的这些对象进行枚举。方法是线性代数的核心方法和技巧。
A study on the fixed points of the $γ$ function
最近，Barnabei等人引入并研究了与芯片射击游戏相关的Dyck路径上的排列。它被称为$γ$ -算子，并使用对称性和反射来关联具有相同长度的Dyck路径。一个相关的研究课题涉及$γ$的不动点的研究，Barnabei等人提供了这些对象的表征，留下了它们的枚举问题。本文利用词的组合学的工具，确定了$γ$的不动点的新的组合性质。然后，我们提出了一个算法，表示为\textbf{GenGammaPath}（$t$），它接收作为输入的数组$t=(t_0, \ldots ,t_{k})$的正整数，并产生所有的元素$F_γ$度$k$。
On some problems about ternary paths -- a linear algebra approach
三元路径由一个单位的上升步骤和两个单位的下降步骤组成，从不低于$x$轴，并返回到$x$轴。本文讨论了部分三进制路径的枚举，结束于一个给定的水平$i$，读取路径从左到右或从右到左。由于路径相对于t不对称，\左与对，和经典的Dyck路径一样，这会导致不同的结果。从右到左的枚举是相当具有挑战性的，但最终会导致非常令人满意的结果。这些方法是初等的（求解线性方程组）。就这样，内奥米·卡梅隆的博士学位中有几个问题悬而未决。论文可以顺利解决。
Matchings and shape-Wilf-Equivalence of sets of patterns of length three II: Quadruples and Quintuples
本文完成了长度为三的模式四元组和五元组的shape-Wilf等价分类，引入Dyck路径方法处理Ferrers板，获得新等价关系、计数公式及匹配枚举的双射解释。
Combinatorial reciprocity for non-intersecting paths
该研究证明了线性增长无环平面网络序列中非相交路径计数的组合互反定理，并给出其在有界戴克路径扇形互反性、带重复值的Schur函数求值互反性两方面的应用。
Interlaced rectangular parking functions
这项工作的目的是扩展到一个一般的$S_m\times S_n$ -模块上下文中的Grossman-Bizley范式，允许枚举的戴克路径在一个$m\times n$ -矩形。我们得到一个明确的公式的“双Frobenius”的特点，我们称之为{ \em交错}矩形停车功能的$m\times n$矩形。这些是通过用从$1$到$n$的数字标记$m\times n$ -Dyck路径的$n$垂直步骤，以及用从$1$到$m$的整数标记其水平步骤来获得的。我们的公式专门给出了一般情况下$m\times n$ -parking函数的$S_n$ -模的Frobenius特征。因此，它包含了Armstrong Loehr Warrington的结果，该结果在$m$和$n$互质整数的特殊情况下给出了这样一个公式。
Restricted Grassmannian permutations
本文研究了Grassmannian排列的模式避免与奇偶性限制，推导了避免任意大小经典模式的计数公式，并给出了基于Dyck路径和Schröder路径的组合解释与双射。
Generating 2-Gray codes for grand Motzkin paths and grand Dyck paths with air pockets in constant amortized time
本文提出首个已知的2-Gray码用于具有气穴的大Motzkin路径和大Dyck路径，采用三阶段算法，每个字符串的常数摊销时间生成，并给出计数公式。
Explicit formulas for enumeration of lattice paths: basketball and the kernel method
本文讨论整数上有向格行走的计数问题，从给定的高度$j$开始，到给定的高度$k$结束，有附加的限制，例如，永远不能到达高度$0$之间。我们首先讨论整数上的步数为$-h, \dots, -1, +1, \dots, +h$的游动的情形。$h=1$的情形等价于经典的Dyck路，对于经典的Dyck路，已知有许多方法可以得到包含Catalan-like数的显式公式。案例$h=2$对应于“篮球”走步，我们将详细介绍。然后，我们继续讨论更一般的情况，即具有任何有限集步骤的行走，也允许与每个步骤相关联的一些权重/概率。我们展示了如何广泛适用的方法，所谓的“内核方法”，导致明确的公式的长度$n$，任何$h$，在嵌套的总和二项式的行走的数量。最后，我们将一些特殊情况下，其他组合问题，或排队论中出现的问题。
Lattice paths with a first return decomposition constrained by the maximal height of a pattern
考虑$k\geq r+1$的方程组$A_k(x)=p(x)A_{k-1}(x)(q(x)+\sum_{i=0}^k A_i(x))$，其中$A_i(x)$，$0\leq i \leq r$是一些给定的函数，并说明如何得到$A(x)=\sum_{k\geq 0}A_k(x)$的封闭形式.我们应用这个一般结果的枚举的某些子集的戴克，Motzkin，斜戴克，斜Motzkin路径，递归定义的第一个返回分解与单调非递增的条件相对于最大纵坐标达到一个给定的模式$π$的发生。
Restricted Jacobi permutations
本文系统研究雅可比排列中的模式避免问题，完整枚举了避免长度3模式的雅可比排列，并借助二叉树子族、Dyck路径双射与生成函数技巧，对单一模式限制情形给出了关于上升数、从左到右极小值数及末位字母的精细枚举。
Area and water-capacity statistics for upper hulls of Dyck paths
研究Dyck路径在面积和蓄水容量双重约束下的计数，通过上壳分解得到耦合的面积-容量替换，给出精确的四变量高度展开，并证明长度半径由分母分支最小值决定。
The kernel method for lattice paths below a line of rational slope
本文分析了有理斜率线下格路的一些计数性质和渐近性质。我们说明了我们的方法与戴克路径下的一条线的斜率$2/5$。这回答了Knuth在2014年6月在巴黎举行的“算法分析”会议（AofA'2014）期间的“Flajolet讲座”中提出的问题#4。我们的方法扩展了Banderier和Flajolet的工作的渐近性和枚举的有向格路径的情况下，生成函数涉及几个占主导地位的奇点，并已应用到一类完整的问题，涉及一些“周期性”。证明中的一个关键要素是Knuth自己的一个老技巧的推广（用于枚举堆栈可排序的排列），由Flajolet和其他人推广为“内核方法”。所有相应的生成函数都是代数的，它们提供了一些新的组合恒等式，这些恒等式也可以用Wilf-Zeilberger-Petkovsek的A=B精神来处理。我们展示了如何获得类似的结果，任何合理的斜率。一个有趣的情况是，例如，戴克路径低于斜率$2/3$（这对应于所谓的杜雄俱乐部模型），我们解决了一个猜想有关的渐近的区域低于这样的晶格路径。我们的工作还提供了访问以下的非理性斜率（例如，戴克路径低于$y=x/\sqrt{2}$），一个问题，我们研究的同伴文章的晶格路径。
Path Enumeration by Position-Visit Counts in Recombining Trinomial Trees
针对重组三叉树路径枚举复杂度高的问题，提出质量平移枚举算法，利用对称性将搜索空间指数级缩减，推导并验证了算法代价下界，还揭示其与带细化的Motzkin路径的结构关联。
Lattice paths of slope 2/5
我们分析了斜率为2/5的直线下Dyck路的一些枚举和渐近性质。这回答了Knuth在2014年6月巴黎“算法分析”会议（AofA'2014）期间的“Flajolet讲座”中提出的问题4。证明中的一个关键因素是推广了Knuth自己的一个老技巧（用于枚举堆栈可排序的排列），由Flajolet和其他人推广为“内核方法”。所有相应的生成函数是代数的，他们提供了一些新的组合身份，这也可以解决在A=B的精神Wilf-Zeilberger-Petkov{ \v s}ek。我们展示了如何获得类似的结果为其他斜率比2/5，一个有趣的情况下，例如，戴克路径低于斜率2/3，这对应于所谓的Duchon的俱乐部模型。
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