Fibonacci 多联骨牌：精细枚举与 Dyck 路径双射
Fibonacci Polyominoes: Refined Enumeration and Dyck-Path Bijections
- Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）
- Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文研究 Fibonacci 多联骨牌的按面积和半周长枚举，通过生成函数得到含 Catalan 数的精细公式，并建立与带标签 Dyck 路径的双射，将统计量转化为峰与返回，还研究等高连续列并得到 Motzkin 数控制的精细化。
AI中文摘要：
我们研究 Fibonacci 多联骨牌，这是一类列凸多联骨牌，其下边界是由单位水平步和垂直步组成的阶梯路径。我们推导出按面积和半周长枚举这些多联骨牌的生成函数。所得公式给出了经典 Fibonacci 枚举的精细化，并导出了涉及 Catalan 数的显式表达式。我们给出了与带标签的 Dyck 路径的双射，该双射提供了这些公式的组合证明，并将 Fibonacci 多联骨牌上的自然统计量转化为 Dyck 路径上的峰、返回及相关统计量。这产生了按下降和从左到右最小值进行的精细化，包括由 Narayana 数控制的分布。我们还研究了等高的连续列，在对角情形下导出了由 Motzkin 数控制的 Catalan 枚举的精细化。
英文摘要：
We study Fibonacci polyominoes, a class of column-convex polyominoes whose lower boundary is a staircase path made of unit horizontal and vertical steps. We derive generating functions that enumerate these polyominoes by area and semiperimeter. The resulting formulas give refinements of the classical Fibonacci enumeration and lead to explicit expressions involving Catalan numbers. We give a bijection with labeled Dyck paths that provides combinatorial proofs of these formulas and translates natural statistics on Fibonacci polyominoes into peaks, returns, and related statistics on Dyck paths. This yields refinements by descents and left-to-right minima, including distributions governed by Narayana numbers. We also study consecutive columns of equal height, leading in the diagonal case to a refinement of the Catalan enumeration governed by Motzkin numbers.
