Jones--Wenzl projections and Dyck tilings: type $A$ and $B$
本文证明Temperley--Lieb代数中Jones--Wenzl投影的系数由Dyck平铺的生成函数给出，并验证该对应关系在$B$型情形下同样成立。
2024-02-15 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Enumeration of labeled trees and Dyck tilings
本文利用Dyck铺砌研究平面带标号有根树的偏序集，证明其生成函数在特定条件下可因式分解，并通过两种分解方式建立有理Dyck铺砌的权重关系与偏序结构。
2024-08-10 math.CO
Dyck tilings, increasing trees, descents, and inversions
包含覆盖的戴克镶嵌是倾斜杨图的镶嵌，其带状瓦片形状类似戴克路径，其中瓦片不大于它们所覆盖的瓦片。这些平铺出现在某些统计物理模型的研究，也Kazhdan-Lusztig多项式。给出了覆盖包含Dyck平铺与树偏序集的线性扩张之间的两个双射。第一个双射将统计量（面积+瓦片）/2映射到线性扩展的反转，第二个双射将瓦片的上下边界之间的“差异”映射到线性扩展的下降。
2013-10-04 math.CO
Rational Dyck paths and decompositions
通过将有理Dyck路分解为Dyck路的元组，研究了有理Dyck路的组合性质。诸如$b$ -Stirling置换、$(b+1)$ -ary树、括号表示和二叉树的组合模型在建立有理Dyck路径和Dyck路径元组之间的对应关系方面起着中心作用。利用Dyck路的分解，我们用Dyck路的元组重新解释了有理Dyck路上的两个阶：Young阶和旋转阶。作为应用，我们用二叉树的形式证明了$(a,b)$ -Dyck路与$(b,a)$ -Dyck路的对偶性.
2021-04-05 math-ph math.CO math.MP
Proofs of two conjectures of Kenyon and Wilson on Dyck tilings
最近，Kenyon和Wilson引入了一个特定的矩阵$M$来计算他们所谓的双二聚体模型的配对概率。他们证明了逆矩阵$M^{-1}$的每个元素的绝对值等于倾斜形状的某些Dyck平铺的数量。他们给出了$M^{-1}$的一行或一列中所有项的绝对值之和的两个公式。本文证明了这两个定理。因此，我们得到的$M^{-1}$的所有项目的绝对值的总和是等于完全匹配的数量。我们还发现了一个双射之间的Dyck平铺和完全匹配。
2012-10-22 math.CO
Dyck tilings and the homogeneous Garnir relations for graded Specht modules
假设$λ$和$μ$是具有$λ\supseteqμ$的整数分区。Kenyon和Wilson引入了斜Young图$λ\setminusμ$的覆盖包含Dyck镶嵌的概念，它在双二聚体模型的研究中有应用。我们研究这些平铺更详细，给出各种等价条件，然后证明了一个递归，我们用它来表明，在两个基地之间的转移阵的条目，为一定的置换模块的对称群计数覆盖包含戴克平铺。我们继续考虑这个矩阵的逆，表明它的条目是由我们所谓的覆盖扩展戴克镶嵌。这两个矩阵互为逆的事实使我们能够恢复Kenyon和Wilson的主要结果。然后，我们讨论了最近的结果金等人，谁给，一个简单的表达式的总和，在所有$μ$，覆盖包容Dyck平铺的$λ\setminusμ$的数量。我们的结果为这一结果提供了新的证明。最后，我们展示了如何使用我们的结果，以获得更简单的表达式的齐次Garnir关系的Kleshchev，Mathas和Ram介绍的通用Specht模块的分圆的Grachecke代数。
2015-01-29 math.CO math.RT
Tiling bijections between paths and Brauer diagrams
通过平铺定义的Temperley-Lieb代数的Dyck路径和基图之间存在自然的双射。悬垂路径是Dyck路径的某些概括，允许更一般的步骤，但限于二维整数格中的矩形。我们发现，有一个自然的双射，延长上述平铺建设，悬垂路径和基础图表的布劳尔代数之间。
2011-08-13 math.CO math.RT
On rational Dyck paths and the enumeration of factor-free Dyck words
受Bizley和Duchon的独立结果的启发，我们研究了有理Dyck路及其无因子元子集。一方面，我们给出了有理Dyck路和正则Dyck路之间的一个双射，其中上升部分被无因子词着色。这种双射导致了一个新的统计的基础上的减少水平的路径，我们提供了一个相应的公式。另一方面，我们证明了通过部分贝尔多项式定义的某些序列的逆关系，我们用它来推导出一个公式的枚举因子自由的话。此外，我们给出了替代公式的各种枚举序列中出现的情况下，合理的戴克路径。
2016-12-22 math.CO
Symmetric statistics on rational Dyck paths
College of Mathematics and Statistics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院）；Key Laboratory of Nonlinear Analysis and its Applications (Chongqing University), Ministry of Education（非线性分析及其应用教育部重点实验室（重庆大学））；Center for Combinatorics, LPMC, Nankai University（南开大学组合数学中心、理论力学与系统科学研究所）
本文研究了有理Dyck路径上的run和ratio-run统计量，证明了其与return统计量的对称联合分布，并推广了Li和Lin的结果。
2026-02-23 math.CO
Rational Dyck paths
本文针对正有理数 q 引入有理 Dyck 路径类，给出其按半长度的生成函数与构造方法，并刻画由 Q-bonacci 数计数的子集。
2024-09-30 math.CO
Rational Dyck Paths in the Non Relatively Prime Case
本文研究了有理斜率Dyck路与$\mathbb Z,$的不变子集之间的关系，推广了前两位作者在互素情形下的工作.我们还发现了$(dn,dm)$ -Dyck路与赋予一定胶合数据的$(n,m)$ -Dyck路的$d$ -元组之间的一个双射.这些是理解合理的斜率加泰罗尼亚组合和仿射施普林格纤维和结不变量的非互素的情况下的几何之间的关系的第一步。
2017-03-08 math.CO
Rank complement of rational Dyck paths and conjugation of $(m,n)$-core partitions
给定一对互质的正整数$(m,n)$，有理卡塔兰数$\frac{1}{m+n} \binom{m+n}{m,n}$计数两个组合对象：有理$(m,n)$ -Dyck路径是$m\times n$矩形中的格路径，从不低于对角线; $(m,n)$ -核心是没有钩子长度等于$m$或$n$的分区。安德森建立了$(m,n)$ -Dyck路径和$(m,n)$ -核心之间的双射。我们定义了一个新的转换，称为秩补，合理的Dyck路径。我们表明，秩补对应于共轭的$(m,n)$ -核心下安德森的双射。这导致：i）一种新的方法来表征$n$ -核心; ii）一个简单的方法来计算的自共轭$(m,n)$ -核心的数量; iii）证明的两个组合和公式的等价性，一个在理性$(m,n)$ -Dyck路径和其他$(m,n)$ -核心，合理的加泰罗尼亚多项式。
2015-04-21 math.CO
Positroids Induced by Rational Dyck Paths
$(m,d)$类型的有理戴克路径是从$(0,0)$到$(m,d) \in \mathbb{Z}^2$的递增单位步长晶格路径，其从不超过对角线$y = (d/m)x$。另一方面，在基集$[d+m]$上秩为$d$的正拟阵是一种特殊类型的拟阵，它来自于完全非负的格拉斯曼拟阵。在本文中，我们描述了如何自然地分配一个秩$d$正拟阵的地面集$[d+m]$，我们称之为合理的Dyck正拟阵，每一个合理的Dyck道路类型$(m,d)$。我们表明，这样的分配是一对一。有几个家庭的组合对象在一对一的对应关系的一套positroids。在这里，我们的一些家庭的特征，我们生产的正，即格拉斯曼项链，装饰排列，乐图，移动等价类的plabic图。最后，我们描述了一个给定的有理Dyck正拟阵的拟阵多面体。
2017-06-29 math.CO
On the Sweep Map for Fuss Rational Dyck Paths
我们在这里的主要贡献是发现了一个新的家庭标准的杨tableaux $ {\cal T}^k_n$这是在双射与家庭${\cal D}_{m,n}$的理性戴克路径$m=k\times n\pm 1$（所谓的“Fuss”的情况下）。使用这个家庭，我们给一个新的证明的可逆性的扫描映射在Fuss的情况下，通过一个非常简单的显式算法。新算法具有运行时间$O(m+n)$。它独立于M-W算法。
2018-07-19 math.CO
An efficient search algorithm for inverting the sweep map on rational Dyck paths
给定一个互质的正整数对$(m,n)$，有理$(m,n)$-Dyck路径是$m\times n$矩形中的格路径，它从不低于对角线。有理$(m,n)$ -Dyck路径$D$的扫描图是通过根据$D$的步骤的起始点的秩对$D$的步骤进行排序而获得的有理Dyck路径$Φ(D)$，其中$(a,b)$的秩是$bm-an$。它被证明是一个双射，但到目前为止，$Φ$只被认为是Fuss情况下的双射（$m=kn\pm 1$）。在本文中，我们给出了一个有效的搜索算法反演$Φ$地图。粗略地说，给定$σ\in \cal D_{m,n}$，通过搜索一定深度的$d$ -数组树，我们可以输出所有$D$，使得$Φ(D)=σ$，其中$d$是$m$除以$n$时的余数。特别是，我们表明，$Φ$是可逆的Fuss情况下，通过给出一个简单的递归构造$Φ^{-1} (σ)$。
2015-05-04 math.CO
Combinatorics of the zeta map on rational Dyck paths
$(a,b)$路径$P$是保持在线$y=\frac{a}{b}x$上方的从$(0,0)$到$(b,a)$的晶格路径. zeta映射是一个奇怪的规则，映射到自身的$(a,b)$ -Dyck路径的集合，它是抽象的双射，我们提供的进展证明双射在本文中，通过显示，知道zeta的$P$和zeta的$¶$共轭是足以恢复$P$。当$ζ$是一个双射时，我们的方法在$(a,b)$路的集合上产生了一个保面积的对合$χ$，同时也给出了一个计算经典Dyck路上的$ζ^{-1}$的新方法.对于某些好的$(a,b)$路径，我们给出了$ζ^{-1}$和$χ$的显式公式，对于另外的$(a,b)$路径，我们讨论了如何归纳地计算$ζ^{-1}$和$χ$.我们还探讨了阿姆斯特朗的斜长统计量，并提出了两个新的组合方法计算zeta地图涉及激光和间隔相交。我们提供了一个组合统计$δ$，可用于递归计算$ζ^{-1}$，并表明$δ$是可计算的$ζ(P)$在福斯加泰罗尼亚的情况下。
2016-02-18 math.CO
Promotion and rowmotion in rational Catalan combinatorics
本文研究了促进与行运动在有理Catalan组合学中的等价性，通过扩展双射与RSK类对应关系，揭示了 generalized Dyck paths 上的双射性质。
2026-03-31 math.CO
Simplicial Complexes of Antichains in Root Posets and Related Combinatorics of Dyck Paths
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）；Philipps-Universität Marburg（马尔堡菲利普大学）
本文研究根系偏序集反链构成的单纯复形的可壳性，证明其等价于根系为A_n、B_n、D_3或G_2，并利用f-和h-三角形给出Dyck路径的统计量，有理情形留作开放问题。
2026-09-15 math.CO math.RT
Rational Catalan polynomials and rank words
对于$m,n$互质，我们在$(m,n)$ -有理Dyck路上引入了一个新的统计跳跃，并给出了一种计算dinv和skip统计量的快速方法.我们还引入了$(m,n)$ -秩字，它与$(m,n)$ -Dyck路径一一对应.在秩字中定义了秩对的等价关系，证明了等价类的个数是秩字的跳数和对应的Dyck路的跳数，并利用统计区域、dinv和skip构造了一个齐次生成函数$W_{m,n}(q,t,b)$，其中$W_{m,n}(q,t,1)=C_{m,n}(q,t)$是有理Catalan多项式.然后给出了$(3,n)$ -有理Catalan多项式的一个显式公式，并证明了它们是$q,t$ -对称的.
2016-11-15 math.CO
Periodicity and decidability of translational tilings by rational polygonal sets
本文研究了 $\mathbb R^2$ 中多边形集的周期性铺砌猜想，证明了顶点为有理数的多边形铺块满足该猜想，得出其铺砌具有可判定性，且任意平移铺砌均为弱周期性。
2024-09-24 math.CO
Rational Angles and Tilings of the Sphere by Congruent Quadrilaterals
我们应用丢番图分析通过全等几乎等边四边形（即，边缘组合a3b）。与Cheung，Luk和Yan的完整分类平行，这里实现的方法更系统，适用于其他相关的镶嵌问题。我们还提供了详细的几何数据的平铺。
2022-08-03 math.CO math.MG math.NT
Tilings of the sphere by congruent quadrilaterals II: edge combination $a^3 b$ with rational angles
本文利用三角 Diophantine 方程完整分类所有角为有理度数的 $a^3b$ 全等四边形球面临边铺砌，给出12个孤立情形、3个无限序列及4种例外铺砌，并发现非临边三角形铺砌。
2023-06-03 math.CO math.MG
Tilings of the sphere by congruent pentagons V: Edge combination $a^{4}b$ with rational angles
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Sichuan University（四川大学）
本文分类了具有边组合 $a^4b$ 和有理角的球面全等五边形边对边铺砌，得到对称与非对称铺砌族及退化情形，并附三维图总结全部结果。
2026-09-22 math.CO
Alternating links, rational balls, and cube tilings
针对沿交错链环分支的三维球面二重覆叠的有理同调球边界问题，提出棋盘格点立方遍在性充要猜想，证明归一化行列式为1的情形，并将结果推广至缎带配边与协和性研究。
2023-07-25 math.CO math.GT
The kernel method for lattice paths below a line of rational slope
本文分析了有理斜率线下格路的一些计数性质和渐近性质。我们说明了我们的方法与戴克路径下的一条线的斜率$2/5$。这回答了Knuth在2014年6月在巴黎举行的“算法分析”会议（AofA'2014）期间的“Flajolet讲座”中提出的问题#4。我们的方法扩展了Banderier和Flajolet的工作的渐近性和枚举的有向格路径的情况下，生成函数涉及几个占主导地位的奇点，并已应用到一类完整的问题，涉及一些“周期性”。证明中的一个关键要素是Knuth自己的一个老技巧的推广（用于枚举堆栈可排序的排列），由Flajolet和其他人推广为“内核方法”。所有相应的生成函数都是代数的，它们提供了一些新的组合恒等式，这些恒等式也可以用Wilf-Zeilberger-Petkovsek的A=B精神来处理。我们展示了如何获得类似的结果，任何合理的斜率。一个有趣的情况是，例如，戴克路径低于斜率$2/3$（这对应于所谓的杜雄俱乐部模型），我们解决了一个猜想有关的渐近的区域低于这样的晶格路径。我们的工作还提供了访问以下的非理性斜率（例如，戴克路径低于$y=x/\sqrt{2}$），一个问题，我们研究的同伴文章的晶格路径。
2016-10-05 cs.DM math.CO math.PR
Straight polyomino tilings of rectangles and special rim-hook tableaux
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；Indraprastha Institute of Information Technology Delhi (IIIT-Delhi)（德里因德拉普拉斯塔信息技术学院）
通过故障线分解与Hadamard积框架，结合Littlewood恒等式和Graham定理，推导了$2k\ imes n$矩形被$k\ imes 1$直线瓷砖覆盖的加权生成函数显式表达式。
2026-06-24 math.CO
Transformations of 2-port networks and tiling by rectangles
本文研究了二端口网络，引入了压降和$Π$ -等价的新概念。主要结果是每个平面网络是$Π$ -等价于不超过5条边的网络。这意味着，如果一个八边形的字母$Π$可以平铺正方形，那么它可以平铺不超过5个矩形与合理的纵横比。1998年的凯尼恩定理只证明了6个矩形。
2022-04-09 math.CO
Mesas of Stirling permutations
本文引入 Stirling 排列的台地集作为峰顶集的推广，刻画了可容许台地集，并通过与有理 Dyck 路径的双射，给出了以有理 Catalan 数表示的封闭计数公式。
2023-06-21 math.CO
Counting With Irrational Tiles
介绍并研究了单位高矩形的无理分块数。我们证明了这些数的序列类与N-有理数生成函数的对角线类和一类特定的二项式多重和重合。然后，我们给出渐近应用，并建立连接到超几何函数和Catalan数。
2014-07-30 math.CO
