发表机构
National Taiwan University（台湾大学）
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本文针对1/9≤d≤1/6范围内四角康托尔集投影的豪斯多夫测度问题，证明了在δ<d≤1/6时存在正勒贝格测度方向集使得几乎所有方向上投影的豪斯多夫测度为0，解决了该区间内的公开问题。
AI 中文摘要
对于0<d≤1/4，令$\boldsymbol{\textit{C}}(d)$为四角康托尔集，其豪斯多夫维数$s_d=\frac{\boldsymbol{\text{log}}4}{\boldsymbol{\text{log}}(1/d)}$。Peres、Simon和Solomyak以及Mattila提出：对于哪些d，测度$\boldsymbol{\text{H}}^{s_d}(p_\theta(\boldsymbol{\textit{C}}(d)))$在几乎每个方向θ上为正？该问题在1/9≤d≤1/6范围内尚未解决。本文证明，对于δ<d≤1/6，存在正勒贝格测度的集合$\boldsymbol{\text{IP}}(d)$，使得几乎每个θ∈$\boldsymbol{\text{IP}}(d)$都满足$\boldsymbol{\text{H}}^{s_d}(p_\theta(\boldsymbol{\textit{C}}(d)))=0$，其中δ=0.155124983896014…是多项式$P(d)=1-7d+3d^2+4d^3-2d^4-d^5$在(1/9,1/6)内的唯一零点。
英文摘要
For $0<d\leq1/4$, let $\mathcal{C}(d)$ be the four-corner Cantor set with Hausdorff dimension $s_d=\log 4/\log(1/d)$. Peres, Simon, and Solomyak, as well as Mattila, asked for which $d$ the measure $\Hau^{s_d}(p_θ(\mathcal{C}(d)))$ is positive for almost every direction $θ$. It was open for the range $1/9\leq d\leq1/6$. In this paper, we show that, for $δ< d\leq1/6$, there is a set $\IP(d)$ of positive Lebesgue measure such that for almost every $θ\in\IP(d)$, $\Hau^{s_d}(p_θ(\mathcal{C}(d)))=0$, where $δ=0.155124983896014\ldots$ is the unique zero in $(1/9,1/6)$ of the polynomial $P(d)=1-7d+3d^2+4d^3-2d^4-d^5$.
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