Bijections for Dyck paths with all peak heights of the same parity
David Callan
我们双射地证明了所有峰都在奇数高度的Dyck路径由Motzkin数计数，所有峰都在偶数高度的Dyck路径由Riordan数计数。
We show bijectively that Dyck paths with all peaks at odd height are counted by the Motzkin numbers and Dyck paths with all peaks at even height are counted by the Riordan numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Dyck Numbers, III. Enumeration and bijection with symmetric Dyck paths
戴克路径（也称为平衡括号和戴克词）是加泰罗尼亚语中研究最多的家族之一。本文是[2，3]的继续。本文列举了OEIS A036991中的Dyck数项，并构造了一个具有对称Dyck路的伴随双射。在Dyck路径的二进制编码的情况下，我们工作与紧凑的自然数去除前导零后。二进制后缀的分析，使我们能够获得任意A036991项和对称A036991项之间的双射编码对称Dyck路径。双射生成一个由一元不相交的无限树组成的森林。每个双射树的根是一个非对称项;其他节点是对称的。有无数这样的树。读者提供了一个软件包，用于处理双射树。
A Bijection on Bilateral Dyck Paths
已知具有$2n$台阶和$k$峰值的Dyck路径的数量以及具有$2n$台阶和$k$台阶的Dyck路径的数量都遵循Narayana分布。在本文中，我们提出了一个双射，明确说明了这种equinumeracy。此外，我们将这种双射扩展到双边Dyck路径。对Dyck路径的限制保留了接触的数量。
Two Bijections for Dyck Path Parameters
本文给出了两个双射，一个证明了无UUU的Dyck n-路的个数是Motzkin数M_n，另一个证明了Dyck n-路上参数“UDU个数”和“DDU个数”的（已知）分布.第一个双射很简单，第二个就不那么明显了。
A simple and unusual bijection for Dyck paths and its consequences
在本文中，我们引入了一个新的双射从Dyck路集本身。这种双射的性质是，它将最近出现在模式避免排列研究中的统计量映射到Dyck路径上的经典统计量中，Dyck路径的分布很容易获得。我们还提出了一个推广的双射，以及它的几个应用到统计的计数问题的限制排列。
A new bijection on m-Dyck paths with application to random sampling
我们提出了一个新的双射之间的变体$m$路径（路径与步骤在$\{+1,-m\}$开始和结束在高度$0$和保持在非负高度），这推广了一个经典的双射之间的Dyck前缀和尖的pumukasiewicz路径。作为应用，我们提出了一个新的随机抽样过程的$m$ -Dyck路径具有线性时间复杂度和使用一个准最佳数量的随机比特。这优于Devroye的算法，该算法使用$\mathcal O(n\log n)$随机位。
On bijections between 231-avoiding permutations and Dyck paths
构造了一个231-避置换与Dyck路的双射，它将一个231-避置换的主指数与逆主指数之和映射到对应的Dyck路的主指数上，并将这个双射与其它双射联系起来，得到了一个与q，t-Catalan数有关的231-避置换的双统计量.
Double deficiencies of Dyck paths via the Billey-Jockusch-Stanley bijection
我们证明了最近的猜想René Marczinzik涉及某些统计的Dyck路径，起源于表示论的中山代数的线性定向的一个。我们这样做，通过分析Dyck路径和321-避免排列对这些统计数据，这是建议的查询结果发布到在线数据库FindStat之间的Billey-Jockusch-Stanley双射的效果。
Bijections from weighted Dyck paths to Schroeder paths
Kim和Drake使用生成函数证明了2-distance noncrossing matching的个数，它们与小Schroeder路径的双射相同，与Dyck路径的权重相同，其中从偶数高度向下的台阶的权重为2。本文给出了从这些Dyck路径到小Schroeder路径的双射，以及从一组相似的Dyck路径到大Schroeder路径的双射。我们展示了这些双射对相应匹配的影响，找到两个新的类格路径的生成函数，并证明了与231-避免排列的关系。
A bijection on Dyck paths and its cycle structure
已知的Dyck路上的双射要么是对合，要么具有众所周知的难以处理的循环结构。在这里，我们提出了一个尺寸保持双射的Dyck路径的循环结构是服从完整的分析。特别地，每个周期具有2的幂的长度。一个新的表现形式的加泰罗尼亚数字标记的森林作物在途中一样，帕斯卡矩阵模2。我们使用双射来证明Motzkin数的两种已知表现形式的等价性。最后，我们考虑一些新的加泰罗尼亚表现的统计数据。
A bijection between 2-triangulations and pairs of non-crossing Dyck paths
一个凸多边形的k-三角剖分是一个最大的对角线集，使得它们中没有k+1个在它们的内部相互交叉。给出了凸n边形的2-三角剖分与长度为2（n-4）的不相交Dyck路对之间的一个双射。这解决了找到一个双射证明的结果琼森的情况下k=2的问题。我们通过构造2-三角剖分集和不相交Dyck路对的同构生成树得到了双射。
Words, Dyck paths, Trees, and Bijections
在\cite{BaDeFePi96}中引入了非减Dyck路的概念。我们继续从文字、理性语言、种植的悬铃木和连分数的角度进行研究。我们构建一个双射种植的平面树的高度$\le 4$和计算各种统计的树是非减Dyck路径的等价物。
Dyck paths and a bijection for multisets of hook numbers
本文给出了Regev和Vershik关于某些斜Young图的两个钩数多集相等的一个猜想的双射证明。双射证明了一个结果，这是更强和更对称的比原来的猜想，通过建设涉及戴克路径，一种特殊类型的格路径。
Bijections between directed animals, multisets and Grand-Dyck paths
$n$ -$[k]=\{1,2,\ldots, k\}$的多集由来自$[k]$的一组$n$元素组成，其中每个元素都可以重复。本文给出了无连续元素的$[k]$的$n$ -多集的二元生成函数.对于$n=k$，这些多重集具有与正方形晶格中的有向动物相同的枚举。然后，我们给建设性的双射之间的有向动物，没有连续的元素和Grand-Dyck路径避免模式$DUD$，我们展示了如何经典和新颖的统计运输这些双射。
Bijections from Dyck paths to 321-avoiding permutations revisited
文献中至少有三个从Dyck路径到321-避免置换的双射，分别是Billey-Jockusch-Stanley，Krattenthaler和Mansour-Deng-Du的双射，它们有什么不同？分别记为B，K，M，证明了M = B \circ L = K \circ L'，其中L是Dyck路上的经典Kreweras-Lalanne对合，L'也是对合，是L的一种导函数.因此，K^{-1} \circ B，B和K之间的差的度量，是对合L' \circ L的乘积，结果是一个非常奇怪的双射：作为Dyck n-路上的置换，它是“反向路”对合的n次方根。这一事实的证明归结为一个几何参数涉及对不相交的格路径。
Combinatorial bijections from hatted avoiding permutations in $S_n(132)$ to generalized Dyck and Motzkin paths
我们引入了一个新的避免排列模式的概念，称为帽子模式，这是一个自然的推广的禁止模式。我们显示的增长率的类的排列，避免了帽子模式相比，禁止模式。证明了在$p$高度上无峰的Dyck路、无$ud... du$的Dyck路和Motzkin路都可以用避免$\s_n(132)$中置换的Hatted模式计数，并给出了显式双射.从而给出了无两个相邻数的$\s_n(132)$中Motzkin路与置换之间的一个新的直接双射.这些排列也表示在Motzkin生成树的基础上枚举组合对象（ECO）的方法。
Bijections from Dyck and Motzkin meanders with catastrophes to pattern avoiding Dyck paths
在这篇注记中，我们提出了从Dyck和Motzkin曲折与灾难的Dyck路径避免一些模式的建设性双射。作为一个副产品，我们推导出对应的戴克和Motzkin游览限制戴克路径。
Bijections between colored compositions, Dyck paths, and polygon partitions
该研究通过识别并装饰合成、Dyck 路径与凸多边形剖分中的构建块，构造了保持部分且支持彩色情形的双射，从而统一刻画三类组合对象。
A bijection between bargraphs and Dyck paths
条形图是一类特殊的凸多项式。它们可以用晶格路径来标识，晶格路径的单位步长分别为北、东、南，起始于原点，终止于$x$轴，并且除了端点之外的任何地方都严格位于$x$轴上方。在统计物理学中，条形图被用来表示直方图和建模聚合物，在文献中已经通过半周长和其他几种统计方法进行了列举，使用不同的方法，如Bousquet-Mélou和Rechnitzer的蜂腰分解，以及某些Motzkin路径的双射。本文描述了条形图与Dyck路之间的一种特殊的双射，并研究了一些统计量如何由这种双射映射。因此，我们得到一个新的解释加泰罗尼亚数，计数条形图的半周长减去峰的数量是固定的。
An area-bounce exchanging bijection on a large subset of Dyck paths
本文针对Dyck路径上交换面积与弹跳统计量的长期开放问题，在指数大的子集上构造了显式双射，并证明其自然性，同时给出存在性等价及和值计数结果。
Bijections on Dyck tilings: DTS/DTR bijections, Dyck tableaux and tree-like tableaux
Dyck平铺是由两个Dyck路径包围的区域中的某些平铺。我们研究了双射和组合对象双射到Dyck平铺，包括Dyck平铺带（Dyck tiling strip，DTR）双射、增树和减树、Hermite历史、Dyck tableaux和树状tableaux。Dyck tableaux和树状tableaux最初是为Z字形路径定义的，或者等价地为置换。我们将它们推广到一般Dyck路径的情况。我们证明了Dyck tableaux的大多数性质可以推广到一般的情况，并给出了广义树型tableaux的一些计数结果。我们还显示之间的联系，dirt和DTR双射，埃尔米特的历史，对合的增加和减少的树木和代克平铺的反射。
From Dyck paths to standard Young tableaux
我们提出了9个双射类之间的Dyck路径和类的标准杨tableaux（SYT）。特别是，我们认为SYT的标志和矩形形状，我们给代克路径描述某些SYT的高度最多为3，我们引入了一个特殊的类标记的代克路径的半长度$n$，这是在双射与集合的所有SYT与$n$框。此外，我们提出了双射从某些类的Motzkin路径SYT。作为我们的一些双射的自然框架，我们引入一类集合划分，在某种意义上它与已知的非交叉划分类是对偶的。
Eulerian digraphs and Dyck words, a bijection
这项工作的主要目标是建立一个双射之间的代克字和一个家庭的欧拉有向图。我们这样做，通过提供两个算法实现这样的双射在两个方向。Dyck字和欧拉有向图之间的联系利用了一种新的组合结构：二元矩阵，我们称之为Dyck矩阵，表示欧拉有向图的圈。
Dyck tilings, increasing trees, descents, and inversions
包含覆盖的戴克镶嵌是倾斜杨图的镶嵌，其带状瓦片形状类似戴克路径，其中瓦片不大于它们所覆盖的瓦片。这些平铺出现在某些统计物理模型的研究，也Kazhdan-Lusztig多项式。给出了覆盖包含Dyck平铺与树偏序集的线性扩张之间的两个双射。第一个双射将统计量（面积+瓦片）/2映射到线性扩展的反转，第二个双射将瓦片的上下边界之间的“差异”映射到线性扩展的下降。
A Bijection Between Weighted Dyck Paths and 1234-avoiding Up-Down Permutations
三维卡塔兰数是经典（二维）卡塔兰数的一个变体，在其他有趣的对象中，它计算了形状为（n，n，n）的标准杨氏表。在本文中，我们提出了一个结构双射之间的两个三维Catalan对象：1234-避免上下排列，一类加权Dyck路。
Fibonacci Polyominoes: Refined Enumeration and Dyck-Path Bijections
本文研究 Fibonacci 多联骨牌的按面积和半周长枚举，通过生成函数得到含 Catalan 数的精细公式，并建立与带标签 Dyck 路径的双射，将统计量转化为峰与返回，还研究等高连续列并得到 Motzkin 数控制的精细化。
Permutations with restricted patterns and Dyck paths
我们展示了132-避免排列和Dyck路径之间的双射。使用这种双射，它表明，所有最近发现的结果生成函数的132-避免排列与给定次数的模式$12... k$直接遵循旧的结果计数Motzkin路径，其中是一个连分数结果由于Flajolet。作为奖励，我们使用这些意见，以获得进一步的结果和精确的渐近估计的数量132避免排列的$\{1,2,...,n\}$与$r$发生的模式$12... k$。其次，我们展示了123-避免排列和Dyck路径之间的双射。当与Roblet和Viennot的结果相结合时，这种双射使我们能够以连分数的形式表达具有给定出现次数的模式$(k-1)(k-2)... 1k$的123-避免排列的生成函数，并推导出这些排列的进一步结果。
Enumeration of area-weighed Dyck paths with restricted height
我们推导出明确的表达式$q$ -正交多项式中所产生的枚举面积加权Dyck路径的限制高度。
Combinatorics for Certain Skew Young Tableaux, Dyck Paths, Triangulations, and Dissections
我们提出了组合双射和身份之间的某些斜杨tableaux，戴克路径，三角剖分和解剖。
Bi-banded Paths, a Bijection and the Narayana Numbers
我们找到了双带状路径和峰值计数路径之间的双射，适用于两类格路径，包括Dyck路径。因此，我们找到了一个新的解释Narayana数的权重多项式枚举双带Dyck路径，这类路径自然出现在以前的文献中的“TASEP”随机过程的稳态的解决方案的系数。
On rational Dyck paths and the enumeration of factor-free Dyck words
受Bizley和Duchon的独立结果的启发，我们研究了有理Dyck路及其无因子元子集。一方面，我们给出了有理Dyck路和正则Dyck路之间的一个双射，其中上升部分被无因子词着色。这种双射导致了一个新的统计的基础上的减少水平的路径，我们提供了一个相应的公式。另一方面，我们证明了通过部分贝尔多项式定义的某些序列的逆关系，我们用它来推导出一个公式的枚举因子自由的话。此外，我们给出了替代公式的各种枚举序列中出现的情况下，合理的戴克路径。
Promotion and rowmotion in rational Catalan combinatorics
本文研究了促进与行运动在有理Catalan组合学中的等价性，通过扩展双射与RSK类对应关系，揭示了 generalized Dyck paths 上的双射性质。
Pattern distributions in Dyck paths with a first return decomposition constrained by height
我们提供了生成函数的流行度和分布的模式的长度最多为三个在一组戴克路径具有第一个返回分解的高度约束。
A subfamily of skew Dyck paths related to $k$-ary trees
本文定义盒路径及更一般的 $k$-盒路径，建立其与多元 $(k+2)$ 叉树、$k_t$-Dyck 路径和阈值序列子族的双射，并给出按返回与长上升的精细化枚举。
Raised $k$-Dyck paths
升高的$k$ -Dyck路径是$k$ -Dyck路径的一般化，其可以在非零高度处开始和结束。在本文中，我们给出了从$(0,α)$到$(\ell,β)$的所有高度对$k$ -Dyck路的个数的封闭公式，其中包括所有高度对$α,β\geq 0$，所有长度对$\ell \geq 0$和所有$k \geq 2$ .然后，我们枚举提出$k$ -戴克路径与固定数量的返回地面，一个固定的最小高度，和一个固定的最大高度，提出生成函数（在生成函数$C_k(t)$的$k$ -加泰罗尼亚数字）时，封闭的公式是不听话的。专业化我们的结果$k=2$或$α< k$揭示与先前存在的结果高度有界的戴克路径和“戴克路径与负边界”，分别连接。
Dyck paths and pattern-avoiding matchings
顶点集V={1，2，.，2n}避免给定的三条边的配置？Chen，Deng和Du已经证明了避免三个嵌套边的匹配的数量等于避免三个成对交叉边的匹配的数量。在本文中，我们考虑其他禁止配置的大小为3。我们提出了一个双射之间的匹配，避免三个交叉的边缘和匹配，避免一个边缘嵌套在两个交叉的边缘。这种双射使用长度为2n的非交叉Dyck路径对作为中间步骤。此外，我们还给出了一个双射，它将避免两条嵌套边与第三条边相交的匹配映射到避免一个无限族中所有配置的匹配上，该无限族包含由三条相交边组成的配置。我们使用这个双射来证明，对于大小n>3的匹配，避免三条交叉边比避免两条嵌套边与第三条边交叉更容易。在本文的更新版本中，我们添加了新的参考文献，这些文献在不同的背景下获得了类似的结果。
Restricted Dumont permutations, Dyck paths, and noncrossing partitions
我们完成了第二类杜蒙排列的枚举，避免了长度为4的模式，它本身就是第二类杜蒙排列。我们还考虑了一些组合统计Dumont排列避免某些模式的长度为3和4，并给出了一个自然的双射之间的3142-避免Dumont排列的第二类和非交叉分区，使用循环分解，以及双射之间的132-，231-和321-避免Dumont排列和Dyck路径。最后，我们列举杜蒙排列的第一类同时避免某些对4字母的模式和另一种模式的任意长度。
Indecomposable Permutations, Hypermaps and Labeled Dyck Paths
超映射作为一种代数工具被引入，用于表示图在可定向曲面上的嵌入。最近，在超映射和不可分解置换之间给出了一个双射;这通过将超映射连接到一个更简单的对象来揭示这个主题。本文提出了不可分解置换与标号Dyck路之间的一个双射，由此得到了有关超映射和映射的一些计数结果。例如，我们得到了一个归纳公式的数量超映射与n飞镖，p个顶点和q超边;后者也是不可分解的置换的数量与p个循环和q左到右的最大值。还考虑了这些参数在所有排列中的分布。
Dyck paths with coloured ascents
我们引入了一个概念的戴克路径与彩色上升。对于着色的几种方法，我们建立双射之间的集合，这样的路径和其他组合结构，如非交叉树，解剖的凸多边形等，在某些情况下枚举给出了新的表达序列枚举这些结构。
Counting peaks at height k in a Dyck path
Dyck路径是平面整数晶格$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$中的晶格路径，其由步骤（1，1）和（1，-1）组成，从不在x轴下方通过。在Dyck路径上高度为k处的峰是具有坐标y=k的路径上的点，其紧接在（1，1）阶跃之前并且紧接在（1，-1）阶跃之后。在本文中，我们找到了一个显式的生成函数的Dyck路径的数量开始于（0，0）和结束于（2n，0），正好r个峰的高度为k。这使得我们可以通过第二类切比雪夫多项式和加泰罗尼亚数的生成函数来表达这个函数。
Rank complement of rational Dyck paths and conjugation of $(m,n)$-core partitions
给定一对互质的正整数$(m,n)$，有理卡塔兰数$\frac{1}{m+n} \binom{m+n}{m,n}$计数两个组合对象：有理$(m,n)$ -Dyck路径是$m\times n$矩形中的格路径，从不低于对角线; $(m,n)$ -核心是没有钩子长度等于$m$或$n$的分区。安德森建立了$(m,n)$ -Dyck路径和$(m,n)$ -核心之间的双射。我们定义了一个新的转换，称为秩补，合理的Dyck路径。我们表明，秩补对应于共轭的$(m,n)$ -核心下安德森的双射。这导致：i）一种新的方法来表征$n$ -核心; ii）一个简单的方法来计算的自共轭$(m,n)$ -核心的数量; iii）证明的两个组合和公式的等价性，一个在理性$(m,n)$ -Dyck路径和其他$(m,n)$ -核心，合理的加泰罗尼亚多项式。
Distribution of peak heights modulo $k$ and double descents on $k$-Dyck paths
我们证明了在给定长度的$k$ -Dyck路径中，在高度$i$模$k$处的峰数分布与$i\in[0,k-1]$无关，并且是峰总数分布的反转。此外，这些统计数据，连同双下降的数量，与它们的任何排列都是共同等分布的。我们也将这个结果推广到广义Motzkin路和广义选票路。
The height of Dyck paths and checkerboard labellings
研究Dyck路径的白色高度，通过生成函数技巧证明两种模型下平均白色高度渐近于1/2√(πn)。
Enumerations of humps and peaks in $(k,a)$-paths and $(n,m)$-Dyck paths via bijective proofs
最近Mansour和Shattuck研究了$(k,a)$-路，并给出了所有$(k,a)$-路的峰（峰）的总数与超级$(k,a)$-路的数目之间的关系式.这些结果推广了Regev关于Dyck路径和Motzkin路径的早期结果。他们的证明是基于生成函数，他们要求双射证明他们的结果。本文首先给出Mansour和Shattuck结果的双射证明，然后将我们的研究推广到$(n,m)$-Dyck路.当$n$和$m$互质时，我们给出了一个双射，它将所有$(n,m)$-Dyck路径中的峰的总数与某些自由$(n,m)$-路径联系起来.由这个双射我们得到了具有恰好$j$峰的$(n,m)$-Dyck路的个数，它是著名结果的推广，即具有恰好$j$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数$\frac{1}{k}{n-1\choose k-1}{n\choose k-1}$.
Generalized Dyck paths of bounded height
广义Dyck路径（或离散偏移）是一维路径，它们在给定的有限集S中采取步骤，开始和结束于高度0，并保持在非负高度。Bousquet-Mélou证明了不超过k的高度偏移的母函数E_k是F_k/ F_{k+1}的形式，其中F_k是满足线性递推关系的多项式。本文用转移矩阵法给出了多项式F_k及其递推关系的组合解释。然后，我们将我们的方法扩展到枚举离散的曲折（或从0开始并保持在非负高度，但可能在任何地方结束的路径）。最后，我们研究的特殊情况下，设置S是对称的，并表明，几个简化发生。
Bijections between Variants of Dyck Paths and Integer Compositions
本研究建立了特定长度的Dyck路径变体与整数分拆间的双射关系，二者均由$4^{n-1}$计数，并借此得到了如同余结果等新的数学联系。
Proof of a conjecture of Matherne, Morales, and Selover on encodings of unit interval orders
从$n$元素上的单位区间序到从$(0,0)$到$(n,n)$的Dyck路有两个双射。一种是考虑不可比元素对，它们形成了一些Dyck路径和对角线之间的盒的集合。另一个是找到一个特定的部分列表（在Guay-Paquet的意义上），它产生一个同构偏序集，并解释部分列表的面积序列的Dyck path. Matherne，莫拉莱斯和Selover说明，对于任何单位区间秩序，这两个Dyck路径相关的Haglund的著名zeta双射。本文证明了他们的猜想。
Counting Humps in Motzkin paths
本文研究了Dyck、Motzkin和Schröder路径中的峰数。最近A. Regev注意到，所有$n$阶Dyck路径中的峰的数目是$n$阶超Dyck路径数目的一半。他还计算了一些驼峰Motzkin路径，并发现了类似的关系，并要求双射证明。我们给出了一个双射并证明了这些结果。利用这个双射，我们还给出了一个新的证明：具有$k$峰的$n$阶Dyck路的个数是Narayana数.通过对超Schröder路的双重计数，我们还得到了一个包含二项式系数乘积的恒等式.
Pairs of Noncrossing Free Dyck Paths and Noncrossing Partitions
利用划分间的双射和摇摆表，建立了长度为$2n$的无交叉自由Dyck路对与$[2n+1]$的无交叉划分与$n+1$块之间的对应关系.利用Labelle合并算法，得到了由不相交的自由Dyck路对构造的Dyck路的一个特征，即在奇数位置上的向上步数.
Proof of a Conjecture on Hankel Determinants for Dyck Paths with Restricted Peak Heights
对于任何整数$m\geq 2$和$r \in \{1,\dots, m\}$，令$f_n^{m,r}$表示对于某个整数$i$其峰高为$im+r$的$n$ -Dyck路径的数目。我们发现$f_n^{m,r}$的生成函数满足一个简单的代数函数方程$2$。$r=m$的情况下是特别好，我们给出了一个组合证明。利用Sulanke和Xin的连分数方法计算了$f_n^{m,r}$的Hankel行列式.我们结果的特殊情况$r=m$解决了Chien，Eu和Fu提出的一个猜想.我们还丰富了最终周期Hankel行列式序列类。
More bijective Catalan combinatorics on permutations and on signed permutations
在本文中，我们构造双射之间的Dyck路径，非交叉分区，和231-避免的排列，发送Dyck路径上的面积统计的反转数的非交叉分区和231-避免的排列。这种双射有一个额外的性质，它同时发送Dyck路径上的主索引到非交叉分区和231-避免排列上的主索引和逆主索引之和。此外，我们提供了推广这些建设的签署置换组。
Some combinatorics related to central binomial coefficients: Grand-Dyck paths, coloured noncrossing partitions and signed pattern avoiding permutations
我们给出了某些整数序列的参数的Grand-Dyck路径和有色不相交划分的一些解释，我们发现了一些新的双射有关Grand-Dyck路径和符号模式避免置换。接下来，我们转移一个自然的分配格结构的Grand-Dyck路径的有色非交叉分区和签署的模式，避免置换，从而显示，特别是，它是同构的结构诱导的（强）Bruhat秩序上的某一组签署的模式，避免置换。
The height of skew Dyck paths with two variants of downsteps
研究具有两种下降步变体的斜戴克路径的高度，利用生成函数、核方法和线性系统，对其平均高度等计数做出贡献，得出平均高度为$\sqrt{n}$阶的结论。
Rational Dyck Paths in the Non Relatively Prime Case
本文研究了有理斜率Dyck路与$\mathbb Z,$的不变子集之间的关系，推广了前两位作者在互素情形下的工作.我们还发现了$(dn,dm)$ -Dyck路与赋予一定胶合数据的$(n,m)$ -Dyck路的$d$ -元组之间的一个双射.这些是理解合理的斜率加泰罗尼亚组合和仿射施普林格纤维和结不变量的非互素的情况下的几何之间的关系的第一步。
On Hankel Determinants for Dyck Paths with Peaks Avoiding Multiple Classes of Heights
对于任何整数$m\ge 2$和集合$V\subset \{1,\dots,m\}$，令$(m,V)$表示$V$模$m$中元素的同余类的并集。我们研究了在集合$(m,V)$中峰避开高度的Dyck路径数的Hankel行列式。对于偶数模$m$的偶数元素的任意集合$V$，我们用整数的等差数列的连续性给出了Hankel行列式序列的一个显式描述.有许多例子，不同的$(m,V)$与周期序列的汉克尔行列式。给出了集合$(m,V)$的一个充分条件，使得Hankel行列式序列是周期的，包括偶数模和奇数模$m$ .
An application of a bijection of Mansour, Deng, and Du
已知大Schroder数可以计算避免两个4字母模式的几类排列。在这里，我们展示了他们计算另一个排列家族，这些排列家族的左到右最小分解，当反转时，是321-避免的。主要工具是从321-避免置换到Dyck路的Mansour-Deng-Du双射。
Bijections and congruences involving lattice paths and integer compositions
该研究通过建立不同变体Dyck路径与整数分拆的新双射，解释计数公式4^{n-1}的组合意义，推导路径同余与分拆奇偶性结果，还揭示其与多个组合数学对象的关联，深化了相关结构认知。
Asymptotics of the average height of 2--watermelons with a wall
我们将de Bruijn、Knuth和Rice的经典工作（给出长度为$n$的Dyck路径的平均高度的渐近性）推广到$p$ --有墙的西瓜（即，到$p$不相交的Dyck路径的某个族;简单Dyck路径是$p=1$的特例。）我们只对$p=2$的情况计算出这个渐近性，因为所涉及的计算已经相当复杂了（但它们本身可能会引起一些兴趣）。
Combinatorics on bounded free Motzkin paths and its applications
在本文中，我们构造了一个双射从一组有界自由Motzkin路到一组有界Motzkin前缀，诱导双射从一组有界自由Dyck路到一组有界Dyck前缀。我们还给出了一组有界无角Motzkin路与一组$t$ -核划分之间的双射，以及一组有界无角对称Motzkin路与一组自共轭$t$ -核划分之间的双射.作为应用，我们得到了具有固定角点数的普通和自共轭$t$ -核划分数的显式公式。
Parametric production matrices and weighted succession rules: a Dyck path example
我们引入了加权继任规则和参数生产矩阵--标准ECO方法继任规则和生产矩阵的单扩张。其目的是枚举关于几个变量的组合对象。我们考虑一个主要的例子，从理论的戴克路径。主要考虑的路径统计数据是峰值高度、上升高度和某些人行道。许多经典序列（如Catalan数、Motzkin数、Narayana数和Schroeder数）都包含在这个例子中。
Tiling bijections between paths and Brauer diagrams
通过平铺定义的Temperley-Lieb代数的Dyck路径和基图之间存在自然的双射。悬垂路径是Dyck路径的某些概括，允许更一般的步骤，但限于二维整数格中的矩形。我们发现，有一个自然的双射，延长上述平铺建设，悬垂路径和基础图表的布劳尔代数之间。
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