The topological property of the irregular sets on the lengths of basic intervals in beta-expansions
设$β> 1$为实数，$(ε_1(x, β), ε_2(x, β), \ldots)$为点$x \in (0, 1]$的$β$ -展开式.对于所有的$x \in (0,1]$，令$A(D(x))$为$\frac{-\log_β|I_n(x)|}{n}$的累加点集为$n \rightarrow \infty$，其中$|I_n(x)|$为包含$x \in (0, 1]$的$n$阶的基本区间的长度。本文证明了对于任何$x \in (0,1]$，$A(D(x))$总是闭区间.此外，如果$λ(β)>0$，则包含$\frac{-\log_β|I_n(x)|}{n}$的上限等于$1+ł(β)$的点$x \in [0, 1]$的极不规则集合是残差，其中$1+ł(β)$是取决于$β$的常数。因此，对于每个$λ(β)>0$，不存在$\frac{-\log_β|I_n(x)|}{n}$极限的具有$x\in [0, 1]$的非正则集是剩余集。
2016-12-15 math.DS
Sets of beta-expansions and the Hausdorff Measure of Slices through Fractals
我们研究自然措施集的β-扩张和切片通过自相似集。在β-展开式的背景下，这些结果使我们能够更好地理解随机β-变换的最大熵的度量，并重新解释Lindenstrauss，Peres和Schlag关于等分布的一个结果。这些应用程序中的每一个都与伯努利卷积的研究有关。在分形设置，这使我们能够了解如何分解豪斯多夫措施切片，导致条件下，几乎每一个切片通过自相似集有积极的豪斯多夫措施，推广长期已知的结果几乎处处的价值观的豪斯多夫维数。
2013-07-08 math.CA math.DS math.NT
Hausdorff Dimension of Growth Rate Level Sets in $θ$-expansions
National University of Science and Technology POLITEHNICA Bucharest（布加勒斯特理工大学）；Gheorghe Mihoc-Caius Iacob Institute of Mathematical Statistics and Applied Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院格奥尔基·米霍克-卡尤斯·雅各布数学统计与应用数学研究所）
研究θ展开中由数字增长速率定义的水平集的Hausdorff维度，证明对于任意α≥0，该集具有满维性，扩展了Zhang和Lü(2016)在常规连分数中的工作。
2026-04-01 math.DS math.NT
Hausdorff dimension of frequency sets in beta-expansions
通过应用2014年关于满圆柱分布的结果，我们给出了一个有用的民间传说的证明：对于任何$β>1$，移位空间$S_β$中任意集合的豪斯多夫维数等于其在$[0,1]$中自然投影的豪斯多夫维数。它已被用于一些以前的文件没有证据。当$1$的$β$ -展开式是有限的时，利用变分公式计算频率集的豪斯多夫维数，只需关注显阶的马尔可夫测度.具体地说，它足以优化一个函数与许多变量在某些限制。最后，作为应用，我们得到了一类重要的$β$的频率集的豪斯多夫维数的精确公式，这类频率集被称为伪黄金比率（也称为多纳奇数）.
2021-03-24 math.DS math.NT
Birkhoff spectrum for diagonally self-affine sets and digit frequencies for GLS systems with redundancy
本文研究对角仿射 IFS 的 Birkhoff 谱，并确定含冗余有限 GLS 数系中沿纤维数字频率集的 Hausdorff 维数。
2024-11-24 math.DS
Simplices in large sets and directional expansion in ergodic actions
本文研究遍历 $\mathbb{Z}^r$-作用沿循环子群的方向扩张，并在谱条件下证明正测度可测集可被显著扩张，进而推出正上密度集合中 $r$-单纯形体积含无限等差数列。
2024-01-08 math.CO math.DS
The exceptional sets on the run-length function of beta-expansions
令$β> 1$和游程函数$r_n(x,β)$是$x\in[0,1]$的$β$展开式中前n位中连续零的最大长度。研究了例外集$$E_{\max}^φ=\left\{x \in [0,1]:\liminf_{n\rightarrow \infty}\frac{r_n(x,β)}{φ(n)}=0, \limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{r_n(x,β)}{φ(n)}=+\infty\right\}$$，其中$φ: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$是一个单调递增的函数，且具有$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }φ(n)=+\infty$ .根据$φ$的增长率，证明了集合$E_{\max}^φ$是空的或在$[0,1]$中具有满Hausdorff维数和残差.
2017-04-05 math.DS math.NT
Hausdorff dimensions of sets related to Erdös-Rényi averages in beta expansions
设$β>1$，$I$为单位区间$[0,1)$，$ϕ$为定义在$\mathbb{N}\setminus\{0\}$上的整数函数，满足$1\leqϕ(n)\leq n$ .用$A_ϕ(x,β)$表示与$β$ -展开式中的函数$ϕ$相关的$x\in I$的Erdös-Rényi平均值，$I_β$表示$x\in I$的$A_ϕ(x,β)$范围。对于水平集\begin{align*} ER_ϕ^β(α)=\left\{x\in I\colon A_ϕ(x,β)=α\right\},\quad\text{where}\ α\in I_β, \end{align*}，在假设$ϕ(n)\to\infty$为$n\to\infty$，$ϕ$为某个慢变序列的整数部分的条件下，本文确定了它的Hausdorff维数.此外，本文还给出了Besicovitch的经典工作\cite{Be}的$β$ -展开式的推广.
2018-06-22 math.DS math.NT
Conjugacies provided by fractal transformations I : Conjugate measures, Hilbert spaces, orthogonal expansions, and flows, on self-referential spaces
定理和明确的例子被用来显示如何自相似集（一般意义）之间的转换可能是连续的几乎处处相对于固定措施的集合，并可用于进行众所周知的流量和谱分析从熟悉的设置到新的。这项工作的重点是一些令人惊讶的应用程序，包括（一）我们所谓的分形傅里叶分析，其中的图形的基础功能是康托集，是不连续的一个可数密集的一组点，但有很好的近似性能;（二）勒贝格测度保持流动，多边形层，其波前是分形。其核心思想是利用分形变换提供定义在迭代函数系统吸引子上的希尔伯特空间之间的酉变换。一些例子涉及到工作的奥克斯托比和乌拉姆关于遍历流的地区所界定的多边形。
2014-09-11 math.DS
Borel complexity of sets of normal numbers via generic points in subshifts with specification
本文研究了几种计数系统中正规数集的Borel复杂性。从动力学的角度来看，我们提供了一个统一的治疗连分数的扩展和基地$r$的扩展，以及他们的各种推广：广义Lüroth系列的扩展和$β$ -扩展。事实上，我们考虑子移位在一个可数字母表所产生的所有可能的扩张数在$[0,1)$。则正规数对应于移位-不变测度的泛点。事实证明，对于这些子移位，移位不变概率测度的泛点集正好处于Borel层次的第三层（它是$Π^0_3$ -完备集，这意味着它是$F_σ$ -集的可数交集，但不可能将它写成$G_δ$ -集的可数并集）。我们还解决了Sharkovsky-Sivak关于统计吸引力盆地的Borel复杂性的问题。我们需要的关键动力学特征是一种弱形式的规范。所有上面命名的展开都生成具有此属性的子移位。因此，所考虑的正规数集是$Π^0_3$ -完备的。
2020-01-16 math.DS math.LO math.NT
Intersections of homogeneous Cantor sets and beta-expansions
设$Γ_{β,N}$是具有$β\in(1/(2N-1),1/N)$的$N$ -部分齐次Cantor集.任何带有$j_\ell\in\{0,\pm 1,...,\pm(N-1)\}$的字符串$(j_\ell)_{\ell=1}^\N$，使得$t=\sum_{\ell=1}^\N j_\ellβ^{\ell-1}(1-β)/(N-1)$被称为$t$的代码。令$\mathcal{U}_{β,\pm N}$是具有唯一码的$t\in[-1,1]$的集合，并且令$\mathcal{S}_{β,\pm N}$是使交集$Γ_{β,N}\cap(Γ_{β,N}+t)$成为自相似集合的$t\in\mathcal{U}_{β,\pm N}$的集合。本文用几何和代数的方法刻画了集合$\mathcal{U}_{β,\pm N}$，并给出了$t\in\mathcal{S}_{β,\pm N}$的一个充要条件.利用β-展开的技巧，证明了存在一个超越数$β_c\in(1/(2N-1),1/N)$的临界点，使得当$β\in(1/(2N-1),β_c)$时，$\mathcal{U}_{β,\pm N}$具有正的Hausdorff维数，当$β\in(β_c,1/N)$时，$\mathcal{U}_{β,\pm N}$包含可数无穷多个元素.此外，还存在第二个临界点$α_c=\big[N+1-\sqrt{(N-1)(N+3…
2011-10-14 math.DS
Digit frequencies and self-affine sets with non-empty interior
本文研究了非整数基上的展开式和具有非空内部的自仿射集的数字频率。在非整数基的扩展，我们表明，如果$β\in(1,1.787\ldots)$，那么每一个$x\in(0,\frac{1}{β-1})$有一个简单的正常的$β$ -扩展。我们还证明，如果$β\in(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2})$，那么每个$x\in(0,\frac{1}{β-1})$有一个$β$ -扩展的数字频率不存在，和一个$β$ -扩展的限制频率为零$p$，其中$p$是任何实数充分接近$1/2$。对于一类平面自仿射集，证明了如果水平收缩位于某个参数空间中，而垂直收缩充分接近于$1,$，则每个非平凡垂直纤维都包含一个区间.我们的方法有助于明确的计算，并产生新的例子与非空内部的自仿射集。我们的方法的一个特别优点是，它允许在垂直方向上的不同收缩率。
2017-01-24 math.CA math.DS math.NT
Hausdorff Dimension and Hausdorff Measure for Non-integer based Cantor-type Sets
我们考虑数字删除集或Cantor型集与$β$ -扩展。我们计算了这些集合的豪斯多夫维数$d$，并证明了$d$关于$β$是连续的.这些集合的$d$维Hausdorff测度是有限的正测度.
2007-06-29 math.DS math.MG
Hausdorff dimension of univoque sets and Devil's staircase
我们固定一个正整数$M$，我们认为在任意实基$q>1$在字母表$\{0,1,...,M\}$的扩展。我们用$U_q$表示具有唯一展开式的实数集。在前人研究的基础上，我们给出了$U_q$的豪斯多夫维数$D(q)$对每个$q\in (1,\infty)$的计算公式.进一步证明了维数函数$D:(1,\infty)\to[0,1]$是连续的，且有界变差.此外，它在$(q',\infty)$中具有魔鬼阶梯行为，其中$q'$表示Komornik-Loreti常数：尽管对于所有$q>q'$都有$D(q)>D(q')$，但我们有$D'<0$ a.e.在$(q',\infty)$中。在证明过程中，我们改进和推广了Erdas等人关于$β$ -展开式中存在大零点块的定理，并确定了所有$M$的Lebesgue测度和$x=1$有唯一展开式的基集的豪斯多夫维数.
2015-03-02 math.DS math.NT
Topology of univoque sets in double-base expansions
本文将等基情况下唯一展开集的拓扑性质研究扩展至$q_0\neq q_1$的双基展开情况，揭示了因复杂性增加而产生的大量新现象。
2025-04-30 math.DS math.NT
Reccurence Sets for Partial Inverse, Semigroup Actions and Related Structures
在拓扑空间中引入了逆半群部分作用的两类递归集。我们探讨了它们与相关类型的不完美对称性（前缀逆半群扩张，部分群和广群作用）的类似概念的联系。
2021-02-16 math.DS math.GR
Unique expansions and intersections of Cantor sets
对于每个$α\in(1/3,1/2)$，我们关联康托集$$Γ_α:=\Big\{\sum_{i=1}^{\infty}ε_{i}α^i: ε_i\in\{0,1\},\,i\geq 1\Big\}.$$。在本文中，我们考虑任何平移$t\in\mathbb{R}$的交集$Γ_α\cap (Γ_α+ t)$。我们特别注意具有唯一$\{-1,0,1\}$ $α$-展开式的$t$，并研究了集合$$D_α:=\{\dim_H(Γ_α\cap (Γ_α+ t)):t \textrm{ has a unique }\{-1,0,1\}\,α\textrm{-expansion}\}.$$.我们证明了存在一个超越数$α_{KL}\approx 0.39433\ldots$使得：$D_α$是有限的因为$α\in(α_{KL},1/2),$ $D_{α_{KL}}$是无限可数的，并且$D_α$包含$α\in(1/3,α_{KL}).$的一个区间。我们还证明了$D_α$等于$[0,\frac{\log 2}{-\log α}]$当且仅当$α\in (1/3,\frac {3-\sqrt{5}}{2}].$。作为我们研究的结果，我们证明了关于$D_α$的一些结果。当$Γ_α\cap (Γ_α+ t)$是自相似集时，$\dim_{H}(Γ_α\cap (Γ_α+ t))$的可能值。我们还给出了$t$的例子与…
2016-04-04 math.DS math.MG
On the Diophantine properties of lambda-expansions
对于$λ\in (1/2, 1)$和$α$，我们考虑数集$x$，使得对于无穷多个$n$，$x$是$2^{-αn}$ -接近某个$\sum_{i=1}^n ω_i λ^i$，其中$ω_i \in \{0,1\}$。这些集合在对于某些$s$的Hausdorff维数$s$的Falconer交集类中，使得$- \frac{1}α \frac{\log λ}{\log 2} \leq s \leq \frac{1}α$。我们发现，几乎所有的$λ\in (1/2, 2/3)$，上界的$s$是最佳的，但对于可数无穷的值的$λ$的下限是最好的结果。
2012-02-22 math.DS math.NT
A posteriori validation of generalized polynomial chaos expansions
广义多项式混沌展开是研究具有随机系数的微分方程的有力工具，特别是可以有效地逼近与此类方程相关的随机不变集。在这项工作中，我们使用的想法，从验证数值，以获得严格的后验误差估计与存在性结果的随机不变集的gPC扩展。这种方法也提供了一个新的框架进行验证延续，即严格计算孤立的分支的参数依赖系统的解决方案，这在一个简单的方式推广到多参数连续。我们说明了所提出的方法，严格计算随机不变的周期轨道的洛伦兹系统，以及分支和2维流形的稳定状态的Swift-Hohenberg方程。
2022-03-04 cs.NA math.DS math.NA
Bifurcation sets arising from non-integer base expansions
给定一个正整数$M$和$q\in(1,M+1]$，令$\mathcal U_q$是具有唯一$q$ -展开的$x\in[0, M/(q-1)]$的集合：存在具有每个$x_i\in\{0,1,\ldots, M\}$的唯一序列$(x_i)=x_1x_2\ldots$，使得\[ x=\frac{x_1}{q}+\frac{x_2}{q^2}+\frac{x_3}{q^3}+\cdots. \]用$\mathbf U_q$表示$\mathcal U_q$中所有点的对应序列的集合。众所周知，函数$H: q\mapsto h(\mathbf U_q)$是魔鬼阶梯，其中$h(\mathbf U_q)$表示$\mathbf U_q$的拓扑熵。本文给出了分支集\[ \mathcal B:=\{q\in(1,M+1]: H(p)\ne H(q)\textrm{ for any }p\ne q\}. \]的几个刻划。注：$\mathcal B$包含在基$q\in(1,M+1]$的集合$\mathcal{U}^R$中，使得$1\in\mathcal U_q$。通过使用横截性技术，我们还计算了差$\mathcal B\backslash\mathcal{U}^R$的Hausdorff维数。有趣的是，这个量总是严格地介于$0$和$1$之间。当$M=1$时，$\mathcal B\backslash\mathc…
2018-07-11 math.DS math.NT
Hausdorff dimension of intersections between the Jarník sets and Diophantine fractals
Keio Institute of Pure and Applied Sciences (KiPAS), Department of Mathematics, Keio University（庆应义塾大学纯应用科学研究所，数学系）
研究了Jarník集与迪奥菲内分数集合交集的Hausdorff维度，证明其为满维，并指出无理数指数大于2且部分商有界的集合维度为1。
2025-12-29 math.DS math.NT
Irrational self-similar sets
设$K\subset\mathbb{R}$是定义在$\mathbb{R}$上的自相似集。很容易证明，如果$K$的勒贝格测度为零，则对于勒贝格，几乎每个$t$，$$K+t=\{x+t:x\in K\}$$都只由无理数或超越数组成。在本说明中，我们将考虑某些自相似集类别，并显式构造此类$t$。我们的主要思想来自于$q$ -展开式。
2022-03-28 math.DS math.NT
Gaps in N-expansions
对于自然数$N\geq 2$和实$α$，定义了$I_α:=[α,α+1]$和$0 < α\leq \sqrt{N}-1$，研究了连分式映射$T_α:I_α\to I_α^-$，定义为$T_α(x):= N/x-d(x),$，其中$d(x):=\left \lfloor N/x -α\right \rfloor$ .对于所有自然$N \geq 7$，对于$α$的某些值，存在开放区间$(a,b) \subset I_α$，使得对于几乎每个$x \in I_α$，存在一个自然数$n_0$，对于该自然数，对于所有$n\geq n_0$，存在$T_α^n(x) \notin (a,b)$。这些\emph{gaps} $(a,b)$在正方形$Υ_α:=I_α\times I_α^-$中被研究，其中数字$x \in I_α$的\emph{orbits} $T_α^k(x), k=0,1,2,\ldots$被表示为蜘蛛网。正方形$Υ_α$是\emph{fundamental regions}的并集，根据$T_α$中$d$的多个值，\emph{fundamental regions}与映射$T_α$的圆柱集相关。本文给出了$I_α$无间隙的一些明确条件。当$I_α$由至少五个气缸组组成时，它始终是无间隙的。在四个气缸组的情况下，通常没有间隙，除了极少数情况下有一个非常宽的间隙。在两个或三个气缸组的情…
2021-07-14 math.DS math.NT
A note on derivatives, expansions and $Π^1_1$-ranks
$Π_1^1$ -秩是描述集合论中研究协分析集的一个自然工具。在《古典描述集合论》一书中，Kechris提供了一种使用导数构建$Π_1^1$ -秩的技术。在这篇文章中，我们将证明这个结果的一个变体，它适用于$Γ$ -秩。一些动态秩，如熵秩，可以用$Γ$秩来表示。
2021-07-21 math.DS math.LO
Multi-scale properties of continued fraction sets
本文综述了限制连分数展开数字来自非空子集D⊂N的实数集的维数理论，涵盖Hausdorff维数、盒维数等，并讨论相关开问题。
2026-06-05 math.CA math.DS math.NT
Intersections of multiplicative translates of 3-adic Cantor sets
受Erdans问题的启发，本文考虑了关于3-adic整数乘2的离散动力系统的问题。设3-adic康托尔集由所有其展开式仅使用数字0和1的3-adic整数组成。例外集是3进整数的集合，其在此作用下的前向轨道与3进康托尔集相交无限次。它已被证明，这个集有豪斯多夫维数0。接近上界的豪斯多夫维数，这些集导致研究的交叉乘法平移康托集的权力2。更一般地，本文研究了3进康托尔集的一般乘法平移与整数1 < M_1 < M_2 <. < M_n。这些集合可描述为3-adic整数的集合，其3-adic展开具有由有限自动机给出的单侧符号动力学。因此，对于一个代数整数β，这样一个集合的豪斯多夫维数总是log（β）的形式。本文给出了一种确定给定数据（M_1，…，M_n）。实验结果表明，这类集合的豪斯多夫维数以一种非常复杂的方式依赖于整数M_1，.，M_n。
2013-08-14 math.DS math.MG math.NT
Rigorous effective bounds on the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets: a hundred decimal digits for the dimension of $E_2$
我们证明了[13]中利用动力系统的周期点来近似动态定义的Cantor集的豪斯多夫维数的算法可以用来建立维数的完全严格的高精度界。这些严格的估计的有效性示出的康托集组成的连分数扩展与限制数字。例如，集合$E_2$（其连分数展开式仅包含数字1和2的实数）的豪斯多夫维数可以被严格地近似，精确度超过100个小数位，使用最多25的周期点。建立严格维数界的方法涉及到与允许的连分数位数相关联的映射的全纯扩张，由这些映射收缩的适当圆盘，以及作用于该圆盘上的解析函数的Hilbert Hardy空间的相关转移算子。我们介绍的方法，严格限制的近似数的转移算子，这导致有效的估计泰勒系数的相关行列式，因此明确的界限上的豪斯多夫维数。
2017-12-06 math.DS math.FA math.NT
