Boundary of central tiles associated with Pisot beta-numeration and purely periodic expansions
本文研究了当β是一个Pisot数（不应该是一个单位）时与β变换有关的平铺。然后将所得结果应用于研究具有纯周期β-展开的有理数的集合。特别关注的是一些二次的例子。
2007-10-18 math.DS math.NT
Distributions of full and non-full words in beta-expansions
本文全面刻画了$β$ -展开式的全字结构和非全字结构。我们得到了同阶容许字中满字和非满字的所有最大游程的精确长度。
2018-03-23 math.DS math.NT
Counting Beta Expansions and the Absolute Continuity of Bernoulli Convolutions
我们研究了长度为n的词的数量的典型增长率，它可以扩展到x的β-扩展。在一般情况下，我们给出了一个下界的增长率，而在与参数β相关的伯努利卷积是绝对连续的情况下，我们能够精确地给出增长率。这给出了Bernoulli卷积绝对连续的新的充要条件。
2012-03-26 math.DS math.NT
Finite beta-expansions with negative bases
有限性是β-展开式的一个重要算术性质。证明了一类具有负有限性的Pisot数$β$，即有限$(-β)$ -展开式的集合等于$\mathbb{Z}[β^{-1}]$ .对于一类包含Tribonacci数的数，我们计算了$(-β)$ -整数加、减所产生的小数部分的最大长度.我们也给出了排除负有限性的条件。
2017-01-17 math.DS math.NT
Hausdorff dimension of univoque sets and Devil's staircase
我们固定一个正整数$M$，我们认为在任意实基$q>1$在字母表$\{0,1,...,M\}$的扩展。我们用$U_q$表示具有唯一展开式的实数集。在前人研究的基础上，我们给出了$U_q$的豪斯多夫维数$D(q)$对每个$q\in (1,\infty)$的计算公式.进一步证明了维数函数$D:(1,\infty)\to[0,1]$是连续的，且有界变差.此外，它在$(q',\infty)$中具有魔鬼阶梯行为，其中$q'$表示Komornik-Loreti常数：尽管对于所有$q>q'$都有$D(q)>D(q')$，但我们有$D'<0$ a.e.在$(q',\infty)$中。在证明过程中，我们改进和推广了Erdas等人关于$β$ -展开式中存在大零点块的定理，并确定了所有$M$的Lebesgue测度和$x=1$有唯一展开式的基集的豪斯多夫维数.
2015-03-02 math.DS math.NT
A family of non-sofic beta expansions
设β_n>1是x^n-x-1的根，其中n= 4，5，.我们将证明β_n不是Parry数，即，相关联的β变换不对应于sofic符号系统。最后一节给出了一个概括。
2014-01-24 math.DS math.NT
The growth rate and dimension theory of beta-expansions
在最近的一份文件冯和Sidorov他们表明，为$β\in(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2})$的一套$β$ -扩展指数增长的每一个$x\in(0,\frac{1}{β-1})$。在本文中，我们将进一步研究这种增长率。我们也从维数论的角度考虑了$β$ -展开集.
2012-10-15 math.DS math.NT
On faithfulness and DP-transformations generated by arithmetic Cantor series expansions
Dragomanov Ukrainian State University（德拉戈马诺夫乌克兰国立大学）；Institute for Mathematics of NASU（乌克兰国家科学院数学研究所）
本文研究了由算术康托系列展开生成的DP变换的信仰度条件及其在单位区间上的维数保持特性。
2026-01-12 math.DS math.NT
On the escape rate of unique beta-expansions
令$1<β\leq 2$。众所周知，在具有唯一$β$展开的$% [0,1/(β-1)]$中的点的集合，换句话说，在贪婪$β$变换下其轨道根据$β$逃离洞的那些点是零勒贝格测度。本文研究了相应的逃逸率。本文建立了一个联系univoque集的豪斯多夫维数与逃逸率的公式。证明了该速率关于$β$形成魔鬼阶梯函数。
2016-11-21 math.DS math.NT
Transcendence of dendric beta-expansions with pure discrete spectrum
Université Paris Cit\'e, CNRS, IRIF, F-75013 Paris, France
本文证明了在特定组合条件下，代数基β的树状β展开数具有超越性，涵盖Arnoux-Rauzy和Cassaigne-Selmer序列，证明借助Rauzy分形与子空间定理。
2026-10-21 math.DS math.NT
Hausdorff Dimension of Cantor Series
1996年Y. Kifer得到了Cantor级数展开式中数字的频率所对应的点集的豪斯多夫维数的变分公式。在本说明中，我们提出了一个略有不同的方法来解决这个问题，使我们能够解决的变分问题的Kifer公式。
2009-11-19 math.DS math.NT
Univoque bases and Hausdorff dimension
给定正整数$M$和实数$q >1$，实数$x$的\emph{$q$-expansion}是具有$(c_i) \in \{0,\ldots,M\}^\infty$的序列$(c_i)=c_1c_2\cdots$，使得\[x=\sum_{i=1}^{\infty} c_iq^{-i}.\]众所周知，如果$q \in (1,M+1]$，则每个$x \in I_q:=\left[0,M/(q-1)\right]$具有$q$ -展开。令$\mathcal{U}=\mathcal{U}(M)$为$1$具有唯一$q$ -展开的\emph{univoque bases} $q>1$的集合。本文的主要目的是提供$\mathcal{U}$的新的特征，并表明，豪斯多夫维数的数字集$x \in I_q$与一个唯一的$q$ -扩展的变化最大，如果$q$“穿越”univoque基地。用$\mathcal{B}_2=\mathcal{B}_2(M)$表示$q \in (1,M+1]$的集合，使得存在恰好具有两个不同$q$ -展开式的数。作为我们结果的副产品，我们得到了Sidorov（2009）的一个问题的答案，并证明了\[\dim_H(\mathcal{B}_2\cap(q',q'+δ))>0\quad\textrm{for any}\quad δ>0,\]，其中$q'=q'(M)$是Komornik-Loret…
2017-04-02 math.DS math.NT
Hausdorff dimension of intersections between the Jarník sets and Diophantine fractals
Keio Institute of Pure and Applied Sciences (KiPAS), Department of Mathematics, Keio University（庆应义塾大学纯应用科学研究所，数学系）
研究了Jarník集与迪奥菲内分数集合交集的Hausdorff维度，证明其为满维，并指出无理数指数大于2且部分商有界的集合维度为1。
2025-12-29 math.DS math.NT
Digit frequencies of beta-expansions
令$β>1$为非整数。首先我们证明了勒贝格几乎每一个数都有一个给定频率的$β$ -展开当且仅当勒贝格几乎每一个数都有无穷多个相同给定频率的$β$ -展开。然后我们推出Lebesgue几乎每一个数都有无穷多个平衡的$β$ -展开式，这里有限字母表$\{0,1,\cdots,m\}$上的无穷序列称为平衡的，如果对于所有$k\in\{0,1,\cdots,m\}$，数字$k$的频率等于数字$m-k$的频率.最后，我们考虑可变频率，证明了对于每个伪黄金比例$β\in(1,2)$，存在一个常数$c=c(β)>0$，使得对于任何$p\in[\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}+c]$，Lebesgue几乎每个$x$都有无穷多个零频率等于$p$的$β$ -展开式.
2019-10-08 math.DS math.NT
Hausdorff dimension of the multiplicative golden mean shift
我们计算的豪斯多夫维数的“乘法黄金平均移位”定义为一组的所有实数在$[0,1]$的二进制扩展$(x_k)$满足$x_k x_{2k}=0$的所有$k\ge 1$，并表明它是小于Minkowski维数。
2011-05-20 math.DS math.NT
Growth rate for beta-expansions
令$β>1$和$m>\be$为整数。每个$x\in I_\be:=[0,\frac{m-1}{β-1}]$可以以\[ x=\sum_{k=1}^\infty ε_kβ^{-k}, \]的形式表示，其中$ε_k\in\{0,1,...,m-1\}$用于所有$k$（$x$的$β$ -扩展）。已知a.e. $x\in I_β$具有连续的不同的$β$ -扩展。本文证明了：若$β$是Pisot数，则对a.e. $x$这个连续体具有相同的增长率。我们还将此速率链接到由$β$参数化的伯努利卷积的勒贝格通用局部维数。当$β<\frac{1+\sqrt5}2$时，我们证明了对于每个内部$x$，$β$ -展开的集合都是指数增长的.
2009-12-23 math.DS math.NT
Beta-expansions of $p$-adic numbers
本文在$p$ -进整数环$\mathbb{Z}_p$中引入β-展开式。我们用最终的周期和有限的扩展来表示这些数的集合。
2014-01-29 math.DS
The multifractal spectra of planar waiting sets in beta expansions
设$β>1$为实数。本文确定了具有指定数量等待时间指标的数对在$β$ -展开式中的Hausdorff维数。更精确地，令$I$为单位间隔$[0,1)$，并将$\underline{R}^β(x,y)$和$\overline{R}^β(x,y)$分别写为$β$ -展开式中的$x$的$y$的下定量等待时间指示符和上定量等待时间指示符。通过\[E_β(a,b)=\left\{(x,y)\in I^2\colon\underline{R}^β(x,y)=a,\overline{R}^β(x,y)=b\right\}.\]定义平面上的等待集，其中$0\leq a\leq b\leq\infty$，则对于任何一对数$a$和$b$，集合$E_β(a,b)$总是Hausdorff维数2。另外，在最后一节中也给出了这个结果的一些推广。
2018-06-22 math.DS
The exceptional sets on the run-length function of beta-expansions
令$β> 1$和游程函数$r_n(x,β)$是$x\in[0,1]$的$β$展开式中前n位中连续零的最大长度。研究了例外集$$E_{\max}^φ=\left\{x \in [0,1]:\liminf_{n\rightarrow \infty}\frac{r_n(x,β)}{φ(n)}=0, \limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{r_n(x,β)}{φ(n)}=+\infty\right\}$$，其中$φ: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$是一个单调递增的函数，且具有$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }φ(n)=+\infty$ .根据$φ$的增长率，证明了集合$E_{\max}^φ$是空的或在$[0,1]$中具有满Hausdorff维数和残差.
2017-04-05 math.DS math.NT
On the average growth exponent for beta-expansions
令$\be\in(1,2)$。每个$x\in I_\be:=[0,\frac{1}{\be-1}]$可以以\[ x=\sum_{k=1}^\infty a_k\be^{-k}, \]的形式表示，其中$a_k\in\{0,1\}$用于所有$k$（$x$的$\be$扩展）。在\cite{S}中显示，a.e. $x\in I_\be$具有连续的不同的$\be$ -展开。在本文中，我们表明，对于一个通用的$x$，这个连续有一个相同的增长率，即，一般的$\be$ -展开式表现出遍历行为。当$\be<\frac{1+\sqrt5}2$时，我们证明了对于每个$x\in(0,\frac{1}{\be-1})$，$\be$ -展开的集合呈指数增长。特别注意的情况下，$\be=\frac{1+\sqrt5}2$，我们明确计算的平均增长指数，并应用此结果来评估相应的伯努利卷积在勒贝格通用$x$的局部尺寸。
2008-09-24 math.DS math.NT
Periodic unique beta-expansions: the Sharkovskii ordering
令$β\in(1,2)$。每个$x\in[0,\frac{1}{β-1}]$可以以\[ x=\sum_{k=1}^\infty ε_kβ^{-k}, \]的形式表示，其中$ε_k\in\{0,1\}$用于所有$k$（$β$ -$x$的扩展）。如果是$β>\frac{1+\sqrt5}{2}$，那么，众所周知，总是存在具有唯一的$\be$ -展开的$x\in(0,\frac1{β-1})$。在本文中，我们研究（纯）周期唯一的$β$ -扩展，并表明，对于每个$n\ge2$存在$β_n\in[\frac{1+\sqrt5}{2},2)$，使没有唯一的周期$β$ -扩展的最小周期$n$的$β\leβ_n$和至少一个这样的扩展$β>β_n$。此外，我们证明了$β_k<β_m$当且仅当$k$在Sharkovski \u ı排序意义下小于$m$。我们给出两个证明这个结果，其中之一是独立的，另一个链接到一个家庭的梯形映射的动力学。
2008-08-04 math.DS math.NT
Rotational beta expansion: Ergodicity and Soficness
研究了平面上一类由旋转和扩张常数$β$的扩张相似合成而成的分段扩张映射。我们给出了两个仅依赖于基本域的常数$B_1$和$B_2$，如果$β>B_1$，则扩张映射有唯一的绝对连续不变概率测度，如果$β>B_2$，则它等价于$2$ -维Lebesgue测度.当$\cos(2π/q) \in \mathbb{Q}(β)$和$β$为Pisot数时，将$q$ -单位根$ζ$与$\mathbb{Q}(ζ,β)$中的所有参数限定为旋转，给出了一个sofic系统.通过给出$q=5$的一族非sofic系统，证明了条件$\cos(2π/q) \in \mathbb{Q}(β)$是必要的.
2015-09-15 math.DS math.NT
Multiple tilings associated to d-Bonacci beta-expansions
设$β\in(1,2)$是一个Pisot单位，并考虑对称的$β$ -展开.给出了相应的Rauzy分形构成压缩超平面的拼接的一个充要条件。对于$β$，$d$ -Bonacci数，即，Pisot根的$x^d-x^{d-1}-\dots-x-1$，我们表明，Rauzy分形形成一个多重平铺覆盖度$d-1$。
2018-03-14 math.DS math.MG math.NT
On finitely many base $q$ expansions
本研究找到$(1,2)$内可数多个显式区间，使区间内任意基$q$下恰有$m$个$q$展开的点集非空且具正Hausdorff维数，方法基于Falconer和Yavicoli的紧子集交维数定理。
2025-01-16 math.DS math.NT
Beta-expansions, natural extensions and multiple tilings associated with Pisot units
从Rauzy和Thurston的工作中，我们知道如何利用Pisot单位$β$的共轭和贪婪$β$ -变换构造欧几里得空间的（多重）平铺.在本文中，我们考虑不同的转换生成基$β$中的扩展，包括相关的子移位不是sofic的情况。在某些温和的条件下，我们表明，他们给多个平铺。我们也给出了平铺性质的一个充要条件，推广了贪婪$β$ -展开的弱有限性（W）.值得注意的是，当$β$是最小的Pisot数或Tribonacci数时，对称的$β$变换不满足这个条件。这意味着Pisot猜想不能推广到对称的$β$ -变换。与这些（多重）镶嵌密切相关的是变换的自然扩张，它有许多好的性质：它们在勒贝格测度下是不变的;在一定条件下，它们提供环面的马尔可夫分割;它们用纯周期性扩展来表征数字，并且它们允许在不知道其他数字的情况下确定扩展中的任何数字。
2010-01-29 math.DS math.NT
Purely periodic beta-expansions in the Pisot non-unit case
众所周知，具有纯循环小数展开式的实数是有理数，在约简时，分母与10互质。本文的目的是将这一结果推广到β-展开式，其Pisot基β不一定是单位：我们刻画了在这样一个基中具有纯周期展开式的实数;这个特征是根据一个明确的集合给出的，称为广义Rauzy分形，它是一个非零测度的图定向自仿射紧子集，属于欧氏空间和p-adic空间的直积.
2004-07-15 math.DS
A generalization of the Takagi function for beta-expansions
Tokyo Gakugei University（东京学艺大学）
研究β展开中塔克agi函数的泛化，证明其在任何α∈(0,1)下点wise α-Holder连续，但非Lipschitz连续，基于数字频率集的分形分析。
2026-04-20 math.DS
Hausdorff dimensions of perturbations of a conformal iterated function system via thermodynamic formalism
本文研究了共形迭代函数系统（CIFS）的小扰动，它是通过增加或删除一些生成元而产生的，这些生成元与原系统具有小的导数。我们建立了一个公式，利用转移运营商产生的热力学形式主义la Sinai-Ruelle-Bowen，这可能是解决表示豪斯多夫维数的扰动极限集的系列形式：无论是确切的，或作为一个渐近展开。重要的应用包括加强亨斯利的渐近公式从1992年，这改善了早期的界限，由于贾尼克和库兹韦尔，为豪斯多夫维数的一组实数，其连分数扩展的部分子元都是$\leq N$ ;以及其对应的实数的部分子元都是$\geq N$由于良好从1941年。
2023-01-04 math.DS math.FA math.NT
Inhomogeneous and simultaneous Diophantine approximation in beta dynamical systems
本文研究β动力系统中的非齐次同时丢番图逼近。对于$β>1$，让$T_β$是$[0,1]$上的$β$ -转换。我们确定了集合\[\left\{(x,y)\in [0,1]^2: |T_β^nx-f(x,y)|<φ(n)\text{ for infinitely many }n\in\mathbb{N}\right\},\]的Lebesgue测度和Hausdorff维数，其中$f:[0,1]^2\to [0,1]$是Lipschitz函数，$φ$是$\mathbb{N}$上的正函数.设$β_2\geq β_1>1$，$f_1,f_2:[0,1]\to [0,1]$是两个Lipschitz函数，$τ_1,τ_2$是$[0,1]$上两个正连续函数.我们还确定了集合\[\left\{(x,y)\in [0,1]^2: \begin{aligned}&|T_{β_1}^nx-f_1(x)|<β_1^{-nτ_1(x)}\\ &|T_{β_2}^ny-f_2(y)|<β_2^{-nτ_2(y)}\end{aligned}\text{ for infinitely many }n\in\mathbb{N}\right\}.\]的Hausdorff维数在某些附加的假设下，还确定了集合\[\left\{(x,y)\in [0,1]^2: \begin{aligned}&|T_{β_1}^nx-g_1(…
2022-11-11 math.CA math.DS
Hausdorff Dimension and Hausdorff Measure for Non-integer based Cantor-type Sets
我们考虑数字删除集或Cantor型集与$β$ -扩展。我们计算了这些集合的豪斯多夫维数$d$，并证明了$d$关于$β$是连续的.这些集合的$d$维Hausdorff测度是有限的正测度.
2007-06-29 math.DS math.MG
McMullen's game for equicontinuously-twisted badly approximable points in continued fractions and beta expansions
University of North Texas（北德克萨斯大学）
本文研究了在beta变换或Gauss映射系统中，等连续序列下badly approximable点的McMullen游戏性质及Hausdorff维数。
2025-12-03 math.DS
Linear recursive odometers and beta-expansions
本文的目的是研究与$β$ -展开式有关的不同性质之间的联系。特别是，两个条件之间的关系，都确保纯离散谱的里程表，进行了分析。第一个是所谓的假设B的$G$ -里程表和第二个表示为（QM），它已被引入的框架中的平铺相关的Pisot $β$ -编号。
2016-04-26 math.DS
Hausdorff dimension of double base expansions and binary shifts with a hole
Shenzhen University（深圳大学）；Université Paris Cité, CNRS, IRIF（巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，IRIF）
本文研究了双基展开和二进制移位中存在孔洞的动力系统，推导了豪斯多夫维数和熵的显式公式，并证明了其连续性。
2026-02-21 math.DS math.MG math.NT
Beta-expansions of rational numbers in quadratic Pisot bases
研究了具有纯周期Rényi $β$ -展开的有理数.对于基$β$满足$β^2=aβ+b$且$b$除$a$，我们给出了$γ(β)=1$的一个充要条件，即，所有具有$\gcd(q,b)=1$的有理数$p/q\in[0,1)$都有纯周期的$β$ -展开式。本文给出了一个确定所有二次Pisot数$β$的$γ(β)$值的简单算法。
2014-11-10 cs.DM math.CO math.DS
Hausdorff dimension of Gauss--Cantor sets and two applications to classical Lagrange and Markov spectra
本文研究了实数直线的两个著名子集，即Lagrange谱$L$和Markov谱$M$ .我们的第一个结果，定理2.1，提供了对最小值$t_1$的严格估计，使得马尔可夫谱$(-\infty,t_1)\cap M$的部分具有豪斯多夫维数$1$。我们的第二个结果定理3.1给出了集差$M\setminus L$的豪斯多夫维数的一个新的上界。我们的方法结合了新的事实结构的经典谱与更精细的估计的豪斯多夫维数的高斯-康托集的连分数扩展，其条目满足适当的限制。
2022-08-30 math.DS math.NT
Invariant measure of rotational beta expansion and a problem of Tarski
研究了扩张相似模格定义的$\mathbb{R}^m$中分段可扩映射的不变测度。利用Bang关于Tarski的一个问题的结果，证明了当相似比不小于$m+1$时，在基本区上的一些温和的假设下，它有一个等价于$m$维勒贝格测度的绝对连续不变测度.将该方法应用于$m=2$的情形，得到了Akiyama-Caalim：2015中结果的另一种证明，并作了一些改进.
2016-11-28 math.DS math.MG math.NT
The difference between the Hurwitz continued fraction expansions of a complex number and its rational approximations
对于正则连分数，若实数$x$及其有理逼近$p/q$满足$|x-p/q|<1/q^2$，则在删除$p/q$的最后一个整数的部分行列式后，剩余的部分行列式序列是$x$的前缀.在本文中，我们表明，情况是完全不同的，如果我们考虑一个复数的Hurwitz连分数展开及其有理逼近。更具体地说，我们考虑的集合$E(ψ)$的复数，这是很好地近似与给定的绑定$ψ$，并有很大不同的Hurwitz连分数展开，从他们的有理逼近。确定了这类集合的Hausdorff维数和packing维数。证明了对于任何给定的逼近界$ψ$，它的填充维数总是满的，并且它的Hausdorff维数等于复数的$ψ$ -可逼近集$W(ψ)$的Hausdorff维数.作为结果，我们还得到了经典Jarnik定理在实际情况下的一个类似。
2021-04-26 math.DS math.NT
Hausdorff dimension for the set of points connected with the generalized Jarník-Besicovitch set
在这篇文章中，我们的目标是研究点集$x \in [0,1)$的豪斯多夫维数，使得对于任何$r\in\mathbb{N},$ \begin{align*} a_{n+1}（x）a_{n+2}（x）\cdots a_{n+r}（x）\geq e^{τ（x）（h（x）+ \cdots +h（T^{n-1}（x）} {align*}对于无穷多个$n\in\mathbb{N},$成立，其中$h$和$τ$是正连续函数，$T$是高斯映射，$a_n(x)$表示$x$在其连分式展开中的$n$次偏商。通过适当地选择$r$，$τ(x)$和$h(x)$，我们得到了经典的Jarnik-Besicovitch定理以及Wang-Wu-Xu，Wang-Wu，Huang-Wu-Xu和Hussain-Kleinbock-Wadleigh-Wang的较新结果.
2020-10-16 math.DS math.NT
Rigorous effective bounds on the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets: a hundred decimal digits for the dimension of $E_2$
我们证明了[13]中利用动力系统的周期点来近似动态定义的Cantor集的豪斯多夫维数的算法可以用来建立维数的完全严格的高精度界。这些严格的估计的有效性示出的康托集组成的连分数扩展与限制数字。例如，集合$E_2$（其连分数展开式仅包含数字1和2的实数）的豪斯多夫维数可以被严格地近似，精确度超过100个小数位，使用最多25的周期点。建立严格维数界的方法涉及到与允许的连分数位数相关联的映射的全纯扩张，由这些映射收缩的适当圆盘，以及作用于该圆盘上的解析函数的Hilbert Hardy空间的相关转移算子。我们介绍的方法，严格限制的近似数的转移算子，这导致有效的估计泰勒系数的相关行列式，因此明确的界限上的豪斯多夫维数。
2017-12-06 math.DS math.FA math.NT
Dimensions of infinitely generated self-affine sets and restricted digit sets for signed Lüroth expansions
Institute of Mathematics, Universiteit Leiden（莱顿大学数学研究所）；School of Mathematics, University of Birmingham（伯明翰大学数学学院）；Department of Mathematics and Statistics, University of Exeter（埃克塞特大学数学与统计系）
本文研究了无限生成自仿集的维度特性，通过分析带符号卢罗思展开的受限数字集，揭示了仿射维度与豪斯多夫维度之间的关系及完整维度谱的条件。
2024-04-16 math.DS math.MG math.NT
Entropy, topological transitivity, and dimensional properties of unique $q$-expansions
设$M$为正整数，$q \in(1,M+1].$为正整数，我们考虑实数在基$q$上在字母表$\{0,\ldots, M\}$上的展开.特别地，我们研究了具有唯一$q$-展开的实数集$\mathcal{U}_{q}$和相应序列集$\mathbf{U}_q$。其显示于（Komornik et al，2017 Adv. Math.）将$\mathcal{U}_q$的拓扑熵与每个$q\in(1, M+1]$相关联的函数$H$是魔鬼楼梯。本文明确地确定了$H$的平台，并刻画了$q$的分支集$\mathcal E$，其中函数$H$不是局部常数。此外，我们还证明了$\mathcal E$是一个满Hausdorff维数的Cantor集。我们还研究了与开动力系统有密切联系的自然子移位$(\mathbf{V}_q, σ),$的拓扑传递性。最后证明了对于所有的$q\in(1,M+1]$，$\mathcal{U}_q$的Hausdorff维数和盒维数是一致的.
2017-08-21 math.DS math.NT
On the continuity of the Hausdorff dimension of the univoque set
在最近的一篇论文[Adv. Math. 305：165- 196，2017]中，Komornik等人~证明了在（非整数）基$q$中具有唯一展开式的数的集合$\mathcal{U}_q$的豪斯多夫维数的一个长序公式，并证明了这个豪斯多夫维数在$q$中是连续的.不幸的是，他们的证明包含了一个似乎很难修复的漏洞。本文给出了一个完全不同的证明这些结果，使用更直接的组合方法。
2018-04-09 math.DS
Dynamics of Ostrowski skew-product: I. Limit laws and Hausdorff dimensions
本研究利用转移算子研究Ostrowski斜积动力系统，证明其存在具分段全纯密度的绝对连续不变测度与指数混合性，推导了算术随机变量的中心极限定理，并得到有界数字集Hausdorff维数的Bowen–Ruelle型谱隐式估计。
2023-07-18 math.DS math.NT
The Multiplicative golden mean shift has infinite Hausdorff measure
在早期的工作中，与R. Kenyon，我们计算了定义为[0，1]中所有实数的集合的“乘性黄金平均移位”的豪斯多夫维数，这些实数的二进制展开（x_k）满足x_k x_{2k} =0，对于所有k= 1，2.这里我们证明了这个集合在其维数上具有无穷的Hausdorff测度。在规范的Hausdorff测度是无限的方面也得到了一个更精确的结果。
2012-04-18 math.DS
Intersections of homogeneous Cantor sets and beta-expansions
设$Γ_{β,N}$是具有$β\in(1/(2N-1),1/N)$的$N$ -部分齐次Cantor集.任何带有$j_\ell\in\{0,\pm 1,...,\pm(N-1)\}$的字符串$(j_\ell)_{\ell=1}^\N$，使得$t=\sum_{\ell=1}^\N j_\ellβ^{\ell-1}(1-β)/(N-1)$被称为$t$的代码。令$\mathcal{U}_{β,\pm N}$是具有唯一码的$t\in[-1,1]$的集合，并且令$\mathcal{S}_{β,\pm N}$是使交集$Γ_{β,N}\cap(Γ_{β,N}+t)$成为自相似集合的$t\in\mathcal{U}_{β,\pm N}$的集合。本文用几何和代数的方法刻画了集合$\mathcal{U}_{β,\pm N}$，并给出了$t\in\mathcal{S}_{β,\pm N}$的一个充要条件.利用β-展开的技巧，证明了存在一个超越数$β_c\in(1/(2N-1),1/N)$的临界点，使得当$β\in(1/(2N-1),β_c)$时，$\mathcal{U}_{β,\pm N}$具有正的Hausdorff维数，当$β\in(β_c,1/N)$时，$\mathcal{U}_{β,\pm N}$包含可数无穷多个元素.此外，还存在第二个临界点$α_c=\big[N+1-\sqrt{(N-1)(N+3…
2011-10-14 math.DS
Fractal tiles associated with shift radix systems
移位基数系统根据在$d$维实向量空间中变化的参数$\mathbf{r}$形成动力系统的集合。他们推广了著名的计数系统，如β-展开，关于有理基的展开，以及规范数系统。Beta计数和规范数系统与分形形状密切相关，例如经典的Rauzy分形和双龙。这些分形被证明是重要的研究性质的扩张在几个设置。在本文中，我们将一组分形瓦片与移位基数系统相关联。我们表明，对于某些类的参数$\mathbf{r}$这些瓷砖符合仿射副本的著名瓷砖与β-扩展和规范的数字系统。另一方面，这些瓦片为具有（非单位）皮索数的β-展开以及具有（非monic）展开多项式的规范数系统提供了瓦片的自然族。我们还证明了与移位基数系统瓷砖的基本属性。事实上，我们证明，在一些代数条件下的参数$\mathbf{r}$的移位基数系统，这些瓷砖提供多个平铺，甚至平铺的$d$维实向量空间。这些拼接原来有一个更复杂的结构比从上述已知的数字系统产生的拼接。这样的瓦片可以由具有无限多个不同形状的瓦片组成。此外，瓦片不需要是自仿射的（或图定向自仿射的）。
2010-09-01 math.DS math.NT
Bounded Lüroth expansions: applying Schmidt games where infinite distortion exists
我们证明了具有有界Lüroth展开（或有界Lüroth级数）的数的集合是获胜的和强获胜的。从任何一个获胜的性质，它立即遵循的集合是密集的，有完整的豪斯多夫维数，并满足可数交集性质。我们的结果匹配著名的类似结果有界连分数扩展，或等价地，严重逼近的数字。我们注意到Lüroth展开有一个可数无限的马尔可夫分割，这导致了无限失真的概念（在马尔可夫分割的意义上）。
2012-10-24 math.DS math.NT
On the dimension of certain sets araising in the base two expansion
该研究探讨了二进制展开中特定集合的Hausdorff维数，发现其维数为零，并构造了具有更高维数的子集，揭示了维度谱的特性。
2026-02-02 math.DS
Shrinking targets for non-autonomous dynamical systems corresponding to Cantor series expansions
给出了区间$[0,1)$上的非自治动力系统生成的一个非常一般的收缩目标格式的豪斯多夫维数的Bowen型闭公式，称为$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$，对应于给定的Cantor级数展开方法.我们还研究了广泛的一类例子，利用我们的定理。特别是，我们提供了一个丢番图逼近解释我们的计划。
2014-10-11 math.DS math.NT
Diophantine approximation and run-length function on β-expansions
对于任何$β> 1$，用$r_n(x,β)$表示，是$x\in[0,1]$的$β$扩展的第一个$n$数字中连续零的最大长度。$\frac{r_n(x,β)}{n}$的上极限（分别为下极限）与经典的丢番图逼近（分别为均匀的丢番图逼近）有关。我们得到了水平集$$E_{a,b}=\left\{x \in [0,1]: \liminf_{n\rightarrow \infty}\frac{r_n(x,β)}{n}=a,\ \limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{r_n(x,β)}{n}=b\right\}\ (0\leq a\leq b\leq1).$$的Hausdorff维数.此外，我们还证明了具有零豪斯多夫维数的极发散集$E_{0,1}$是剩余集.同样的问题，在参数空间也进行了检查。
2018-07-14 math.DS
Hausdorff Dimension of Closure of Cycles in d-Maps on the Circle
研究了单位圆上$x$到$dx$（mod 1）映射的动力学性质.我们刻画了这个映射的不变有限子集，称之为圈，并按其度分次。通过考察圈中元素的d基展开式的组合性质，证明了Curt McMullen的一个猜想：m次圈的闭包的豪斯多夫维数等于log $m$ / log $d$ .
2022-08-25 math.CO math.DS
The topological property of the irregular sets on the lengths of basic intervals in beta-expansions
设$β> 1$为实数，$(ε_1(x, β), ε_2(x, β), \ldots)$为点$x \in (0, 1]$的$β$ -展开式.对于所有的$x \in (0,1]$，令$A(D(x))$为$\frac{-\log_β|I_n(x)|}{n}$的累加点集为$n \rightarrow \infty$，其中$|I_n(x)|$为包含$x \in (0, 1]$的$n$阶的基本区间的长度。本文证明了对于任何$x \in (0,1]$，$A(D(x))$总是闭区间.此外，如果$λ(β)>0$，则包含$\frac{-\log_β|I_n(x)|}{n}$的上限等于$1+ł(β)$的点$x \in [0, 1]$的极不规则集合是残差，其中$1+ł(β)$是取决于$β$的常数。因此，对于每个$λ(β)>0$，不存在$\frac{-\log_β|I_n(x)|}{n}$极限的具有$x\in [0, 1]$的非正则集是剩余集。
2016-12-15 math.DS
Dynamical properties of the negative beta transformation
我们分析的动力学性质的负β变换，最近已经研究了伊藤和Sadahiro。与经典的Beta变换相反，负Beta变换的绝对连续不变测度的密度在一定的区间上可以为零。通过对这一性质的详细研究，我们证明了$(-β)$ -变换对所有$β>1$都是精确的，从而证实了Góra的一个猜想，并且是内禀的，从而完成了Faller的研究.我们还证明了当$β$趋于1时，1的$(-β)$ -展开式的极限行为与Thue-Morse序列有关.精确性的一个结果是每个Yrrap数，它是一个$β>1$，使得1的$(-β)$ -展开最终是周期性的，是一个Perron数。这扩展了帕里数的一个著名性质。然而，帕里数的集合不同于耶拉普数的集合。
2011-06-29 math.DS
On the points without universal expansions
让$1<β<2$。给定任何$x\in[0, (β-1)^{-1}]$，序列$(a_n)\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$称为$x$的$β$ -扩展，如果$x=\sum_{n=1}^{\infty}a_nβ^{-n}.$对于任何$k\geq 1$和任何$(b_1b_2\cdots b_k)\in\{0,1\}^{k}$，如果存在一些$k_0$使得$a_{k_0+1}a_{k_0+2}\cdots a_{k_0+k}=b_1b_2\cdots b_k$，那么我们称$(a_n)$为$x$的通用$β$ -扩展。Sidorov \cite{Sidorov2003}，Dajani和德弗里斯\cite{DajaniDeVrie}证明，鉴于任何$1<β<2$，然后勒贝格几乎每一个点有无数的普遍扩大。本文考虑了点集$V_β$没有泛展开式。对于任何$n\geq 2$，令$β_n$是满足以下等式的$n$ -bonacci数：$β^n=β^{n-1}+β^{n-2}+\cdots +β+1.$那么我们有$\dim_{H}(V_{β_n})=1$，其中$\dim_{H}$表示Hausdorff维数.类似的结果对于其他一些代数数也是有效的。作为推论，我们给出了某些开放动力系统生成的幸存集的Hausdorff维数的一些结果。本文是本文\cite{KarmaKan}的另一个应用。
2017-03-07 math.DS math.MG math.NT
