Humps for Dyck and for Motzkin paths
A. Regev
我们计算的总数量的驼峰在戴克和Motzkin路径，我们给标准的杨表格所涉及的数字的解释。然后观察到有趣的现象，驼峰计算改变分区在一个带的分区在一个钩。
We calculate the total number of humps in Dyck and in Motzkin paths, and we give Standard-Young-Tableaux-interpretations of the numbers involved. One then observes the intriguing phenomena that the humps-calculations change the partitions in a strip to partitions in a hook.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some results on Dyck paths and Motzkin paths
我们在Dyck路集合上引入了一个等价关系，并在Dyck路集合上引入了一些运算.我们确定了这些等价类的基数公式，并使用这些信息来获得一个组合公式的Dyck和Motzkin路径的固定长度的数量。
Explicit Generating Functions for the Sum of the Areas Under Dyck and Motzkin Paths (and for Their Powers)
该研究以Motzkin路径为引例，推导广义Dyck路径、Motzkin路径和Dyck路径下面积相关的函数方程，提出处理函数方程的微扰展开算法，可得到任意幂次下两类路径面积幂次之和的显式生成函数。
Combinatorial bijections from hatted avoiding permutations in $S_n(132)$ to generalized Dyck and Motzkin paths
我们引入了一个新的避免排列模式的概念，称为帽子模式，这是一个自然的推广的禁止模式。我们显示的增长率的类的排列，避免了帽子模式相比，禁止模式。证明了在$p$高度上无峰的Dyck路、无$ud... du$的Dyck路和Motzkin路都可以用避免$\s_n(132)$中置换的Hatted模式计数，并给出了显式双射.从而给出了无两个相邻数的$\s_n(132)$中Motzkin路与置换之间的一个新的直接双射.这些排列也表示在Motzkin生成树的基础上枚举组合对象（ECO）的方法。
Bijections from Dyck and Motzkin meanders with catastrophes to pattern avoiding Dyck paths
在这篇注记中，我们提出了从Dyck和Motzkin曲折与灾难的Dyck路径避免一些模式的建设性双射。作为一个副产品，我们推导出对应的戴克和Motzkin游览限制戴克路径。
Humps in Motzkin paths and standard Young tableaux in a $(2,1)$-hook
本文统计给定高度 Motzkin 路径的驼峰与峰，以及前两部分差固定的 $(2,1)$-钩标准 Young 表数量，细化 Regev 的结果并给出新组合证明与递推关系。
Counting Humps in Motzkin paths
本文研究了Dyck、Motzkin和Schröder路径中的峰数。最近A. Regev注意到，所有$n$阶Dyck路径中的峰的数目是$n$阶超Dyck路径数目的一半。他还计算了一些驼峰Motzkin路径，并发现了类似的关系，并要求双射证明。我们给出了一个双射并证明了这些结果。利用这个双射，我们还给出了一个新的证明：具有$k$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数.通过对超Schröder路的双重计数，我们还得到了一个包含二项式系数乘积的恒等式.
Explicit Expressions for the First 20 Moments of the Area Under Dyck and Motzkin Paths
本文基于 AJ Bu 的生成函数结果，推导出 Dyck 与 Motzkin 路径下面积前 20 阶矩的显式表达式，并用初等方法证明缩放矩收敛于 Brownian Excursion 下面积的矩。
Colored Motzkin Paths of Higher Order
顺序Motzkin路径- $\ell$是Motzkin路径的推广，它对每个正整数$i \leq \ell$使用步骤$U=(1,1)$、$L=(1,0)$和$D_i=(1,-i)$。我们进一步推广顺序$\ell$ Motzkin路径，允许我们的道路的边缘上的各种着色方案。这些$(\vecα,\vecβ)$着色的Motzkin路径可以通过适当的Riordan数组来枚举，模仿Aigner在处理Catalan-like数时的技术。经过调查，其相关的Riordan阵列，我们开发的双射之间的$(\vecα,\vecβ)$着色Motzkin路径和各种良好的研究组合对象。特定的着色方案$(\vecα,\vecβ)$允许我们将$(\vecα,\vecβ)$着色的Motzkin路径与广义$k$ -Dyck路径的不同子类进行双射，包括保持弱高于水平线$y=-a$的$k$-Dyck路径，其峰值都具有相同高度模$k$的$k$ -Dyck路径，以及精细路径的Fuss-Catalan推广。一个一般的双射之间也开发了$(\vecα,\vecβ)$着色Motzkin路径和某些子类的$k$ ary树。
A new statistic on Dyck paths for counting 3-dimensional Catalan words
一个三维加泰罗尼亚语单词是一个三个字母的单词，因此任何两个字母上的子单词都是一个Dyck路径。对于给定的Dyck路径$D$，最近定义的一个统计量计算了加泰罗尼亚语单词的数量，其属性是任何两个字母上的子单词都正好是$D$。在本文中，我们列举了Dyck路与此统计量等于一定的值，包括所有的素数。所得到的公式是以Motzkin数和Motzkin选票数表示的。
Combinatorics on bounded free Motzkin paths and its applications
在本文中，我们构造了一个双射从一组有界自由Motzkin路到一组有界Motzkin前缀，诱导双射从一组有界自由Dyck路到一组有界Dyck前缀。我们还给出了一组有界无角Motzkin路与一组$t$ -核划分之间的双射，以及一组有界无角对称Motzkin路与一组自共轭$t$ -核划分之间的双射.作为应用，我们得到了具有固定角点数的普通和自共轭$t$ -核划分数的显式公式。
Enumerations of humps and peaks in $(k,a)$-paths and $(n,m)$-Dyck paths via bijective proofs
最近Mansour和Shattuck研究了$(k,a)$-路，并给出了所有$(k,a)$-路的峰（峰）的总数与超级$(k,a)$-路的数目之间的关系式.这些结果推广了Regev关于Dyck路径和Motzkin路径的早期结果。他们的证明是基于生成函数，他们要求双射证明他们的结果。本文首先给出Mansour和Shattuck结果的双射证明，然后将我们的研究推广到$(n,m)$-Dyck路.当$n$和$m$互质时，我们给出了一个双射，它将所有$(n,m)$-Dyck路径中的峰的总数与某些自由$(n,m)$-路径联系起来.由这个双射我们得到了具有恰好$j$峰的$(n,m)$-Dyck路的个数，它是著名结果的推广，即具有恰好$j$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数$\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{n\choose k-1}$.
Partial Motzkin paths with air pockets of the first kind avoiding peaks, valleys or double rises
第一类带气穴Motzkin路径（MAP）是带气穴Dyck路径的推广。它们是$\mathbb{N}^2$中从原点开始的格路径，由步骤$U=(1,1)$、$D_k=(1,-k)$、$k\geq 1$和$H=(1,0)$组成，其中两个向下步骤不能连续。我们列举了MAP和它们的前缀，避免峰值（分别为）。山谷，双上升）根据长度，最后一步的类型，以及其终点的高度。我们表示我们的结果使用Riordan数组。最后，我们提供这些路径和限制Dyck和Motzkin路径之间的建设性双射。
Combinatorics of generalized Dyck and Motzkin paths
我们与周期性的广义Dyck和Motzkin路径的组合服从广义排斥统计粒子的簇系数，并获得明确的表达式的计数路径与固定数量的步骤的每种在每个垂直坐标。在分析中出现了一类整数路长的广义合成。
Bijections for Dyck paths with all peak heights of the same parity
我们双射地证明了所有峰都在奇数高度的Dyck路径由Motzkin数计数，所有峰都在偶数高度的Dyck路径由Riordan数计数。
Retakh's Motzkin paths and some combinatorial comments
在Ekhad的协助下，Retakh提出了只允许在1级和偶数指数级出现峰值的戴克路径，Zeilberger对此进行了分析。我们添加了一些组合的枚举，其中涉及Motzkin数，特别是关于这些对象的平均高度的评论。
Generating 2-Gray codes for grand Motzkin paths and grand Dyck paths with air pockets in constant amortized time
本文提出首个已知的2-Gray码用于具有气穴的大Motzkin路径和大Dyck路径，采用三阶段算法，每个字符串的常数摊销时间生成，并给出计数公式。
Generalizations of Chung-Feller Theorem
经典的Chung-Feller定理[2]告诉我们，长度为$n$且带有缺陷$m$的Dyck路的个数是$n$阶Catalan数，且与$m$无关. L. Shapiro [7]发现了Motzkin路径的Chung-Feller性质。在本文中，我们发现这两个Chung-Feller定理之间的联系。我们重点讨论了三类格路的加权形式，并给出了上述两个定理的推广。我们证明了这三类格路的Dyck型Chung-Feller定理和其中两类格路的Motzkin型Chung-Feller定理。从所得结果中，我们发现了一个有趣的事实，即许多格路具有Dyck型和Motzkin型的Chung-Feller性质。
Two Bijections for Dyck Path Parameters
本文给出了两个双射，一个证明了无UUU的Dyck n-路的个数是Motzkin数M_n，另一个证明了Dyck n-路上参数“UDU个数”和“DDU个数”的（已知）分布.第一个双射很简单，第二个就不那么明显了。
Combinatorics of nondeterministic walks of the Dyck and Motzkin type
This paper introduces nondeterministic walks, a new variant of one-dimensional discrete walks. At each step, a nondeterministic walk draws a random set of steps from a predefined set of sets and explores all possible extensions in parallel. We introduce our new model on Dyck steps with the nondeterministic step set {{--1}, {1}, {--1, 1}} and Motzkin steps with the nondeterministic step set {{--1}, {0}, {1}, {--1, 0}, {--1, 1}, {0, 1}, {--1, 0, 1}}. For general lists of step sets and a given length, we express the generating function of nondeterministic walks where at least one of the walks exp…
Additive Bases from Primitive Dyck Words: Regular Underapproximations, Motzkin Coding, and Digit Lifting
研究由规范二进制展开为原始戴克单词的整数构成的加法表示，通过配对连续位揭示关系，证明区间数字提升定理和算法，结合工具对正偶数分类，得出848是最终阈值且界限渐近最优。
The $\mathbf{uvu}$-avoiding $(a,b,c)$-Generalized Motzkin paths with vertical steps: bijections and statistic enumerations
广义Motzkin路径，简称G-Motzkin路径，长度为$n$，是XOY平面第一象限中从$(0, 0)$到$(n, 0)$的格点路径，由上台阶$\mathbf{u}=(1, 1)$、下台阶$\mathbf{d}=(1, -1)$、水平台阶$\mathbf{h}=(1, 0)$和垂直台阶$\mathbf{v}=(0, -1)$组成. $(a,b,c)$-G-Motzkin路径是加权的G-Motzkin路径，使得$\mathbf{u}$ -步骤、$\mathbf{h}$ -步骤、$\mathbf{v}$ -步骤和$\mathbf{d}$ -步骤分别由$1, a, b$和$c$加权。本文首先给出了长度为$n$的$\mathbf{uvu}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与$(a,b)$-Schröder路集、长度为$2n$的$(a+b,b)$-Dyck路集、长度为$n$的$\{\mathbf{uvu, uu}\}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与长度为$n$的$(a+b,ab)$-Motzkin路集之间的双射，在以$a$加权的$\mathbf{h}$ -步开始的长度为$n+1$的$\{\mathbf{uvu,uu}\}$ -避免$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路径的集合与长度为$2n+2$的$(a,b)$-Dyck路径的集合之间。…
Parametric production matrices and weighted succession rules: a Dyck path example
我们引入了加权继任规则和参数生产矩阵--标准ECO方法继任规则和生产矩阵的单扩张。其目的是枚举关于几个变量的组合对象。我们考虑一个主要的例子，从理论的戴克路径。主要考虑的路径统计数据是峰值高度、上升高度和某些人行道。许多经典序列（如Catalan数、Motzkin数、Narayana数和Schroeder数）都包含在这个例子中。
Distribution of peak heights modulo $k$ and double descents on $k$-Dyck paths
我们证明了在给定长度的$k$ -Dyck路径中，在高度$i$模$k$处的峰数分布与$i\in[0,k-1]$无关，并且是峰总数分布的反转。此外，这些统计数据，连同双下降的数量，与它们的任何排列都是共同等分布的。我们也将这个结果推广到广义Motzkin路和广义选票路。
Partial Skew Motzkin Paths
Motzkin路径由上台阶、下台阶、水平台阶组成，并且从不低于$x$轴。它们在末端返回到$x$轴。将斜Dyck路径\cite{Deutsch-italy}的概念转移到斜Motzkin路径，即，另外允许左阶$(-1,-1)$，但不允许路径自身相交。这些组合对象的枚举被称为\cite{Qing} ;在这里，使用内核方法，我们通过允许它们在规定的级别$j$结束来扩展结果。该方法完全基于生成函数。也给出了物体总数和平均高度的渐近性。
A bijection on Dyck paths and its cycle structure
已知的Dyck路上的双射要么是对合，要么具有众所周知的难以处理的循环结构。在这里，我们提出了一个尺寸保持双射的Dyck路径的循环结构是服从完整的分析。特别地，每个周期具有2的幂的长度。一个新的表现形式的加泰罗尼亚数字标记的森林作物在途中一样，帕斯卡矩阵模2。我们使用双射来证明Motzkin数的两种已知表现形式的等价性。最后，我们考虑一些新的加泰罗尼亚表现的统计数据。
Weighted 2-Motzkin Paths
本文的动机是最近提出的两个问题Coker的组合身份有关的Narayana多项式和Catalan数。我们发现，陈，Deutsch和Elizalde的双射可以用来提供组合解释的身份的Coker时，它适用于加权平面树。为了介绍我们的组合对应关系，我们提供了一个描述的双射陈，Deutsch和Elizalde在一个稍微不同的方式在一个直接建设的形式，从平面树的2-Motzkin路径没有中间步骤涉及的戴克路径。
Matrix Identities on Weighted Partial Motzkin Paths
本文给出了Catalan数上的矩阵恒等式和Shapiro，Woan和Getu利用Riordan阵列导出的序列$(1, 4, 4^2, 4^3, ...)$的组合解释.通过给出带提升线的加权部分Motzkin路与加权自由Motzkin路之间的一个双射，得到了任意$k \geq 2$的加权Motzkin路个数与序列$(1, k, k^2, k^3, ...)$的一个矩阵恒等式.通过扩展这一论点部分Motzkin路径与多个海拔线，我们给出了一个身份最近获得的卡梅隆和Nkwanta的组合证明。还给出了有色Dyck路上的矩阵恒等式，从而得到序列$(1, t^2+t, (t^2+t)^2, ...)$的矩阵恒等式.
Weighted Dyck paths with special restrictions on the levels of valleys
本文主要研究了长度为$2n$的加权Dyck路的集合$\mathcal{V}_n$，并对山谷的水平进行了特殊的限制.我们首先给出了计数母函数关于某些权函数的显式表达式。当权函数被特殊化时，$\mathcal{V}_n$与其他经典组合结构如$(a,b)$ -Motzkin路、$q$ -Schröder路、Delannoy路和完全$k$ -ary树之间建立了联系.在这些设置和$\mathcal{V}_n$之间还建立了一些双射，这些双射受某些特殊的权函数的约束。
Area-width scaling in generalised Motzkin paths
我们考虑一个广义版本的Motzkin路径，其中水平的步骤有长度$\ell$，与$\ell$是一个固定的正整数。我们首先给出了该模型的面积-长度母函数的一般函数方程。使用一个启发式的分析，我们推导出的面积长度缩放行为的缩放函数在一个变量的特殊情况下的戴克，（标准）Motzkin和施罗德路径，然后将我们的方法推广到任意$\ell$。然后，我们推导出一个表达式的生成函数的Schröder路径和严格分析的标度行为，这个功能的三临界点附近的模型，通过应用最陡下降的情况下，两个合并鞍点的方法。我们的结果表明，对于Dyck和Schröder路径，启发式标度分析重现了严格的结果。
Parity Reversing Involutions on Plane Trees and 2-Motzkin Paths
Eu，Liu和Yeh研究了具有$n$边和偶数或奇数叶的平面树的计数问题，并与Stanley关于着色网的一个恒等式联系起来。这个恒等式也是由博宁、夏皮罗和西蒙在他们对施罗德路径的研究中得到的，最近由科克用拉格朗日反演公式推导出来的。一个等价的分区问题是由Klazar独立研究。我们提出了三个奇偶反转对合，一个是无标号的平面树，另一个是标号的平面树，一个是2-Motzkin路，它们与Dyck路一一对应。
A partial order on Motzkin paths
定义在Catalan对象（如二叉树和Dyck路径）上的Tamari格是组合学中研究得很好的偏序集。因此，很自然地尝试将其扩展到其他格路族。在本文中，我们通过定义和研究Motzkin路径上的Tamari晶格的类比来理解这种可能性。虽然我们的推广不是一个格，但它的每个连通分支同构于经典Tamari格中的一个区间。有了这个结构性结果，我们就可以开始枚举我们定义的Motzkin路偏序集中的分支和区间。我们还将结构和枚举结果推广到Schröder路径。最后，我们讨论了我们的工作与Baril和Pallo（2014）的工作之间的关系。
From Dyck paths to standard Young tableaux
我们提出了9个双射类之间的Dyck路径和类的标准杨tableaux（SYT）。特别是，我们认为SYT的标志和矩形形状，我们给代克路径描述某些SYT的高度最多为3，我们引入了一个特殊的类标记的代克路径的半长度$n$，这是在双射与集合的所有SYT与$n$框。此外，我们提出了双射从某些类的Motzkin路径SYT。作为我们的一些双射的自然框架，我们引入一类集合划分，在某种意义上它与已知的非交叉划分类是对偶的。
Improving the Florentine algorithms: recovering algorithms for Motzkin and Schröder paths
我们提出了随机抽样程序Motzkin和施罗德路径，在以前的工作戴克路径。我们的算法遵循佛罗伦萨算法（Barcucci等1994+）的预期拒绝方法，但引入了恢复的想法，大大降低了拒绝的概率。它们使用了最佳的随机性，并实现了比佛罗伦萨算法更好的时间复杂度。
Enumeration of edges in some lattices of paths
我们列举的边缘在哈斯图中产生的几个格的组合背景下的格路径。具体来说，我们将考虑Dyck、Grand Dyck、Motzkin、Grand Motzkin、Schröder和Grand Schröder晶格的情况。最后，我们给出了任意Young格（可以自然地解释为路径格）中边数的一般公式。
The height of Dyck paths and checkerboard labellings
研究Dyck路径的白色高度，通过生成函数技巧证明两种模型下平均白色高度渐近于1/2√(πn)。
A bijection between bargraphs and Dyck paths
条形图是一类特殊的凸多项式。它们可以用晶格路径来标识，晶格路径的单位步长分别为北、东、南，起始于原点，终止于$x$轴，并且除了端点之外的任何地方都严格位于$x$轴上方。在统计物理学中，条形图被用来表示直方图和建模聚合物，在文献中已经通过半周长和其他几种统计方法进行了列举，使用不同的方法，如Bousquet-Mélou和Rechnitzer的蜂腰分解，以及某些Motzkin路径的双射。本文描述了条形图与Dyck路之间的一种特殊的双射，并研究了一些统计量如何由这种双射映射。因此，我们得到一个新的解释加泰罗尼亚数，计数条形图的半周长减去峰的数量是固定的。
Two kinds of partial Motzkin paths with air pockets
带气穴Motzkin路径（MAP）是在一定条件下通过增加水平步长而推广的带气穴Dyck路径。在本文中，我们介绍了两个推广。第一个由$\Bbb{N}^2$中从原点开始的格路径组成，由步骤$U=(1,1)$、$D_k=(1,-k)$、$k\geq 1$和$H=(1,0)$组成，其中两个向下的步骤不能连续，而第二个是$\Bbb{N}^2$中从原点开始的格路径，由步骤$U$、$D_k$和$H$组成，其中每个步骤$D_k$和$H$后面必须有一个向上的步骤，除了路径的最后一步之外，我们根据路径的长度、最后一步的类型以及路径端点的高度给出了这些路径的枚举结果。对从右向左读取的这些路径进行了类似的研究。作为一个副产品，我们得到了新的类的Motzkin数计数的路径。最后，我们使用Riordan数组表达我们的结果。
Permutations with restricted patterns and Dyck paths
我们展示了132-避免排列和Dyck路径之间的双射。使用这种双射，它表明，所有最近发现的结果生成函数的132-避免排列与给定次数的模式$12... k$直接遵循旧的结果计数Motzkin路径，其中是一个连分数结果由于Flajolet。作为奖励，我们使用这些意见，以获得进一步的结果和精确的渐近估计的数量132避免排列的$\{1,2,...,n\}$与$r$发生的模式$12... k$。其次，我们展示了123-避免排列和Dyck路径之间的双射。当与Roblet和Viennot的结果相结合时，这种双射使我们能够以连分数的形式表达具有给定出现次数的模式$(k-1)(k-2)... 1k$的123-避免排列的生成函数，并推导出这些排列的进一步结果。
Lattices of Paths: Representation Theory and Valuations
我们研究了格路组合学中的一些分配格。特别是，对于Dyck，Motzkin和Schroder晶格，我们描述的频谱，我们明确确定的欧拉示性数的自然参数的晶格路径。
Multi-colored dimer models in one-dimension: lattice paths and generalized Rogers--Ramanujan identities
We define and study multi-colored dimer models on a segment and on a circle. The multivariate generating functions for the dimer models satisfy the recurrence relations similar to the one for Fibonacci numbers . We give closed formulae for the generating functions. We show that, in the large size limit with specializations of the formal variables, the generating functions exhibit the summations appearing in generalized Rogers--Ramanujan identities. Further, the generating functions of the dimer models have infinite product formulae for general values of formal variables in the large size limit…
Enumeration of Dyck paths with air pockets
本文引入并研究了一类新的带气袋的组合Dyck路。我们展示了一个双射的无峰Motzkin路径，它传输几个模式的统计数据，并给出二元生成函数的分布模式的峰值，回报和金字塔。然后，我们推导出这些模式的普及和渐近期望，并指出金字塔的普及和一种特殊的封闭光滑自重叠曲线，斐波那契曲折的子集之间的联系。对带有气穴的非递减Dyck路径进行了类似的研究。
Fibonacci Polyominoes: Refined Enumeration and Dyck-Path Bijections
本文研究 Fibonacci 多联骨牌的按面积和半周长枚举，通过生成函数得到含 Catalan 数的精细公式，并建立与带标签 Dyck 路径的双射，将统计量转化为峰与返回，还研究等高连续列并得到 Motzkin 数控制的精细化。
Vertically constrained Motzkin-like paths inspired by bobbin lace
受一种新的梭心花边数学模型的启发，本文考虑了由一组台阶矢量$\mathfrak{A}=$ $\{\rightarrow,$ $\nearrow,$ $\searrow,$ $\uparrow,$ $\downarrow\}$构成的有限格点路径，并限制垂直台阶$(\uparrow, \downarrow)$不能连续.集合$\mathfrak{A}$是公知的Motzkin阶跃向量$\mathfrak{M}=$ $\{\rightarrow,$ $\nearrow,$ $\searrow\}$与垂直阶跃$\{\uparrow, \downarrow\}$的并集。给出了由$\mathfrak{A}$形成的垂直约束路径的穷举集与由$\mathfrak{M}$生成的路径的二等分之间的显式双射$ϕ$。以类似的方式，检查具有阶跃矢量$\mathfrak{B}=$ $\{\nearrow,$ $\searrow,$ $\uparrow,$ $\downarrow\}$的路径，该阶跃矢量是Dyck阶跃矢量和受约束的垂直阶跃的并集。我们表明，使用相同的$ϕ$映射，有一个双射垂直约束的$\mathfrak{B}$路径和Motzkin路径的子集，避免水平的步骤，甚至指数之间。生成函数推导出枚举这些垂直约束，部分定向路径时，限制到一半和四分之一平面。最后，我们以类似的方式扩展了Schröder和Delanno…
Enumeration of paths in a hexagonal circle packing
针对六边形圆堆积中的路径，本文用函数方程、核方法等推导其生成函数、渐近结果，建立与三类经典路径的双射，证明相关阵列为Riordan阵列并得到连分数展开。
The Riordan Group and Symmetric Lattice Paths
本文研究了对称格路。令$d_{n}$、$m_{n}$和$s_{n}$分别表示长度为$2n$的对称Dyck路径、对称Motzkin路径和对称Schröder路径的数目。利用Riordan群方法得到了与$d_{n}$，$m_{n}$，$s_{n}$有关的6个恒等式，并给出了其中两个恒等式的组合证明.最后，我们研究了一些特殊Riordan数组的类元所满足的关系，得到了长度为$2n.$的对称Dyck路的平均中高和x轴上的平均点数
Lattice paths with a first return decomposition constrained by the maximal height of a pattern
考虑$k\geq r+1$的方程组$A_k(x)=p(x)A_{k-1}(x)(q(x)+\sum_{i=0}^k A_i(x))$，其中$A_i(x)$，$0\leq i \leq r$是一些给定的函数，并说明如何得到$A(x)=\sum_{k\geq 0}A_k(x)$的封闭形式.我们应用这个一般结果的枚举的某些子集的戴克，Motzkin，斜戴克，斜Motzkin路径，递归定义的第一个返回分解与单调非递增的条件相对于最大纵坐标达到一个给定的模式$π$的发生。
Deutsch paths and their enumeration
Dyck路径的变体允许任意长度的下降步骤，而不仅仅是一个。本发明归功于Emeric Deutsch。令人惊讶的是，它们的枚举有点类似于Motzkin路径的分析;最后一节包含一个双射。
Motzkin paths, 321-avoiding permutations, and standard Young tableaux with rows of equal parity
本文引入一类由 Motzkin 数计数的 321-避免排列，建立其与 Motzkin 路径及三行标准杨表的双射，使 Riordan 路径对应 Riordan 排列，并连接至更多 Riordan 数计数族。
An exhaustive generation algorithm for Catalan objects and others
本文提出了一种固定长度n的Dyck路的CAT生成算法。它是一种穷举生成这种路径的方法的形式化，可以通过两个等价的策略来描述。前者用一棵有根树来描述，后者通过三个操作列出路径，正如我们将要看到的，这三个操作等价于访问树。这些构造与ECO方法严格相关，并且可以通过规则进行编码，非常类似于ECO中的继承规则，每个n具有有限数量的标签。此外，通过稍微的变化，这种方法可以推广到其他组合类，如Grand Dyck或Motzkin路径。
Length and area generating functions for height-restricted Motzkin meanders
我们推导出长度和面积生成函数的平面高度限制向前移动离散路径的增量+1，0，或-1与任意的起点和终点，所谓的Motzkin曲折，和更一般的长度-面积生成函数的Motzkin路径与标记监测通道的数量从两个高度边界（“地板”和“天花板”）和花费的时间。通过将Motzkin路径嵌入到两步各向异性Dyck路径过程中，并使用传播算子、不相容统计和玻色化技术，得到了这些结果。我们还提出了一个集群扩展的生成函数，使其多项式结构明确的对数。这些结果是相关的物理系统，如聚合物，囊泡，和固体对固体界面的统计力学性能的推导。
Knight's paths towards Catalan numbers
我们提供枚举结果的部分骑士路径的一个给定的大小。我们证明代数曲折骑士的路径上的$x$轴上的一个给定的大小结束列举的广义加泰罗尼亚数，我们给一个建设性的双射与peakless Motzkin路径的一个给定的长度。在列举了给定长度的部分骑士路后，证明了以$x$ -轴为终点的给定长度的锯齿形骑士路可用Catalan数计数.最后，我们给出了一个具有给定长度Dyck路的构造性双射。
The Combinatorics of Motzkin Polyominoes
该研究探讨Motzkin多联骨牌的组合性质，建立其与Motzkin路径、受限Catalan字等的双射关系，推导多参数生成函数、渐近式与闭式表达，并证明相关三项式关系。
Peaks and peak-nestings on unit interval graphs
本文在单位区间图上引入峰嵌套统计量，通过Dyck路径与双色Motzkin路径的双射细化Touchard恒等式，研究各类子图的多项式性质，并联系格路径拟阵。
Affine weighted Motzkin paths and the differential kernel method
引入边界中断仿射三对角生产规则的连续核方法，通过特征线到边界并施加正则性选择催化边界迹，得到第一类Abel-Volterra方程和高度精炼生成函数重构公式，统一处理仿射Motzkin三角的平衡、非平衡及任意实边界指数情形。
Pattern Avoidance of Generalized Permutations
本文研究了广义置换的模式回避问题，证明了所有避开$π$的广义置换的个数与$π\in S_3$的选择无关，推广了关于避开$π\in S_3$的置换的经典结果.推广了Dyck路径和Riordan路径，引入了Catalan-Riordan路径，证明了Catalan-Riordan路径是Catalan数的差分数组的组合解释.作为应用，我们解释Motzkin和Riordan数在两个方面，通过半标准的两行和广义排列的Young tableaux避免$π\in S_3$。类似于Lewis的方法，我们建立了从广义置换到矩形半标准Young tableaux的双射，这将恢复文献中的几个已知结果。
Intervals in a family of Fibonacci lattices
该研究聚焦一类由广义斐波那契数计数的Dyck路径子集族，证明其为Stanley格子格，给出线性/布尔区间生成函数、Möbius函数，计数交不可约元素并建立与Turán图的联系，还通过双射关联其他组合对象。
A walk in my lattice path garden
各种晶格路径模型进行了审查。枚举是使用生成函数完成的。一些双射的考虑也被编织在里面。核方法经常被使用。计算机代数是一个必不可少的工具。有些结果是新的，有些以前出现过。我们处理的格路径模型有：Hoppy的行走，序列A002212在\cite{OEIS}中的组合（斜Dyck路径，Schröder路径，Hex树，装饰有序树，多边树等）。加权一元-二元树也会出现，我们可以通过使用不同的替换来改进我们关于Horton-Strahler数\cite{FlPr86}的旧论文。一些关于三元树的材料也出现了，比如Motzkin数和路径（Retakh的模型），以及在\cite{irene}中发现的一个新概念，称为振幅。文中还包括了关于带中Deutsch路的一些新结果。在新冠肺炎期间，我花了很多时间研究这个美丽的概念，我敢称之为Deutsch路径，因为Emeric Deutsch在20年前在美国数学月刊上发表了一个问题。Rainer Kemp在\textsc{max} -turns和\textsc{min} -turns下研究了40年的峰和谷，用一种更现代的方法重新审视了峰和谷，简化了分析，依赖于“亚临界情况”（Philippe Flajolet如此命名），增加了一种新的切片技术，并再次使用了核方法。
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