Counting self-conjugate (s,s+1,s+2)-core partitions
我们关心的是计数自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核心分区。长度为$n$的Motzkin路径是从$(0,0)$到$(n,0)$的路径，其保持在$x$轴上方，并且由上$U=(1,1)$、下$D=(1,-1)$和平坦$F=(1,0)$台阶组成。我们说一条长度为$n$的Motzkin路是对称的，如果它关于线$x=n/2$的反射是它自己。本文证明了自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核的个数等于长度为$s$的对称Motzkin路的个数，并给出了这个个数的一个封闭公式.
2019-04-04 math.CO
A study of $m$-ary partitions whose conjugates are $q$-ary
Gannon University（甘农大学）；Indiana University of Pennsylvania（宾夕法尼亚印第安纳大学）；Bridgewater State University（布里奇沃特州立大学）
本文推广了共轭为 $m$-ary 的分拆研究，提出生成算子族以唯一构造共轭为 $q$-ary 的 $m$-ary 分拆，并借助模算术探索相关实例与族。
2026-09-09 math.CO
A bijection between self-conjugate and ordinary partitions and counting simultaneous cores as its application
给出了自共轭分拆集与普通分拆集之间的一个双射。利用双射给出了自共轭划分与相应划分的钩长之间的关系。作为一个推论，我们给出了新的组合的Catalan数和Motzkin数的自共轭同时核心分区的解释。
2018-11-26 math.CO math.NT
Partitions with the same hook multiset
众所周知，两个共轭分拆具有相同的钩集。但具有相同钩集的两个不同划分可能彼此不共轭。在$1977$中，Herman和Chung提出了以下问题：划分由其hook multiset直到共轭确定的充要条件是什么？本文通过给出一个判定两个具有相同钩集的不同划分是否共轭的准则来回答这个问题。
2015-01-07 math.CO
Hook length biases for self-conjugate partitions and partitions with distinct odd parts
本文建立了自共轭分拆与具有不同奇数部分分拆间的钩长偏置，推导出固定长度钩总数的渐近公式，并解决了相关猜想。
2024-06-26 math.CO math.NT
On Tverberg partitions
Tverberg在1966年的一个定理中断言，每个$n=T(d,r)=(d+1)(r-1)+1$点的集合$X\subset\mathbb{R}^d$可以被划分成$r$两两不相交的子集，这些子集的凸包有一个公共点。因此，每个这样的划分将$n$的整数划分归纳为$r$部分（即，$r$整数$a_1,\ldots,a_r$满足$n=a_1+\cdots+a_r$），其中部分$a_i$对应于每个子集中的点数。本文证明了对任何划分$a_i\le d+1$，$i=1,\ldots,r$，存在一个$n$点集$X\subset\mathbb{R}^d$，使得$X$的每个Tverberg划分都导出$n$上的相同划分，由部分$a_1,\ldots,a_r$给出.
2017-05-15 math.CO
On the restricted partition function II
设$\mathbf a=(a_1,\ldots,a_r)$为正整数的向量。在延续以前的文件，我们提出了其他公式的限制分拆函数$p_{\mathbf a}(n): = $的整数解$(x_1,\dots,x_r)$的$\sum_{j=1}^r a_jx_j=n$与$x_1\geq 0, \ldots, x_r\geq 0$的数量。
2018-01-09 math.CO
Self-conjugate core partitions and modular forms
Hanusa和Nath最近的一篇论文陈述了自共轭核划分研究中的许多问题。我们证明了所有，但两个渐近数论手段。我们还获得了精确的公式的自共轭的T-核心分区的“小”T通过明确的计算与模形式。例如，自共轭9-核划分与导体除108的\Q上椭圆曲线上的点计数有关，自共轭6-核划分与全等于11 mod 24的整数通过3X^2 + 32Y^2 + 96Z^2的表示有关，3X^2 + 32Y^2 + 96Z^2是一种具有108的形式。（严格地说是五个）特殊的整数在这个等差数列，由一个无效的结果杜克-舒尔茨-皮洛特。
2014-03-04 math.CO math.NT
Mahonian and Euler-Mahonian statistics for set partitions
集合$[n]:=\{1,2,\ldots,n\}$的划分是$[n]$的不相交非空子集（或块）的集合，其并集是$[n]$。在本文中，我们考虑以下很少使用的表示集划分：给定一个分区的$[n]$与块$B_{1},B_{2},\ldots,B_{m}$满足$\max B_{1}<\max B_{2}<\cdots<\max B_{m}$，我们表示它的一个字$w=w_{1}w_{2}\ldots w_{n}$，使$i\in B_{w_{i}}$，$1\leq i\leq n$。本文证明了Mahonian统计量INV，MAJ，MAJ $_{d}$，$r$ -MAJ，Z，DEN，MAK，MAD在此表示下都是等分布的，Euler-Mahonian统计量（des，MAJ），（mstc，INV），（exc，DEN），（des，MAK）在此表示下都是等分布的.
2022-10-05 math.CO
Minimal partitions with a given $s$-core and $t$-core
假设$s$和$t$是互质正整数，并且令$σ$是$s$ -核心分区，并且$τ$是$t$ -核心分区。在本文中，我们考虑的集合$\mathcal P_{σ,τ}(n)$的$n$与$s$ -核心$σ$和$t$ -核心$τ$的分区。我们找到最小的$n$，这套是非空的，并表明，对于这个值的$n$的分区在$\mathcal P_{σ,τ}(n)$（我们称之为$(σ,τ)$ -最小分区）是在双射与某一类的$(0,1)$ -矩阵与$s$行和$t$列。然后，我们使用这些结果在考虑共轭分区：我们确定确切的集合$\mathcal P_{σ,τ}(n)$由一个共轭对分区，当$\mathcal P_{σ,τ}(n)$包含一个独特的自共轭分区。
2021-12-08 math.CO
On self-Mullineux and self-conjugate partitions
Mullineux对合是在研究对称群和交错群的模表示时出现的一个相关映射。该映射的不动点是特定感兴趣的分区。已知这些自Mullineux分区的集合的基数等于自共轭分区的一个杰出子集的基数。在这项工作中，我们给出了一个明确的双射之间的两个家庭的分区的Mullineux符号。
2021-01-29 math.CO math.RT
Average Size of a Self-conjugate (s, t)-Core Partition
Armstrong，Hanusa和Jones证明了如果$s,t$是互质整数，那么一个$(s,t)$ -核心分区的平均大小和一个自共轭$(s,t)$ -核心分区的平均大小都等于$\frac{(s+t+1)(s-1)(t-1)}{24}$ . Stanley和Zanello证明了$(s,s+1)$核心分区的平均大小等于$\binom{s+1}{3}/2$。基于$\lfloor \frac{s}{2} \rfloor\times \lfloor \frac{t}{2}\rfloor$矩形上的自共轭$(s,t)$ -核划分与格路之间的Ford，Mai和Sze的双射，我们得到了Armstrong，Hanusa和Jones提出的自共轭$(s,t)$ -核划分的平均尺寸.
2014-05-09 math.CO math.NT
On the $k$-partition dimension of graphs
作为图的划分维数概念的推广，本文引入了图的$k$ -划分维数的概念。给定一个非平凡连通图$G=(V,E)$，如果任何一对不同的顶点$u,v\in V$至少由$Π$的$k$顶点集区分，则称$V$的一个划分$Π$是$G$的$k$-划分生成器，\emph{i.e}，存在至少$k$顶点集$S_1,\ldots,S_k\inΠ$，使得对于每个$i\in\{1,\ldots,k\}$，都有$d(u,S_i)\ne d(v,S_i)$。在所有$k$ -分区生成器中具有最小基数的$G$的$k$ -分区生成器称为$G$的$k$ -分区基，其基数称为$G$的$k$ -分区维数。一个非平凡连通图$G$是$k$ -划分维的，如果$k$是使得$G$具有$k$ -划分基的最大整数.给出了图是$r$ -划分维数的一个充分必要条件，并得到了关于$k\in\{1,\ldots,r\}$的$k$ -划分维数的几个结果.
2018-09-16 math.CO
The number of self-conjugate core partitions
Stanton [Open positivity attributes for integer partitions，Trends Math.，2：19-25，1999]已经成为最近对T-核分区的许多研究的催化剂。我们猜想斯坦顿一样的单调性结果比较自共轭（t+2）和t-核心分区n。我们得到的部分结果对这些aesturtures的值的t是大的，相对于n，和应用程序块理论的对称和交替的群体。为此，我们证明了公式的自共轭的T-核心分区的数量n作为一个函数的自共轭分区的数量较小的n。此外，我们还讨论了自共轭6-核心分区的积极性，并介绍了未来的研究领域，在表示论，渐近分析，单峰性，和数值恒等式和不等式。
2012-10-12 math.CO math.NT
Self-conjugate $t$-core partitions and applications
划分理论中有很多不同类型划分之间的双射。最著名的划分双射之一是将正整数$n$的每个自共轭划分映射到$n$的划分中的不同奇数部分，反之亦然。在这里，我们证明了新的充要条件的自共轭分区是$t$ -核心，在只有部分的相应分区成不同的奇数部分，通过证明一个新的钩长公式。这些结果的推论包括新的应用程序的$t$核心自共轭分区的子集的自然数，由于最近的调查一个新的分区统计称为supernorm的第一作者，只是，和施耐德，以及许多结果$t$核心的布林曼，凯恩，男性，小野，拉吉，和其他人。我们提供了几个例子，这些应用程序，其中之一给出了一个新的公式，某些家庭的赫维茨类数。
2022-01-18 math.CO math.NT
On the restricted partition function
对于正整数向量$\mathbf a=(a_1,\ldots,a_r)$，我们证明了限制分拆函数$p_{\mathbf a}(n): = $，$(x_1,\dots,x_r)$到具有$x_1\geq 0, \ldots, x_r\geq 0$及其多项式部分的$\sum_{j=1}^r a_jx_j=n$的整数解个数的公式.
2018-01-01 math.CO
Hook lengths in self-conjugate partitions
本文针对自共轭分拆，推导了偶数大小钩子数量的生成函数及简单计数公式，并证实了相关猜想。
2024-02-07 math.CO
Equitable partition of planar graphs
图$G$的公平$k$ -划分是$G$的导出子图$(G[V_1],G[V_2],\ldots,G[V_k])$的集合，使得$(V_1,V_2,\ldots,V_k)$是所有$1\le i<j\le k$的$V(G)$和$-1\le |V_i|-|V_j|\le 1$的划分。我们证明了每个平面图都允许一个等价的$2$ -划分为$3$ -退化图，一个等价的$3$ -划分为$2$ -退化图，以及一个等价的$3$ -划分为两个森林和一个图.
2021-02-09 math.CO
On $t$-core and self-conjugate $(2t-1)$-core partitions in arithmetic progressions
我们扩展了最近的结果小野和Raji，自共轭$7$核心分区的数量Hurwitz类数。此外，我们给出了一个奇怪的等式$2\operatorname{sc}_7(8n+1) = \operatorname{c}_4(7n+2)$的组合解释。我们还猜想，这种形状的等式成立当且仅当$t=4$，证明了$t\in\{2,3,5\}$的情况，并给出了$t>5$的部分结果.
2021-02-15 math.CO math.NT
The Twelvefold way, the non-intersecting circles problem, and partitions of multisets
令$n$是非负整数，$A=\{a_1,\ldots,a_k\}$是具有$k$不一定不同成员的多集合，其中$a_1\leqslant\ldots\leqslant a_k$。我们用$Δ(n,A)$来表示将$n$划分为形式$a_1x_1+\ldots+a_kx_k$的方式的数量，其中$x_i$是不同的正整数，并且每当$a_i=a_{i+1}$时都是$x_i< x_{i+1}$。我们给出了$Δ(n,A)$的一个递推公式和一些特殊情况下的显式公式。使用这个概念，我们解决了不相交的圆的问题，要求评估的方式来绘制$n$不相交的圆在一个平面上，无论其大小的数量。后者还枚举了具有$n+1$顶点的无标号根树的数目。
2018-05-21 math.CO
The Partial Partition Complex
Marywood University（玛丽伍德大学）
研究由{1,…,n}的部分划分构成的抽象单纯复形D_n，证明其顶点可分解、给出非纯壳排序并计算约化同调，同时证明自同构群为n元对称群。
2026-05-31 math.CO
Distribution of hooks in self-conjugate partitions
本文证明了无限制整数分拆中 t-钩的分布可下降到自共轭分拆，并给出大小为 n 的自共轭分拆中长度为 t 的钩数渐近正态分布的均值与方差的精确公式。
2025-04-09 math.CO math.NT
On modular balanced partition designs
National Institute of Technology Calicut（印度国家技术学院加利卡特分校）；University of St Andrews（圣安德鲁斯大学）
研究有限整数集\(X\)的模平衡划分设计，通过证明存在条件、确定与子群幻方关系、利用阿贝尔群仿射自同构证明其存在性，并提供构造横截设计的方法，为相关设计理论提供了新内容。
2026-07-21 math.CO
s-Inversion Sequences and P-Partitions of Type B
给定一个正整数序列$s=(s_1,s_2,\ldots)$，关于$s$的反转序列，或$s$ -反转序列，是由Savage和Schuster在他们的演讲厅多面体研究中引入的。非负整数序列$(e_1,e_2,\ldots,e_n)$称为长度为$n$的$s$ -逆序列，如果$0\leq e_i < s_i$对$1\leq i\leq n$ .令I（n）是$s$ -反转序列的集合，其长度为$s=(1,4,3,8,5,12,\ldots)$，即$i\geq1$的$s_{2i}=4i$和$s_{2i-1}=2i-1$，并且令$P_n$是$\{1^2,2^2,\ldots,n^2\}$上的有符号置换的集合。Savage和Visontai指出，当$n=2k$时，在$I_n$上的上升数与在$P_k$上的下降数等分布。对于正整数$n$，我们使用$B$型$P$ -划分给出了$I_n$上下降数与上升数等分布的符号置换的一个特征。当$n$是偶数时，这证实了Savage和Visontai的猜想。此外，令$I'_n$为长度为$s=(2,2,6,4,10,6,\ldots)$的$s$ -反转序列的集合，即，$s_{2i}=2i$和$s_{2i-1}=4i-2$为$i\geq1$ .我们发现一组有符号的排列，其下降数与上升数在$I'_n$上等分布。
2013-10-20 math.CO
Mixed r-stirling numbers of the second kind
第二种斯特林数$n\brace k$计算将一组$n\brace k$标记的球划分为$k$非空未标记单元格的方式数量。作为其延伸，我们考虑了具有标记为$1$的$b_1$球的$b_1+b_2+\ldots+b_n$球、标记为$2$的$b_2$球、标记为$\ldots$的$b_n$球、以及具有标记为$1$的$c_1$细胞的$c_1+c_2+\ldots+c_k$细胞、标记为$2$的$c_2$细胞、标记为$\ldots$的$b_n$球，$c_k$细胞标记$k$，然后我们调用将这些球的集合划分为非这些类型的空细胞作为\textit{mixed partition numbers}。作为应用，我们给出了第二类$r$-Stirling数和$r$-Bell数的一个新的表述.我们还介绍了\textit{$r$-mixed Stirling number of second kind and $r$-mixed Bell numbers}。最后，对于正整数$m$，我们计算将$m$写成$m_1\cdot m_2\cdot\ldots\cdot m_k$形式的方法的数量，其中$k\geqslant 1$和$m_i$是大于$1$的正整数。
2019-09-11 math.CO
On the Partition Dimension of Circulant Graphs
对于连通图$G(V,E)$的顶点$v$和$V$的子集$S$，$v$和$S$之间的距离定义为$d(v,S)=min\{d(v,x):x \in S \}.$对于$V$的有序\emph{k} -划分$Π=\{S_1,S_2\ldots S_k\}$，$v$相对于$Π$的表示是$k$ -向量$r(v|Π) =(d(v,S_1),d(v,S_2)\ldots d(v,S_k)).$如果$k$-向量$r(v|Π)$，$v \in V$是不同的，则$k$ -划分$Π$是一个分解划分.存在$V$的解析$k$ -分区的最小$k$是$G$的\emph{partition dimension}。Salman等人{ \rm \cite{SaJaCh12} }证明了一类循环图$C(n,\pm \{1,2\})$的\emph{partition dimension}对所有偶数$n\geq6$为4，对所有奇数$n$为3.本文得到了循环图$G=C(n, \pm \{1,2 \ldots j\}), 1\leq j < \lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，$n \geq(j+k)(j+1)$，$n \equiv \ k \ mod \ (2j)$的划分维数，并且$k$和$2j$是互素图，\begin{eqnarray*} pd(G) &=& j+1 \ \ \ \ \ \ \ when \ j…
2016-08-19 math.CO
Correlation Function of Self-Conjugate Partitions: $q$-Difference Equation and Quasimodularity
本文研究了自共轭分拆一致测度，推导了$n$点相关函数满足的$q$-差分方程，给出了一点和两点函数的显式公式并证明了一般$n$点函数的拟模性，同时推导了Gibbs一致测度下的极限形状。
2024-09-21 math-ph math.CO math.MP
Vertex Partitions and Maximum $\G$-free Subgraphs
我们定义了一个$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$ -划分为一个给定的图$H$和图形属性$P_1, P_2, \ldots, P_k$作为一个分区，其中每个$V_i$诱导一个子图的$H$与属性$P_i$。Matamala（2007）扩展了这个结果，证明了对于任何具有$Δ(H)=p+q$的图$H$，存在$V(H)$的$(V_1, V_2)$ -划分，其中$H[V_1]$是最大阶$(p-1)$ -退化诱导子图，$H[V_2]$是$(q-1)$ -退化。另外，Catlin和Lai证明了如果$Δ(H)\geq 5$，$H$有$(V_1, V_2)$ -划分使得$H[V_1]$是最大阶无圈导出子图，$ω(H[V_2])\leq Δ(H)-2$，和$Δ(H[V_2])\leq Δ(H)-2$ . Rowshan和Taherkhani证明了给定一个图$G$，其最小度为$δ(G)$，并且对于$k=\lceil \frac{Δ(H)}{δ(G)}\rceil$，存在$H$的顶点集的$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$ -划分，使得每个$H[V_i]$是$G$ -free的，这意味着它不包含与$G$同构的子图，并且$H[V_1]$是最大阶$G$ -free的导出子图.在本文中，我们提出了一个新的结果，连接图$H$与$Δ(H)\geq 5$和没有$K_{Δ(H)+1}\set…
2023-09-03 math.CO
A Four-parameter Partition Identity
我们提出了一个新的划分恒等式，并给出了结果的组合证明。这概括了安德鲁的结果，他认为生成函数分区的大小，数量的奇数部分，和数量的奇数部分的共轭。
2003-08-01 math.CO
On transitive uniform partitions of F^n into binary Hamming codes
本文研究了Galois域$GF(2)$上维数为$n$的向量空间$F^n$到汉明码陪集的传递性均匀划分.将$F^n$划分为长度为$n$的汉明码$H_0,H_1,\ldots,H_n$的陪集的划分$P^n= \{H_0,H_1+e_1,\ldots,H_n+e_n\}$被称为是均匀的，如果任何两个码$H_i$和$H_j$的交集，$i,j\in \{0,1,\ldots,n \}$是常数，这里$e_i$是权重为$1$的$F^n$中的二进制向量，在第$i$个坐标位置中为1。对任意的$n=2^m-1$，$m>4$，我们找到了一类非等价的$2$ -传递均匀分拆，把$F^n$划分为Hamming码的陪集.
2019-04-02 cs.DM math.CO
Dimension identities, almost self-conjugate partitions, and BGG complexes for Hermitian symmetric pairs
本文研究臂腿差为任意常数 m 的分拆，将其视为最高权，建立 gl_n 与 gl_{n+m} 模之间的无限族维数恒等式，并在抛物范畴 O 中构造同余块，从而推广 Littlewood 恒等式及其 BGG 复形。
2025-09-27 math.CO math.RT
A bijection related to Bressoud's conjecture
本文引入了一个与Bressoud划分函数生成函数猜想相关的双射，并以此为基础给出了Göllnitz-Gordon恒等式的新伴式。
2024-05-30 math.CO
Bell numbers, partition moves and the eigenvalues of the random-to-top shuffle in Dynkin Types A, B and D
令$B_t(n)$为大小为~ $t$的集合划分为至多$n$部分的集合划分的数目，并且令$B'_t(n)$为$\{1,\ldots, t\}$划分为至多$n$部分的集合划分的数目，使得对于任何$i \in \{1,\ldots,t-1\}$，没有部分包含$1$和~ $t$两者或者$i$和$i+1$两者。我们给出了两个新的组合解释的数字$B_t(n)$和$B'_t(n)$使用序列的随机到顶部洗牌，%，离开一副牌不变，和序列的盒移动的杨图的分区。使用这些想法，我们得到一个非常简短的证明推广的结果Phatarfod的特征值的随机到顶部洗牌。我们也证明了类似的结果随机到顶部洗牌，可能会翻转某些卡。证明使用A、B和~D型的Solomon下降代数。我们给出了本文所研究的所有组合量的母函数和渐近结果。
2015-07-16 math.CO
Results and conjectures on simultaneous core partitions
一个n-核心划分是一个整数划分，其杨氏图不包含等于n的钩子长度。我们考虑两个互素整数a和b同时是a-核和b-核的划分。这些都与算盘图和仿射对称群（A型）的组合学有关。我们观察到，自共轭同时核心分区对应于C型组合数学，并使用算盘图来统一这两组对象的讨论。特别地，我们证明了（2n）-和（2 mn +1）-核分区自然地对应于C_n型m-Shi排列中的优势凹室，推广了Fishel-Vazirani关于A型的一个结果。我们还介绍了一个主要的统计同时n-和（n+1）-核心分区和自共轭同时（2n）-和（2n+1）-核心分区，产生q-类似的Coxeter-Catalan数的类型A和类型C。我们提出了相关的apturtures和开放的问题上的平均大小的同时核心分区，q-类似物的广义Catalan数，并推广到其他Coxeter群。我们还讨论了与循环筛分现象和q，t-Catalan数的连接。
2014-04-22 math.CO
Combinatorics on bounded free Motzkin paths and its applications
在本文中，我们构造了一个双射从一组有界自由Motzkin路到一组有界Motzkin前缀，诱导双射从一组有界自由Dyck路到一组有界Dyck前缀。我们还给出了一组有界无角Motzkin路与一组$t$ -核划分之间的双射，以及一组有界无角对称Motzkin路与一组自共轭$t$ -核划分之间的双射.作为应用，我们得到了具有固定角点数的普通和自共轭$t$ -核划分数的显式公式。
2022-05-31 math.CO
A refinement of choosability of graphs
假设$k$是一个正整数，$λ=\{k_1, k_2, \ldots, k_q\}$是$k$的一个划分，$G$是一个图。$G$的$λ$ -列表分配是$G$的$k$ -列表分配$L$，使得颜色集$\cup_{v\in V(G)}L(v)$可以被划分成$q$子集$C_1 \cup C_2 \ldots \cup C_q$，并且对于$G$的每个顶点$v$，$|L(v) \cap C_i| \ge k_i$。如果对于$G$的每个$λ$ -列表分配$L$，$G$是$L$-列，则我们说$G$是$λ$-可选的.从定义中可以看出，如果$λ=\{k\}$，则$λ$ -choosable与$k$ -choosable相同，如果$λ=\{1,1,\ldots, 1\}$，则$λ$ -choosable等效于$k$ -colorable。对于$k$夹在$\{k\}$和$\{1,1,\ldots, 1\}$之间的其他分区的细化，$λ$ -choosability揭示了一个复杂的层次结构的着色图。证明了对于$k$的两个划分$λ, λ'$，每个$λ$ -可选图都是$λ'$ -可选的当且仅当$λ'$是$λ$的加细.然后，我们集中在$λ$ -选择平面图的分区$λ$的$4$。给出了广义符号平面图的几个着色定理，并探讨了这些定理与平面图的列表着色定理之间的关系。特别地，本文证明了Kündgen和Ramamurthi关于平…
2019-08-06 math.CO
The bounds for the number of linear extensions via chain and antichain coverings
设$(\mathcal{P},\leqslant)$是有限偏序集.定义数字$a_1,a_2,\ldots$（分别为$c_1,c_2,\ldots$），使得$a_1+\ldots+a_k$（分别为$c_1+\ldots+c_k$）是可被$k$反链（分别为$k$链）覆盖的$\mathcal{P}$的最大元素数。则偏序集$\mathcal{P}$的线性扩张的个数$e(\mathcal{P})$不小于$\prod a_i!$且不大于$n!/\prod c_i!$ .一个推论：如果$\mathcal{P}$被分割成大小为$b_1,b_2, \ldots$的不相交反链，则为$e(\mathcal{P})\geqslant \prod b_i!$。
2020-01-10 math.CO
Digraphs and variable degeneracy
设$D$是有向图，$p \geq 1$是整数，$f: V(D) \to \mathbb{N}_0^p$是具有$f=(f_1,f_2,\ldots,f_p)$的向量函数。我们说$D$有$f$ -划分，如果存在一个划分$(D_1,D_2,\ldots,D_p)$为$D$的导出子图，使得对于所有的$i \in [1,p]$，有向图$D_i$是弱$f_i$ -退化的，也就是说，在$D_i$的每个非空子图$D'$中存在一个顶点$v$，使得$\min\{d_{D'}^+(v), d_{D'}^-(v)\} < f_i(v)$ .本文证明了对所有$v \in V(D)$的条件$f_1(v) + f_2(v) + \ldots + f_p(v) \geq \max \{d_D^+(v),d_D^-(v)\}$几乎是$f$ -划分存在的充分条件，并给出了坏对$(D,f)$的充分刻画.此外，我们描述了一个多项式时间算法，（在前面的条件下）验证$(D,f)$是一个坏对或发现一个$f$分区。在其他应用中，这导致了布鲁克斯定理的推广以及布鲁克斯定理的列表版本，其中有向图的染色是有向图划分为无圈诱导子有向图。进一步得到了有向图的$s$ -退化色数的一个界，它是由最大入度和最大出度的最大值决定的。
2020-12-17 math.CO
Congruences for hook lengths of partitions
Institut Camille Jordan, Université Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学卡米耶·若当研究所）；Univ. de Tours, UMR CNRS 7013, Institut Denis Poisson（图尔大学，CNRS联合研究实验室7013，丹尼斯·普瓦松研究所）
本文通过加法定理推导并推广了整数划分中钩数的同余关系，扩展至z-非对称划分，并回顾了相关历史结果。
2025-02-11 math.CO math.NT
Girth and $λ$-choosability of graphs
假设$ k $是一个正整数，$ λ=\{k_1,k_2,...,k_q\} $是$ k $的一个划分，$ G $是一个图。$ G $的$λ$ -分配是$ G $的$ k $ -分配$ L $，使得颜色集$ \bigcup_{v\in V(G)} L(v) $可以被划分成$ q $子集$ C_1\cup C_2\cup\cdots\cup C_q $，并且对于$ G $的每个顶点$ v $，$ |L(v)\cap C_i|=k_i $。如果对于$ G $的每个$λ$ -赋值$ L $，$ G $是$ L $-列，则我们说$ G $是$λ$-可选的.特别地，如果$ λ=\{k\} $，则$λ$ -choosable与$ k $ -choosable相同，如果$ λ=\{1, 1,...,1\} $，则$λ$ -choosable等效于$ k $ -colorable.对于$ k $夹在$ \{k\} $和$ \{1, 1,...,1\} $之间的其他分区的细化，$λ$ -choosability揭示了一个复杂的层次结构的着色图。假设$λ=\{k_1, \ldots, k_q\} $是$ k $的一个分区，$λ' $是$ k'\ge k $的一个分区。如果$k'$有一个分区$λ''=\{k''_1, \ldots, k''_q\}$，其中$k''_i \ge k_i$为$i=1,2,\l…
2021-09-02 math.CO
Counting Partitions on the Abacus
在2003年，Maroti证明了可以使用划分的l-核和l-子来建立p（n）的下界，即n的划分数。在本文中，我们探讨这些想法的情况下，l=2，使用它们给出了一个有效的上界p（n）的组合证明，并证明了渐近公式的自共轭分区的数量，分区与不同的部分。在进一步的应用中，我们给出了一个组合证明的身份原来是由于高斯。
2006-09-06 math.CO
On Certain Polytopes Associated to Products of Algebraic Integer Conjugates
本文研究代数整数共轭元乘积不等式所定义的多胞体，显式刻画其顶点结构，并证明在 d>3k 时对非单位根代数整数成立严格不等式，同时给出定量版本。
2024-08-01 math.CO math.NT
Stars versus stripes Ramsey numbers
对于给定的简单图$G_1, G_2, \ldots , G_t$，Ramsey数$R(G_1, G_2, \ldots, G_t)$是最小的正整数$n$，使得如果完全图$K_n$的边被划分为$t$不相交的颜色类，给出$t$图$H_1,H_2,\ldots,H_t$，则至少一个$H_i$具有与$G_i$同构的子图。在本文中，对于正整数$t_1,t_2,\ldots, t_s$和$n_1,n_2,\ldots, n_c$，计算Ramsey数$R(S_{t_1}, S_{t_2},\ldots ,S_{t_s}, n_1K_2,n_2K_2,\ldots,n_cK_2)$，其中$nK_2$表示大小为$n$的匹配（条带），即，$n$两两不相交的边，而$S_{n}$是一个有$n$边的星形。这个结果推广并加强了Cockayne和Lorimer的一个著名结果以及Gyárfás和Sárközy的一个著名结果。
2017-01-16 math.CO
The Rank Enumeration of Certain Parabolic Non-Crossing Partitions
我们考虑$m$ -可分的非交叉分区的$\{1,2,\ldots,mn\}$的性质，对于一些$t\leq n$没有块包含一个以上的第一个$t$整数。我们给出了一个闭公式，计算了具有给定块数的非交叉分拆的多链个数。在此基础上，我们计算Chapoton的$M$ -三角形在此设置和猜想的组合解释的$H$ -三角形。本文对$m=1$证明了这一猜想。
2022-01-11 math.CO
Planar graphs without 4-cycles and close triangles are (2,0,0)-colorable
对于一组非负整数$c_1, \ldots, c_k$，图$G$的一个$(c_1, c_2,\ldots, c_k)$ -染色是将$V(G)$划分为$V_1, \ldots, V_k$，使得对于每个$i$，$1\le i\le k, G[V_i]$的最大度至多为$c_i$ .证明了所有不含4-圈且三角形间边不少于两条的可平面图都是$(2,0,0)$ -可着色的.
2018-06-20 math.CO
Monochromatic bounded degree subgraph partitions
设${\cal{F}}=\{F_1,F_2,\ldots\}$是一个图序列，使得$F_n$是一个顶点数为$n$且最大度至多为$Δ$的图.我们证明了存在一个绝对常数$C$，使得任意2-边着色完全图的顶点最多可以从${\cal{F}}$划分为$2^{CΔ\logΔ}$顶点不相交的单色图副本.如果每个$F_n$都是二部的，那么我们可以将这个界改进为$2^{C Δ}$ ;这个结果对于常数$C$是最优的。
2014-05-29 math.CO
Partitions of hypergraphs under variable degeneracy constraints
本文研究了超图划分为满足退化约束的导出子超图的问题。我们的超图可能有多条边，但没有循环。给定一个超图$H$和一个由$p\geq 1$顶点函数$f_i:V(H) \to \mathbb{N}_0$组成的序列$f=(f_1,f_2, \ldots, f_p)$，使得对所有的$v\in V(H)$都有$f_1(v)+f_2(v)+ \cdots + f_p(v)\geq d_H(v)$，我们想找到一个包含$H$的所有顶点的顶点不交诱导子超图序列$(H_1,H_2, \ldots, H_p)$，使得每个超图$H_i$都是严格$f_i$ -退化的，即对每个非空子超图$H'\subseteq H_i$都有一个顶点$v\in V(H')$，使得$d_{H'}(v)<f_i(v)$ .本文的主要结果是这样的超图序列存在当且仅当$(H,f)$不是所谓的硬对。硬对形成了一个递归定义的组态族，通过合并顶点的操作从三种基本类型的组态中获得。我们的主要结果有几个有趣的应用有关的广义超图着色问题。
2018-04-18 math.CO
The $(s,s+d,\dots,s+pd)$-core partitions and the rational Motzkin paths
在本文中，我们提出了一个关于$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心划分的$(s+d,d)$ -算盘，并建立了$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心划分与$(s+d,-d)$型有理Motzkin路之间的双射.这一结果不仅给出了$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心分区的格点路径解释，而且用闭公式计算了它们。此外，我们列举了具有$k$角的$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核心分区和自共轭$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核心分区。
2020-02-04 math.CO
Johnson's bijections and their application to counting simultaneous core partitions
Johnson最近证明了Armstrong的猜想，该猜想指出$(a,b)$ -核心分区的平均大小是$(a+b+1)(a-1)(b-1)/24$。他使用了各种坐标变化和一对一的对应关系，这对计算有关同时进行的核心分区的问题很有用。我们给出了一个表达式的数目$(b_1,b_2,\cdots, b_n)$核心分区，其中$\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$包含至少一对互素数。我们还评估了自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核心分区的最大大小。
2017-11-04 math.CO
Packing spanning partition-connected subgraphs with small degrees
设$G$是具有$X\subseteq V(G)$的图，$l$是$V(G)$子集上的交超模次可加整值函数.图$G$被称为$l$ -分区连通的，如果对于$V(G)$的每个分区$P$，$e_G(P)\ge \sum_{A\in P} l(A)-l(V(G))$，其中$e_G(P)$表示连接$P$的不同部分的$G$的边的数量。令$λ\in [0,1]$为实数，令$η$为$X$上的实函数。本文证明了：若$G$是$l$ -划分连通的，且对所有$S\subseteq X$，$$Θ_l(G \setminus S) \le \sum_{v\in S} (η(v) -2l(v))+l(V(G))+l(S)-λ(e_G(S))+l(S)),$$，$G$有一个$l$ -划分连通的生成子图$H$，使得对每个顶点$v\in X$，$d_H(v)\le \lceil η(v) -λl(v) \rceil $，其中$e_G(S)$表示$G$的两端都在$S$中的边数，$Θ_l(G \setminus S)$表示在$V(G)\setminus S$的所有划分$P$上所有$\sum_{A\in P} l(A)-e_{G\setminus S}(P)$的最大数.最后，我们证明了如果$H$是$(l_1+\cdots +l_m)$ -划分连通图，那么它可以被分解成$m$边不相交的生成子图$H_1,\ldots, H_m$，…
2018-05-31 math.CO
On Schreier-type Sets, Partitions, and Compositions
本文定义稀疏的 $\ell$-强 Schreier 集合，证明其与不含部分 $2$ 至 $\ell$ 的受限整数分拆之间存在双射计数关系，并进一步讨论整数组合。
2023-11-03 math.CO
A note on the restricted partition function $p_\mathcal{A}(n,k)$
设$\mathcal{A}=(a_n)_{n\in\mathbb{N}_+}$为正整数序列。令$p_\mathcal{A}(n,k)$表示在$\{a_1,\ldots,a_k\}$中将$n$划分为部分的多色分区的数目。我们研究了任意固定整数$m\geqslant2$的序列$(p_\mathcal{A}(n,k) \pmod{m})_{n\in\mathbb{N}}$的几个算术性质。我们调查的序列的周期性和上下界的密度的集合$\{n\in\mathbb{N}: p_\mathcal{A}(n,k) \equiv i \pmod{m}\}$为一个固定的正整数$k$和$i\in\{0,1,\ldots, m-1\}$。特别是，我们将我们的结果应用到序列$\mathcal{A}$的特殊情况。此外，我们提出了一些有关限制$m$ -ary划分的结果。
2021-04-09 math.CO math.NT
Fair representation in the intersection of two matroids
对于单纯复${\mathcal C}$，用$β({\mathcal C})$表示覆盖基集所需的来自${\mathcal C}$的最小边数。如果${\mathcal C}$是拟阵，则对于基集合的每个划分$A_1, \ldots, A_m$，存在至少在$\frac{|A_i|}{β({\mathcal C})}$元素中满足每个$A_i$的集合$S \in {\mathcal C}$。我们猜想一个稍弱的结果是真的两个拟阵的交集：如果${\mathcal D}={\mathcal P} \cap {\mathcal Q}$，其中${\mathcal P},{\mathcal Q}$是拟阵在相同的地面集$V$和$β({\mathcal P}), β({\mathcal P}) \le k$，那么对于每个分区$A_1, \ldots, A_m$的地面集存在一个集合$S \in {\mathcal D}$满足每个$A_i$在至少$(\frac{1}{k}-\frac{1}{|V|})|A_i|-1$元素。我们证明了这一划分成两个集。
2017-01-05 math.CO
Partitions and covers in $Δ$ convexity
Sree Narayana College（斯里纳拉亚纳学院）；University of Kerala（喀拉拉大学）；Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）；Government College Chittur（吉蒂尔政府学院）；Thangal Kunju Musaliar Institute of Technology（唐卡尔昆朱穆萨利尔理工学院）
研究了Δ凸性中划分与覆盖问题的计算复杂性，证明了对于固定p≥4，这些问题是NP难的，并分析了三种图积的参数和界限。
2026-04-22 math.CO
