The multifractal spectra of planar waiting sets in beta expansions
设$β>1$为实数。本文确定了具有指定数量等待时间指标的数对在$β$ -展开式中的Hausdorff维数。更精确地，令$I$为单位间隔$[0,1)$，并将$\underline{R}^β(x,y)$和$\overline{R}^β(x,y)$分别写为$β$ -展开式中的$x$的$y$的下定量等待时间指示符和上定量等待时间指示符。通过\[E_β(a,b)=\left\{(x,y)\in I^2\colon\underline{R}^β(x,y)=a,\overline{R}^β(x,y)=b\right\}.\]定义平面上的等待集，其中$0\leq a\leq b\leq\infty$，则对于任何一对数$a$和$b$，集合$E_β(a,b)$总是Hausdorff维数2。另外，在最后一节中也给出了这个结果的一些推广。
2018-06-22 math.DS
On the Hausdorff Dimension of Measures for a Non-Uniquely Ergodic Family of Interval Exchange Transformations
Faculty of Mathematics, National Research University Higher School of Economics（高等经济大学数学系）
本文构造了一个具有最大可能测度数的非唯一测度区间交换变换族，并推广了对M.Keane例子中两个测度的Hausdorff维数估计结果。
2025-12-28 math.DS
Hausdorff dimension of non-uniquely ergodic directions in eigenform loci
研究\(\mathcal{H}(1,1)\)中\(D\)非平方时本征形式轨迹\(\mathcal{E}_D\)，证明其中平移曲面\((X,\omega)\)非唯一遍历方向集豪斯多夫维数为\(1/2\)（\(D = 5\)等情况除外）。
2026-08-04 math.DS
Unique equilibrium states for some intermediate beta transformations
我们证明了$β> 2$具有0的轨道有界远离1的性质的中间β变换对应的子移位的平衡态的唯一性。
2020-07-03 math.DS
McMullen's game for equicontinuously-twisted badly approximable points in continued fractions and beta expansions
University of North Texas（北德克萨斯大学）
本文研究了在beta变换或Gauss映射系统中，等连续序列下badly approximable点的McMullen游戏性质及Hausdorff维数。
2025-12-03 math.DS
Dimensions of compact invariant sets of some expanding maps
研究了由整数值对角矩阵给出的环面上扩张非共形映射的紧不变集的豪斯多夫维数和满豪斯多夫维数测度. McMullen和Bedford发现了“一般Sierpinski地毯”的豪斯多夫维数，Kenyon和Peres证明了满豪斯多夫维数的测度在某些情况下是唯一的.我们推广这些结果，通过使用补偿函数来研究一般的Sierpinski地毯表示的移位的有限型。给出了一般Sierpinski地毯存在唯一的满豪斯多夫维数测度的条件，并研究了唯一测度的性质.
2008-04-02 math.DS
Uniform Diophantine approximation related to beta-transformations
对于任何$β>1$，设$T_β$是经典的$β$ -变换。固定$x_0\in[0,1]$和一个非负实数$\hat{v}$，我们计算实数集$x\in[0,1]$的Hausdorff维数，并证明了对于每个足够大的整数$N$，存在一个整数$n$，其中$1\leq n\leq N$使得$T_β^nx$和$x_0$之间的距离至多等于$β^{-N\hat{v}}$。本文将Bugeaud和Liao \cite{YLiao2016}的结果推广到单位区间内的所有点$x_0$。
2020-05-28 math.DS
Non-uniqueness of ergodic measures with full Hausdorff dimension on a Gatzouras-Lalley carpet
本文证明了在某些Gatzouras-Lalley地毯上，存在多个满豪斯多夫维数的遍历测度.这给出了一个否定的答案Gatzouras和佩雷斯的猜想。
2011-11-10 math.CA math.DS
On the Hausdorff dimensions of a singular ergodic measure for some minimal interval exchange transformations
本文给出了一类极小但非唯一遍历区间交换变换的豪斯多夫维数的一些结果。有一个附录表明，典型点的两个不同的遍历措施的间隔交换可以近似对方不同。
2011-05-18 math.DS
Intersections of homogeneous Cantor sets and beta-expansions
设$Γ_{β,N}$是具有$β\in(1/(2N-1),1/N)$的$N$ -部分齐次Cantor集.任何带有$j_\ell\in\{0,\pm 1,...,\pm(N-1)\}$的字符串$(j_\ell)_{\ell=1}^\N$，使得$t=\sum_{\ell=1}^\N j_\ellβ^{\ell-1}(1-β)/(N-1)$被称为$t$的代码。令$\mathcal{U}_{β,\pm N}$是具有唯一码的$t\in[-1,1]$的集合，并且令$\mathcal{S}_{β,\pm N}$是使交集$Γ_{β,N}\cap(Γ_{β,N}+t)$成为自相似集合的$t\in\mathcal{U}_{β,\pm N}$的集合。本文用几何和代数的方法刻画了集合$\mathcal{U}_{β,\pm N}$，并给出了$t\in\mathcal{S}_{β,\pm N}$的一个充要条件.利用β-展开的技巧，证明了存在一个超越数$β_c\in(1/(2N-1),1/N)$的临界点，使得当$β\in(1/(2N-1),β_c)$时，$\mathcal{U}_{β,\pm N}$具有正的Hausdorff维数，当$β\in(β_c,1/N)$时，$\mathcal{U}_{β,\pm N}$包含可数无穷多个元素.此外，还存在第二个临界点$α_c=\big[N+1-\sqrt{(N-1)(N+3…
2011-10-14 math.DS
Uniform recurrence properties for beta-transformation
对于任何$β> 1$，令$T_β: [0,1)\rightarrow [0,1)$是由$T_βx=βx \mod 1$定义的$β$ -变换。研究了点的轨道在点自身的$β$ -变换下的一致常返性。得到了具有给定一致递归率的点集的大小。更准确地说，对于任何$0\leq \hat{r}\leq +\infty$，如果$0\leq \hat{r}\leq 1$，则集合$$\left\{x \in [0,1): \forall\ N\gg1, \exists\ 1\leq n \leq N, {\rm\ s.t.}\ |T^n_βx-x|\leq β^{-\hat{r}N}\right\}$$具有豪斯多夫维数$\left(\frac{1-\hat{r}}{1+\hat{r}}\right)^2$，并且如果$\hat{r}>1$，则集合是可数的。
2019-06-19 math.DS
On the Hausdorff dimension of invariant measures for multicritical circle maps
IMJ-PRG, UP7D（IMJ-PRG，巴黎第七大学）
本文为无周期点的$C^3$多临界圆映射的唯一不变测度提供了仅依赖旋转数算术性质的Hausdorff维数显式界。
2019-10-16 math.DS
Inhomogeneous and simultaneous Diophantine approximation in beta dynamical systems
本文研究β动力系统中的非齐次同时丢番图逼近。对于$β>1$，让$T_β$是$[0,1]$上的$β$ -转换。我们确定了集合\[\left\{(x,y)\in [0,1]^2: |T_β^nx-f(x,y)|<φ(n)\text{ for infinitely many }n\in\mathbb{N}\right\},\]的Lebesgue测度和Hausdorff维数，其中$f:[0,1]^2\to [0,1]$是Lipschitz函数，$φ$是$\mathbb{N}$上的正函数.设$β_2\geq β_1>1$，$f_1,f_2:[0,1]\to [0,1]$是两个Lipschitz函数，$τ_1,τ_2$是$[0,1]$上两个正连续函数.我们还确定了集合\[\left\{(x,y)\in [0,1]^2: \begin{aligned}&|T_{β_1}^nx-f_1(x)|<β_1^{-nτ_1(x)}\\ &|T_{β_2}^ny-f_2(y)|<β_2^{-nτ_2(y)}\end{aligned}\text{ for infinitely many }n\in\mathbb{N}\right\}.\]的Hausdorff维数在某些附加的假设下，还确定了集合\[\left\{(x,y)\in [0,1]^2: \begin{aligned}&|T_{β_1}^nx-g_1(…
2022-11-11 math.CA math.DS
On the continuity of the Hausdorff dimension of the univoque set
在最近的一篇论文[Adv. Math. 305：165- 196，2017]中，Komornik等人~证明了在（非整数）基$q$中具有唯一展开式的数的集合$\mathcal{U}_q$的豪斯多夫维数的一个长序公式，并证明了这个豪斯多夫维数在$q$中是连续的.不幸的是，他们的证明包含了一个似乎很难修复的漏洞。本文给出了一个完全不同的证明这些结果，使用更直接的组合方法。
2018-04-09 math.DS
Hausdorff dimension of frequency sets of univoque sequences
对于整数$m\ge3$，我们研究了动力系统$(Λ_m,σ_m)$，其中$Λ_m$是不包含$0^m$或$1^m\}$的集合$\{w\in\{0,1\}^\mathbb{N}: w$，$σ_m$是$\{0,1\}^\mathbb{N}$上限制于$Λ_m$的移位映射，并研究了$Λ_m$上的Bernoulli型测度，找到了唯一等价的$σ_m$ -不变遍历概率测度.作为应用，我们得到了univoque序列集的豪斯多夫维数，连续$0$和连续$1$的长度有界的序列集的豪斯多夫维数，以及它们的频率子集的豪斯多夫维数.
2020-01-31 math.DS
Uniqueness of the measure of maximal entropy for the standard map
在本文中，我们证明了充分大的参数的标准映射有一个唯一的最大熵（m.m.e.）的措施。此外，我们证明：的m.m.e.是Bernoulli，且李雅普诺夫指数远离零的周期点关于m.m.e.我们证明了一些估计的豪斯多夫维数的m.m.e.以及关于流形上的测度的支撑的密度。对于一般的大参数，我们证明了支持的m.m.e.具有豪斯多夫维数$2$。我们还获得了这些属性的$C^2$ -鲁棒性。
2020-02-29 math.DS
On the escape rate of unique beta-expansions
令$1<β\leq 2$。众所周知，在具有唯一$β$展开的$% [0,1/(β-1)]$中的点的集合，换句话说，在贪婪$β$变换下其轨道根据$β$逃离洞的那些点是零勒贝格测度。本文研究了相应的逃逸率。本文建立了一个联系univoque集的豪斯多夫维数与逃逸率的公式。证明了该速率关于$β$形成魔鬼阶梯函数。
2016-11-21 math.DS math.NT
On the Hausdorff dimension of invariant measures of piecewise smooth circle homeomorphisms
本文证明具有无理旋转数和零平均非线性的充分正则分段光滑圆同胚的唯一不变测度通常具有零Hausdorff维数，并借助广义区间交换变换的组合旋转数概念编码该一般性条件。
2022-10-28 math.DS
Hausdorff dimension of the arithmetic sum of self-similar sets
令$β>1$。我们定义了一类自相似集\[S:=\left\{f_{i}(x)=\dfrac{x}{β^{n_i}}+a_i:n_i\in \mathbb{N}^{+}, a_i\in \mathbb{R}\right\}.\].从$S$中取任意有限自相似集$\{f_{i}(x)\}_{i=1}^{m} $，已知存在唯一的自相似集$K_1$满足$K_1=\cup_{i=1}^{m} f_{i}(K_1)$ .类似地，另一个自相似集$K_2$可以通过$S$的有限压缩映射生成。我们称之为$K_1+K_2=\{x+y:x\in K_1, y\in K_2\}$两个自相似集的算术和。本文证明了$K_1+K_2$是某个无穷迭代函数系的自相似集或唯一吸引子。利用这个结果，我们可以在某些条件下计算$K_1+K_2$的精确豪斯多夫维数，如果$K_1$和$K_2$的IFS不满足无理假设，则部分地提供了$K_1+K_2$的维数结果，参见Peres和Shmerkin \cite{PS}。
2016-02-08 math.DS
On the Hausdorf Dimension of Minimal Interval Exchange Transformations with Flips
证明了具有翻转（特别是不含周期点）的最小区间交换变换的豪斯多夫维数集的线性上、下界，以及具有翻转的非唯一遍历的最小区间交换变换的豪斯多夫维数集的线性下界.
2016-03-07 math.DS
Hausdorff Dimension of a Class of Self-Affine Sets
APJ Abdul Kalam Technological University（阿卜杜勒·卡拉姆理工大学）；Rajagiri School of Engineering and Technology（拉吉里工程技术学院）；Muthoot Institute of Technology and Science（穆托特科技与理工学院）
本文推导了由仿射迭代函数系统生成的自仿集类的精确Hausdorff维数公式，结合了收缩相似变换与对称算子A^T A的线性部分，统一了混合系统的方法，证明了参数平衡c + r = 1对吸引子连通性和开放集条件的保证。
2026-05-11 math.DS
Higher dimensional shrinking target problem in beta dynamical systems
本文考虑了具有一般逼近误差的广义$β>1$的Beta动力系统中的二维收缩靶问题。设$f, g$是两个正的连续函数。对于任何$x_0,y_0\in[0,1]$，定义收缩目标集$$ E(T_β, f,g):=\left\{(x,y)\in [0,1]^2: \begin{array}{ll} |T_β^{n}x-x_{0}|<e^{-S_nf(x)}\\ [1ex] |T_β^{n}y-y_{0}|< e^{-S_ng(y)} \end{array} \ {\text{for infinitely many}} \ n\in \N \right\}, $$，其中$S_nf(x)=\sum_{j=0}^{n-1}f(T_β^jx)$是Birkhoff和。我们计算了这个集合的豪斯多夫维数，并证明了它是某个压力函数的解。这是高维β动力系统的第一个结果。
2022-02-24 math.DS math.NT
Measures of the full Hausdorff dimension for a general Sierpiński carpet
研究了一般Sierpienski地毯的满尺寸的度量。在本文的第一部分中，我们给出了Sierpienski地毯的全豪斯多夫维数的一个度量准则。同时，它是零势关于矩阵值势$α\mathbf{N}$（稍后定义）的某个Gibbs测度$ν_α$的条件平衡测度。一方面，在没有条件\textbf{(H)}的情况下推广了[17]的结果.另一方面，它提供了一个可检验的条件来保证一般Sierpienski地毯的全豪斯多夫维数测度的存在唯一性.本文的第二部分给出了马氏投影测度的一个判别准则，并利用导出的矩阵值位势估计了它的步数。这些结果使我们能够回答[1]和[4]中关于投影测度和因子的一些问题。
2012-06-06 math.DS
The exceptional sets on the run-length function of beta-expansions
令$β> 1$和游程函数$r_n(x,β)$是$x\in[0,1]$的$β$展开式中前n位中连续零的最大长度。研究了例外集$$E_{\max}^φ=\left\{x \in [0,1]:\liminf_{n\rightarrow \infty}\frac{r_n(x,β)}{φ(n)}=0, \limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{r_n(x,β)}{φ(n)}=+\infty\right\}$$，其中$φ: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+$是一个单调递增的函数，且具有$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }φ(n)=+\infty$ .根据$φ$的增长率，证明了集合$E_{\max}^φ$是空的或在$[0,1]$中具有满Hausdorff维数和残差.
2017-04-05 math.DS math.NT
Two bifurcation sets arising from the beta transformation with a hole at $0$
给定$β\in(1,2],$，Kalle等人研究了带孔$[0, t)$的圆$[0, 1)$上的$β$ -变换$T_β: x\mapsto βx\pmod 1$。（2019年）。他们描述了集值分歧集\[ \mathcal E_β:=\{t\in[0, 1): K_β(t')\ne K_β(t)~\forall t'>t\}, \]，其中$K_β(t):=\{x\in[0, 1): T_β^n(x)\ge t~\forall n\ge 0\}$是幸存者集。本文研究了维数分歧集\[ \mathcal B_β:=\{t\in[0, 1): \dim_H K_β(t')\ne \dim_H K_β(t)~\forall t'>t\}, \]，其中$\dim_H$表示Hausdorff维数.我们证明了如果$β\in(1,2]$是一个multinacci数，那么两个分支集$\mathcal B_β$和$\mathcal E_β$重合。此外，我们给出了这两个集的完整的特征。作为我们主要结果的推论，我们证明了对于多acci数$β$，我们对任何$t\in[0, 1)$都有$\dim_H(\mathcal E_β\cap[t, 1])=\dim_H K_β(t)$.这证实了Kalle等人的一个猜想。对于$β$，是多学科编号。
2019-04-15 math.DS
Hausdorff dimension of univoque sets and Devil's staircase
我们固定一个正整数$M$，我们认为在任意实基$q>1$在字母表$\{0,1,...,M\}$的扩展。我们用$U_q$表示具有唯一展开式的实数集。在前人研究的基础上，我们给出了$U_q$的豪斯多夫维数$D(q)$对每个$q\in (1,\infty)$的计算公式.进一步证明了维数函数$D:(1,\infty)\to[0,1]$是连续的，且有界变差.此外，它在$(q',\infty)$中具有魔鬼阶梯行为，其中$q'$表示Komornik-Loreti常数：尽管对于所有$q>q'$都有$D(q)>D(q')$，但我们有$D'<0$ a.e.在$(q',\infty)$中。在证明过程中，我们改进和推广了Erdas等人关于$β$ -展开式中存在大零点块的定理，并确定了所有$M$的Lebesgue测度和$x=1$有唯一展开式的基集的豪斯多夫维数.
2015-03-02 math.DS math.NT
Subshift of finite type and self-similar sets
设$K\subset \mathbb{R}$是由迭代函数系统生成的自相似集。本文证明了在一定的假设条件下，$K$可由一个有限型子移位来识别.有了这个标识，我们可以计算的豪斯多夫维数$K$以及在$K$中的一组元素与唯一的编码使用Mauldin和威廉姆斯\cite{MW}的机器。我们给出了我们的主要结果的三个不同的应用。首先计算多重编码下$K$的点集的豪斯多夫维数。其次，在$β$ -展开式的设定下，当所有唯一编码的集合不是有限型子移位时，在某些情况下，我们可以计算唯一集的豪斯多夫维数。受这个应用的启发，我们证明了所有唯一编码的集合是有限型子移位当且仅当它是sofic移位。de Vries和Komornik \cite [定理1.8]{MK}没有提到这个等价条件。第三，对于具有非对称洞的加倍映射，给出了生存集可由有限型子移位识别的一个充分条件。第三个应用程序部分回答了Alcaraz Barrera \cite{Barrera}提出的问题。
2016-12-10 math.DS
Random affine code tree fractals: Hausdorff and affinity dimensions and pressure
证明了随机仿射码树分形的仿射维数几乎必然等于压力函数的唯一零点。因此，我们表明，Hausdorff，包装和盒计数尺寸等系统是等于零的压力。特别是，我们不假定Falconer-Sloan条件或任何其他附加假设的有效性，这些假设在所有先前已知的结果中是必不可少的。
2015-10-09 math.CA math.DS
Existence of a measurable saturated compensation function between subshifts and its applications
我们证明了存在一个有界的Borel可测饱和补偿函数的子移位之间的因子映射。作为应用，我们得到了由整数值对角矩阵给出的环面上扩张非共形映射的紧不变集的豪斯多夫维数和满豪斯多夫维数测度.这些问题在[19]中研究了在饱和补偿函数存在的条件下，符号表示为有限型移位的紧不变集。通过给出一个符号表示为无条件子移位的紧不变集的豪斯多夫维数公式，并将全维不变遍历测度刻画为可测补偿函数的常倍数的遍历平衡态，推广了上述结果.对于符号表示为有限型拓扑混合移位的紧致不变集，利用可测补偿函数研究了唯一性及其唯一不变遍历测度的性质.我们的积极成果缩小的可能性，其中一个例子有一个以上的措施，全尺寸可以找到。
2009-06-26 math.DS
Topological pressure and fractal dimensions of cookie-cutter-like sets
定义了一系列经典cookie-cutter映射的极限集为类cookie-cutter集。对于这个切饼集，证明了拓扑压力函数的存在性，并证明了其豪斯多夫维数、packing维数和计盒维数等分形维数都等于压力函数的唯一零点$h$.证明了$h$维Hausdorff测度和$h$维packing测度是有限的正测度.
2019-03-20 math.DS
Hausdorff measures and packing measures of the limit sets of CIFSs of generalized complex continued fractions
本文考虑一类复参数空间上的广义复连分数的CIFS。我们证明了，对于该族的每个CIFS，CIFS的极限集关于Hausdorff维数的Hausdorff测度为零，CIFS的极限集关于豪斯多夫维数的packing测度为正（主要结果）.这是一个新的现象，无限的CIFS，不能保持在有限的CIFS。我们证明的主要结果显示一些估计的唯一的共形措施，每个CIFS的家庭，并通过使用一些几何观测。
2020-02-26 math.CV math.DS
Periodic unique beta-expansions: the Sharkovskii ordering
令$β\in(1,2)$。每个$x\in[0,\frac{1}{β-1}]$可以以\[ x=\sum_{k=1}^\infty ε_kβ^{-k}, \]的形式表示，其中$ε_k\in\{0,1\}$用于所有$k$（$β$ -$x$的扩展）。如果是$β>\frac{1+\sqrt5}{2}$，那么，众所周知，总是存在具有唯一的$\be$ -展开的$x\in(0,\frac1{β-1})$。在本文中，我们研究（纯）周期唯一的$β$ -扩展，并表明，对于每个$n\ge2$存在$β_n\in[\frac{1+\sqrt5}{2},2)$，使没有唯一的周期$β$ -扩展的最小周期$n$的$β\leβ_n$和至少一个这样的扩展$β>β_n$。此外，我们证明了$β_k<β_m$当且仅当$k$在Sharkovski \u ı排序意义下小于$m$。我们给出两个证明这个结果，其中之一是独立的，另一个链接到一个家庭的梯形映射的动力学。
2008-08-04 math.DS math.NT
On the Hausdorff measure of projections of self-similar sets
National Taiwan University（台湾大学）
本文针对1/9≤d≤1/6范围内四角康托尔集投影的豪斯多夫测度问题，证明了在δ<d≤1/6时存在正勒贝格测度方向集使得几乎所有方向上投影的豪斯多夫测度为0，解决了该区间内的公开问题。
2026-09-07 math.DS
Univoque bases and Hausdorff dimension
给定正整数$M$和实数$q >1$，实数$x$的\emph{$q$-expansion}是具有$(c_i) \in \{0,\ldots,M\}^\infty$的序列$(c_i)=c_1c_2\cdots$，使得\[x=\sum_{i=1}^{\infty} c_iq^{-i}.\]众所周知，如果$q \in (1,M+1]$，则每个$x \in I_q:=\left[0,M/(q-1)\right]$具有$q$ -展开。令$\mathcal{U}=\mathcal{U}(M)$为$1$具有唯一$q$ -展开的\emph{univoque bases} $q>1$的集合。本文的主要目的是提供$\mathcal{U}$的新的特征，并表明，豪斯多夫维数的数字集$x \in I_q$与一个唯一的$q$ -扩展的变化最大，如果$q$“穿越”univoque基地。用$\mathcal{B}_2=\mathcal{B}_2(M)$表示$q \in (1,M+1]$的集合，使得存在恰好具有两个不同$q$ -展开式的数。作为我们结果的副产品，我们得到了Sidorov（2009）的一个问题的答案，并证明了\[\dim_H(\mathcal{B}_2\cap(q',q'+δ))>0\quad\textrm{for any}\quad δ>0,\]，其中$q'=q'(M)$是Komornik-Loret…
2017-04-02 math.DS math.NT
Entropy, topological transitivity, and dimensional properties of unique $q$-expansions
设$M$为正整数，$q \in(1,M+1].$为正整数，我们考虑实数在基$q$上在字母表$\{0,\ldots, M\}$上的展开.特别地，我们研究了具有唯一$q$-展开的实数集$\mathcal{U}_{q}$和相应序列集$\mathbf{U}_q$。其显示于（Komornik et al，2017 Adv. Math.）将$\mathcal{U}_q$的拓扑熵与每个$q\in(1, M+1]$相关联的函数$H$是魔鬼楼梯。本文明确地确定了$H$的平台，并刻画了$q$的分支集$\mathcal E$，其中函数$H$不是局部常数。此外，我们还证明了$\mathcal E$是一个满Hausdorff维数的Cantor集。我们还研究了与开动力系统有密切联系的自然子移位$(\mathbf{V}_q, σ),$的拓扑传递性。最后证明了对于所有的$q\in(1,M+1]$，$\mathcal{U}_q$的Hausdorff维数和盒维数是一致的.
2017-08-21 math.DS math.NT
Measures and dimensions of Julia sets of semi-hyperbolic rational semigroups
研究了黎曼球面上由多个有理映射生成的半双曲半群的动力学。在良开集条件成立的条件下，证明了Julia集上存在一个几何测度，其指数$h$等于朱利亚集的豪斯多夫维数. $h$ -维Hausdorff测度和packing测度在朱利亚集上都是有限的正测度，并且与Radon-Nikodym导数在零和无穷远处是一致分离的相互等价.所有三个分形维数，豪斯多夫，包装和盒计数是相等的。证明了正则相伴斜积映射存在唯一的$h$ -共形测度。此外，还证明了这个共形测度存在唯一的博雷尔概率绝对连续不变（在斜积映射下）测度。实际上这两个测度是等价的，而不变测度是度量精确的，因此是遍历的。
2011-02-15 math.CV math.DS math.PR
Open set condition and pseudo Hausdorff measure of self-affine IFSs
设$A$是一个$n\times n$实扩张矩阵，$\mathcal{D}$是$\mathbb{R}^n$的一个有$0\in\mathcal{D}$的有限子集。映射族$\{f_d(x)=A^{-1}(x+d)\}_{d\in\mathcal{D}}$称为自仿射迭代函数系统（self-affine iterated function system，简称自仿射IFS）。自仿射集$K=K(A,\mathcal{D})$是由满足集值方程$K=\displaystyle\bigcup_{d\in\mathcal{D}}f_d(K)$的$(A, {\mathcal D})$确定的唯一紧集。数字$s=n\,\ln(\# \mathcal{D})/\ln(q)$与$q=|\det(A)|$，是所谓的$K$的伪相似维数。如He和Lau所示，人们可以将$A$和任意数的$s\ge 0$与自然的伪Hausdorff测度$\mathcal{H}_w^s.$联系起来。本文证明了，如果$s$被选为$K$的伪相似维数，则条件$\mathcal{H}_w^s(K)> 0$成立当且仅当IFS $\{f_d\}_{d\in\mathcal{D}}$满足开集条件。这扩展了自相似情况下的众所周知的结果，即对于合适的$s$，OSC等价于具有正Hausdorff测度$\mathcal{H}^s$的$K$。进一步，我们将伪Haus…
2019-02-28 math.DS math.MG
Dimensions of random statistically self-affine Sierpinski sponges in $\mathbb R^k$
本文计算了任意随机统计自仿射Sierpinski海绵$K\subset \mathbb{R}^k$（$k\ge 2$）的Hausdorff维数，该海绵是通过$[0,1]^k$中的某些渗流过程得到的.为此，我们首先展示了一个Ledrappier-Young型公式的豪斯多夫维数的统计自仿射措施支持$K$。该公式与其确定性或随机动力学版本相比具有新的特征。然后，我们建立了一个变分原理，将$\dim_H K$表示为支持在$K$上的统计自仿射测度的豪斯多夫维数的上确界，并证明了上确界是唯一可达的. $\dim_H K$的值也表示为某些确定性势的加权压力函数。作为一个副产品，当$k=2$，我们给出了另一种方法的Hausdorff维数的$K$，这是第一次得到的Gatzouras和Lalley \cite{GL94}。研究了$K$的计盒维数值及其与$\dim_H K$的等价性.我们还得到了$K$的某些正交投影的豪斯多夫维数的变分公式，并且对于~ $K$上支持的统计自仿射测度，我们通过这些投影建立了维数守恒性质.
2020-09-03 math.DS math.MG math.PR
