Enumerations of humps and peaks in $(k,a)$-paths and $(n,m)$-Dyck paths via bijective proofs
最近Mansour和Shattuck研究了$(k,a)$-路，并给出了所有$(k,a)$-路的峰（峰）的总数与超级$(k,a)$-路的数目之间的关系式.这些结果推广了Regev关于Dyck路径和Motzkin路径的早期结果。他们的证明是基于生成函数，他们要求双射证明他们的结果。本文首先给出Mansour和Shattuck结果的双射证明，然后将我们的研究推广到$(n,m)$-Dyck路.当$n$和$m$互质时，我们给出了一个双射，它将所有$(n,m)$-Dyck路径中的峰的总数与某些自由$(n,m)$-路径联系起来.由这个双射我们得到了具有恰好$j$峰的$(n,m)$-Dyck路的个数，它是著名结果的推广，即具有恰好$j$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数$\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{n\choose k-1}$.
2015-05-22 math.CO
Fibonacci Polyominoes: Refined Enumeration and Dyck-Path Bijections
Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）；Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文研究 Fibonacci 多联骨牌的按面积和半周长枚举，通过生成函数得到含 Catalan 数的精细公式，并建立与带标签 Dyck 路径的双射，将统计量转化为峰与返回，还研究等高连续列并得到 Motzkin 数控制的精细化。
2026-09-25 math.CO
Enumeration of saturated chains in Dyck lattices
我们确定了一个计算Dyck格中饱和链个数的一般公式，并应用它求出了长度为2和3的饱和链的个数。我们还计算了我们称之为Dyck格的Hasse指数（2阶和3阶），它是饱和链（长度为2和3）的总数与底层偏序集的基数之间的比率。
2012-03-30 cs.FL math.CO
Enumeration of Generalized Dyck Paths Based on the Height of Down-Steps Modulo $k$
该研究针对满足特定约束的$k_t$-Dyck广义格点路径，通过统计下降步高度模$k$的分布，推导了对应路径数的精确计数公式，采用双射法与生成函数完成证明，丰富了组合计数领域的相关结论。
2022-04-29 math.CO
The cyclic sieving phenomenon on circular Dyck paths
给出了循环Dyck路的一个$q$ -枚举，它是用Catalan数枚举的经典Dyck路的一个超集.这些物体最近由Alexandersson和Panova研究。此外，我们表明，这种$q$ -类似物表现出循环筛分现象下的自然作用的循环群。计数和循环筛选推广到莫比乌斯路。我们还讨论了循环筛分的推广，我们称之为子集循环筛分的性质。最后，我们还介绍了林登循环筛分的概念，涉及特殊的递归性质的组合对象表现出循环筛分现象。
2019-03-04 math.CO
Enumeration of Dyck paths with air pockets
本文引入并研究了一类新的带气袋的组合Dyck路。我们展示了一个双射的无峰Motzkin路径，它传输几个模式的统计数据，并给出二元生成函数的分布模式的峰值，回报和金字塔。然后，我们推导出这些模式的普及和渐近期望，并指出金字塔的普及和一种特殊的封闭光滑自重叠曲线，斐波那契曲折的子集之间的联系。对带有气穴的非递减Dyck路径进行了类似的研究。
2023-03-06 cs.DM math.CO
Enumeration of Deutsch paths by adding the adding-a-new-slice method and applications
Dyck路径的变体允许任意长度的下降步骤，而不仅仅是一个。这是出于Emeric Deutsch的想法。我们利用增加新片技术和核方法计算了满足R.斯坦利找戴克小路。
2021-04-21 math.CO
Dyck paths with coloured ascents
我们引入了一个概念的戴克路径与彩色上升。对于着色的几种方法，我们建立双射之间的集合，这样的路径和其他组合结构，如非交叉树，解剖的凸多边形等，在某些情况下枚举给出了新的表达序列枚举这些结构。
2007-01-25 math.CO
Symmetric statistics on rational Dyck paths
College of Mathematics and Statistics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院）；Key Laboratory of Nonlinear Analysis and its Applications (Chongqing University), Ministry of Education（非线性分析及其应用教育部重点实验室（重庆大学））；Center for Combinatorics, LPMC, Nankai University（南开大学组合数学中心、理论力学与系统科学研究所）
本文研究了有理Dyck路径上的run和ratio-run统计量，证明了其与return统计量的对称联合分布，并推广了Li和Lin的结果。
2026-02-23 math.CO
Rational Dyck paths
本文针对正有理数 q 引入有理 Dyck 路径类，给出其按半长度的生成函数与构造方法，并刻画由 Q-bonacci 数计数的子集。
2024-09-30 math.CO
Rational Dyck Paths in the Non Relatively Prime Case
本文研究了有理斜率Dyck路与$\mathbb Z,$的不变子集之间的关系，推广了前两位作者在互素情形下的工作.我们还发现了$(dn,dm)$ -Dyck路与赋予一定胶合数据的$(n,m)$ -Dyck路的$d$ -元组之间的一个双射.这些是理解合理的斜率加泰罗尼亚组合和仿射施普林格纤维和结不变量的非互素的情况下的几何之间的关系的第一步。
2017-03-08 math.CO
Rank complement of rational Dyck paths and conjugation of $(m,n)$-core partitions
给定一对互质的正整数$(m,n)$，有理卡塔兰数$\frac{1}{m+n} \binom{m+n}{m,n}$计数两个组合对象：有理$(m,n)$ -Dyck路径是$m\times n$矩形中的格路径，从不低于对角线; $(m,n)$ -核心是没有钩子长度等于$m$或$n$的分区。安德森建立了$(m,n)$ -Dyck路径和$(m,n)$ -核心之间的双射。我们定义了一个新的转换，称为秩补，合理的Dyck路径。我们表明，秩补对应于共轭的$(m,n)$ -核心下安德森的双射。这导致：i）一种新的方法来表征$n$ -核心; ii）一个简单的方法来计算的自共轭$(m,n)$ -核心的数量; iii）证明的两个组合和公式的等价性，一个在理性$(m,n)$ -Dyck路径和其他$(m,n)$ -核心，合理的加泰罗尼亚多项式。
2015-04-21 math.CO
Positroids Induced by Rational Dyck Paths
$(m,d)$类型的有理戴克路径是从$(0,0)$到$(m,d) \in \mathbb{Z}^2$的递增单位步长晶格路径，其从不超过对角线$y = (d/m)x$。另一方面，在基集$[d+m]$上秩为$d$的正拟阵是一种特殊类型的拟阵，它来自于完全非负的格拉斯曼拟阵。在本文中，我们描述了如何自然地分配一个秩$d$正拟阵的地面集$[d+m]$，我们称之为合理的Dyck正拟阵，每一个合理的Dyck道路类型$(m,d)$。我们表明，这样的分配是一对一。有几个家庭的组合对象在一对一的对应关系的一套positroids。在这里，我们的一些家庭的特征，我们生产的正，即格拉斯曼项链，装饰排列，乐图，移动等价类的plabic图。最后，我们描述了一个给定的有理Dyck正拟阵的拟阵多面体。
2017-06-29 math.CO
A simple and unusual bijection for Dyck paths and its consequences
在本文中，我们引入了一个新的双射从Dyck路集本身。这种双射的性质是，它将最近出现在模式避免排列研究中的统计量映射到Dyck路径上的经典统计量中，Dyck路径的分布很容易获得。我们还提出了一个推广的双射，以及它的几个应用到统计的计数问题的限制排列。
2003-06-09 math.CO
On the enumeration of Hoppy's walks
本文给出了m个向上步后终止于第j层的k-Dyck路径的计数，其中最后一步是向上步，并给出了一个和，改进了Deng和Mansour给出的一个公式。
2020-10-18 math.CO
New Formulas for Dyck Paths in a Rectangle
我们考虑的问题计数集$\mathscr{D}_{a,b}$的Dyck路内接在一个矩形大小$a\times b$。它们是由加泰罗尼亚数字列举的古典戴克词的自然概括。利用与Dyck路相关的Ferrers图，我们导出了用Catalan数表示的具有$a$和$b$非互素的$\mathscr{D}_{a,b}$的计数公式.
2015-09-25 math.CO
On the Sweep Map for Fuss Rational Dyck Paths
我们在这里的主要贡献是发现了一个新的家庭标准的杨tableaux $ {\cal T}^k_n$这是在双射与家庭${\cal D}_{m,n}$的理性戴克路径$m=k\times n\pm 1$（所谓的“Fuss”的情况下）。使用这个家庭，我们给一个新的证明的可逆性的扫描映射在Fuss的情况下，通过一个非常简单的显式算法。新算法具有运行时间$O(m+n)$。它独立于M-W算法。
2018-07-19 math.CO
Deutsch paths and their enumeration
Dyck路径的变体允许任意长度的下降步骤，而不仅仅是一个。本发明归功于Emeric Deutsch。令人惊讶的是，它们的枚举有点类似于Motzkin路径的分析;最后一节包含一个双射。
2020-04-14 math.CO
On factor-free Dyck words with half-integer slope
研究了P. Duchon提出的一类斜率为（2 m +1）/2的有理Dyck路，它对应于无因子Dyck字.我们表明，在本文中考虑的斜坡，语言的无因子Dyck字生成的辅助语言，我们检查从代数和组合的角度来看。我们提供了这种语言的格路径描述，并给出了一个显式的计数公式的部分贝尔多项式。作为推论，我们得到了新的无关联因子广义Dyck字的个数公式。
2018-04-30 math.CO
An efficient search algorithm for inverting the sweep map on rational Dyck paths
给定一个互质的正整数对$(m,n)$，有理$(m,n)$-Dyck路径是$m\times n$矩形中的格路径，它从不低于对角线。有理$(m,n)$ -Dyck路径$D$的扫描图是通过根据$D$的步骤的起始点的秩对$D$的步骤进行排序而获得的有理Dyck路径$Φ(D)$，其中$(a,b)$的秩是$bm-an$。它被证明是一个双射，但到目前为止，$Φ$只被认为是Fuss情况下的双射（$m=kn\pm 1$）。在本文中，我们给出了一个有效的搜索算法反演$Φ$地图。粗略地说，给定$σ\in \cal D_{m,n}$，通过搜索一定深度的$d$ -数组树，我们可以输出所有$D$，使得$Φ(D)=σ$，其中$d$是$m$除以$n$时的余数。特别是，我们表明，$Φ$是可逆的Fuss情况下，通过给出一个简单的递归构造$Φ^{-1} (σ)$。
2015-05-04 math.CO
Enumeration of edges in some lattices of paths
我们列举的边缘在哈斯图中产生的几个格的组合背景下的格路径。具体来说，我们将考虑Dyck、Grand Dyck、Motzkin、Grand Motzkin、Schröder和Grand Schröder晶格的情况。最后，我们给出了任意Young格（可以自然地解释为路径格）中边数的一般公式。
2012-03-30 cs.FL math.CO
Bijections between directed animals, multisets and Grand-Dyck paths
$n$ -$[k]=\{1,2,\ldots, k\}$的多集由来自$[k]$的一组$n$元素组成，其中每个元素都可以重复。本文给出了无连续元素的$[k]$的$n$ -多集的二元生成函数.对于$n=k$，这些多重集具有与正方形晶格中的有向动物相同的枚举。然后，我们给建设性的双射之间的有向动物，没有连续的元素和Grand-Dyck路径避免模式$DUD$，我们展示了如何经典和新颖的统计运输这些双射。
2019-11-20 math.CO
Combinatorics of the zeta map on rational Dyck paths
$(a,b)$路径$P$是保持在线$y=\frac{a}{b}x$上方的从$(0,0)$到$(b,a)$的晶格路径. zeta映射是一个奇怪的规则，映射到自身的$(a,b)$ -Dyck路径的集合，它是抽象的双射，我们提供的进展证明双射在本文中，通过显示，知道zeta的$P$和zeta的$¶$共轭是足以恢复$P$。当$ζ$是一个双射时，我们的方法在$(a,b)$路的集合上产生了一个保面积的对合$χ$，同时也给出了一个计算经典Dyck路上的$ζ^{-1}$的新方法.对于某些好的$(a,b)$路径，我们给出了$ζ^{-1}$和$χ$的显式公式，对于另外的$(a,b)$路径，我们讨论了如何归纳地计算$ζ^{-1}$和$χ$.我们还探讨了阿姆斯特朗的斜长统计量，并提出了两个新的组合方法计算zeta地图涉及激光和间隔相交。我们提供了一个组合统计$δ$，可用于递归计算$ζ^{-1}$，并表明$δ$是可计算的$ζ(P)$在福斯加泰罗尼亚的情况下。
2016-02-18 math.CO
Restricted Dumont permutations, Dyck paths, and noncrossing partitions
我们完成了第二类杜蒙排列的枚举，避免了长度为4的模式，它本身就是第二类杜蒙排列。我们还考虑了一些组合统计Dumont排列避免某些模式的长度为3和4，并给出了一个自然的双射之间的3142-避免Dumont排列的第二类和非交叉分区，使用循环分解，以及双射之间的132-，231-和321-避免Dumont排列和Dyck路径。最后，我们列举杜蒙排列的第一类同时避免某些对4字母的模式和另一种模式的任意长度。
2006-10-06 math.CO
Rational Dyck tilings
我们引入理性Dyck切片或$(a,b)$ -Dyck切片，并通过分解为$(1,1)$ -Dyck切片来研究它们。这种分解使我们能够利用组合模型的$(1,1)$ -戴克瓷砖，如埃尔米特的历史和戴克瓷砖带双射。结合与有理Dyck镶嵌相关的$b$ -Stirling置换，我们得到了$(a,b)$ -Dyck镶嵌与$ab$ $(1,1)$ -Dyck镶嵌元组之间的对应关系.
2021-04-07 math-ph math.CO math.MP
Rational Dyck paths and decompositions
通过将有理Dyck路分解为Dyck路的元组，研究了有理Dyck路的组合性质。诸如$b$ -Stirling置换、$(b+1)$ -ary树、括号表示和二叉树的组合模型在建立有理Dyck路径和Dyck路径元组之间的对应关系方面起着中心作用。利用Dyck路的分解，我们用Dyck路的元组重新解释了有理Dyck路上的两个阶：Young阶和旋转阶。作为应用，我们用二叉树的形式证明了$(a,b)$ -Dyck路与$(b,a)$ -Dyck路的对偶性.
2021-04-05 math-ph math.CO math.MP
Refined Lattice Path Enumeration and Combinatorial Reciprocity
众所周知，具有固定高度和固定数量的谷的$m$ -Dyck路径的集合由Fuch-Narayana数计数。在这篇文章中，我们考虑的$m$ -Dyck路径的集合，至少开始于$t$北步骤。我们给出了这样的路径的数目的精确公式与固定的高度，固定数目的回报和（i）固定数目的山谷，（ii）固定数目的山谷与$x$ -坐标可整除的$m$和（iii）固定数目的山谷与$x$ -坐标不可整除的$m$。枚举（ii）combinatorially实现了$H$ -三角形出现在最近的一篇文章Krattenthaler和第一作者（代数。5，2022）在某些抛物非交叉分区的上下文中。通过Chapoton的一个变换公式，给出了相应的$F$ -三角形的一个显式公式.我们实现这个多项式组合的广义施罗德路径以及单位在某些超平面安排的手段。一路上，我们展示了两个新的组合互惠的结果。
2022-07-29 math.CO
ad-nilpotent $\frak b$-ideals in sl(n) having a fixed class of nilpotence: combinatorics and enumeration
本文研究了$sl(n+1,\Bbb C)$的Borel子代数的幂零理想的组合.我们提供了一个归纳的方法来计算类的零这些理想和公式的理想的数量有一个给定的类的零。基于ad-幂零理想幂零理想与Dyck路之间的一个显著的双射，我们研究了这些结果与Dyck路的组合数学之间的关系.最后，我们提出了Catalan数$C_n$的（q，t）-模拟.这些（q，t）-Catalan数计数一方面广告-幂零理想方面的维数和类的零，另一方面承认的解释，在自然统计的戴克路径。
2000-04-17 math.CO math.RA
Symmetric peaks and symmetric valleys in Dyck paths
Dyck路径中对称峰和非对称峰的概念是由Flórez和Rodr 'ıguez提出的，他们计算了给定长度的所有Dyck路径上此类峰的总数。在本文中，我们推广他们的结果，给出多元生成函数，跟踪对称峰的数量和非对称峰的数量，以及这些峰的宽度。我们恢复了Denise和Simion的公式作为我们结果的一个特例。我们也考虑类似的，但更复杂的概念对称谷。我们发现一个连分数的表达的生成函数的Dyck路径的对称山谷的数量和它们的宽度的总和，这提供了一个意想不到的连接对称山谷和统计有序有根树。最后，我们列举了戴克路径的峰或谷的高度满足一定的单调性和单峰性条件，使用一个共同的框架来恢复一些已知的结果，并与我们的问题，某些列凸多项式类的枚举。
2020-08-13 math.CO
Promotion and rowmotion in rational Catalan combinatorics
本文研究了促进与行运动在有理Catalan组合学中的等价性，通过扩展双射与RSK类对应关系，揭示了 generalized Dyck paths 上的双射性质。
2026-03-31 math.CO
Caminos de Dyck contenidos en un diagrama de Ferrers
研究了费勒斯图中Dyck路子集的计数问题。这个枚举涉及到找到Kréwéras树的分支中的元素的数量。利用与Dyck路径相关的费勒斯图，我们已经开发了比较和分解图的方法，以获得计数公式的Catalan数。这些方法已被开发的算法和SAGE编码的形式进行验证。--这是Kréwéras的Arbol的一个房间里的所有元素。中间el uso de Ferrers asociados a los caminos de Dyck，hemos desarrollado metodos de comparación y de descomposición de Ferrmas para obtener fórmulas enumerativas en términos de números de Catalan. Escherichia metodos hans sido desarrollados en forma de algoritmos y codificados en SAGE para su verificación.
2015-09-25 math.CO
Bell Polynomials and $k$-generalized Dyck Paths
长度为$n$的{ \em k-广义Dyck路径}是平面整数格$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$中从$(0,0)$到$(n,0)$的格路径，该格路径由针对给定整数$k\geq 0$的水平阶$(k, 0)$、向上阶$(1,1)$和向下阶$(1,-1)$组成，其从不通过x轴下方。本文研究了$k$ -广义Dyck路的三种统计量：“$u$ -段数”、“内部$u$ -段数”和“$(u,h)$ -段数”.拉格朗日反演公式被用来表示的生成函数的$k$ -广义Dyck路径的数量根据统计作为部分贝尔多项式或潜在的多项式之和。许多重要的特殊情况被认为是导致一些令人惊讶的观察。此外，还建立了与$u$ -段和$(u,h)$ -段有关的计数结果，得到了许多新的组合恒等式，特别是Catalan数的两个新的表达式.
2008-05-09 math.CO
The height of skew Dyck paths with two variants of downsteps
Department of Mathematics, University of Stellenbosch（斯泰伦博斯大学数学系）；NITheCS (National Institute for Theoretical and Computational Sciences)（理论计算科学国家研究所）
研究具有两种下降步变体的斜戴克路径的高度，利用生成函数、核方法和线性系统，对其平均高度等计数做出贡献，得出平均高度为$\sqrt{n}$阶的结论。
2026-07-17 math.CO
Rational Catalan polynomials and rank words
对于$m,n$互质，我们在$(m,n)$ -有理Dyck路上引入了一个新的统计跳跃，并给出了一种计算dinv和skip统计量的快速方法.我们还引入了$(m,n)$ -秩字，它与$(m,n)$ -Dyck路径一一对应.在秩字中定义了秩对的等价关系，证明了等价类的个数是秩字的跳数和对应的Dyck路的跳数，并利用统计区域、dinv和skip构造了一个齐次生成函数$W_{m,n}(q,t,b)$，其中$W_{m,n}(q,t,1)=C_{m,n}(q,t)$是有理Catalan多项式.然后给出了$(3,n)$ -有理Catalan多项式的一个显式公式，并证明了它们是$q,t$ -对称的.
2016-11-15 math.CO
Combinatorics of Triangular Partitions
本文的目的是发展与我们称之为\emph{triangular partitions}的结构相关的组合学。如arXiv：2102.07931中所介绍的，对于任何给定的正实数$r$和$s$，这些分区的单元是位于连接点$(r,0)$和$(0,s)$的线下方的那些分区。经典的概念，如代克路径和停车功能，自然是广义的考虑一组分区包括在一个给定的三角分区。我们的一个显著结果是，三角剖分的Young格的限制有一个平面Hasse图，具有许多好的性质。因此，我们可以推广的“第一次返回”的递归，枚举经典的戴克道路，枚举的所有分区包含在一个固定的三角一个。
2022-03-29 math.CO
Permutations with restricted patterns and Dyck paths
我们展示了132-避免排列和Dyck路径之间的双射。使用这种双射，它表明，所有最近发现的结果生成函数的132-避免排列与给定次数的模式$12... k$直接遵循旧的结果计数Motzkin路径，其中是一个连分数结果由于Flajolet。作为奖励，我们使用这些意见，以获得进一步的结果和精确的渐近估计的数量132避免排列的$\{1,2,...,n\}$与$r$发生的模式$12... k$。其次，我们展示了123-避免排列和Dyck路径之间的双射。当与Roblet和Viennot的结果相结合时，这种双射使我们能够以连分数的形式表达具有给定出现次数的模式$(k-1)(k-2)... 1k$的123-避免排列的生成函数，并推导出这些排列的进一步结果。
2000-02-24 math.CO
Combinatorial differential operators in: Faà di Bruno formula, enumeration of ballot paths, enriched rooted trees and increasing rooted trees
得到了一般增树路长计数的一个微分方程。利用微分算子及其组合解释，给出了Faà di Bruno公式的一个双射证明，并对选票和Dyck路的生成进行了建模.根据格点的高度，得到了它的计数公式。还得到了关于其内部和外部顶点高度的丰富增长树和森林计数的递归公式。最后，我们提出了一个推广的形式，所有这些结果使用单参数群在一般情况下的正式幂级数在任意数量的变量。
2016-10-12 math.CO
Enumeration of $S$-omino towers and row-convex $k$-omino towers
我们首先列举了一个推广的多米诺骨牌塔，提出了由特里西娅M。Brown（J. 20（2017）），我们称之为S-omino塔。我们建立方程的母函数必须满足，然后应用拉格朗日反演公式找到一个闭公式的塔的数量。我们还展示了一个连接到广义Dyck路径，并提供了一个明确的双射。最后，我们考虑了布朗提出的行凸k-奥米诺塔的集合，并计算了一个精确的生成函数。
2020-10-30 math.CO
Ballot tilings and increasing trees
我们研究枚举的戴克和选票平铺，这是平铺的一个区域确定的两个戴克或选票路径。本文通过Hermite历史给出了Dyck镶嵌计数的两个公式的双射证明。我们证明了其中一个公式等于某个Kazhdan-Lusztig多项式。对于选票镶嵌，我们建立的公式是类似的公式戴克镶嵌。特别地，生成函数具有因式分解的表达式。关键的工具是一棵种植的悬铃木和它不断增加的标签。我们还介绍了一个广义完美匹配，这是双射的埃尔米特历史的选票平铺。通过结合这些对象，我们得到了具有固定下路的选票镶嵌生成函数的各种表达式。
2017-05-18 math-ph math.CO math.MP
Words, Dyck paths, Trees, and Bijections
在\cite{BaDeFePi96}中引入了非减Dyck路的概念。我们继续从文字、理性语言、种植的悬铃木和连分数的角度进行研究。我们构建一个双射种植的平面树的高度$\le 4$和计算各种统计的树是非减Dyck路径的等价物。
2019-10-25 math.CO
Enumeration of paths in a hexagonal circle packing
针对六边形圆堆积中的路径，本文用函数方程、核方法等推导其生成函数、渐近结果，建立与三类经典路径的双射，证明相关阵列为Riordan阵列并得到连分数展开。
2025-11-17 math.CO
Schröder Paths and Pattern Avoiding Partitions
本文证明了集合$[n+1]$的12312-避免划分和12321-避免划分与半长$n$的Schröder路一一对应，在偶数水平上没有峰.因此，12312-避免（分别）的精确枚举。12321-避免）分区根据块的数量可以减少到枚举某些施罗德路径根据峰的数量。此外，我们还得到了不可约12312-避免（分别为12321-避免）分区，这是密切相关的斜戴克路径。
2009-03-09 math.CO
On self-conjugate $(s, s+1,\ldots, s+k)$-core partitions
同时核心分区已经被广泛研究，因为安德森的工作枚举的$(s,t)$核心分区。Amdeberhan和Leven证明了$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核心分区的数目等于$(s, k)$ -Dyck路径的数目。本文证明了自共轭$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核划分与对称$(s, k)$ -Dyck路的个数相等，从而证实了Cho，Huh和Sohn的一个猜想.
2019-05-02 math.CO
Progressive and Rushed Dyck Paths
本文通过双射证明Asinowski和Jelinek研究的渐进路径与急促路径具有相同计数序列，并建立急促路径与单侧树的联系，最后讨论相关格路和有向动物的渐近性质。
2026-05-21 cs.DM math.CO
On the Sweep Map for $\vec{k}$-Dyck Paths
Garsia和Xin给出了$D_{m,n}$中Fuss有理Dyck路的扫描映射的一个线性反演算法，其中$m=kn\pm 1$ .他们引入了一个中间族$\mathcal{T}_n^k$，它是某些标准杨氏表的中间族。然后通过$T\in \mathcal{T}_n^k$上的简单行走算法来反转扫描映射。我们发现他们的想法自然地扩展到$\mathbf{k}^\pm$ -Dyck路径，也为$\mathbf{k}$ -Dyck路径（减少到$k$ -Dyck路径的等参数的情况下）。中间对象在不同列长的$\mathcal{T}_\mathbf{k}$中成为类似类型的画面。这种方法是独立于用于反演一般模扫描映射的M-W算法的。
2018-11-19 math.CO
Enumeration of connected Catalan objects by type
非交叉集合划分、非嵌套集合划分、戴克路径和有根平面树是四类带有类型概念的加泰罗尼亚对象。存在一个乘积公式，它根据类型枚举这些对象。我们定义了一个概念，这些对象的“连通性”，并证明了一个类似的产品公式，计数连接对象的类型。这个乘积公式的证明是组合的和双射的。我们扩展到一个产品的公式，计算对象与一个固定的类型和数量的连接组件。我们把我们的乘积公式与由停车函数产生的对称函数联系起来。最后，我们提出了另一种证明我们的产品公式传达给我们的基督教Krattenthaler使用生成函数和拉格朗日反演。
2010-05-14 math.CO
Refinements of two identities on $(n,m)$-Dyck paths
对于具有$n \geq 1$和$0 \leq m \leq n$的整数$n, m$，$(n,m)$ -Dyck路径是整数格$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$中的格路径，其使用向上步骤$(0,1)$和向下步骤$(1,0)$，从原点$(0,0)$到点$(n,n)$，并且精确地包含线$y=x$下方的$m$向上步骤。经典的Chung-Feller定理指出$(n,m)$ -Dyck路的总数与$m$无关，等于$n$次Catalan数$C_n=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ .对于具有$1 \leq k \leq n$的任何整数$k$，令$p_{n,m,k}$为具有$k$峰值的$(n,m)$ -Dyck路径的总数。Ma和Yeh证明了对于$0 \leq m \leq n$，$p_{n,m,k}$ = $p_{n,n-m,n-k}$，对于$1 \leq m \leq n-2$，$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}=p_{n,m+1,k}+p_{n,m+1,n-k}$。本文给出了这两个结果的双射证明。利用我们的双射，我们还得到了数$p_{n,m,k}$和$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}$根据开始和结束步骤的精确计数结果。
2018-01-28 math.CO
A subfamily of skew Dyck paths related to $k$-ary trees
本文定义盒路径及更一般的 $k$-盒路径，建立其与多元 $(k+2)$ 叉树、$k_t$-Dyck 路径和阈值序列子族的双射，并给出按返回与长上升的精细化枚举。
2024-01-20 math.CO
Dinv, Area, and Bounce for $\vec{k}$-Dyck paths
著名的$q,t$ -Catalan序列作为普通Dyck路的加权和有两种组合解释：一种是Haglund的面积反弹公式，另一种是Haiman的单位面积公式. zeta映射是为了连接这两个公式而构造的：它是从普通Dyck路径到它们自身的双射，它需要dinv到面积，面积到反弹。Loehr把这个结果推广到$k$ -Dyck路径上. Zeta地图由Armstrong-Loehr-Warrington扩展为非常一般的一类路径。本文推广了$\vec{k}$ -Dyck路径的面积反弹结果：i）给出了$\vec{k}$-Dyck路径反弹统计量的尺规作图法，其中包括$k$ -Dyck路径和普通Dyck路径的特殊情况; ii）给出了$\vec{k}$ -Dyck路径的dinv统计量的几何解释。我们的反弹结构受到Loehr结构和Xin-张的线性算法反演扫描映射上的$\vec{k}$ -Dyck路径。我们的dinv解释受到Garsia-Xin在理性Dyck路径上对dinv到面积结果的视觉证明的启发。
2020-11-10 math.CO
Dyck path triangulations and extendability
本文介绍了两个单形$Δ_{n-1}\timesΔ_{n-1}$的笛卡儿积的Dyck路径三角剖分。这种三角剖分的最大单形由Dyck路径给出，并且其构造自然地推广到使用有理Dyck路径产生$Δ_{r\ n-1}\timesΔ_{n-1}$的三角剖分。我们的研究Dyck路径三角剖分的动机是两个单纯形的乘积的部分三角剖分的可拓性问题。我们表明，只要$m\geq k>n$，任何三角的$Δ_{m-1}^{(k-1)}\timesΔ_{n-1}$扩展到一个独特的三角的$Δ_{m-1}\timesΔ_{n-1}$。此外，通过一个显式构造，我们证明了界$k>n$是最优的。我们还表现出有趣的解释，我们的结果在语言的热带定向拟阵，这是类似于经典的结果在定向拟阵理论。
2014-02-20 math.CO
The ascent lattice on Dyck paths
本文研究Dyck路径上Stanley格的贪心变体，证明其仍为格（上升格$L_n$），通过递归分解和催化变量计数区间，并推广到$m$-Dyck路径情形，揭示与sylvester同余及象限行走的联系，给出渐近估计。
2025-05-27 math.CO
The $\mathbf{uvu}$-avoiding $(a,b,c)$-Generalized Motzkin paths with vertical steps: bijections and statistic enumerations
广义Motzkin路径，简称G-Motzkin路径，长度为$n$，是XOY平面第一象限中从$(0, 0)$到$(n, 0)$的格点路径，由上台阶$\mathbf{u}=(1, 1)$、下台阶$\mathbf{d}=(1, -1)$、水平台阶$\mathbf{h}=(1, 0)$和垂直台阶$\mathbf{v}=(0, -1)$组成. $(a,b,c)$-G-Motzkin路径是加权的G-Motzkin路径，使得$\mathbf{u}$ -步骤、$\mathbf{h}$ -步骤、$\mathbf{v}$ -步骤和$\mathbf{d}$ -步骤分别由$1, a, b$和$c$加权。本文首先给出了长度为$n$的$\mathbf{uvu}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与$(a,b)$-Schröder路集、长度为$2n$的$(a+b,b)$-Dyck路集、长度为$n$的$\{\mathbf{uvu, uu}\}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与长度为$n$的$(a+b,ab)$-Motzkin路集之间的双射，在以$a$加权的$\mathbf{h}$ -步开始的长度为$n+1$的$\{\mathbf{uvu,uu}\}$ -避免$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路径的集合与长度为$2n+2$的$(a,b)$-Dyck路径的集合之间。…
2022-01-23 math.CO
A compositional shuffle conjecture specifying touch points of the Dyck path
我们介绍了一个$q,t$ -枚举的戴克路径被迫接触的主对角线在特定的点和禁止接触其他地方和猜想，它描述了行动的麦克唐纳理论$\nabla$运营商适用于霍尔-利特尔伍德多项式。我们的猜想完善了几个早期的关于对角调和空间的猜想，包括“洗牌猜想”（杜克J.数学$\mathbf {126}$（2005），第100页）。195-232）。我们带来光，某些广义霍尔-Littlewood多项式索引的组合物是积木的代数组合理论的$q,t$ -Catalan序列，我们证明了一些身份涉及这些功能。
2011-06-24 math.CO math.QA
Deficit and $(q,t)$-symmetry in triangular partitions
Université Paris-Saclay, CNRS（巴黎萨克雷大学，法国国家科学研究中心）
本文研究三角Dyck路径的(q,t)计数，引入三角和sim-sym表格及亏缺统计量，用于三角2划分的新结果及猜想。
2026-03-31 math.CO
