Dyck paths on colored lattices
Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）
研究彩色格上戴克路径，推广弗里德的计数结论，证明对于列模\(c\geq2\)的着色，给出半长度为\(n\)且\(c\)个余数类权重相等的戴克路径数量为拉尼数\(\Raney_{c + 1,r}(m)\)（\(n = cm + r - 1\)）。
2026-07-09 math.CO
Enumerations of humps and peaks in $(k,a)$-paths and $(n,m)$-Dyck paths via bijective proofs
最近Mansour和Shattuck研究了$(k,a)$-路，并给出了所有$(k,a)$-路的峰（峰）的总数与超级$(k,a)$-路的数目之间的关系式.这些结果推广了Regev关于Dyck路径和Motzkin路径的早期结果。他们的证明是基于生成函数，他们要求双射证明他们的结果。本文首先给出Mansour和Shattuck结果的双射证明，然后将我们的研究推广到$(n,m)$-Dyck路.当$n$和$m$互质时，我们给出了一个双射，它将所有$(n,m)$-Dyck路径中的峰的总数与某些自由$(n,m)$-路径联系起来.由这个双射我们得到了具有恰好$j$峰的$(n,m)$-Dyck路的个数，它是著名结果的推广，即具有恰好$j$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数$\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{n\choose k-1}$.
2015-05-22 math.CO
Fibonacci Polyominoes: Refined Enumeration and Dyck-Path Bijections
Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）；Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文研究 Fibonacci 多联骨牌的按面积和半周长枚举，通过生成函数得到含 Catalan 数的精细公式，并建立与带标签 Dyck 路径的双射，将统计量转化为峰与返回，还研究等高连续列并得到 Motzkin 数控制的精细化。
2026-09-25 math.CO
Bijections between colored compositions, Dyck paths, and polygon partitions
该研究通过识别并装饰合成、Dyck 路径与凸多边形剖分中的构建块，构造了保持部分且支持彩色情形的双射，从而统一刻画三类组合对象。
2024-03-07 math.CO
Enumeration of saturated chains in Dyck lattices
我们确定了一个计算Dyck格中饱和链个数的一般公式，并应用它求出了长度为2和3的饱和链的个数。我们还计算了我们称之为Dyck格的Hasse指数（2阶和3阶），它是饱和链（长度为2和3）的总数与底层偏序集的基数之间的比率。
2012-03-30 cs.FL math.CO
Enumerating several statistics of r-Colored Dyck paths with no dd-steps having the same colors
本文研究无相邻同色 d-步的 r-色 Dyck 路径，利用与 (a,b)-Schröder 路径加权生成函数相关的 Riordan 阵列，建立点数、u-步数和峰数等统计量的计数公式及恒等式。
2025-06-10 math.CO
Enumeration of Generalized Dyck Paths Based on the Height of Down-Steps Modulo $k$
该研究针对满足特定约束的$k_t$-Dyck广义格点路径，通过统计下降步高度模$k$的分布，推导了对应路径数的精确计数公式，采用双射法与生成函数完成证明，丰富了组合计数领域的相关结论。
2022-04-29 math.CO
The cyclic sieving phenomenon on circular Dyck paths
给出了循环Dyck路的一个$q$ -枚举，它是用Catalan数枚举的经典Dyck路的一个超集.这些物体最近由Alexandersson和Panova研究。此外，我们表明，这种$q$ -类似物表现出循环筛分现象下的自然作用的循环群。计数和循环筛选推广到莫比乌斯路。我们还讨论了循环筛分的推广，我们称之为子集循环筛分的性质。最后，我们还介绍了林登循环筛分的概念，涉及特殊的递归性质的组合对象表现出循环筛分现象。
2019-03-04 math.CO
Enumeration of Dyck paths with air pockets
本文引入并研究了一类新的带气袋的组合Dyck路。我们展示了一个双射的无峰Motzkin路径，它传输几个模式的统计数据，并给出二元生成函数的分布模式的峰值，回报和金字塔。然后，我们推导出这些模式的普及和渐近期望，并指出金字塔的普及和一种特殊的封闭光滑自重叠曲线，斐波那契曲折的子集之间的联系。对带有气穴的非递减Dyck路径进行了类似的研究。
2023-03-06 cs.DM math.CO
Enumeration of Deutsch paths by adding the adding-a-new-slice method and applications
Dyck路径的变体允许任意长度的下降步骤，而不仅仅是一个。这是出于Emeric Deutsch的想法。我们利用增加新片技术和核方法计算了满足R.斯坦利找戴克小路。
2021-04-21 math.CO
Oscillating Rim Hook Tableaux and Colored Matchings
出于问题的B型模拟的双射之间的振荡tableaux和匹配，我们发现振荡m-边缘钩tableaux和m-着色匹配，其中m是一个正整数之间的对应关系。振荡m-rim钩表被定义为从空形状开始并以空形状结束的杨氏图的序列$(λ^0,λ^1,...,λ^{2n})$，使得通过添加m-rim钩或通过删除m-rim钩从$λ^{i-1}$获得$λ^{i}$。我们的双射依赖于White提出的广义Schensted算法。一个摆动的2-rim hook画面也被称为摆动的多米诺骨牌画面。当我们把注意力限制在长度为2n的两列振荡多米诺骨牌表时，我们会得到这样的表和$\{1, 2,..., 2n\}$上的非交叉2-色匹配之间的双射，它们由两个连续Catalan数的乘积$C_nC_{n+1}$计数。如果没有两个相同颜色的弧相交，则双色匹配是非相交的。我们发现，振荡多米诺骨牌tableaux最多有两列是在一对一的对应与戴克路径包装。长度为2n的Dyck路径包装是一个对（D，E），其中D是长度为2n的Dyck路径，E是被D弱覆盖的长度为2n的分散Dyck路径。因此我们推出了长度为2n的Dyck路填充可以用$C_nC_{n+1}$来计数.
2011-05-22 math.CO
Colored Motzkin Paths of Higher Order
顺序Motzkin路径- $\ell$是Motzkin路径的推广，它对每个正整数$i \leq \ell$使用步骤$U=(1,1)$、$L=(1,0)$和$D_i=(1,-i)$。我们进一步推广顺序$\ell$ Motzkin路径，允许我们的道路的边缘上的各种着色方案。这些$(\vecα,\vecβ)$着色的Motzkin路径可以通过适当的Riordan数组来枚举，模仿Aigner在处理Catalan-like数时的技术。经过调查，其相关的Riordan阵列，我们开发的双射之间的$(\vecα,\vecβ)$着色Motzkin路径和各种良好的研究组合对象。特定的着色方案$(\vecα,\vecβ)$允许我们将$(\vecα,\vecβ)$着色的Motzkin路径与广义$k$ -Dyck路径的不同子类进行双射，包括保持弱高于水平线$y=-a$的$k$-Dyck路径，其峰值都具有相同高度模$k$的$k$ -Dyck路径，以及精细路径的Fuss-Catalan推广。一个一般的双射之间也开发了$(\vecα,\vecβ)$着色Motzkin路径和某些子类的$k$ ary树。
2020-12-29 math.CO
Dyck paths with coloured ascents
我们引入了一个概念的戴克路径与彩色上升。对于着色的几种方法，我们建立双射之间的集合，这样的路径和其他组合结构，如非交叉树，解剖的凸多边形等，在某些情况下枚举给出了新的表达序列枚举这些结构。
2007-01-25 math.CO
A simple and unusual bijection for Dyck paths and its consequences
在本文中，我们引入了一个新的双射从Dyck路集本身。这种双射的性质是，它将最近出现在模式避免排列研究中的统计量映射到Dyck路径上的经典统计量中，Dyck路径的分布很容易获得。我们还提出了一个推广的双射，以及它的几个应用到统计的计数问题的限制排列。
2003-06-09 math.CO
On the enumeration of Hoppy's walks
本文给出了m个向上步后终止于第j层的k-Dyck路径的计数，其中最后一步是向上步，并给出了一个和，改进了Deng和Mansour给出的一个公式。
2020-10-18 math.CO
New Formulas for Dyck Paths in a Rectangle
我们考虑的问题计数集$\mathscr{D}_{a,b}$的Dyck路内接在一个矩形大小$a\times b$。它们是由加泰罗尼亚数字列举的古典戴克词的自然概括。利用与Dyck路相关的Ferrers图，我们导出了用Catalan数表示的具有$a$和$b$非互素的$\mathscr{D}_{a,b}$的计数公式.
2015-09-25 math.CO
Generalized Dyck tilings
最近，Kenyon和Wilson引入了Dyck平铺，这是两条Dyck路径之间区域的某些平铺。Dyck平铺的计数与森林的钩子公式和Hermite多项式的组合学有关。本文的第一个目标是利用置换的弱序和Bruhat序给出Dyck镶嵌的另一种观点。然后介绍了两种自然推广：$k$ -Dyck镶嵌和对称Dyck镶嵌。我们被引导考虑斯特林置换，并定义一个类似的Bruhat秩序。我们表明，某些家庭的$k$ -Dyck镶嵌在双射的间隔在这个顺序。我们还列举对称戴克平铺。
2014-10-06 math.CO
On Dyck Path Expansion Formulas for Rank 2 Cluster Variables
本文简化和推广了秩为2的簇变量展开式的公式。特别是，我们证明了一个等价的，但更简单的，描述的彩色戴克子路径框架介绍李和Schiffler。然后证明了Feiyang Lin构造的着色Dyck子路和相容对集合之间的映射的约束双射性，Lee，Li和Zelevinsky为了研究贪婪基而引入的对象。我们使用这个双射随着鲁佩尔的量子贪婪的基础元素，它的总和兼容对的扩展公式，提供一个量子推广李和Schiffler的彩色戴克子路径公式。
2022-12-12 math.CO math.QA math.RA
Deutsch paths and their enumeration
Dyck路径的变体允许任意长度的下降步骤，而不仅仅是一个。本发明归功于Emeric Deutsch。令人惊讶的是，它们的枚举有点类似于Motzkin路径的分析;最后一节包含一个双射。
2020-04-14 math.CO
On factor-free Dyck words with half-integer slope
研究了P. Duchon提出的一类斜率为（2 m +1）/2的有理Dyck路，它对应于无因子Dyck字.我们表明，在本文中考虑的斜坡，语言的无因子Dyck字生成的辅助语言，我们检查从代数和组合的角度来看。我们提供了这种语言的格路径描述，并给出了一个显式的计数公式的部分贝尔多项式。作为推论，我们得到了新的无关联因子广义Dyck字的个数公式。
2018-04-30 math.CO
Bilinear Forms on Skein Modules and Steps in Dyck Paths
利用Jones-Wenzl幂等元构造了n个点着色为1且一个点着色为h的正方形的相对Kauffman括号skein模的基。我们考虑这个skein模上的一个自然双线性型。我们计算这种形式的矩阵关于自然基的行列式。我们减少了计算的一些步骤，在广义Dyck路径。此外，我们将我们的行列式与半蜿蜒上的行列式联系起来。
2011-01-13 math.CO math.QA
Enumeration of Colored Tilings on Graphs via Generating Functions
本文针对图划分为连通着色块的问题，利用二元生成函数与组合技术计算特定图族中块的期望数量，并推广了着色多联骨牌网格铺砌枚举。
2025-01-10 math.CO
Enumeration of edges in some lattices of paths
我们列举的边缘在哈斯图中产生的几个格的组合背景下的格路径。具体来说，我们将考虑Dyck、Grand Dyck、Motzkin、Grand Motzkin、Schröder和Grand Schröder晶格的情况。最后，我们给出了任意Young格（可以自然地解释为路径格）中边数的一般公式。
2012-03-30 cs.FL math.CO
Bijections between directed animals, multisets and Grand-Dyck paths
$n$ -$[k]=\{1,2,\ldots, k\}$的多集由来自$[k]$的一组$n$元素组成，其中每个元素都可以重复。本文给出了无连续元素的$[k]$的$n$ -多集的二元生成函数.对于$n=k$，这些多重集具有与正方形晶格中的有向动物相同的枚举。然后，我们给建设性的双射之间的有向动物，没有连续的元素和Grand-Dyck路径避免模式$DUD$，我们展示了如何经典和新颖的统计运输这些双射。
2019-11-20 math.CO
Restricted Dumont permutations, Dyck paths, and noncrossing partitions
我们完成了第二类杜蒙排列的枚举，避免了长度为4的模式，它本身就是第二类杜蒙排列。我们还考虑了一些组合统计Dumont排列避免某些模式的长度为3和4，并给出了一个自然的双射之间的3142-避免Dumont排列的第二类和非交叉分区，使用循环分解，以及双射之间的132-，231-和321-避免Dumont排列和Dyck路径。最后，我们列举杜蒙排列的第一类同时避免某些对4字母的模式和另一种模式的任意长度。
2006-10-06 math.CO
Refined Lattice Path Enumeration and Combinatorial Reciprocity
众所周知，具有固定高度和固定数量的谷的$m$ -Dyck路径的集合由Fuch-Narayana数计数。在这篇文章中，我们考虑的$m$ -Dyck路径的集合，至少开始于$t$北步骤。我们给出了这样的路径的数目的精确公式与固定的高度，固定数目的回报和（i）固定数目的山谷，（ii）固定数目的山谷与$x$ -坐标可整除的$m$和（iii）固定数目的山谷与$x$ -坐标不可整除的$m$。枚举（ii）combinatorially实现了$H$ -三角形出现在最近的一篇文章Krattenthaler和第一作者（代数。5，2022）在某些抛物非交叉分区的上下文中。通过Chapoton的一个变换公式，给出了相应的$F$ -三角形的一个显式公式.我们实现这个多项式组合的广义施罗德路径以及单位在某些超平面安排的手段。一路上，我们展示了两个新的组合互惠的结果。
2022-07-29 math.CO
ad-nilpotent $\frak b$-ideals in sl(n) having a fixed class of nilpotence: combinatorics and enumeration
本文研究了$sl(n+1,\Bbb C)$的Borel子代数的幂零理想的组合.我们提供了一个归纳的方法来计算类的零这些理想和公式的理想的数量有一个给定的类的零。基于ad-幂零理想幂零理想与Dyck路之间的一个显著的双射，我们研究了这些结果与Dyck路的组合数学之间的关系.最后，我们提出了Catalan数$C_n$的（q，t）-模拟.这些（q，t）-Catalan数计数一方面广告-幂零理想方面的维数和类的零，另一方面承认的解释，在自然统计的戴克路径。
2000-04-17 math.CO math.RA
Enumeration of $k$-Fibonacci Paths using Infinite Weighted Automata
本文引入了一类新的广义着色Motzkin路，其中水平阶用$F_{k,l}$着色，其中$F_{k,l}$是$l$第$k$ -Fibonacci数.我们根据长度来研究这个族的计数。为此，我们使用无限加权自动机。
2014-08-05 math.CO
Symmetric peaks and symmetric valleys in Dyck paths
Dyck路径中对称峰和非对称峰的概念是由Flórez和Rodr 'ıguez提出的，他们计算了给定长度的所有Dyck路径上此类峰的总数。在本文中，我们推广他们的结果，给出多元生成函数，跟踪对称峰的数量和非对称峰的数量，以及这些峰的宽度。我们恢复了Denise和Simion的公式作为我们结果的一个特例。我们也考虑类似的，但更复杂的概念对称谷。我们发现一个连分数的表达的生成函数的Dyck路径的对称山谷的数量和它们的宽度的总和，这提供了一个意想不到的连接对称山谷和统计有序有根树。最后，我们列举了戴克路径的峰或谷的高度满足一定的单调性和单峰性条件，使用一个共同的框架来恢复一些已知的结果，并与我们的问题，某些列凸多项式类的枚举。
2020-08-13 math.CO
Caminos de Dyck contenidos en un diagrama de Ferrers
研究了费勒斯图中Dyck路子集的计数问题。这个枚举涉及到找到Kréwéras树的分支中的元素的数量。利用与Dyck路径相关的费勒斯图，我们已经开发了比较和分解图的方法，以获得计数公式的Catalan数。这些方法已被开发的算法和SAGE编码的形式进行验证。--这是Kréwéras的Arbol的一个房间里的所有元素。中间el uso de Ferrers asociados a los caminos de Dyck，hemos desarrollado metodos de comparación y de descomposición de Ferrmas para obtener fórmulas enumerativas en términos de números de Catalan. Escherichia metodos hans sido desarrollados en forma de algoritmos y codificados en SAGE para su verificación.
2015-09-25 math.CO
Bijective enumeration of some colored permutations given by the product of two long cycles
令$γ_n$是由$γ_n = (1\ 2\...\ n)$定义的$n$符号上的置换。我们感兴趣的是一个着色排列的计数问题，即$n$的排列$β$，其中从1到$n$的数都用$p$着色，使得同一循环中的两个元素具有相同的颜色.我们表明，着色排列的比例，使$γ_n β^{-1}$是一个很长的周期是由非常简单的比例$\frac{1}{n- p+1}$。我们的证明是双射的，并使用组合对象，如分区超映射和荆棘树。这个公式实际上等价于长循环数$α$的比例，使得$γ_nα$具有$m$循环和大小为$n+1$的斯特林数，这是几位作者以前通过代数方法发现的一种意想不到的联系。此外，我们的双射允许我们用置换的循环类型来改进后一个结果。
2012-11-08 math.CO
Bell Polynomials and $k$-generalized Dyck Paths
长度为$n$的{ \em k-广义Dyck路径}是平面整数格$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$中从$(0,0)$到$(n,0)$的格路径，该格路径由针对给定整数$k\geq 0$的水平阶$(k, 0)$、向上阶$(1,1)$和向下阶$(1,-1)$组成，其从不通过x轴下方。本文研究了$k$ -广义Dyck路的三种统计量：“$u$ -段数”、“内部$u$ -段数”和“$(u,h)$ -段数”.拉格朗日反演公式被用来表示的生成函数的$k$ -广义Dyck路径的数量根据统计作为部分贝尔多项式或潜在的多项式之和。许多重要的特殊情况被认为是导致一些令人惊讶的观察。此外，还建立了与$u$ -段和$(u,h)$ -段有关的计数结果，得到了许多新的组合恒等式，特别是Catalan数的两个新的表达式.
2008-05-09 math.CO
Cyclically Colored Triangulations: Enumeration and Connectedness of Reconfiguration Graphs
Rio de Janeiro State University (UERJ)（里约热内卢州立大学）
该研究针对循环着色凸多边形有效三角剖分的重构图，通过根边分解方法分别解决了3色情形的连通性猜想与计数递推，证明了4色及以上翻转图的连通性，建立了统一的结构分析框架。
2026-08-27 math.CO
Enumeration of diagonally colored Young diagrams
本文给出了对角着色Young图的多元生成列的一个闭公式的新证明。该系列还描述了某些Nakajima品种的欧拉示性数。我们的证明是一个直接的组合参数，基于安德鲁斯的工作广义Frobenius分区。在某些特殊情况下，我们还得到了这些级数作为无穷乘积的表示。
2016-07-13 math.AG math.CO
The height of skew Dyck paths with two variants of downsteps
Department of Mathematics, University of Stellenbosch（斯泰伦博斯大学数学系）；NITheCS (National Institute for Theoretical and Computational Sciences)（理论计算科学国家研究所）
研究具有两种下降步变体的斜戴克路径的高度，利用生成函数、核方法和线性系统，对其平均高度等计数做出贡献，得出平均高度为$\sqrt{n}$阶的结论。
2026-07-17 math.CO
Combinatorics of Triangular Partitions
本文的目的是发展与我们称之为\emph{triangular partitions}的结构相关的组合学。如arXiv：2102.07931中所介绍的，对于任何给定的正实数$r$和$s$，这些分区的单元是位于连接点$(r,0)$和$(0,s)$的线下方的那些分区。经典的概念，如代克路径和停车功能，自然是广义的考虑一组分区包括在一个给定的三角分区。我们的一个显著结果是，三角剖分的Young格的限制有一个平面Hasse图，具有许多好的性质。因此，我们可以推广的“第一次返回”的递归，枚举经典的戴克道路，枚举的所有分区包含在一个固定的三角一个。
2022-03-29 math.CO
Permutations with restricted patterns and Dyck paths
我们展示了132-避免排列和Dyck路径之间的双射。使用这种双射，它表明，所有最近发现的结果生成函数的132-避免排列与给定次数的模式$12... k$直接遵循旧的结果计数Motzkin路径，其中是一个连分数结果由于Flajolet。作为奖励，我们使用这些意见，以获得进一步的结果和精确的渐近估计的数量132避免排列的$\{1,2,...,n\}$与$r$发生的模式$12... k$。其次，我们展示了123-避免排列和Dyck路径之间的双射。当与Roblet和Viennot的结果相结合时，这种双射使我们能够以连分数的形式表达具有给定出现次数的模式$(k-1)(k-2)... 1k$的123-避免排列的生成函数，并推导出这些排列的进一步结果。
2000-02-24 math.CO
Combinatorial differential operators in: Faà di Bruno formula, enumeration of ballot paths, enriched rooted trees and increasing rooted trees
得到了一般增树路长计数的一个微分方程。利用微分算子及其组合解释，给出了Faà di Bruno公式的一个双射证明，并对选票和Dyck路的生成进行了建模.根据格点的高度，得到了它的计数公式。还得到了关于其内部和外部顶点高度的丰富增长树和森林计数的递归公式。最后，我们提出了一个推广的形式，所有这些结果使用单参数群在一般情况下的正式幂级数在任意数量的变量。
2016-10-12 math.CO
Ballot tilings and increasing trees
我们研究枚举的戴克和选票平铺，这是平铺的一个区域确定的两个戴克或选票路径。本文通过Hermite历史给出了Dyck镶嵌计数的两个公式的双射证明。我们证明了其中一个公式等于某个Kazhdan-Lusztig多项式。对于选票镶嵌，我们建立的公式是类似的公式戴克镶嵌。特别地，生成函数具有因式分解的表达式。关键的工具是一棵种植的悬铃木和它不断增加的标签。我们还介绍了一个广义完美匹配，这是双射的埃尔米特历史的选票平铺。通过结合这些对象，我们得到了具有固定下路的选票镶嵌生成函数的各种表达式。
2017-05-18 math-ph math.CO math.MP
Enumeration of paths in a hexagonal circle packing
针对六边形圆堆积中的路径，本文用函数方程、核方法等推导其生成函数、渐近结果，建立与三类经典路径的双射，证明相关阵列为Riordan阵列并得到连分数展开。
2025-11-17 math.CO
Schröder Paths and Pattern Avoiding Partitions
本文证明了集合$[n+1]$的12312-避免划分和12321-避免划分与半长$n$的Schröder路一一对应，在偶数水平上没有峰.因此，12312-避免（分别）的精确枚举。12321-避免）分区根据块的数量可以减少到枚举某些施罗德路径根据峰的数量。此外，我们还得到了不可约12312-避免（分别为12321-避免）分区，这是密切相关的斜戴克路径。
2009-03-09 math.CO
Some simple bijections involving lattice walks and ballot sequences
在这篇笔记中，我们观察到，一个双射相关的Littelmann的根操作（类型$A_1$）透明地解释了著名的枚举长度的散步$\N$（左因子的Dyck路径），以及其他一些重合枚举。我们表明一个关系与双射解决方案的贝特朗的选票问题：这些可以机械地转化为双射证明上述枚举公式。
2010-10-23 math.CO
On self-conjugate $(s, s+1,\ldots, s+k)$-core partitions
同时核心分区已经被广泛研究，因为安德森的工作枚举的$(s,t)$核心分区。Amdeberhan和Leven证明了$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核心分区的数目等于$(s, k)$ -Dyck路径的数目。本文证明了自共轭$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核划分与对称$(s, k)$ -Dyck路的个数相等，从而证实了Cho，Huh和Sohn的一个猜想.
2019-05-02 math.CO
Progressive and Rushed Dyck Paths
本文通过双射证明Asinowski和Jelinek研究的渐进路径与急促路径具有相同计数序列，并建立急促路径与单侧树的联系，最后讨论相关格路和有向动物的渐近性质。
2026-05-21 cs.DM math.CO
Refinements of two identities on $(n,m)$-Dyck paths
对于具有$n \geq 1$和$0 \leq m \leq n$的整数$n, m$，$(n,m)$ -Dyck路径是整数格$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$中的格路径，其使用向上步骤$(0,1)$和向下步骤$(1,0)$，从原点$(0,0)$到点$(n,n)$，并且精确地包含线$y=x$下方的$m$向上步骤。经典的Chung-Feller定理指出$(n,m)$ -Dyck路的总数与$m$无关，等于$n$次Catalan数$C_n=\frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ .对于具有$1 \leq k \leq n$的任何整数$k$，令$p_{n,m,k}$为具有$k$峰值的$(n,m)$ -Dyck路径的总数。Ma和Yeh证明了对于$0 \leq m \leq n$，$p_{n,m,k}$ = $p_{n,n-m,n-k}$，对于$1 \leq m \leq n-2$，$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}=p_{n,m+1,k}+p_{n,m+1,n-k}$。本文给出了这两个结果的双射证明。利用我们的双射，我们还得到了数$p_{n,m,k}$和$p_{n,m,k}+p_{n,m,n-k}$根据开始和结束步骤的精确计数结果。
2018-01-28 math.CO
A subfamily of skew Dyck paths related to $k$-ary trees
本文定义盒路径及更一般的 $k$-盒路径，建立其与多元 $(k+2)$ 叉树、$k_t$-Dyck 路径和阈值序列子族的双射，并给出按返回与长上升的精细化枚举。
2024-01-20 math.CO
The ascent lattice on Dyck paths
本文研究Dyck路径上Stanley格的贪心变体，证明其仍为格（上升格$L_n$），通过递归分解和催化变量计数区间，并推广到$m$-Dyck路径情形，揭示与sylvester同余及象限行走的联系，给出渐近估计。
2025-05-27 math.CO
The $\mathbf{uvu}$-avoiding $(a,b,c)$-Generalized Motzkin paths with vertical steps: bijections and statistic enumerations
广义Motzkin路径，简称G-Motzkin路径，长度为$n$，是XOY平面第一象限中从$(0, 0)$到$(n, 0)$的格点路径，由上台阶$\mathbf{u}=(1, 1)$、下台阶$\mathbf{d}=(1, -1)$、水平台阶$\mathbf{h}=(1, 0)$和垂直台阶$\mathbf{v}=(0, -1)$组成. $(a,b,c)$-G-Motzkin路径是加权的G-Motzkin路径，使得$\mathbf{u}$ -步骤、$\mathbf{h}$ -步骤、$\mathbf{v}$ -步骤和$\mathbf{d}$ -步骤分别由$1, a, b$和$c$加权。本文首先给出了长度为$n$的$\mathbf{uvu}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与$(a,b)$-Schröder路集、长度为$2n$的$(a+b,b)$-Dyck路集、长度为$n$的$\{\mathbf{uvu, uu}\}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与长度为$n$的$(a+b,ab)$-Motzkin路集之间的双射，在以$a$加权的$\mathbf{h}$ -步开始的长度为$n+1$的$\{\mathbf{uvu,uu}\}$ -避免$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路径的集合与长度为$2n+2$的$(a,b)$-Dyck路径的集合之间。…
2022-01-23 math.CO
A compositional shuffle conjecture specifying touch points of the Dyck path
我们介绍了一个$q,t$ -枚举的戴克路径被迫接触的主对角线在特定的点和禁止接触其他地方和猜想，它描述了行动的麦克唐纳理论$\nabla$运营商适用于霍尔-利特尔伍德多项式。我们的猜想完善了几个早期的关于对角调和空间的猜想，包括“洗牌猜想”（杜克J.数学$\mathbf {126}$（2005），第100页）。195-232）。我们带来光，某些广义霍尔-Littlewood多项式索引的组合物是积木的代数组合理论的$q,t$ -Catalan序列，我们证明了一些身份涉及这些功能。
2011-06-24 math.CO math.QA
Deficit and $(q,t)$-symmetry in triangular partitions
Université Paris-Saclay, CNRS（巴黎萨克雷大学，法国国家科学研究中心）
本文研究三角Dyck路径的(q,t)计数，引入三角和sim-sym表格及亏缺统计量，用于三角2划分的新结果及猜想。
2026-03-31 math.CO
Retakh's Motzkin paths and some combinatorial comments
在Ekhad的协助下，Retakh提出了只允许在1级和偶数指数级出现峰值的戴克路径，Zeilberger对此进行了分析。我们添加了一些组合的枚举，其中涉及Motzkin数，特别是关于这些对象的平均高度的评论。
2020-09-08 math.CO
Multi-colored dimer models in one-dimension: lattice paths and generalized Rogers--Ramanujan identities
We define and study multi-colored dimer models on a segment and on a circle. The multivariate generating functions for the dimer models satisfy the recurrence relations similar to the one for Fibonacci numbers . We give closed formulae for the generating functions. We show that, in the large size limit with specializations of the formal variables, the generating functions exhibit the summations appearing in generalized Rogers--Ramanujan identities. Further, the generating functions of the dimer models have infinite product formulae for general values of formal variables in the large size limit…
2021-11-06 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Binomial Eulerian polynomials for colored permutations
二项式欧拉多项式最早出现在Postnikov、Reiner和Williams关于广义置换面的工作中。它们是$γ$ -正（特别是回文和单峰）多项式，可以解释为$h$ -多项式的某些标志单纯多面体，并承认有趣的舒尔$γ$ -正对称函数的推广。本文介绍了具有类似性质的$r$ -着色置换的类似多项式，并揭示了几何组合学中等变$γ$ -正性的一些新例子。
2020-01-23 math.CO
Rooted bicubic planar maps via Dyck paths
Penn State Altoona（宾夕法尼亚州立大学阿尔图纳分校）
本文通过组合方法证明了Tutte将根bicubic平面图分解为3连通组件的定理，并建立了根bicubic平面图与具有特定上坡长度的Dyck路径之间的双射关系，同时给出了通过插入操作生成所有根bicubic平面图的方法。
2026-08-04 math.CO
