Some Connections Between Restricted Dyck Paths, Polyominoes, and Non-Crossing Partitions
本文定义了受限d-Dyck路径，揭示了其与[n]的非交叉划分及多联骨牌子族之间的联系，并提供了生成函数来计算这些组合对象的特征。
2023-08-03 math.CO
Symmetric Dyck paths and q-Narayana numbers
本文证明当q=-1时，q-Narayana数按谷的数量计数对称Dyck路径。
2026-01-13 math.CO
Enumerating Restricted Dyck Paths with Context-Free Grammars
半长$n$的Dyck路的个数是著名的$C_n$，即第$n$个Catalan数。这一事实是在注意到每个Dyck路径都可以根据上下文无关语法进行唯一解析之后得出的。在最近的一篇论文中，Zeilberger表明，许多限制集的戴克道路满足不同的，更复杂的语法，并从这派生出各种生成函数的身份。我们采取这一进一步，突出了一些组合的Dyck路径通过语法证明和推广一些Zeilberger的语法无限的家庭。
2020-09-18 math.CO
Euler Coefficients and Restricted Dyck Paths
我们考虑的问题，枚举Dyck路径停留弱以上的x轴的限制，连续向上的步骤，或限制的数量连续向下的步骤。我们使用有限算子演算来获得在第一象限中到达给定点的所有这样的路径的数量的公式。我们的所有结果都是基于欧拉系数。
2007-05-21 math.CO
Automatic Counting of Restricted Dyck Paths via (Numeric and Symbolic) Dynamic Programming
Dyck路是计数组合学中最重要的研究对象之一，有许多论文致力于对Dyck路族进行计数。在这里，我们提出了两种方法，许多这样的家庭自动计数，使用“哑”的方法（由数字动态规划驱动），往往在实践中工作，和“聪明”的方法，需要更大的问题，由“符号”动态规划驱动。这两种方法都是完全自动化的，并在Maple中实现。
2020-06-17 math.CO
Partial Motzkin paths with air pockets of the first kind avoiding peaks, valleys or double rises
第一类带气穴Motzkin路径（MAP）是带气穴Dyck路径的推广。它们是$\mathbb{N}^2$中从原点开始的格路径，由步骤$U=(1,1)$、$D_k=(1,-k)$、$k\geq 1$和$H=(1,0)$组成，其中两个向下步骤不能连续。我们列举了MAP和它们的前缀，避免峰值（分别为）。山谷，双上升）根据长度，最后一步的类型，以及其终点的高度。我们表示我们的结果使用Riordan数组。最后，我们提供这些路径和限制Dyck和Motzkin路径之间的建设性双射。
2023-01-25 math.CO
Restricted Dumont permutations, Dyck paths, and noncrossing partitions
我们完成了第二类杜蒙排列的枚举，避免了长度为4的模式，它本身就是第二类杜蒙排列。我们还考虑了一些组合统计Dumont排列避免某些模式的长度为3和4，并给出了一个自然的双射之间的3142-避免Dumont排列的第二类和非交叉分区，使用循环分解，以及双射之间的132-，231-和321-避免Dumont排列和Dyck路径。最后，我们列举杜蒙排列的第一类同时避免某些对4字母的模式和另一种模式的任意长度。
2006-10-06 math.CO
Proof of a Conjecture on Hankel Determinants for Dyck Paths with Restricted Peak Heights
对于任何整数$m\geq 2$和$r \in \{1,\dots, m\}$，令$f_n^{m,r}$表示对于某个整数$i$其峰高为$im+r$的$n$ -Dyck路径的数目。我们发现$f_n^{m,r}$的生成函数满足一个简单的代数函数方程$2$。$r=m$的情况下是特别好，我们给出了一个组合证明。利用Sulanke和Xin的连分数方法计算了$f_n^{m,r}$的Hankel行列式.我们结果的特殊情况$r=m$解决了Chien，Eu和Fu提出的一个猜想.我们还丰富了最终周期Hankel行列式序列类。
2021-12-11 math.CO
Rational Dyck paths
本文针对正有理数 q 引入有理 Dyck 路径类，给出其按半长度的生成函数与构造方法，并刻画由 Q-bonacci 数计数的子集。
2024-09-30 math.CO
Dyck Paths Enumerated by the Q-bonacci Numbers
本研究针对高度不超过2、带谷数量约束的Dyck路径，证明其可由Kirgizov提出的Q-bonacci数计数，该数在q为正有理数时推广了经典q-bonacci数。
2024-06-24 cs.DM math.CO
Permutations with restricted patterns and Dyck paths
我们展示了132-避免排列和Dyck路径之间的双射。使用这种双射，它表明，所有最近发现的结果生成函数的132-避免排列与给定次数的模式$12... k$直接遵循旧的结果计数Motzkin路径，其中是一个连分数结果由于Flajolet。作为奖励，我们使用这些意见，以获得进一步的结果和精确的渐近估计的数量132避免排列的$\{1,2,...,n\}$与$r$发生的模式$12... k$。其次，我们展示了123-避免排列和Dyck路径之间的双射。当与Roblet和Viennot的结果相结合时，这种双射使我们能够以连分数的形式表达具有给定出现次数的模式$(k-1)(k-2)... 1k$的123-避免排列的生成函数，并推导出这些排列的进一步结果。
2000-02-24 math.CO
Refinements of Lattice paths with flaws
经典的Chung-Feller定理[2]告诉我们，长度为$n$且带有$m$缺陷的Dyck路的个数是$n$阶Catalan数，且与$m$无关.本文研究了带缺陷的Dyck路的四个参数加细问题，即峰、谷、双下降和双上升。令${p}_{n,m,k}$为具有$k$缺陷和$m$峰的半长度$n$的所有Dyck路径的数目。首先，我们推导出多项式$P_{n,m}(x)=\sum\limits_{k=1}^np_{n,m,k}x^k$的互易定理。然后我们得到了$p_{n,m,k}$与$p_{n,m,n-k}$之和的Chung-Feller性质。最后，我们给出了长度为$n$且具有$k$双上升的Dyck路的Chung-Feller型定理：具有$m$缺陷和$k$双上升的半长度为$n$的Dyck路的个数等于具有半长度为$n$，$k$双上升且不通过x轴以下的Dyck路的个数，这个个数由Narayana数计算.令${v}_{n,m,k}$（分别$d_{n,m,k}$）是具有$m$缺陷和$k$谷（分别为$m$和$k$谷）的半长度$n$的所有Dyck路径的数量。双下降）。得到了一些类似的结果。
2008-12-15 math.CO
1234-avoiding permutations and Dyck paths
定义了对称群$S_n$与半长Dyck路对集合$n$之间的映射$ν$。我们证明了映射$ν$是单射的，当限制到1234-避免排列的集合，并描述了这个映射的图像。
2011-02-08 math.CO
The descent statistic over 123-avoiding permutations
我们利用Krattenthaler的双射之间的123-避免排列和Dyck路径，以确定在$S_n$的123-避免排列的集合$S_n(123)$的欧拉分布。特别地，我们证明了置换的下降对应于Dyck路径的谷和三重下降，并通过研究这两个统计量在Dyck路径上的联合分布，得到了$S_n(123)$的欧拉数.
2009-10-06 math.CO
Restricting Dyck Paths and 312-avoiding Permutations
本文通过限制 Dyck 路径与避免 312 模式排列之间的经典双射，刻画了高度受限且无特定谷的 Dyck 路径，并用 ECO 方法和生产矩阵给出递推枚举，进而得到一族 Catalan 数组合恒等式。
2023-07-06 math.CO
Enumerating runs, valleys, and peaks in Catalan words
该研究针对 Catalan 词中的多类游程、谷与峰统计量，给出对应生成函数、计数公式及渐近结果，并通过与受限 Dyck 路径和有序树的双射迁移统计量。
2024-04-08 math.CO
A simple and unusual bijection for Dyck paths and its consequences
在本文中，我们引入了一个新的双射从Dyck路集本身。这种双射的性质是，它将最近出现在模式避免排列研究中的统计量映射到Dyck路径上的经典统计量中，Dyck路径的分布很容易获得。我们还提出了一个推广的双射，以及它的几个应用到统计的计数问题的限制排列。
2003-06-09 math.CO
The area above the Dyck path of a permutation
本文研究了从置换到Dyck路的映射。一个戴克路径产生的（杨）图，我们给统计排列和统计之间的关系，其相应的图表。分布的大小，这张图进行了讨论，并概括了奇偶校验结果由于西蒙和施密特。我们提出了一个填充的图，它确定的置换唯一。图包含在一个受限制的类的排列被证明是有关的强Bruhat偏序集。
2009-11-25 math.CO
Bijections from Dyck and Motzkin meanders with catastrophes to pattern avoiding Dyck paths
在这篇注记中，我们提出了从Dyck和Motzkin曲折与灾难的Dyck路径避免一些模式的建设性双射。作为一个副产品，我们推导出对应的戴克和Motzkin游览限制戴克路径。
2021-04-26 cs.DM math.CO
Refined Lattice Path Enumeration and Combinatorial Reciprocity
众所周知，具有固定高度和固定数量的谷的$m$ -Dyck路径的集合由Fuch-Narayana数计数。在这篇文章中，我们考虑的$m$ -Dyck路径的集合，至少开始于$t$北步骤。我们给出了这样的路径的数目的精确公式与固定的高度，固定数目的回报和（i）固定数目的山谷，（ii）固定数目的山谷与$x$ -坐标可整除的$m$和（iii）固定数目的山谷与$x$ -坐标不可整除的$m$。枚举（ii）combinatorially实现了$H$ -三角形出现在最近的一篇文章Krattenthaler和第一作者（代数。5，2022）在某些抛物非交叉分区的上下文中。通过Chapoton的一个变换公式，给出了相应的$F$ -三角形的一个显式公式.我们实现这个多项式组合的广义施罗德路径以及单位在某些超平面安排的手段。一路上，我们展示了两个新的组合互惠的结果。
2022-07-29 math.CO
Restricted Grassmannian permutations
本文研究了Grassmannian排列的模式避免与奇偶性限制，推导了避免任意大小经典模式的计数公式，并给出了基于Dyck路径和Schröder路径的组合解释与双射。
2022-03-18 math.CO
The Eulerian numbers on restricted centrosymmetric permutations
我们研究了避免长度为3的中心对称排列集上的下降分布。在最令人费解的情况下，即$τ=123$和$n$，我们的主要工具是一个双射，它将长度为$2n$的Dyck前缀与$S_{2n}$中避免123的每个中心对称置换相关联。
2009-10-13 math.CO
Non-decreasing Deutsch paths
Dyck路径的变体允许任意长度的下降步骤，而不仅仅是一个。这是出于Emeric Deutsch在千禧年之交发表的想法。我们感兴趣的子类中的山谷的水平的顺序是非递减的。这是大约20年前在经典案例中研究的。
2020-05-07 math.CO
Meanders and Dyck-Path Billiards
本文通过Dyck路径网格多边形中的台球轨迹统计量traj建立对合，证明了半蜿蜒线与蜿蜒线按分支数奇偶分类的计数公式，并给出生成函数在(-1)处取值的结果。
2025-09-23 math.CO
How to bounce your canon permutation
Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文研究了一类新的回文下降多项式，通过Dyck路径和排列生成因果排列，并探讨了其多项式性质及组合解释。
2026-03-23 math.CO
Total occurrence statistics on restricted permutations
我们研究了几个vincular（也称为广义）模式和其他统计量（如major index和Denert统计量）在避免长度为3的模式的排列上的出现总数，扩展了Bona（2010，2012）和Homberger（2012）的结果。特别是，对于2-3-1-避免排列，我们找到了长度为3的任何纽模式的出现总数。在某些情况下，答案是由包含二项式系数的简单表达式给出的。我们使用的工具是双射与Dyck路径，生成函数和块分解的排列。
2013-05-14 math.CO
The ascent lattice on Dyck paths
本文研究Dyck路径上Stanley格的贪心变体，证明其仍为格（上升格$L_n$），通过递归分解和催化变量计数区间，并推广到$m$-Dyck路径情形，揭示与sylvester同余及象限行走的联系，给出渐近估计。
2025-05-27 math.CO
Pattern-restricted permutations composed of 3-cycles
本文刻画并列举了仅由3-圈构成的模式回避置换。特别地，我们回答了长度为3的六种模式的问题。我们发现，由$n$ 3-循环组成的避免模式231的排列数（相当于312）由$3^{n-1}$给出，而避免模式132的那些数的生成函数（相当于213）由一个公式给出，该公式涉及众所周知的Motzkin数和Catalan数的生成函数。避免模式321的由$n$ 3个循环组成的排列的数量由涉及半长~ $n$的Dyck路径的统计的加权和来表征。
2021-04-26 math.CO
Tiling bijections between paths and Brauer diagrams
通过平铺定义的Temperley-Lieb代数的Dyck路径和基图之间存在自然的双射。悬垂路径是Dyck路径的某些概括，允许更一般的步骤，但限于二维整数格中的矩形。我们发现，有一个自然的双射，延长上述平铺建设，悬垂路径和基础图表的布劳尔代数之间。
2011-08-13 math.CO math.RT
On Delannoy paths without peaks and valleys
如果一条格路径的每一步都属于$\left\{N, E, D\right\}$，则该格路径称为\emph{Delannoy}，其中有$N=(0,1)$、$E=(1,0)$和$D=(1,1)$步。\emph{Peak}、\emph{valley}和\emph{deep valley}分别表示晶格路径上的$NE$、$EN$和$EENN$。本文找到了$\mathcal{P}_{n,m}(NE, EN)$与${\mathcal{P}_{n,m}}(D, EENN)$的一个特定子集之间的一个双射，其中$\mathcal{P}_{n,m}(NE, EN)$是从原点到点$(n,m)$的无峰无谷的Delannoy路的集合，而${\mathcal{P}_{n,m}}(D, EENN)$是从原点到点$(n,m)$的无对角台阶无深谷的Delannoy格路的集合.对于正整数$k$，我们还计算了限制区域$\left\{ (x,y) \in \mathbb{Z}^2 : y \ge k x \right\}$上无峰无谷的Delannoy路的个数.
2022-06-29 math.CO
An infinite family of adsorption models and restricted Lukasiewicz paths
我们定义了$(k,\ell)$限制的Lukasiewicz路径，$k\le\ell\in\mathbb{N}_0$，并使用这些路径作为模型的聚合物吸附。我们写下一个多项式表达式满足的生成函数的任意值的$(k,\ell)$。所得多项式的次数为$\ell+1$，因此对于足够大的$\ell$不能显式求解。我们提供了两种不同的方法来获得相图。除了一个更传统的分析，我们还开发了一个新的数学表征的相图中的多项式和零的最高程度的系数的判别式。然后，我们给出了一个双射之间的$(k,\ell)$ -限制Lukasiewicz路径和“上升”-限制戴克路径，确定另一个家庭的路径模型共享相同的关键行为。对于$(k,\ell)=(1,\infty)$，我们提供了一个新的Motzkin路的双射。我们还考虑了面积加权生成函数，并证明它是一个q-变形代数函数。我们确定的生成函数明确在特定情况下的$(k,\ell)$限制Lukasiewicz路径，并为$(k,\ell)=(0,\infty)$，我们提供了一个双射Dyck路径。
2011-05-03 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Some bijections for restricted Motzkin paths
我们给出了几个双射之间的限制Motzkin路径，解释为什么这些路径上的各种参数是等分布的。例如，长度为n的无二重峰的Motzkin路径的数目与长度为n+1的无峰的Motzkin路径的数目相同，并且参数“二重峰的数目”在前一集合上具有与“谷的数目”在后一集合上相同的分布。的双射是最容易提出递归，但我们也给出明确的描述使用的概念Motzkin树。
2004-07-22 math.CO
Restricted Jacobi permutations
本文系统研究雅可比排列中的模式避免问题，完整枚举了避免长度3模式的雅可比排列，并借助二叉树子族、Dyck路径双射与生成函数技巧，对单一模式限制情形给出了关于上升数、从左到右极小值数及末位字母的精细枚举。
2025-09-21 math.CO
Automated Counting of Restricted Motzkin Paths
Motzkin路径是简单但重要的组合对象。在本文中，我们考虑家庭的Motzkin路径的限制，峰高，谷高，向上运行的长度，向下运行的长度，和平运行的长度。本文提出了两种全自动的方法来枚举这样的家庭的路径。第一种方法使用数值动态规划。虽然这种方法经常工作，但它可能很慢，并且可能不适用于更大的问题。第二种方法使用符号动态规划来解决这类问题。这些方法在本文附带的maple包中实现。
2020-10-05 math.CO
The Theta Conjecture
Scuola Normale Superiore（高等师范学院）；Università Pegaso（佩加索大学）
本文提出双变量Theta猜想，通过定义带标记Dyck路径上的对角反转统计量，细化并支持已证明的单变量Theta猜想，并证明其Schröder情形。
2026-09-17 math.CO
Length and area generating functions for height-restricted Motzkin meanders
我们推导出长度和面积生成函数的平面高度限制向前移动离散路径的增量+1，0，或-1与任意的起点和终点，所谓的Motzkin曲折，和更一般的长度-面积生成函数的Motzkin路径与标记监测通道的数量从两个高度边界（“地板”和“天花板”）和花费的时间。通过将Motzkin路径嵌入到两步各向异性Dyck路径过程中，并使用传播算子、不相容统计和玻色化技术，得到了这些结果。我们还提出了一个集群扩展的生成函数，使其多项式结构明确的对数。这些结果是相关的物理系统，如聚合物，囊泡，和固体对固体界面的统计力学性能的推导。
2022-01-18 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Bijections on pattern avoiding inversion sequences and related objects
本文通过引入 $F$-路径建立双射，统一刻画避免 $101$、$102$ 的逆序列及 Schröder 路径等等价计数对象，并研究相关统计量与直和。
2024-04-05 math.CO
A walk in my lattice path garden
各种晶格路径模型进行了审查。枚举是使用生成函数完成的。一些双射的考虑也被编织在里面。核方法经常被使用。计算机代数是一个必不可少的工具。有些结果是新的，有些以前出现过。我们处理的格路径模型有：Hoppy的行走，序列A002212在\cite{OEIS}中的组合（斜Dyck路径，Schröder路径，Hex树，装饰有序树，多边树等）。加权一元-二元树也会出现，我们可以通过使用不同的替换来改进我们关于Horton-Strahler数\cite{FlPr86}的旧论文。一些关于三元树的材料也出现了，比如Motzkin数和路径（Retakh的模型），以及在\cite{irene}中发现的一个新概念，称为振幅。文中还包括了关于带中Deutsch路的一些新结果。在新冠肺炎期间，我花了很多时间研究这个美丽的概念，我敢称之为Deutsch路径，因为Emeric Deutsch在20年前在美国数学月刊上发表了一个问题。Rainer Kemp在\textsc{max} -turns和\textsc{min} -turns下研究了40年的峰和谷，用一种更现代的方法重新审视了峰和谷，简化了分析，依赖于“亚临界情况”（Philippe Flajolet如此命名），增加了一种新的切片技术，并再次使用了核方法。
2022-01-24 math.CO
Enumerating five families of pattern-avoiding inversion sequences; and introducing the powered Catalan numbers
这篇文章解决的第一个问题是列举一些家庭的模式，避免反转序列。我们解决了Corteel等人关于这些主题的基础工作留下的一些枚举问题，其中一些也被林，金和林独立解决。我们的方法的优势是它的鲁棒性：我们列举了四个家庭$F_1 \subset F_2 \subset F_3 \subset F_4$的模式，避免反转序列使用相同的方法按包含排序。更准确地说，我们提供了一个生成树（与相关的继承规则）为每个家庭$F_i$的一般化的家庭$F_{i-1}$。论文的第二个主题是列举第五个家族$F_5$的模式避免反转序列（包含$F_4$）。这个枚举也解决了\emph{via}的继承规则，但它没有推广的$F_4$。相关的枚举序列，我们称之为\emph{powered Catalan numbers}，是非常有趣的，并进一步研究。我们提供了两种不同的继承规则，表示$Ω_{pCat}$和$Ω_{steady}$，并表明，他们定义了两种类型的家庭列举的权力加泰罗尼亚数。在这些家族中，我们引入了\emph{steady paths}，其与$Ω_{steady}$天然相关。它们使我们能够弥合两种类型的家庭列举的权力加泰罗尼亚数之间的差距：事实上，我们提供了一个大小保持双射之间的稳定路径和谷标记的戴克路径（这是自然与$Ω_{pCat}$）。在此过程中，我们提供了几个很好的连接到家庭的排列定义的避免vincular模式…
2018-12-14 cs.DM math.CO
The Combinatorics of Motzkin Polyominoes
该研究探讨Motzkin多联骨牌的组合性质，建立其与Motzkin路径、受限Catalan字等的双射关系，推导多参数生成函数、渐近式与闭式表达，并证明相关三项式关系。
2024-06-22 cs.DM math.CO
