Dinv, Area, and Bounce for $\vec{k}$-Dyck paths
著名的$q,t$ -Catalan序列作为普通Dyck路的加权和有两种组合解释：一种是Haglund的面积反弹公式，另一种是Haiman的单位面积公式. zeta映射是为了连接这两个公式而构造的：它是从普通Dyck路径到它们自身的双射，它需要dinv到面积，面积到反弹。Loehr把这个结果推广到$k$ -Dyck路径上. Zeta地图由Armstrong-Loehr-Warrington扩展为非常一般的一类路径。本文推广了$\vec{k}$ -Dyck路径的面积反弹结果：i）给出了$\vec{k}$-Dyck路径反弹统计量的尺规作图法，其中包括$k$ -Dyck路径和普通Dyck路径的特殊情况; ii）给出了$\vec{k}$ -Dyck路径的dinv统计量的几何解释。我们的反弹结构受到Loehr结构和Xin-张的线性算法反演扫描映射上的$\vec{k}$ -Dyck路径。我们的dinv解释受到Garsia-Xin在理性Dyck路径上对dinv到面积结果的视觉证明的启发。
2020-11-10 math.CO
The descent statistic over 123-avoiding permutations
我们利用Krattenthaler的双射之间的123-避免排列和Dyck路径，以确定在$S_n$的123-避免排列的集合$S_n(123)$的欧拉分布。特别地，我们证明了置换的下降对应于Dyck路径的谷和三重下降，并通过研究这两个统计量在Dyck路径上的联合分布，得到了$S_n(123)$的欧拉数.
2009-10-06 math.CO
Permutation-generated maps between Dyck paths
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung（万隆理工学院数学系）；Department of IT and Big Data Analytics, Calvin Institute of Technology（卡尔文理工学院信息技术与大数据分析系）
在2003年，Deutsch和Elizalde定义了一类Dyck路集到自身的双射映射，这类映射是由一些特殊的置换诱导的。在本文中，我们通过允许置换是任意的，推广了映射的构造。我们将生成相同映射的置换进行排序，并找到所有生成双射的置换。因此，我们给出了一个新的组合解释的数量$(2n-1)!!$，以及一些新的统计Dyck路径等分布到一些已知的高度统计，通过我们的广义地图。
2022-12-30 math.CO
Enumerating several statistics of r-Colored Dyck paths with no dd-steps having the same colors
本文研究无相邻同色 d-步的 r-色 Dyck 路径，利用与 (a,b)-Schröder 路径加权生成函数相关的 Riordan 阵列，建立点数、u-步数和峰数等统计量的计数公式及恒等式。
2025-06-10 math.CO
A bijection between bargraphs and Dyck paths
条形图是一类特殊的凸多项式。它们可以用晶格路径来标识，晶格路径的单位步长分别为北、东、南，起始于原点，终止于$x$轴，并且除了端点之外的任何地方都严格位于$x$轴上方。在统计物理学中，条形图被用来表示直方图和建模聚合物，在文献中已经通过半周长和其他几种统计方法进行了列举，使用不同的方法，如Bousquet-Mélou和Rechnitzer的蜂腰分解，以及某些Motzkin路径的双射。本文描述了条形图与Dyck路之间的一种特殊的双射，并研究了一些统计量如何由这种双射映射。因此，我们得到一个新的解释加泰罗尼亚数，计数条形图的半周长减去峰的数量是固定的。
2017-05-17 math.CO
Words, Dyck paths, Trees, and Bijections
在\cite{BaDeFePi96}中引入了非减Dyck路的概念。我们继续从文字、理性语言、种植的悬铃木和连分数的角度进行研究。我们构建一个双射种植的平面树的高度$\le 4$和计算各种统计的树是非减Dyck路径的等价物。
2019-10-25 math.CO
On rational Dyck paths and the enumeration of factor-free Dyck words
受Bizley和Duchon的独立结果的启发，我们研究了有理Dyck路及其无因子元子集。一方面，我们给出了有理Dyck路和正则Dyck路之间的一个双射，其中上升部分被无因子词着色。这种双射导致了一个新的统计的基础上的减少水平的路径，我们提供了一个相应的公式。另一方面，我们证明了通过部分贝尔多项式定义的某些序列的逆关系，我们用它来推导出一个公式的枚举因子自由的话。此外，我们给出了替代公式的各种枚举序列中出现的情况下，合理的戴克路径。
2016-12-22 math.CO
Bell Polynomials and $k$-generalized Dyck Paths
长度为$n$的{ \em k-广义Dyck路径}是平面整数格$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$中从$(0,0)$到$(n,0)$的格路径，该格路径由针对给定整数$k\geq 0$的水平阶$(k, 0)$、向上阶$(1,1)$和向下阶$(1,-1)$组成，其从不通过x轴下方。本文研究了$k$ -广义Dyck路的三种统计量：“$u$ -段数”、“内部$u$ -段数”和“$(u,h)$ -段数”.拉格朗日反演公式被用来表示的生成函数的$k$ -广义Dyck路径的数量根据统计作为部分贝尔多项式或潜在的多项式之和。许多重要的特殊情况被认为是导致一些令人惊讶的观察。此外，还建立了与$u$ -段和$(u,h)$ -段有关的计数结果，得到了许多新的组合恒等式，特别是Catalan数的两个新的表达式.
2008-05-09 math.CO
Combinatorics of the zeta map on rational Dyck paths
$(a,b)$路径$P$是保持在线$y=\frac{a}{b}x$上方的从$(0,0)$到$(b,a)$的晶格路径. zeta映射是一个奇怪的规则，映射到自身的$(a,b)$ -Dyck路径的集合，它是抽象的双射，我们提供的进展证明双射在本文中，通过显示，知道zeta的$P$和zeta的$¶$共轭是足以恢复$P$。当$ζ$是一个双射时，我们的方法在$(a,b)$路的集合上产生了一个保面积的对合$χ$，同时也给出了一个计算经典Dyck路上的$ζ^{-1}$的新方法.对于某些好的$(a,b)$路径，我们给出了$ζ^{-1}$和$χ$的显式公式，对于另外的$(a,b)$路径，我们讨论了如何归纳地计算$ζ^{-1}$和$χ$.我们还探讨了阿姆斯特朗的斜长统计量，并提出了两个新的组合方法计算zeta地图涉及激光和间隔相交。我们提供了一个组合统计$δ$，可用于递归计算$ζ^{-1}$，并表明$δ$是可计算的$ζ(P)$在福斯加泰罗尼亚的情况下。
2016-02-18 math.CO
Parallelogram polyominoes, partially labelled Dyck paths, and the Delta conjecture
我们引入了关于修饰的二次多项式的面积、反弹和dinv统计，并证明了它们的一些q，t-枚举数匹配$\langle Δ_{h_m} e_{n+1}, s_{k+1,1^{n-k}} \rangle$，以这种方式扩展了Aval等人的工作。此外，我们提供了一个双射之间的连接装饰的多角形和装饰的标记Dyck路径，这使我们能够证明的Delta猜想预测的系数$\langleΔ_{e_{m+n-k-1}}'e_{m+n}, h_m h_n \rangle$的组合解释（Haglund et al. 2015）。最后，我们在部分标记的Dyck路径上定义了一个统计量pmaj，它提供了$Δ_{h_{\ell}}Δ_{e_{n-k-1}}'e_n$的另一种几何组合解释，参见。（Haglund等人，2015年）。这是（D 'Adderio，Iraci 2017）的扩展摘要：即将出版的出版物将提供证明和其他细节和结果。
2017-11-10 math.CO
Parametric production matrices and weighted succession rules: a Dyck path example
我们引入了加权继任规则和参数生产矩阵--标准ECO方法继任规则和生产矩阵的单扩张。其目的是枚举关于几个变量的组合对象。我们考虑一个主要的例子，从理论的戴克路径。主要考虑的路径统计数据是峰值高度、上升高度和某些人行道。许多经典序列（如Catalan数、Motzkin数、Narayana数和Schroeder数）都包含在这个例子中。
2007-01-29 math.CO
Parallelogram polyominoes, partially labelled Dyck paths, and the Delta conjecture (FULL VERSION)
我们引入了关于修饰的二次多项式的面积、反弹和dinv统计，并证明了它们的一些q，t-枚举数匹配$\langle Δ_{h_m} e_{n+1},s_{k+1,1^{n-k}}\rangle$，以这种方式扩展了Aval等人的工作。此外，我们提供了一个双射之间的连接装饰的多角形和装饰的标记Dyck路径，这使我们能够证明的Delta猜想预测的系数$\langle Δ_{e_{m+n-k-1}}'e_{m+n},h_m h_n\rangle$的组合解释（Haglund et al. 2015）。最后，我们在部分标记的Dyck路径上定义了一个统计量pmaj，它提供了$Δ_{h_{\ell}}Δ_{e_{n-k-1}}'e_n$的另一种几何组合解释，参见。（Haglund等人，2015年）。这是（D 'Adderio，Iraci 2017）arXiv：1711.03923的完整版本。
2017-12-23 math.CO
Down-step statistics in generalized Dyck paths
本文研究广义Dyck路径中上步对间下行步的计数，通过双射和生成函数证明，发现与穿孔卷积码的联系，并给出Catalan数的新组合解释。
2022-05-13 cs.DM math.CO
Symmetry of the refined $q,t$-Catalan polynomials for $\vec{k}$-Dyck paths
Scuola Normale Superiore（高等师范学校）；Yunnan University of Finance and Economics（云南财经大学）
本文研究$\vec{k}$-Dyck路径中面积与深度的$q,t$-对称性，并给出更高阶$q,t$-Catalan多项式的另一种描述。
2026-05-11 math.CO
An area-bounce exchanging bijection on a large subset of Dyck paths
本文针对Dyck路径上交换面积与弹跳统计量的长期开放问题，在指数大的子集上构造了显式双射，并证明其自然性，同时给出存在性等价及和值计数结果。
2025-10-08 math.CO
Symmetric and asymmetric peaks or valleys in (partial) Dyck paths
Dyck路径中对称峰和非对称峰的概念是由Flórez和Ram 'ırez提出的，他们计算了给定长度的所有Dyck路径上的对称峰和非对称峰的总数。Elizalde通过给出多变量生成函数来推广他们的结果，该生成函数跟踪对称峰的数量和不对称峰的数量。Elizalde还考虑了类似的概念对称山谷的连分数方法。本文主要利用双射方法，对给定长度的所有（部分）Dyck路上的权值$k+1$的统计量“对称峰”、“非对称峰”、“对称谷”和“非对称谷”进行了计数.我们的结果改进了Flórez和Ram 'ırez以及Elizalde的一些结果。
2021-12-27 math.CO
A bijection on Dyck paths and its cycle structure
已知的Dyck路上的双射要么是对合，要么具有众所周知的难以处理的循环结构。在这里，我们提出了一个尺寸保持双射的Dyck路径的循环结构是服从完整的分析。特别地，每个周期具有2的幂的长度。一个新的表现形式的加泰罗尼亚数字标记的森林作物在途中一样，帕斯卡矩阵模2。我们使用双射来证明Motzkin数的两种已知表现形式的等价性。最后，我们考虑一些新的加泰罗尼亚表现的统计数据。
2006-11-22 math.CO
Meanders and Dyck-Path Billiards
本文通过Dyck路径网格多边形中的台球轨迹统计量traj建立对合，证明了半蜿蜒线与蜿蜒线按分支数奇偶分类的计数公式，并给出生成函数在(-1)处取值的结果。
2025-09-23 math.CO
Distribution of peak heights modulo $k$ and double descents on $k$-Dyck paths
我们证明了在给定长度的$k$ -Dyck路径中，在高度$i$模$k$处的峰数分布与$i\in[0,k-1]$无关，并且是峰总数分布的反转。此外，这些统计数据，连同双下降的数量，与它们的任何排列都是共同等分布的。我们也将这个结果推广到广义Motzkin路和广义选票路。
2023-02-27 math.CO
Bijections between directed animals, multisets and Grand-Dyck paths
$n$ -$[k]=\{1,2,\ldots, k\}$的多集由来自$[k]$的一组$n$元素组成，其中每个元素都可以重复。本文给出了无连续元素的$[k]$的$n$ -多集的二元生成函数.对于$n=k$，这些多重集具有与正方形晶格中的有向动物相同的枚举。然后，我们给建设性的双射之间的有向动物，没有连续的元素和Grand-Dyck路径避免模式$DUD$，我们展示了如何经典和新颖的统计运输这些双射。
2019-11-20 math.CO
Fibonacci Polyominoes: Refined Enumeration and Dyck-Path Bijections
Université Bourgogne Europe（勃艮第欧洲大学）；Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文研究 Fibonacci 多联骨牌的按面积和半周长枚举，通过生成函数得到含 Catalan 数的精细公式，并建立与带标签 Dyck 路径的双射，将统计量转化为峰与返回，还研究等高连续列并得到 Motzkin 数控制的精细化。
2026-09-25 math.CO
Nested quantum Dyck paths and nabla(s_lambda)
我们猜想了任意Schur函数在Bergeron-Garsia nabla算子下的像的单项式展开的一个组合公式。该公式涉及嵌套标记的Dyck路径加权面积和一个合适的“对角反转”统计。我们的模型包括作为特殊情况下，许多以前的连接纳布拉运营商的量子晶格路径。逆Kostka矩阵的组合学导致我们提出的公式当q=1时的一个初等证明。我们还概述了一种可能的方法来证明所有现存的纳布拉定理，减少一切建设的显式集合的签署，加权对象的符号反转对合。
2007-05-31 math.CO
Major Index on Catalan Combinatorics
本文研究了 $r$-Dyck 路径等 Catalan 组合对象上的逆序数和 major index 统计量，并证明了它们与 Dyck 路径上的对应统计量具有等分布性。
2024-07-24 math.CO
Symmetric peaks and symmetric valleys in Dyck paths
Dyck路径中对称峰和非对称峰的概念是由Flórez和Rodr 'ıguez提出的，他们计算了给定长度的所有Dyck路径上此类峰的总数。在本文中，我们推广他们的结果，给出多元生成函数，跟踪对称峰的数量和非对称峰的数量，以及这些峰的宽度。我们恢复了Denise和Simion的公式作为我们结果的一个特例。我们也考虑类似的，但更复杂的概念对称谷。我们发现一个连分数的表达的生成函数的Dyck路径的对称山谷的数量和它们的宽度的总和，这提供了一个意想不到的连接对称山谷和统计有序有根树。最后，我们列举了戴克路径的峰或谷的高度满足一定的单调性和单峰性条件，使用一个共同的框架来恢复一些已知的结果，并与我们的问题，某些列凸多项式类的枚举。
2020-08-13 math.CO
Restricted Dumont permutations, Dyck paths, and noncrossing partitions
我们完成了第二类杜蒙排列的枚举，避免了长度为4的模式，它本身就是第二类杜蒙排列。我们还考虑了一些组合统计Dumont排列避免某些模式的长度为3和4，并给出了一个自然的双射之间的3142-避免Dumont排列的第二类和非交叉分区，使用循环分解，以及双射之间的132-，231-和321-避免Dumont排列和Dyck路径。最后，我们列举杜蒙排列的第一类同时避免某些对4字母的模式和另一种模式的任意长度。
2006-10-06 math.CO
Using Symbolic Computation to Explore Generalized Dyck Paths and Their Areas
本文利用Groebner基算法与符号动态规划及微积分相结合，自动推导广义Dyck路径的生成函数及其面积幂次和的生成函数，从而获取面积统计信息。
2023-05-15 math.CO
Dyck Paths, Standard Young Tableaux, and Pattern Avoiding Permutations
我们提出了一个生成函数和一个封闭的计数公式在两个变量，列举了一个家庭的类的排列，避免或包含一个增加的模式的长度为3，并有一个规定的次数出现的另一种模式的长度为3。这给出了一些以前研究过的统计数据的改进，其中最著名的是努南的统计数据。该公式还示出了列举一个家庭的类的戴克路径和标准的杨表格，和双射之间的相应的类，这两个家庭的对象。最后，将所得结果用于解决某纸牌游戏的最优化问题。
2009-12-23 math.CO
Counting Dyck paths by area and rank
长度为$2n$的Dyck路的集合从具有通常偏序的非交叉划分的集合的双射继承了格结构。本文研究了Dyck路的两个统计量：\emph{area}（路下面积）和\emph{rank}（格上秩）的联合分布. Dyck路的面积已被研究，配对它与这个秩函数似乎是新的，我们得到了一个有趣的$(q,t)$ -加细的Catalan数。我们提出了相应的生成函数的两个分解：一个细化Carlitz和Riordan的身份;另一个细化的概念，$γ$ -非负性，是基于分解的晶格的非交叉分区由于Simion和Ullman。此外，比恩的对应关系和结果的树桩让我们得出结论，联合分布的面积和秩的戴克路径等于联合分布的长度和反射长度的排列低于$n$ -周期$(12...n)$的绝对顺序上的对称群。
2012-06-12 math.CO
Rational Catalan polynomials and rank words
对于$m,n$互质，我们在$(m,n)$ -有理Dyck路上引入了一个新的统计跳跃，并给出了一种计算dinv和skip统计量的快速方法.我们还引入了$(m,n)$ -秩字，它与$(m,n)$ -Dyck路径一一对应.在秩字中定义了秩对的等价关系，证明了等价类的个数是秩字的跳数和对应的Dyck路的跳数，并利用统计区域、dinv和skip构造了一个齐次生成函数$W_{m,n}(q,t,b)$，其中$W_{m,n}(q,t,1)=C_{m,n}(q,t)$是有理Catalan多项式.然后给出了$(3,n)$ -有理Catalan多项式的一个显式公式，并证明了它们是$q,t$ -对称的.
2016-11-15 math.CO
Simplicial Complexes of Antichains in Root Posets and Related Combinatorics of Dyck Paths
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）；Philipps-Universität Marburg（马尔堡菲利普大学）
本文研究根系偏序集反链构成的单纯复形的可壳性，证明其等价于根系为A_n、B_n、D_3或G_2，并利用f-和h-三角形给出Dyck路径的统计量，有理情形留作开放问题。
2026-09-15 math.CO math.RT
Decorated Dyck paths, the Delta conjecture, and a new q,t-square
我们通过引入两个新的统计量“bounce和bounce”来讨论Haglund、Remmel和Wilson（2015）和Zabrocki（2016）的Delta猜想框架中出现的装饰Dyck路径的组合学。然后，我们通过这种方式证明Haglund的q，t-Schroeder定理的修饰版本，回答Haglund，Remmel和Wilson（2015）中的一个问题，为它们的q，t-枚举数提供了体积公式。特别是，我们提供了Haglund，Remmel和Wilson（2015）和Zabrocki（2016）中所描述的对称性的代数和组合解释。最后，我们展示了这些结果与Can and Loehr（2006）的q，t-square定理（由Loehr and Warrington（2007）证明）之间的联系，得到了一个新的q，t-square，其在t=1/q的特化与经典的相同，并暗示了这种类型的更广泛的现象。
2017-09-25 math.CO
Enumeration of Dyck paths with air pockets
本文引入并研究了一类新的带气袋的组合Dyck路。我们展示了一个双射的无峰Motzkin路径，它传输几个模式的统计数据，并给出二元生成函数的分布模式的峰值，回报和金字塔。然后，我们推导出这些模式的普及和渐近期望，并指出金字塔的普及和一种特殊的封闭光滑自重叠曲线，斐波那契曲折的子集之间的联系。对带有气穴的非递减Dyck路径进行了类似的研究。
2023-03-06 cs.DM math.CO
Decorated Dyck paths, polyominoes, and the Delta conjecture
我们讨论了装饰Dyck路径和装饰Dyck多角形的组合，将[Haglund 2004]和[Aval et al. 2014]的主要结果扩展到装饰的情况。这特别解决了Haglund，Remmel和Wilson（2018）的Delta猜想的情况$\langle\cdot,e_{n-d}h_d\rangle$和$\langle\cdot,h_{n-d}h_d\rangle$。在此过程中，我们引入了一些新的统计量，制定了一些新的公式，证明了对称函数的一些新恒等式，并回答了文献中的一些开放问题（例如[Haglund et al. 2018]，[Zabrocki 2016]，[Aval et al. 2015]）。主要的技术工具是麦克唐纳多项式理论中的一个新的恒等式，它扩展了Haglund在[Haglund 2004]中的一个定理。这是arXiv：1712.08787和arXiv：1709.08736的编辑合并
2020-11-18 math.CO
Multiple pattern avoidance with respect to fixed points and excedances
本文研究了长度为3的模式的避免子集的排列中的统计量“不动点数”和“超越数”的分布。我们解决了所有的情况下，同时避免一个以上的模式，生成函数枚举这两个统计。某些情况下，被推广到任意长度的模式。为了避免一个单一的模式，我们给出部分结果。我们还描述了这些统计分布的对合避免任何子集的模式的长度为3。主要的技术是使用双射之间的模式，避免排列和某些种类的Dyck路径，在这样一种方式，我们研究的排列中的统计数据对应于Dyck路径的统计数据，很容易枚举。
2003-11-13 math.CO
More bijective Catalan combinatorics on permutations and on signed permutations
在本文中，我们构造双射之间的Dyck路径，非交叉分区，和231-避免的排列，发送Dyck路径上的面积统计的反转数的非交叉分区和231-避免的排列。这种双射有一个额外的性质，它同时发送Dyck路径上的主索引到非交叉分区和231-避免排列上的主索引和逆主索引之和。此外，我们提供了推广这些建设的签署置换组。
2013-10-25 math.CO
Heaps of pieces for lattice paths
本文引入格路径的I型与II型片段堆，建立对偶、双射及高维对应，并给出生成函数的行列式与显式公式。
2024-01-23 math.CO
Combinatorics of generalized Dyck and Motzkin paths
我们与周期性的广义Dyck和Motzkin路径的组合服从广义排斥统计粒子的簇系数，并获得明确的表达式的计数路径与固定数量的步骤的每种在每个垂直坐标。在分析中出现了一类整数路长的广义合成。
2022-07-15 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Area and water-capacity statistics for upper hulls of Dyck paths
University of Melbourne（墨尔本大学）；Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
研究Dyck路径在面积和蓄水容量双重约束下的计数，通过上壳分解得到耦合的面积-容量替换，给出精确的四变量高度展开，并证明长度半径由分母分支最小值决定。
2026-06-07 math-ph math.CO math.MP
How to decompose a permutation into a pair of labeled Dyck paths by playing a game
我们给出了长度为2n的置换和某些Dyck路径对与标签的下降步骤之间的双射。双射来自一个游戏，在这个游戏中，两个玩家从一组2n个项目中交替选择：排列编码了玩家对项目的偏爱序，而戴克路径编码了在最佳游戏下选择项目的顺序。我们列举排列的某些统计数据，AA反转和BB反转，这在游戏方面有自然的解释。给出了经典恒等式如\sum_p \prod_{i=1}^n q^{h_i-1} [h_i]_q = [1]_q [3]_q. [2n-1]_q，其中和是在所有长度为2n的Dyck路p上，h_i是p的下台阶的高度。
2013-06-28 cs.GT math.CO math.PR
Peaks and peak-nestings on unit interval graphs
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）；KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）
本文在单位区间图上引入峰嵌套统计量，通过Dyck路径与双色Motzkin路径的双射细化Touchard恒等式，研究各类子图的多项式性质，并联系格路径拟阵。
2026-09-30 math.CO
Shuffle-compatible permutation statistics II: the exterior peak set
本文证明外峰集统计（Epk）是洗牌兼容的，引入更强的 LR-洗牌兼容统计概念并证明 Epk 等满足该性质，还将相关概念与拟对称函数的 dendriform 结构关联。
2026-09-02 math.CO
The distribution of consecutive patterns of length 3 in $3\textrm{-}1\textrm{-}2$-avoiding permutations
利用Krattenthaler在$S_n$中的置换集$S_n(3\textrm{-}1\textrm{-}2)$之间的双射，避开经典模式$3\textrm{-}1\textrm{-}2$和Dyck $n$ -路，研究了长度为3的每个连续模式在集合$S_n(3\textrm{-}1\textrm{-}2)$上的分布.我们表明，这些连续的模式分裂成3个等分布类，通过对合的Dyck路径由于E. Deutsch。此外，我们国家的等距分布定理有关的三胞胎的统计相对于出现的连续模式的长度为3的排列。
2009-04-01 math.CO
Bijections and congruences involving lattice paths and integer compositions
该研究通过建立不同变体Dyck路径与整数分拆的新双射，解释计数公式4^{n-1}的组合意义，推导路径同余与分拆奇偶性结果，还揭示其与多个组合数学对象的关联，深化了相关结构认知。
2024-03-08 math.CO math.NT
k-non-crossing trees and edge statistics modulo k
本文以$k$-非交叉树替代$k$-Dyck路径，通过子树对称性论证及借鉴Flajolet和Noy的方法，重新研究了模$k$的下降步统计问题。
2024-03-20 math.CO
Total occurrence statistics on restricted permutations
我们研究了几个vincular（也称为广义）模式和其他统计量（如major index和Denert统计量）在避免长度为3的模式的排列上的出现总数，扩展了Bona（2010，2012）和Homberger（2012）的结果。特别是，对于2-3-1-避免排列，我们找到了长度为3的任何纽模式的出现总数。在某些情况下，答案是由包含二项式系数的简单表达式给出的。我们使用的工具是双射与Dyck路径，生成函数和块分解的排列。
2013-05-14 math.CO
The degree of symmetry of lattice paths
一个组合对象的对称度，例如一个格点路径，是对象对称程度的度量。它的范围通常从零（如果对象是完全不对称的）到它的大小（如果它是完全对称的）。我们研究的行为，这一统计的戴克路径和大戴克路径，对称性所描述的反射沿垂直线通过他们的中点;分区，与共轭对称性;和某些组合物解释为条形图。我们发现这些对象的生成函数的表达式相对于它们的对称度，和它们的半长或半周长，推断在大多数情况下，渐近的对称度有一个瑞利或半正态极限分布。由此产生的生成函数通常是代数的，但Dyck路径是一个明显的例外，我们根据一个函数方程推测它是D-有限的（但不是代数的），这个方程是我们用双射在平面上行走得到的。
2021-07-14 math.CO
ad-nilpotent $\frak b$-ideals in sl(n) having a fixed class of nilpotence: combinatorics and enumeration
本文研究了$sl(n+1,\Bbb C)$的Borel子代数的幂零理想的组合.我们提供了一个归纳的方法来计算类的零这些理想和公式的理想的数量有一个给定的类的零。基于ad-幂零理想幂零理想与Dyck路之间的一个显著的双射，我们研究了这些结果与Dyck路的组合数学之间的关系.最后，我们提出了Catalan数$C_n$的（q，t）-模拟.这些（q，t）-Catalan数计数一方面广告-幂零理想方面的维数和类的零，另一方面承认的解释，在自然统计的戴克路径。
2000-04-17 math.CO math.RA
On the area-depth symmetry on Łukasiewicz paths
Univ Gustave Eiffel（古斯塔夫·埃菲尔大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；LIGM（信息与机器学习实验室）
通过Łukasiewicz路径与平面树之间的经典双射，证明了固定第一步和最后一步的Łukasiewicz路径上area和depth统计量具有联合等分布性，从而解决了Qu和Zhang（2025）提出的猜想。
2026-06-26 math.CO
The $\mathbf{uvu}$-avoiding $(a,b,c)$-Generalized Motzkin paths with vertical steps: bijections and statistic enumerations
广义Motzkin路径，简称G-Motzkin路径，长度为$n$，是XOY平面第一象限中从$(0, 0)$到$(n, 0)$的格点路径，由上台阶$\mathbf{u}=(1, 1)$、下台阶$\mathbf{d}=(1, -1)$、水平台阶$\mathbf{h}=(1, 0)$和垂直台阶$\mathbf{v}=(0, -1)$组成. $(a,b,c)$-G-Motzkin路径是加权的G-Motzkin路径，使得$\mathbf{u}$ -步骤、$\mathbf{h}$ -步骤、$\mathbf{v}$ -步骤和$\mathbf{d}$ -步骤分别由$1, a, b$和$c$加权。本文首先给出了长度为$n$的$\mathbf{uvu}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与$(a,b)$-Schröder路集、长度为$2n$的$(a+b,b)$-Dyck路集、长度为$n$的$\{\mathbf{uvu, uu}\}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与长度为$n$的$(a+b,ab)$-Motzkin路集之间的双射，在以$a$加权的$\mathbf{h}$ -步开始的长度为$n+1$的$\{\mathbf{uvu,uu}\}$ -避免$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路径的集合与长度为$2n+2$的$(a,b)$-Dyck路径的集合之间。…
2022-01-23 math.CO
On Semisymmetric Height and a Multidimensional Generalization of Weighted Catalan Numbers
本文引入了多维半对称加权卡特兰数及其变体，通过半对称高度定义，并证明了其模数的周期性和推导了相关公式，还推导了多维设置下的新类比。
2026-04-06 math.CO
q-Narayana numbers and the flag h-vector of $J({\bf 2} \times {\bf n})$
纳拉亚纳的数字是$N(n,k) = {1 \over n}{n \choose k}{n \choose {k+1}}$。有几个自然统计的戴克路径的分布由N（n，k）。通过对$J({\bf 2} \times {\bf n})$的标志h向量的不同计算，证明了Narayana统计量的等分布性.在这个过程中，我们发现了新的Narayana统计量，并提供了共同统计量，其中所讨论的Narayana统计量具有由Fürlinger和Hofbauer q-Narayana数给出的分布。我们还解释了h-向量的半标准的杨tableaux，这使我们能够表示的q-纳拉亚纳数的舒尔函数。
2002-11-20 math.CO
Chebyshev Polynomials and Statistics on a New Collection of Words in the Catalan Family
最近，一类新的词L_n被证明与一个具有第（n-1）阶Catalan数基数的长为2n的Dyck路子集成双射.在这里，我们考虑L_n上记录字母i出现次数的统计。在i = 0和i = 1的情况下，我们能够确定L_n中含有给定数目的0或1的成员数的显式表达式，推广了先前的结果。为此，我们利用递归推导出母函数满足的函数方程，并通过采用切比雪夫多项式的新方法求解该方程。在一般情况下，给出了递推公式和母函数公式。
2014-07-14 math.CO
The $(m,n)$-rational $q, t$-Catalan polynomials for $m=3$ and their $q,t$-symmetry
我们引入了一个新的统计，跳过，合理的$(3,n)$ -戴克路径，并定义了一个标记的秩字为每个路径时，$n$不是3的倍数。如果给定一个有效统计量的三元组（面积，跳过，dinv），我们有一个算法来构造对应于三元组的标记秩字。通过考虑所有有效的三元组，我们给出了当$m=3$时$(m,n)$ -有理$q,t$ -Catalan多项式的一个显式公式.然后在统计数据的三元组（area，skips，dinv）上有一个自然的双射，它在固定skip的同时交换统计数据area和dinv。从而证明了$m=3$的$(m,n)$ -有理$q, t$ -Catalan多项式的$q,t$ -对称性.
2015-10-13 math.CO
Eulerian polynomials and descent statistics
我们证明了几个身份表示多项式计数排列的各种下降统计欧拉多项式，Stembridge，彼得森和Brändén的结果的延伸。此外，我们发现$q$ -指数母函数的$q$ -这些下降统计多项式的类似物，也保持跟踪的反转数或逆主指数。我们还提出了有关这些下降统计多项式的B型欧拉多项式和标志下降多项式的符号置换的负字母的数量的改进的身份。我们的方法包括置换枚举技术涉及非交换对称函数，Brändén的修改后的Foata-Strehl行动，和一个群作用的彼得森签署置换。值得注意的是，修改后的Foata-Strehl行动之间的Narayana多项式和联合分布的峰值数和下降数超过231-避免排列，我们也解释在二叉树和戴克路径类似的关系。
2017-05-11 math.CO
