AI 中文总结
本文研究 $(sn,n)$-Dyck 路径的总面积和平均面积，推广了 $s=1$ 情形的精确公式，给出了上下界及两种渐近行为，并证实了 Kotesovec 关于相关二项式和的猜想。
AI 中文摘要
我们研究了 $(sn,n)$-Dyck 路径的总面积和平均面积：这些路径是从 $(0,0)$ 到 $(sn,n)$ 的格路，始终保持在直线 $x=sy$ 的下方（允许接触），其数量由 Fuss-Catalan 数给出。推广 Merlini、Sprugnoli 和 Verri 在 $s=1$ 情形下的结果，我们推导出所有此类路径总面积的一个精确公式。由此，我们得到了总面积和平均面积的显式上下界，以及相应的渐近行为：当 $s$ 固定时，平均面积渐近于 $\sqrt{\pi s(s+1)/8} \cdot n^{3/2}$；而当 $n$ 固定且 $s$ 增大时，平均面积渐近于 $sn \cdot Q(n)/2$，其中 $Q(n)$ 表示 Ramanujan 的 $Q$-函数。在此过程中，我们证实了 Kotesovec 关于一个二项式和的渐近性的猜想，该二项式和也出现在其他几个枚举问题中。
英文摘要
We study the total and average area of $(sn,n)$-Dyck paths: lattice paths from $(0,0)$ to $(sn,n)$ that stay weakly below the line $x=sy$, counted by the Fuss-Catalan numbers. Generalizing a result of Merlini, Sprugnoli, and Verri for the case $s=1$, we derive an exact formula for the total area over all such paths. From this we obtain explicit upper and lower bounds for both the total and the average area, together with the corresponding asymptotics: for fixed $s$, the average area is asymptotic to $\sqrt{πs(s+1)/8} \cdot n^{3/2}$, while for fixed $n$ it is asymptotic to $sn \cdot Q(n)/2$ as $s$ grows large, where $Q(n)$ denotes Ramanujan's $Q$-function. Along the way, we confirm a conjecture of Kotesovec on the asymptotics of a binomial sum that also arises in several other enumeration problems.
Comments21 pages, 4 figures
