Diophantine approximation by negative continued fraction
本文证明了$x$负展开式的$n$次收敛的分母$Q_n$的增长率和逼近率：$$ \frac{\log{n}}{n}\log{\left|x-\frac{P_n}{Q_n}\right|}\rightarrow -\frac{π^2}{3} \quad \text{in measure.} $$对a.e. $x$。在证明过程中，我们重新证明了负连分数的算术平均数在测度上收敛于3，尽管下极限是2，上极限几乎处处是无穷大.
2020-05-09 math.DS math.NT
Diophantine approximation and continued fraction expansion for quartic power series over $\mathbb{F}_{3}$
虽然Roth定理指出所有无理代数数的无理测度为2，并且在特征为零的函数域上也是如此，但在正特征的函数域上发现了一些反例。这是首先提出的马勒在1949年，在他的基本文件丢番图逼近\cite{M}。看来，除了特定的元素，作为幂级数与有界的部分导数，罗斯定理成立。到目前为止，只有Mills和Robbins \cite{MR}在1986年发现的一个具有无界偏导数的元素被认为具有这种性质。它涉及$\mathbb{F}_{3}$上的一个四次幂级数，具有一个特殊的连分数展开式.这种连分数展开由Buck和Robbins \cite{BR}明确描述，后来由Lasjaunias \cite{LA2}使用另一种更简单的方法。此外，Lasjaunias \cite{LA2}改进了其与Roth定理有关的无理性测度的值.我们将看到，这个幂级数包含在一个大的四次幂级数族中，可以明确地给出它的连分数展开式和无理性测度。此外，我们还将研究$\mathbb{F}_{3}$上四次幂级数的其他例子的有理逼近，并将推广Mahler提出的反例集。
2020-10-22 math.NT
Diophantine properties of real numbers generated by finite automata
本文研究了自动实数的丢番图性质，给出了一种求自动实数无理性测度的方法。因此，我们证明了$b$ -进展开的刘维尔数不能产生的有限自动机，一个猜想，由于Shallit。
2006-01-25 math.NT
Diophantine analysis of the expansions of a fixed point under continuum many bases
本文研究了连续多基下不动点展开式的轨道的丢番图性质。更准确地说，令$T_β$是以$β>1$为基的β变换，$\{x_{n}\}_{n\geq 1}$是$[0,1]$中的实数序列，而$φ\colon \mathbb{N}\rightarrow (0,1]$是正函数。通过对{ \em满柱}在基空间$\{β>1\}$中的分布的详细分析，证明了对任意给定的$x\in(0,1]$，对几乎所有或几乎没有基$β>1$，$x$在$T_β$下的轨道可以根据序列$\sum φ(n)$的发散或收敛而$φ$ -很好地逼近序列$\{x_{n}\}_{n\geq 1}$.这显着加强了施梅林的结果，并完成了这方面的所有已知结果。此外，这里提出的思想也可以用来确定固定基$β>1$的集合\begin{equation*} \{x\in [0,1]\colon|T^{n}_βx-L(x)|<φ(n) \text{ for infinitely many } n\in\mathbb{N}\}, \end{equation*}的勒贝格测度，其中$L\colon [0,1]\rightarrow[0,1]$是Lipschitz函数。
2021-02-28 math.NT
Mahler's question for intrinsic Diophantine approximation on triadic Cantor set: the divergence theory
本文考虑了三进康托尔集$\mathcal{K}$上的内在丢番图逼近，即用$\mathcal{K}$内的有理数逼近$\mathcal{K}$中的点，这是K.马勒利用$\mathcal{K}$中有理数的另一个高度函数，即由其周期3-adic展开式得到的分母，给出了这种变本征丢番图逼近的完备度量理论，从而得到了Mahler原问题的发散理论.
2021-02-28 math.NT
Exponents of Diophantine Approximation and Sturmian Continued Fractions
设x为实数，n为正整数。定义了丢番图逼近的四个指数，它们是Mahler和Koksma定义的指数w_n（x）和w_n^*（x）的补充.当n=2，x是一个实数，其连分数展开式与某些正整数的Sturmian序列一致时，我们计算了它们的六个值，直到初始项。特别地，我们得到了这样一个连分数x的二次根号逼近的精确指数。
2004-06-03 math.NT
Ternary expansions of powers of 2
Paul Erdos问2^n的三进制展开式有多频繁地省略数字2。他解释说，这种情况只会发生在n的100个值上。我们将这个问题推广到考虑两个离散动力系统的迭代。第一个是在实数上，并且考虑对于实数输入lambda的lambda 2^n的整数部分。第二个是在3-adic整数上，并考虑3-adic整数输入lambda的序列lambda 2^n。我们表明，输入值的数量，有无穷多个迭代省略数字2在他们的三进制扩展是小的，在适当的意义。对于每一个非零输入，我们给出了一个渐近上界的数量的第一个k迭代，省略数字2，因为k走向无穷大。我们还研究了3-adic Cantor集的乘法平移的交集的豪斯多夫维数的辅助问题。
2008-07-11 math.DS math.NT
Simultaneous diophantine approximation for a restricted class of pairs of real numbers
该研究针对一类受限制的不可逼近数对$(α,β)$，通过利用系数依赖其丢番图性质的三次方程根的局部化方法及连分数收敛分母性质，证明了Littlewood猜想对这类数对成立。
2025-04-19 math.NT
Arithmetic properties of polynomial solutions of the Diophantine equation $P(x)x^{n+1}+Q(x)(x+1)^{n+1}=1$
对于每个整数$n\geq 1$，我们考虑最小次数$n$的唯一多项式$P, Q\in\mathbb{Q}[x]$，其是方程$P(x)x^{n+1}+Q(x)(x+1)^{n+1}=1$的解。我们推导出这些多项式及其导数的许多性质，包括显式展开式、微分方程、递推关系、生成函数、结式、判别式和不可约结果。我们还考虑了一些相关的多项式及其性质。
2019-09-24 math.NT
Diophantine approximation and special Liouville numbers
介绍了确定一类良好逼近数$ζ_{1},ζ_{2},...,ζ_{k}$的同时逼近常数的方法。该方法依赖于所有$s$ -进展开（$s\geq 2$）的$ζ_{1},ζ_{2},...,ζ_{k}$和它们相关的近似常数之间的连接的集合上的结果。作为应用，给出了实数$ζ_{1},ζ_{2},...,ζ_{k}$的显式构造方法，并给出了Matlab图形.
2013-01-10 math.NT
Recurrence relations for the number of solutions of a class of Diophantine equations
本文给出了正系数一次和二次丢番图方程的解的个数的递推公式。这一结果被进一步推广到一般的非线性可加丢番图方程。它表明，所有三种类型的递归承认一个明确的解决方案，在完整的贝尔多项式的形式，取决于系数的幂级数展开的生成函数的对数的丢番图方程中的个别条款的序列。
2013-11-17 math-ph math.MP math.NT
Diophantine approximation by rational numbers of certain parity types
本文研究给定奇偶类型（奇/奇、偶/奇、奇/偶）有理数对无理数的最佳逼近算法，并与连分数展开进行比较。
2024-03-19 math.NT
Diophantine conditions and real or complex Brjuno functions
实数$x=a_0+x_0, a_0\in {\ZZ},$的连分数展开式为：$0\leq x_n<1, x_{n}^{-1}=a_{n+1}+ x_{n+1}, a_{n+1}\in {\NN},$ for $n\geq 0.$则Brjuno函数为$B(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x_0x_1... x_{n-1}\ln(x_n^{-1}),$，且只要$B(x)$有界，数$x$满足Brjuno丢番图条件。当映射解析扰动时，复旋转下的不变圆持续存在，当且仅当旋转数满足Brjuno条件，并且在半标准和标准映射的情况下，不变圆也是如此。在这个讲座中，我们将回顾Brjuno函数的一些性质，并给出一些与熟悉的丢番图条件相关的概括。Brjuno函数是高度奇异的，并且在包含有理数的稠密集上取值$+\infty$。我们提出了一个正则化导致一个复杂的功能全纯的上半平面。它的虚部趋向于实轴上的Brjuno函数，实部保持有界，我们还指出了它在模群下的变换。
1999-12-02 math.DS math.NT
Diophantine approximation by almost equilateral triangles
一个{ \it二维连分式展开}是一个映射$μ$，它为每个$x \in\mathbb R^2\setminus\mathbb Q^2$分配一个三角形序列$μ(x)=T_0,T_1,\dots$，三角形序列$T_n$具有顶点$x_{ni}=(p_{ni}/d_{ni},q_{ni}/d_{ni})\in\mathbb Q^2, d_{ni}>0, p_{ni}, q_{ni}, d_{ni}\in \mathbb Z,$ $i=1,2,3$，使得\begin{eqnarray*} \det \left(\begin{matrix} p_{n1}& q_{n1} &d_{n1}\\ p_{n2}& q_{n2} &d_{n2}\\ p_{n3}& q_{n3} &d_{n3} \end{matrix} \right) = \pm 1\,\,\, \,\,\,\mbox{and}\,\,\,\,\,\, \bigcap_n T_n = \{x\}. \end{eqnarray*}我们构造一个二维连分式展开$μ^*$，使得对于密集的许多（图灵可计算的）点$x$，$μ(x)$的三角形的顶点强收敛到$x$。强收敛取决于$\lim_{n\to \infty}\frac{\sum_{i=1}^3\dist(x,x_{ni})}{(2d_{n1}d_{n2}d_{n3})^{-1/2}},$的值（“d…
2017-05-09 math.NT
The exceptional set for Diophantine approximation with mixed powers of prime variables
本文研究素变量二次、三次、四次和五次混合幂的线性型逼近良间隔序列问题，证明其例外集上界为 O(N^{359/378+2δ+ε})，改进了既有结果。
2023-12-11 math.NT
Diophantine approximation with primes from short intervals
Ramakrishna Mission Vivekananda Educational Research Institute（拉马克里希纳使命维韦卡南达教育研究院）；Higher Education Directorate（高等教育管理局）
本文研究了短区间中素数在丢番图逼近中的渐进行为，证明了当素数p满足||pα||<δ时，其数量渐近等于2δY/log X。
2026-04-06 math.NT
Sharpening Borel's result in Diophantine approximation
本文通过为连续三个逼近系数最小值提供更精确界限，锐化了博雷尔1903年在丢番图逼近中的结果，聚焦于\(a_{n + 1}=1\)的情况进行研究。
2026-07-07 math.DS math.NT
$F$-Diophantine sets over finite fields
本文研究有限域上的 $F$-丢番图集，提出基于单项式展开性质的构造策略，并在 $F=x_1x_2\ldots x_k+1$ 情形下得到大小 $\gg_k \log q$ 的 $k$-丢番图元组，显著改进已有下界。
2024-11-20 math.NT
Approximation orders of real numbers by $β$-expansions
证明了几乎所有的实数（关于勒贝格测度）都可用其指数阶$β$ -展开式的收敛性来逼近$β^{-n}$ .此外，还确定了所有其它阶逼近的实数集合的豪斯多夫维数.这些结果也被应用于研究实数在$β$ -变换下的轨道、收缩目标型问题、丢番图逼近和$β$ -展开式的游程函数.
2016-07-22 math.CA math.NT
Using Continued Fractions to Compute Iwasawa Lambda Invariants of Imaginary Quadratic Number Fields
设$\ell>3$是素数，使得$\ell \equiv 3 \pmod{4}$和$\mathbb{Q}(\sqrt{\ell})$的类数为1。然后Hirzebruch和Zagier注意到$\mathbb{Q}(\sqrt{-\ell})$的类数可以表示为$h(-\ell) = (1/3)(b_1+b_2 + \cdots + b_m) - m$，其中$b_i$是“减”连分式展开式$\sqrt{\ell} = [[b_0; \overline{b_1, b_2, \ldots, b_m}]]$中的部分同数。对于奇素数$p \neq \ell$，我们证明了一个类似的公式，使用这些$b_i$计算$\mathbb{Q}(\sqrt{-\ell})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$的Iwasawa lambda不变量$λ_p(-\ell)+λ_p(-4)$的和。在$p$在$\mathbb{Q}(\sqrt{-\ell})$中是惰性的情况下，该公式在一些附加的技术假设下令人愉快地简化。
2014-03-16 math.NT
Beyond Expansion IV: Traces of Thin Semigroups
我们继续我们的研究特定的仿射筛的情况下，生产水平的分布超出了那些可达到的扩展。受McMullen关于给定数域上模曲面上的低闭测地线的算术混沌猜想的启发，研究了SL 2（Z）中对应于绝对丢番图数的某些子半群的迹集.特别是，我们关心的是这一组的分布水平。虽然标准的仿射筛过程，结合Bourgain-Gamburd-Sarnak的无共振区域的“同余”转移算子的预解式，产生一些指数的分布α> 0，我们能够产生指数α < 1/3。这就无条件地恢复了与在瘦群的拉马努金型猜想下获得的指数相同的指数。一个独立的关键因素是SL 2（Z）的加性能量的界限。
2018-04-10 math.NT
On Dirichlet's lambda functions
令$$λ(s)=\sum_{n=0}^\infty\frac1{(2n+1)^s},$$ $$β(s)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^s},$$和$$η(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$$分别是狄利克雷λ函数、其交替形式和狄利克雷η函数。根据Varadarajan最近的一本历史书（\cite [p.~ 70]{Varadarajan}），这三个函数分别由欧拉在符号$N(s)$、$L(s)$和$M(s)$下研究。在本文中，我们将提出一些额外的性质，他们。也就是说，我们得到了一些无限的家庭的线性递归关系$λ(s)$在正偶数参数$λ(2m)$，卷积身份的特殊值的$λ(s)$在偶数参数和特殊值的$β(s)$在奇数参数，和幂级数展开的交替赫维茨zeta函数$J(s,a)$，其中涉及一个已知的$η(s)$。
2019-06-27 math.CA math.NT
