Overcolored Partition Restricted by Parity of the Parts
本文扩展了Thejitha等人定义的a_{r,s}(n)函数，将其应用于过划分，考虑了部分奇偶性对多重着色划分的影响。
2026-09-29 math.CO math.NT
The polynomial part of a restricted partition function related to the Frobenius problem
给定一组正整数A = {a_1，.，a_n}，研究了方程组的非负整数解（m_1，.，m_n）到m_1a_1 + ... m_n a_n = t.我们导出了p_A的多项式部分的一个显式公式。
2003-06-02 math.CO math.NT
On Popoviciu type tormulas for generalized restricted partition function
假设$a_1(n),a_2(n),...,a_s(n),m(n)$是$n$中的整数值多项式，具有正的首项系数。本文给出了广义限制分拆函数$$p_{A(n)}(m(n)):=#\{(x_1,...,x_s)\in \mathbb{Z}^{s}: all x_j\geqslant 0, x_1a_1(n)+...+x_sa_s(n)=m(n) \}$$在$s=2$或3.在任何一种情况下，公式都意味着函数是整数值拟多项式。主要结果由一类分数部分和的互反律和广义欧氏除法理论证明。
2007-09-22 math.CO math.NT
On Explicit Formula for Restricted Partition Function
本文提出了一种新的计算限制分拆函数的递推方法。在此基础上，得到了限制分拆函数的显式表达式。
2001-10-04 math.NT
Identities involving partitions with distinct even parts and $4$-regular partitions
本文在已知不同偶数部分分拆数与4-正则分拆数相等的基础上，证明了一类受限的不同偶数部分分拆与受限4-正则分拆之间的恒等式。
2024-10-03 math.CO math.NT
Parity biases in partitions and restricted partitions
令$p_{o}(n)$（分别$p_{e}(n)$）表示具有更多奇数部分（分别为偶数部分）比偶数部分（分别地，奇数部分）。最近，Kim，Kim和Lovejoy证明了对于所有的$n>2$，$p_{o}(n)>p_{e}(n)$都成立，并且证明了对于所有的$n>19$，$d_{o}(n)>d_{e}(n)$都成立，其中$d_{o}(n)$（分别为$d_{e}(n)$）表示分割成具有更多奇数部分（分别为偶数部分）比偶数部分（分别地，奇数部分）。本文给出了Kim，Kim和Lovejoy的结果和猜想的组合证明。此外，我们表明，如果我们限制分区的最小部分是$2$，那么奇偶性偏置是反向的。也就是说，如果$q_{o}(n)$（分别$q_{e}(n)$）表示具有更多奇数部分（分别为偶数部分）比偶数部分（分别地，奇数部分），其中最小部分至少是$2$，则我们有所有$n>7$的$q_o(n)<q_e(n)$。我们还研究了具有受限部分的分区中的更多奇偶性偏差。
2022-03-29 math.CO math.NT
Arithmetic Properties of Colored Partitions Restricted by Parity of the Parts
本文研究了受部分奇偶性限制的多色划分数目$a_{r,s}(n)$的算术性质，采用生成函数和$q$-级数技术进行分析。
2026-01-22 math.CO math.NT
Restricted partition functions and the $r$-log-concavity of quasi-polynomial-like functions
该研究针对弱递增正整数序列对应的受限分拆函数，推广其对数凹性性质，解决了强对数凹性及类拟多项式函数与受限分拆函数的r-对数凹性问题，给出有效解法。
2023-04-28 math.CO math.NT
On Graphical Partitions with Restricted Parts
研究受限图划分的概率，通过Durfee平方建立上界，并证明概率趋于零，结合Nash-Williams条件、乘法方法和Edgeworth展开。
2026-09-29 math.CO math.NT
Some restricted partition functions in terms of 2-adic valuation
本文研究受限分拆函数的表示问题，利用整数的2进赋值给出了若干此类函数的表达形式。
2024-10-26 math.NT
A Note on Sumsets and Restricted Sumsets
本文给出了非负整数有限集$H, A$上和集$HA$和$H\,\hat{}A$的最优大小下界，其中$HA = \bigcup_{h\in H} hA$和$H\,\hat{}A = \bigcup_{h\in H} h\,\hat{}A$ .我们还发现了潜在的代数结构的集合$A$和$H$的和集$HA$和$H\,\hat{}A$的大小是最小的。
2021-06-08 math.CO math.NT
On the partial fraction decomposition of the restricted partition generating function
我们提供了新的公式的系数在部分分式分解的限制分区生成函数。这些技术使我们能够部分解决最近的猜想Sills和Zeilberger。我们还介绍了即将开展的工作，给出了决议Rademacher的猜想，这些系数的渐近。
2014-01-13 math.NT
A note on congruences modulo 7 and 11 for two restricted partition functions
Institute of Mathematics, University of the Philippines Diliman（菲律宾大学迪利曼大学数学研究所）
本文通过q级数技术研究了某些受限划分函数在7和11模下的同余关系，并推广了之前使用模形式方法得到的结果。
2026-09-18 math.CO math.NT
Untrodden pathways in the theory of the restricted partition function $p(n, N)$
我们得到一个有限的模拟最近推广的身份在拉马努金的笔记本。微分它关于一个参数导致一个结果，其极限情况下给出了一个有限的模拟安德鲁斯著名的身份$\textup{spt}(n)$。后者促使我们扩展理论的限制分拆函数$p(n, N)$，即分区的数量$n$与最大部分小于或等于$N$，通过获得有限的类似物的秩和曲柄向量分区以及秩和曲柄时刻。作为对有限模拟函数$\textup{spt}(n, N)$恒等式的应用，我们证明了有限二阶矩与曲柄矩之间的一个不等式.所获得的其他结果包括有限的类似物最近的身份Garvan，身份有关$d(n, N)$和lpt $(n, N)$，即有限的类似物的除数和最大部分的功能，分别和有限的模拟贝克-陈省身定理。我们还推测之间的不等式有限类似物的$k^{\textup{th}}$秩和曲柄力矩。
2018-12-04 math.CO math.NT
An Explicit Formula for Restricted Partition Function through Bernoulli Polynomials
导出了正整数${\bf d}^m = \{d_1, d_2, ..., d_m\}$的限制分拆函数$W(s,{\bf d}^m)$及其准周期分量$W_j(s,{\bf d}^m)$（Sylvester波）的显式表达式.这些公式表示为高阶周期系数伯努利多项式的有限和形式。
2004-06-30 math.NT
Polynomial analogues of restricted multicolor b-ary partition functions
给定一个整数基$b\geq 2$，一个颜色数$ρ\geq 1$和一个正整数的有限序列$Λ=(λ_1,\ldots,λ_ρ)$，我们引入了整数$n\geq 1$的$Λ$ -限制的$ρ$ -着色的$b$ -元划分的概念.我们还定义了一个以$λ_1+\cdots+λ_ρ$为变量的多项式序列，并证明了$n$的次多项式刻画了$n$的所有$Λ$ -限制$ρ$ -着色$b$ -元划分.在这个过程中，我们定义了一个递归关系的多项式问题，获得明确的公式，并确定一个因式分解定理。
2019-08-10 math.NT
Algebraic Structures on Sets of Partitions
University of Texas at Tyler（泰勒大学）
受Robert Schneider工作的启发，本文探索分拆上的二元运算，发现受限分拆集合构成阿贝尔群、向量空间和交换环，为分拆分析提供代数工具。
2026-09-15 math.CO math.NT
Using Periodicity to Obtain Partition Congruences
在本文中，我们推广了Mizuhara、Sellers和Swisher最近的工作，该工作给出了一种基于有界数量的计算来建立限制平面划分同余的方法。使用周期性的分拆函数，我们的扩展技术可能是一个有用的工具来证明某些类型的组合函数的基础上有限数量的计算同余。作为结果的应用，我们建立了新的和已有的限制平面分拆同余、限制平面超分拆同余以及限制分拆同余的几个例子。
2017-04-13 math.NT
Uniform asymptotic formulas of restricted bipartite partitions
在本文中，我们研究$π(m,n)$，\emph{bipartite number} $(m,n)$划分成\emph{steadily decreasing}部分的数目，这是由L.Carlitz在“划分中的问题”，杜克数学杂志30（1963），203- 213中引入的。我们给出了整数分拆的曲柄统计量$M(m,n)$和$π(m,n)$之间的关系。利用这一关系，建立了$π(m,n)$的一些一致渐近公式。
2020-02-09 math.NT
Log-concavity of the restricted partition function $p_\mathcal{A}(n,k)$ and the new Bessenrodt-Ono type inequality
设$\mathcal{A}=(a_i)_{i=1}^\infty$是正整数的非减序列，并且设$k\in\mathbb{N}_+$是固定的。函数$p_\mathcal{A}(n,k)$计算$n$的分区数，这些分区的部分在多集$\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$中。给出了函数$p_\mathcal{A}(n,k)$的一个新的Bessenrodt-Ono不等式.进一步，我们发现了在$k$，$\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$和$N\in\mathbb{N}_+$上，序列$\left(p_\mathcal{A}(n,k)\right)_{n=N}^\infty$在什么时候以及在什么条件下是对数凹的.我们的证明是基于$p_\mathcal{A}(n,k)$的渐近行为，特别是，我们应用Netto和Pólya-Szegö的结果以及Almkavist的估计.
2022-06-09 math.CO math.NT
Note on partitions into polynomials with number of parts in an arithmetic progression
设$f: \mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$是一个多项式，其性质是对应于每个素数$p$，存在一个整数$\ell$使得$p\nmid f(\ell)$。本文建立了整数$n$的部分取自序列$\{f(\ell)\}_{\ell=1}^{\infty}$的分拆数与这些分拆在某个等差数列中的部分数之间的等分布结果。
2021-03-30 math.CO math.NT
The generalized Frobenius problem via restricted partition functions
本文利用受限分拆函数的水平集与拟多项式渐近结构，研究广义 Frobenius 数及可表示整数计数，给出大 $k$ 时的公式、完整渐近性并恢复若干特例结果。
2023-08-17 math.CO math.NT
Remarks on a certain restricted partition function of Lin
Institute of Mathematics, University of the Philippines Diliman（菲律宾大学迪利曼数学研究所）
本文通过q级数和分割公式，给出了林关于b(3n+1)和b(3n+2)生成函数的初等证明，并建立了b(n)对3的无限多个内部同余式。
2026-01-08 math.CO math.NT
Rademacher's conjecture and expansions at roots of unity of products generating restricted partitions
限制分区的生成函数是在每个单位单位根处具有罗朗展开的有限乘积。问题的行为，这些洛朗系数的大小增加的产品可以追溯到拉德马赫和他的工作分区。在Drmota，Gerhold的方法和作者以前的结果的基础上，我们完成了这一描述，并给出了每个系数在每个单位根的完全渐近展开.这些技术也被证明给西尔维斯特波的渐近性。
2020-01-22 math.NT
A note on arithmetic progressions with restricted differences
California Institute of Technology（加州理工学院）；Stanford University（斯坦福大学）
本文通过调整陶的切片排名方法，将Ellenberg-Gijswijt定理扩展到禁止具有受限差值的等差数列问题，证明了当q为奇素数幂时，若集合S包含0且大小超过(q+1)/2，且A中不含三元等差数列的公差在S^n中，则A的大小上限为q^{(1-ε_q)n}。
2026-05-13 math.CO math.NT
A Note on Diophantine Approximation with Restricted Denominators
本文通过引入子集密度的概念，建立了狄利克雷定理在分母受限情形下的类比，研究了分母限制在自然数子集上的无理数有理逼近。
2026-05-28 math.NT
A note on partitions in the image of pre$_2$
Birla Institute of Technology & Science Pilani（比拉理工学院皮拉尼分校）
本文研究pre$_2$映射像中整数分拆的数量，证明仅当n∈{1,2,4}时恰好有一个n的分拆在像中，而对所有n≥5，至少有两个n的分拆在像中。
2026-06-01 math.CO math.NT
A new sieve for restricted multiset counting
当基础集是对称的时，将Li-Wan筛法推广到多重集.证明的主要内容是$\{1,2,\dots,k\}$的细分偏序集上的Mobius反演公式。作为说明性的应用，我们研究了有限域上的划分问题和加法群$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$上的零和多重集问题。.
2021-10-08 math.CO math.NT
Asymptotics for the partial fractions of the restricted partition generating function I
$p_N(n)$的生成函数，即将$n$划分为至多$N$部分的数目，可以被写为$N$因子的乘积。通过鞍点方法，我们发现了这个乘积的部分分式分解中系数的行为为$N \to \infty$，其中我们需要的鞍点与解析连续双对数的零点相关联。我们的主要结果否定了Rademacher的一个猜想。
2015-07-28 math.NT
Restricted Partition Functions as Bernoulli and Euler Polynomials of Higher Order
导出了正整数集合${\bf d}^m = \{d_1, d_2, ..., d_m\}$的限制分拆函数$W(s,{\bf d}^m)$及其准周期分量$W_j(s,{\bf d}^m)$（称为{ \em Sylvester波}）的显式表达式.这些公式表示在一个形式的有限和伯努利和欧拉多项式的高阶周期系数。建立了Sylvester波的一种新的递归关系。讨论了有限群的代数独立齐次多项式不变量的计数问题。
2003-05-16 math.NT
A note on Andrews' partitions with parts separated by parity
在本说明中，我们给出了三个身份的分区与部分分离的奇偶校验，这是最近推出的安德鲁斯。
2019-03-18 math.NT
Exact Limit Theorems for Restricted Integer Partitions
对于一组正整数$A$，令$p_A(n)$表示将$n$写成来自$A$的整数之和的方式的数量，并且令$p(n)$表示通常的分区函数。在40年代早期，Erdens扩展了经典的Hardy-Ramanujan公式，证明了$A$有密度$α$当且仅当$\log p_A(n) \sim \log p(αn)$。Nathanson问Erdans定理是否也适用于$A$的低密度，即$A$是否有低密度$α$当且仅当$\log p_A(n) / \log p(αn)$有下限$1$。我们回答这个问题否定的建设，为每一个$α> 0$，一组整数$A$的密度较低$α$，满足$$ \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{\log p_A(n)}{\log p(αn)} \geq \left(\frac{\sqrt{6}}π-o_α(1)\right)\log(1/α)\;. $$我们进一步表明，上述界是最好的可能（到$o_α(1)$长期），从而确定确切的极值关系之间的一组整数的密度较低，其分区函数的下限。我们还证明了一个类似的定理就上密度的一组整数，回答另一个问题的Nathanson。
2021-04-06 math.CO math.NT
A note on the equidistribution of $3$-colour partitions
本文证明了三族三色分拆的等分布结果，通过推导无穷乘积的渐近公式，获得了这些分拆族的渐近行为。
2024-01-01 math.CO math.NT
Equidistribution of high-rank polynomials with variables restricted to subsets of $\mathbb{F}_p$
设$p$是素数，$S$是$\mathbb{F}_p$的非空子集。推广了Green和Tao关于有限域上高秩多项式的等分布的结果，证明了如果$P: \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p$是一个多项式，并且它对$S^n$的限制不取近似相同频率的每个值，则存在一个在$S^n$上为零的多项式$P_0: \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p$，使得该多项式$P-P_0$的秩有界.我们的论证使用了两个黑盒：具有高划分秩的张量具有高解析秩，具有高本质划分秩的张量具有高不相交划分秩。
2022-09-11 math.CO math.NT
Asymptotics for the partial fractions of the restricted partition generating function II
$p_N(n)$的生成函数，即将$n$划分为至多$N$部分的数目，可以被写为$N$因子的乘积。在第一部分中，我们利用鞍点方法研究了该乘积作为$N \to \infty$的部分分式分解中系数的性质，得到了主要项的渐近性质。在第二部分中，我们约束了误差项。这涉及到估计正弦的乘积和进一步的鞍点参数。所需的鞍点与解析连双对数的零点有关。
2015-07-28 math.NT
A note on the number of partitions of $n$ into $k$ parts
本文证明了关于将n划分为k个部分及k个互不相同部分的分拆数的新公式与同余式，并给出了相关集合模m密度的上下界。
2021-11-01 math.CO math.NT
Restricted Partitions and $SL_2$ Cohomology
本文研究正整数受限分拆数的上界问题，证明一类集合下分拆数不超过第n个斐波那契数，同时给出系数为Weyl模的单代数群$SL_2$上同调界的新结果。
2023-11-08 math.CO math.NT math.RT
A note on congruences for generalized cubic partitions modulo primes
本文用经典q级数方法重新证明广义三次分拆函数的两条已知同余式，并给出素数p不≡1 mod 8时的无穷同余族。
2025-01-29 math.CO math.NT
Counting Restricted Partitions of Integers into Fractions: Symmetry and Modes of the Generating Function and a Connection to $ω(t)$
受整数分拆研究的启发，我们考虑将整数分拆成特定形式的分数，即具有常数的分数和不同的奇数或偶数分子。当分子是奇数时，小于分母的整数的分区数形成对称模式。如果项数限制为$h$，则生成函数的非零项是单峰的，整数$h$具有最多的分区。这样的性质可以应用于一类特殊的非线性丢番图方程。我们还研究了分子为偶数的分区。证明了整数$t$有$2^{ω(t)}-2$分拆成分数，其中第一个$x$是$y$的连续偶数分子和相等分子，其中$0<y<x<t$ .然后，我们用它来产生推论，如一个狄利克雷级数的身份和扩展的总理欧米茄函数的复平面，虽然这种扩展是不是解析无处不在。
2020-11-30 math.NT
A note on the Higher order Turán inequalities for $k$-regular partitions
Nicolas和DeSalvo和Pak证明了配分函数$p(n)$对于$n \geq 25$是对数凹的。Chen，Jia和Wang证明了$p(n)$满足三阶Turán不等式，并证明了相应的3次Jensen多项式对$n \geq 94$是双曲的.最近，Griffin，Ono，Rolen和Zagier更一般地证明了对于所有$d$，与$p(n)$相关的次数$d$ Jensen多项式对于足够大的$n$是双曲的。在本文中，我们证明了同样的结果适用于$k$ -正则配分函数$p_k(n)$为$k \geq 2$。特别地，对于任何正整数$d$和$k$，对于足够大的$n$，阶$d$图兰不等式对$p_k(n)$成立。当$d = k = 2$证明了Neil Sloane的猜想$p_2(n)$是对数凹的情况。
2021-08-20 math.CO math.NT
Integer Partitions With Restricted Distinct Parts
本文研究正整数分拆为互不相同部分且禁止特定模 $t$ 同余类的计数函数 $Q_{t}^{s}(n)$，并利用 $q$-级数与 theta 函数恒等式证明了若干 Ramanujan 型同余式。
2025-08-18 math.NT
A note on Some Partitions Related to Ternary Quadratic Forms
本文提出与三元二次型相关的分拆函数及其上界与性质，作为共轭Bailey对简单方法的应用，进一步验证了该方法的实用性。
2025-05-03 math.NT
Proof of a Conjecture on Overcolored Partition Restricted by Parity of the Parts
National Institute of Technology Silchar（锡尔查国家技术学院）；Ruhr University Bochum（波鸿鲁尔大学）
本文通过经典q级数操作和拉马努金θ函数性质，证明了关于特定算术级数中过着色划分函数的模2幂同余猜想。
2026-03-12 math.NT
Overcolored Partition $k$-tuples Restricted by Parity of the Parts
本文研究超着色分拆k元组的计数函数$\bar{b}^k_{r,s}(n)$，扩展Chacon与Sellers的相关结果，建立其模素数的可除性性质及模2幂的新同余式，所用技术基于theta函数恒等式和模形式。
2026-09-29 math.NT
A note on the exact formulas for certain $2$-color partitions
本文利用Sussman的结果，推导出$p\leq 23$时$2$色分拆函数$a_p(n)$的精确公式及$\log a_p(n)$的渐近公式，部分推广了Mauth证明的Banerjee等人关于$\log a_2(n)$的渐近公式猜想。
2024-06-08 math.CO math.NT
Two congruences involving Andrews-Paule's broken 3-diamond partitions and 5-diamond partitions
本文证明了Peter Paule和Silviu Radu提出的两个涉及破3-菱形分拆和破5-菱形分拆的同余式。
2010-06-16 math.CO math.NT
Judicious partitions for restricted self-sumsets in cyclic groups
本文研究循环群着色中受限自和集的极小极大问题，确定素数情形的精确最小值，并给出一般情形的紧界，结合受限Erdős–Heilbronn现象与块/陪集着色证明最优着色结构。
2025-09-24 math.CO math.NT
Counterexamples to the Minimum Period Conjecture for Restricted Partition Functions
Center for Combinatorics, LPMC,Nankai University（南开大学组合数学中心）；School of Mathematical Sciences,Capital Normal University（首都师范大学数学科学学院）
针对受限分拆函数系数最小周期的Beck-Sam-Woods猜想，推导系数的精确单位根公式，证明周期的整除上下界均为紧的，并构造出该猜想的一族反例。
2026-10-19 math.CO math.NT
The Restricted Partition and q-Partial Fractions
受限划分函数$p_{N}(n)$将$n$划分为至多$N$部分。在19世纪西尔维斯特表明，这些分区可以表示为总和$k$ -周期准多项式（$1\leq k\leq N$），他称之为波。现在众所周知的是，可以使用$p_{N}(n)$的生成函数的特殊类型的部分分数分解（所谓的$q$ -部分分式）来容易地执行波分解。在本文中，我们表明，这些$q$ -部分分式的系数可以表示为一个线性组合的Ramanujan和。特别是，我们表明，第一次，出现退化的伯努利数，退化的欧拉数和一个特殊的推广的Ramanujan和，我们称之为高斯-Ramanujan和，在某些波的公式。这些系数不仅提供了$p_{N}(n)$的良好近似，而且它们还可以用于获得良好的边界。此外，我们提供了一个组合的意义，这些款项。我们的方法是基于投影算子的$I$ -adic完成的多项式环，其中$I$是一个理想的分圆多项式。
2023-02-21 math.NT
Log-concavity And The Multiplicative Properties of Restricted Partition Functions
本文证明满足特定初始条件的对数凹序列必满足乘法不等式，从而统一解释分拆函数的相关性质，并说明这些条件充分但非必要。
2025-05-10 math.NT
Congruences for Overcolored Partition $k$-tuples Restricted by Parity of the Parts
本文提出统一框架研究过度着色分拆 $k$-元组 $\bar{b}^k_{r,s}(n)$ 模奇素数的同余性质，并证明特定情形下 $\bar{b}_{4,2}^4(5n)$ 模 5 同余为零。
2026-09-29 math.NT
Determinants with Bernoulli polynomials and the restricted partition function
本文研究由伯努利多项式构造的两个 rD 阶行列式，并建立其与受限分拆函数之间的内在联系。
2019-02-14 math.NT
The difference of the sums of odd and even parts of restricted partitions
University of Cologne（科隆大学）
本文推导了在部分不重复的限制条件下，分拆的奇部和与偶部和之差的生成函数，并给出了模4的同余式。
2026-07-13 math.NT
On the restricted partition function via determinants with Bernoulli polynomials. II
本文在 D=1 或 D 为素数的条件下，将限制分拆函数的计算转化为系数为伯努利多项式与伯努利·巴恩斯数的线性方程组求解问题。
2019-02-15 math.NT
